Вибрационная защита промышленных конструкций на основе параметрической оптимизации дискретно-континуальных математических моделей «Конструкции-виброактивное оборудование» Текст научной статьи по специальности «Математика»

системным анализ и его приложения

5. Унучков В. Е., Краско А. Г., Шустов Н. П. Об 6. изменении поля с расстоянием в системах связи с подвижными объектами // Современные проблемы радиоэлектроники и связи : материалы VI межвуз. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых, Иркутск. 2007 7. г. Иркутск : ИрГТУ. С. 128-133.

Унучков В. Е. О методе обработки информации в задачах контроля и диагностики систем радиосвязи // Информационные и математические технологии : тр. конф., Иркутск, 2004. Иркутск : ИСЭМ СО РАН. С. 246-251. Мудров В. И., Кушко В. Л. Методы обработки измерений. Квазиправдоподобные оценки. М. : Сов. радио, 1983. 304 с.

Соболев В. И., Дмитриева Т. Л.

УДК 621.888.06

ВИБРАЦИОННАЯ ЗАЩИТА ПРОМЫШЛЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДИСКРЕТНО -КОНТИНУАЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ «КОНСТРУКЦИИ -ВИБРОАКТИВНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ»

Проблемы обеспечения безопасности эксплуатации конструкций промышленных зданий актуальны для ряда отраслей отечественного производства, использующих вибрационные технологии.

Несущие конструкции промышленных зданий в преобладающем большинстве представляют собой стержневые системы, имеющие достаточно малые значения нижних границ интервалов частот собственных колебаний, перекрывающих наиболее распространенные частоты воздействия виброактивного оборудования в наиболее опасной своей, низкочастотной области [1,2]. Это обстоятельство опасно проявлением резонансных эффектов на низших колебательных формах тем более, что собственные частоты сооружений имеют вероятностный характер, обусловленный разбросом конструктивных параметров и разнородностью условий эксплуатации.

В неблагоприятных условиях, созданных динамическими особенностями конструкций зданий, например при квазирезонансных режимах колебаний, с решением проблемы справиться значительно труднее и избежать возникновения таких условий - прямая задача расчетов и конструиро-

вания. Вместе с тем динамические особенности могут дать возможность целенаправленного максимального снижения вибраций. Это может быть осуществлено при помощи использования систем виброзащиты (СВ) [3] в сочетании с выбором конструктивных вариантов на основе решения задач оптимизации.

Предложенный автором способ виброзащиты [4], получивший алгоритмическую реализацию и развитие в виде программного комплекса определения конструктивных параметров СВ позволяет получать эффект виброзащиты при использовании упругих свойств изгиба массивных балок с дополнительно присоединенными дискретными массами, формирующими необходимые формы вынужденных колебаний. Решение основано на определении величин прикрепляемых к балкам реактивных сосредоточенных масс, обеспечивающих формы с устойчивыми колебательными узлами в заданных точках и последующим шарнирным опиранием балок в этих точках. Такой способ отличается большой параметрической избыточностью (обусловленной включением элементов с распределенными и сосредоточенными величинами), что определяет обширную область парамет-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ров конструирования и допускает возможность варьирования эффективностью систем и выбора наилучших вариантов реализации.

Для создания математического обеспечения, специализированного для анализа стационарных колебаний и комплексного решения проблем подавления вибраций в системах "виброактивное технологическое оборудование - несущие конструкции", прежде всего, необходим выбор адекватных математических моделей и разработка методик, обеспечивающих расчетную точность в программной реализации.

Очевидно, что наиболее эффективной явилась бы аппроксимация процессов и систем в классе дискретно - континуальных моделей, исключающих процедуры дискретизации и позволяющих осуществлять параметрическую сшивку дискретных и континуальных элементов. Необходимым условием метода является возможность учета в комбинированной динамической модели (КДМ), нерегулярного распределения границ областей и разнородных граничных условий, свойственных рассматриваемым системам.

На общем фоне многочисленных работ в области анализа динамических систем использование дискретно-континуальных моделей является в настоящее время незаслуженно непопулярным, при видимом отсутствии прикладных программных разработок в этой области.

Предлагаемые решения основываются на использовании и развитии известных методов динамической податливости, имеющих в своей основе аналитические описания параметров стационарных колебаний элементов [5].

Такой подход значительно упрощает процедуры анализа и обобщения результатов решения и позволяет включать в модель также дискретные массы, упругие элементы и упруго опертые твердые тела.

Решение осуществляется путем декомпозиции исходной динамической системы на элементы, для которых производится построение аналитического базиса для произвольных, конструктивно допустимых вариантов краевых условий гармонических перемещений, заданных в узлах сочленения элементов. Вектору амплитуд обобщенных узловых перемещений ставится во взаимооднозначное соответствие аналитическое выражение, определяющее вынужденную межузловую колебательную форму бесконечномерного элемента и некоторый вектор амплитуд узловых динамических реакций, позволяющий производить операцию формирования ансамбля элементов на формализованном уровне - в виде системы линейных разрешающих уравнений.

Для любого балочного элемента, выделенного в процессе декомпозиции, решение ищется в предположении, что колебания осуществляются под воздействием сосредоточенных гармонических сил и моментов, приложенных в некоторых краевых точках (узлах) балки.

С целью определения функций колебательных форм и построения матрицы динамических жесткостей рассмотрим вынужденные изгибные моногармонические колебания с частотой ш балки с равномерно распределенной погонной массой Р , длиной а, изгибной жесткостью Е1, при за-гружении ее постоянной продольной силой N. Для определенности рассмотрим расчетную схему с узловыми закреплениями, обеспеченными линейными и узловыми связями с номерами 1,2,3 (рис.1, в). При отсутствии межузлового динамического воздействия уравнение динамического равновесия элементарного участка балки в пролёте между узлами описывается однородным уравнением Эйлера- Бернулли [5].

рУй + ШУш - КУХХ = 0 . (1)

При заданной частоте внешнего воздействия

г +

а

N

N

©

б)

N &

е)

г у®

4© г)

д)

' У®

тШ е) л, ©

Рис.1. Расчетные схемы балок с различными вариантами закреплений: 12 3 4 — номера связей

системным анализ и его приложения

СО колебательные формы балки однозначно определяются вектором амплитуд узловых гармонических перемещений

Y = 1

(Y(0), Yx |x=q , Y(a), Yxx |х=а )Т,

(2)

EJ EJ

Определив

2 N N2 ш2р

^12 =--± J , Ч9 +—- ,

2EJ ]¡ 4(EJ)2 EJ

имеем

^ = q, ^2=-q, = is , ^4=-is,

где

s =

q =

i — .

N 2EJ

+

N2

' 4(EJ )2

+

ш2р

^ET

N

2EJ

+

N2

U(EJ )2

+

ш2 р

^ET

в котором компоненты расположены по порядку нумерации соответствующих связей. Вектор Y sin ш1 определяет краевые условия для уравнения (1). Представим решение уравнения колебания балки в виде линейной комбинации вынужденных колебательных форм от единичных гармонических перемещений (с единичными амплитудами) связей, обеспечивающих закрепления узлов. Единичное гармоническое перемещение каждой связи с номером i по своему направлению вызывает реакции во всех наложенных связях. Упорядоченные по номерам связей значения этих реакций образуют некоторый вектор R амплитуд гармонических реакций в связях. Поочерёдное гармоническое перемещение связей формирует матрицу динамических реакций R = {R,R2,R3}.

Расчетная схема рассматриваемого примера содержит три связи. В общем случае, количество связей задачи плоских изгибных колебаний может быть равным от двух до четырех.

Для определения коэффициентов матрицы R и функции амплитуд Y(x) вынужденных колебаний балки подставим искомое решение вида

V(x) = Y(x)sin^t)

в уравнение (1) и сократив полученное уравнение на sin(шХ), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение.

Y(!V)(x) - NY(2)(x) - Y(x) ш2Р = 0 . (3) EJ EJ

Характеристическое уравнение для (3) имеет вид:

4 N 2 ш2р ^--^--= 0.

Общее решение У(х) уравнения (3) может быть представлено в виде линейной комбинации

У(х) = Н(х)С (4)

четырех линейно независимых частных решений, образующих базисную вектор функцию

Н(х) = (ечх, е-чх, зт^х), сх^х)),

где С является вектором коэффициентов линейной комбинации (4)

Краевые условия для решения уравнения (3) могут быть заданы в виде вектора (2) амплитуд перемещений по направлениям связей.

Для заданной схемы Ухх| = 0 . При определении У(х) коэффициенты линейных комбинаций фундаментального решения определяются в виде матрицы C путем поочередного задания единичных амплитуд перемещений по направлениям связей.

Векторы амплитуд единичных перемещений, упорядоченные по номерам связей образуют матрицу К Матрицы C и L имеют вид:

C =

Элементы матрицы C определяются из решения систем уравнений:

АС = Ь, (5)

где A - матрица, образованная из базисной вектор функции Н(X) следующим образом:

( Н(0) ^

Нх(х)1х=0 . (6)

Н(а)

VНхх(х)1х = а ,

Матрица амплитуд реакций в связях при попеременных единичных гармонических перемещениях связей в порядке их нумерации (матрица гармонических реакций) определяется в виде.

Я = -Е1СТН,

где

Н = (Нххх(х) 1х = 0,Нхх(х) |х = о , НТхх(х) 1х = а ) .

Вектор столбец Y амплитуд узловых перемещений, соответствующий вектору F амплитуд гармонических воздействий по направлениям связей с частотой ш определяется из решения системы уравнений

ЯУ = Б, или - Е1 (а-1ь)ТНУ = Б.

Г Cii С12 С 1 c13 Г1 0 01

С21 С22 С23 ; L = 0 1 0

С31 С32 С33 0 0 1

V С41 С42 С43 v 0 0 0,

A =

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Функция амплитуд перемещений оси балки (функция формы вынужденных колебаний) при заданной узловой форме Б силового гармонического воздействия имеет вид

У(х) = УтСтЫт(х), (7)

Задание в узлах по направлениям связей силовых гармонических воздействий, амплитуды которых скомпонованы в виде вектора Б, единственным образом определяет вектор У амплитуд узловых перемещений.

С учетом (4) функция амплитуд перемещений оси балки (форма вынужденных колебаний)

при заданной узловой форме ^ силового гармонического воздействия имеет вид

-1 т

У(х) = — Ы(х)А-1Ь(ЬтЛ-1Ы). (8) Е1

Матрица С, преобразующая вектор амплитуд узловых колебаний в межузловую функцию вынужденныых колебаний балки, названа матрицей колебательной формы (МКФ).

Аналитические выражения коэффициентов МДР и МКФ для различных типов элементов (см. рис. 1), приведены в табл. 1.

Таблица 1

Амплитуды динамических реакций в связях элементов различных расчётных схем при единичных _гармонических воздействиях

Единичные гармонические перемещения

Амплитуды единичных динамических реакций

0(0) = Ф9(я,з); М(0) = Ф10(д,8); 0(а) = Фп(д,*).

0(0) = Ф12(д,>?); М(0) = Ф13(я,8); 0(а) = Ф14(я,з).

3.

0(0) = Ф15(Ц,8); М(0) = Ф16(ц,8); 0(а) = Ф17(ц,ь).

4.

0(0) = Ф18(Ч,8); М(0) = Ф19(д,8); М (а) = Ф20(Ч^).

5.

0(0) = Ф21(д,*); М(0) = Ф22(ч,8); М (а) = Ф23(д,8).

6.

(Л У Ч/ ¿Г X

N А о ^ га /'

(2(0)

'М(а)

0(0) = Ф„(я,8); М(0) = Ф25(Ч,8); М (а) = Ф2б(д,8).

системным анализ и его приложения

Таблица 1 (продолжение)

7.

Q(0) = ФJq,s); M(0) = ФJq,s).

Q(0) = Ф31(^); М(0) = Ф32(q,s).

9.

Q(0) = Ф27(q,s); Q(a) = Ф28(q,s).

10.

Щоу^ ы 'У О(а). 1 г 1 а X

N .0

ТО(0)

М(а)

Q(0) = Фl(q,s); M(0) = Ф2(q,s); Q(a) = Ф3(q,s); M(a) = Ф4(q,s).

11.

Q(0) = Ф5^, 5);

M (0) = Фб^, 5);

Q(a) = Ф7 5); М (а) = Ф8^, 5).

12.

= Ф33(q,s); М(а) =

Q(0) = -Ф34 (q, 5); М (а) = Фз5(^ 5).

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Примечание: Амплитуды Ф1 ^ Ф35 таблицы 1 представлены аналитическими выражениями вида:

Ф1 = Ш ■

С ■ б ■ (д2 + ■ соб^ ■ а) ■ бшЬ^ ■ а) + б ■ бш^ ■ а) ■ собЬ(с ■ а))

-2 ■ с ■ б ■ соб (б ■ а) ■ собЬ (ц ■ а) - (б2 - ц2) ■ бш^ ■ а) ■ бшЬ^ ■ а) + 2 ■ б ■ с Е1 ■ д ■ б ■ [соб^ ■ а) ■ собЬ(с ■ а) ■ (б2 - д2) - 2 ■ д ■ б ■ ■ а) ■ бшЬ(с ■ а) - б2 + д2"

Ф9 =

-2 ■ д ■ б ■ соб (б ■ а) ■ собЬ (д ■ а) - (б2 - д2) ■ ■ а) ■ бшЬ(с ■ а) + 2 ■ б ■ д

Ф^ =

-Е1 ■ ц ■ б ■ (ц2 + б2) ■ (б ■ ■ а) + ц ■ бшЬ(с ■ а))

71 2Г - с) ■

2 ■ с ■ б ■ соб(б ■ а) ■ собЬ (ц ■ а) - - с ) ■ ■ а) ■ бшЬ(с ■ а) + 2 ■ б ■ с

ф

34 ■

(Е1 ■ с2 ■ б2)

(ц2 + Б2)

1

1

соБЬ(а ■ ц) соБ(а ■ ц

Ф 35 =

(щ ■ с2 ■ б2)

(д2 + б2)

(с1аи(а ■ б) - б ■ 1алЬ(а ■ д))

+ б") ^соБь(а ■ с) соБ(а ■ с у + б

Матрицы колебательных форм гармонических элементов различных типов (Рис.1) имеют

вид:

Элемент (а)

(82 + д2)

-1 2 ехр (-а ■ д) 1

■ 8 ■ ■

2

8гпИ(а ■ 8) 2 8гпИ(а ■ 8)

1 2 ехр (а ■ д) — ■ 8 ■ -

2 8тк(а ■ 8)

2 со8(а ■ 8)

-д ■-

81п(а ■ 8)

1

2 8тИ(а ■ 8)

д

8т(а ■ 8) 0

С1 ■.

(д ■ ехр (д ■ а) + 8 ■ 8от(8 ■ а) - д ■ со8(8 ■ а))

8 --

ехр (д ■ а) ■ 2

(-д + 8 ■ 8п(8 ■ а) ■ ехр (д ■ а) - д ■ со8(8 ■ а) ■ ехр (д ■ а))

-2 ■ д ■

(8 ■ 8 2п(8 ■ а) ■ со8к(д ■ а) + д ■ со8(8 ■ а) ■ 8тк(д ■ а))

2 ■ д ■ -

(д ■ 8п(8 ■ а) ■ 8тк(д ■ а) - 8 ■ со8(8 ■ а) ■ со8к(д ■ а) + 8)

с,

Сз

где 2 = 2 ■

(ехр (д ■ а) ■ 8 - 8 ■ со8(8 ■ а) - д ■ 8т(8 ■ а)) ехр (д ■ а) ■ 2

(-8 + 8 ■ со8(8 ■ а) ■ ехр (д ■ а) - д ■ 8т(8 ■ а) ■ ехр (д ■ а))

(-2 ■ 8 ■ 8т(8 ■ а) ■ 8тк(д ■ а) - 2 ■ д ■ со8(8 ■ а) ■ со8к(д ■ а) + 2

(2 ■ д ■ 8от(8 ■ а) ■ со8к(д ■ а) - 2 ■ 8 ■ со8(8 ■ а) ■ 8тк(д ■ а))

-8 ■ \8 ■ п + д ■ с - д ■ V /

8 ■ (8 ■ п - д ■ с + д ■ V) 2 ■ д ■ (8 ■ п + д ■ 8тк(д ■ а)) 2 ■ д ■ 8 ■ (с - со8к(д ■ а))

С4

-1

-8 ■ с + д ■ п + 8 ■ V 8 ■ с + д ■ п - 8 ■ V 2 ■ д ■ (с - со^к (а ■ д)) _ д ■ 8 ■ (2 ■ с - со8к(д ■ а)) _

-2 ■ д ■ 8 ■ с ■ со8к(д

■ а) - (82 - д2) ■ п ■

д ) ■ п ■ 8тк(д ■ а) + 2 ■ 8 ■ д

Аналитические выражения всех амплитуд динамических реакций таблицы 1 и матриц колебательных форм приведены в [8].

2

8

2

8

8

1

2

с =

2

2

2

д

у

2

2

2

2

системным анализ и его приложения

Формирование матрицы динамических реакций ансамбля элементов (конструкции) в системе разрешающих уравнений динамического равновесия осуществляется путем простого суммирования соответствующих реакций, в процессе совмещения перемещений при ансамблировании элементов.

Таким образом, моделирование стационарных колебательных процессов в деформируемых системах осуществляется при использовании элементов с распределенным характером инерционных параметров, в то же время позволяющих осуществлять гибкую аппроксимацию сложных границ областей и граничных условий, свойственную обычным конечным элементам.

Предлагаемый поход позволил осуществить узловую сшивку решений для систем, включающих кроме бесконечномерных элементов также дискретные массы (рис. 3) , упругие элементы (рис. 4) и твердые тела (рис.5).

Аналитические выражения коэффициентов МДР для дискретных элементов, допускающих параметрическую сшивку, получены следующим образом. Гармонический элемент упруго опертого твёрдого тела предусматривает произвольное расположение упругих опор (рис. 6) относительно главных осей инерции тела. Построение МДР осуществляется при помощи векторов

VI =(^1,У21,Уз1,У41,У51,Уб1),

где Vli = sm¥icosQi; V2i = sm¥ismQi;,

Vli = cos¥i;

V4i = У^ - ZiV2i; V5i = ZiVli - XiVзi;

V6i = XiV2i - У^н;

Qi - углы наклона и разворота 1 - ой опоры, определяющие ее направление в пространстве (рис.7); хъ уъ zi - координаты точки крепления

опоры к телу. Каждая компонента вектора

V определяет величину проекции перемещения

на направление оси опоры с номером 1 точки ее крепления при поочередных единичных перемещениях и поворотах тела относительно осей его главной центральной системы координат. Амплитуды реакций в связях (рис. 7) твёрдого тела представляются в виде МДР:

п

Ят(б X б) = £г^V - М1®2,

1=1

где М - вектор инерционных параметров тела; Ю - частота воздействия; I - единичная матрица

6-го порядка; г - жесткость линейной связи с номером I .

Рис. 3. Динамические реакции в связях упруго опёртой точечной массы: 1,2- номера связей

МДР для сосредоточенной массы и упругой опоры имеют порядок, равный единице, и представлены

2

выражениями г = -шю и г = с соответственно. Матрица динамических реакций для упруго опертой массы ш (рис. 3) имеет вид

Я™ =

с - шю2 - с - с с

где с - жесткость опоры

МДР твердого тела, упруго опертого на деформируемое основание конструкции, получена в виде

Я =

Ят Я

ТК

Я

ТК

Я

где ЯС = .....0, Ятк = Яс • V,

Рис. 4. Декомпозиция системы на дискретные и континуальные элементы

Т

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Рис. 5. Твердое тело на упругих опорах

z ГЕ -fc/*

X

Рис. 6. Углы наклона и разворота продольной оси упругой опоры твердого тела, 1 - направление оси опоры

Рис. 7. Нумерация связей, наложенных на перемещения твердого тела

Формирование матрицы динамических реакций ансамбля континуальных и дискретных элементов осуществляется также путем суммирования соответствующих реакций, в процессе совмещения связей при сборке модели.

Вектор V обобщенных узловых перемещений по направлениям связей при заданных вели-

чинах силового воздействия определяется из решения системы уравнений RY = F .

Задание постоянных величин N, Ю приводит к формированию системы линейных уравнений с несимметричной матрицей коэффициентов, имеющей ленточную структуру с переменной длиной строки. Сравнительно небольшие порядки систем разрешающих уравнений делают незначительным выигрыш при использовании переменного параметра длины строки и позволяют ограничиться при определении Y приемами решения систем линейных уравнений с ленточными матрицами. Для этих целей использован алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса с триангуляцией ленточной матрицы постоянной ширины ленты.

Алгоритм моделирования процессов динамического взаимодействия грохота с дискретно-континуальной системой реализован в виде программного комплекса "РОСТВЕРК".

Наряду с использованием принципа формирования узловых эффектов в изгибаемых балках в решении задач виброзащиты целесообразно использовать методы параметрической оптимизации, поскольку многовариантность координат формирования узловых точек ставит задачу выбора с использованием дополнительных условий функционирования системы.

На основе рассмотренной методики динамического анализа дискретно-континуальных систем был разработан алгоритм оптимизации этих систем, использующий численные методы нелинейного математического программирования (НМП). Приведём математическую постановку задачи оптимизации Найти

min f(x), xeEn, (9)

при ограничениях

g,(x) < 0, j = 1,2...m;

öjv , j (10)

xL <x <xU, i = 1,2...n. Здесь x - вектор варьируемых параметров. Варьируются, как правило, геометрические и физические параметры системы. Рассмотрим случай, когда дискретно-континуальная система представляет собой балочный ростверк, включающий схему главных и второстепенных железобетонных балок, которые уложены с определённым шагом. На балки установлены точечные упруго опёртые массы. Будем считать, что принято несколько типов сечений балок (рис. 8). Тогда в качестве варьируемых параметров примем:

а) жесткости балок EJi , где j=1,k ( k- число типов сечений);

системный анализ и его приложения

б) в)

присоеди-

величины присоединенных масс; жесткости упругих элементов, няющих массы;

координаты присоединенных масс. Целевая функция Дх) представляет собой суммарное значение амплитуд узловых перемещений

г)

ОД =

где п - число дискретных степеней свободы системы.

Ограничения накладываются на статические и динамические напряжения и перемещения, Кроме того, имеют место параметрические ограничения на величины жесткостей и масс.

В алгоритме НМП реализованы методы решения условно-экстремальных задач, в основе которых лежит принцип сведения их к задаче на безусловный экстремум при помощи функции Ла-гранжа, а также различные ее модификаций.

Рис. 8. Схема балочного ростверка

Используются две модификации функции Лагранжа - функции Бр и функция Бт. Подробное описание этих функций приводится в статьях

[9,10].

Приведем блок-схему алгоритма оптимизации дискретно-континуальных динамических систем (рис.9)

Рис. 9. Блок-схема алгоритма оптимального проектирования балочного ростверка

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Алгоритм решения задачи оптимизации (9), (10) реализован в виде пакета программ КМРЛСК. Здесь предполагается использование нескольких методов условной и безусловной минимизации. В процедуре безусловной минимизации модифицированной функции Лагранжа Бр предлагаются поисковые методы, которые можно разделить на две основные группы:

1. Прямые методы (метод случайного поиска, метод деформируемого многогранника, метод покоординатного спуска);

2. Градиентные методы (метод наискорейшего спуска, метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона)

Интервал изменения варьируемых параметров может быть как непрерывным, так и дискретным. Любой параметр может быть фиксирован.

Уже отмечалось, что использование дискретно-континуальной динамической модели позволяет существенно сократить размерность задачи динамического анализа, что весьма важно при выполнении процедуры оптимизации, так как алгоритм НМП предполагает многократное обращение к задаче анализа. Алгоритм оптимизации в такой постановке позволяет вычислять динамические реакции системы напрямую (без построения аппроксимаций целевой и ограничительных функций на итерациях), что в свою очередь повышает устойчивость этого алгоритма.

В процессе решения задачи оптимального проектирования производится самонастройка на тот или иной метод в зависимости от типа минимизируемой функцию на конкретном этапе поиска. Использование прямых методов поиска позволяет работать с функциями сложного очертания, когда вычисление производных затруднительно (или не возможно). Градиентные методы первого порядка дают хорошую сходимость для гладких дифференцируемых функций. Градиентные методы второго порядка дают высокую скорость сходимости и позволяют получать решения высокой точности. Эти методы используются на последних итерациях, когда уже установлено множество ак-

тивных ограничений и минимизируемая функция выпукла по всем переменным. Таким образом, эффективность алгоритма заключается в его надежности, широкой области сходимости, высокой точности вычислений.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Справочник по динамике сооружений / под. ред, Коренева Б. Г., Рабиновича И. М. М. : Стройиздат, 1972. 512 с.

2. Борджес Д. Ф., Равара А. Проектирование железобетонных конструкций для сейсмических районов. М. : Стройиздат,1978. 135 с.

3. Ивович В. А., Онищенко В. Я. Защита от вибрации в машиностроении. М. : Машиностроение, 1990. 272 с.

4. Пат. 1790704, СССР. Способ виброизоляци / Соболев В.И., Данзанов Е. Ю, Елисеев С.В. 22.09.1992.

5. Колоушек В. Динамика строительных конструкций. М. : Стройиздат, 1965. 632 с.

6. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М. : Стройиздат, 1979. 319 с.

7. Вайсберг В. А. Проектирование и расчет вибрационных грохотов. М. : Недра, 1986. 144 с.

8. Соболев В. И. Дискретно-континуальные динамические системы и виброизоляция промышленных грохотов. Иркутск : ИрГТУ, 2002. 202 с.

9. Дмитриева Т. Л. Алгоритм решения задач оптимизации конструкций, использующий метод подвижного внешнего штрафа первого и второго порядка : материалы Пятой науч.-техн. конф. училища. Иркутск : ИВВАЙУ, 1988. С. 82-86.

10. Дмитриева Т. Л. Алгоритм нелинейного математического программирования, использующий две модифицированные функции Ла-гранжа // Математика, ее приложения и математическое образование : материалы III Все-рос. конф. с междунар. участием. Улан-Удэ, 2008. С.124-131.