CC BY
24
УДК 621.07.29
ФОРМАЛИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ИЗГИБАЕМЫХ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С РАЗНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
© В.И. Соболев1, В.В. Семёнов2
Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Изложена методика моделирования стационарных изгибных гармонических колебаний стержневых систем с распределенными инерционными параметрами в приложении к вибрациям конструкций каркасных зданий, содержащих элементы с разнородными граничными условиями. Полученные аналитические результаты в виде матриц амплитуд динамических реакций и матриц вынужденных колебательных форм позволяют исключить процедуры дискретизации инерционных параметров в условиях гибкой аппроксимации сложных границ областей и разнородных узловых соединений элементов конструкций.
Ключевые слова: гармонические элементы; динамическая податливость; виброизоляция; гармоники; базисные функции.
DYNAMIC PROPERY FORMALIZATION FOR FLEXURAL INFINITE-DIMENSIONAL ELEMENTS WITH INHOMOGENEOUS BOUNDARY CONDITIONS V.I. Sobolev, V.V. Semenov
Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The paper dwells upon a simulation technique of stationary flexural harmonic oscillations of rod systems with distributed inertia parameters as applied to the structural vibrations of the frame buildings containing elements with inhomogeneous boundary conditions. Obtained analytical results in the form of the matrices of dynamic reaction amplitudes and forced oscillation forms allow to exclude the procedures of inertia parameter discretization under conditions of flexible approximation of the complex boundaries of contact and heterogeneous node connections of structural elements. Keywords: harmonic elements; dynamic admittance; vibration damping; harmonics; basis functions.
Моделирование стационарных динамических процессов, основанное на развитии метода динамической податливости [1, 3], позволяет использовать в качестве инерционных величин рассматриваемых систем как распределенные, так и сосредоточенные параметры. При этом сохраняются все свойства дискретных методов, в частности метода конечных элементов, позволяющего осуществлять решение при разнообразных граничных условиях и нерегулярности распределения физических и геометрических параметров. Возможность узловых сшивок решений для элементов различного рода и узловая передача гармонических воздействий позволяют говорить в применении к методу динамических податливостей о некотором аналоге конечных элементов, но, в отличие от классиче-
ских вариантов, специализированных для решения задач динамики и содержащих в качестве параметров частоту воздействия и распределенную массу. С учетом указанных особенностей такие элементы названы гармоническими элементами (ГЭ) [4, 5, 7].
С целью определения функций колебательных форм и построения матриц динамических жесткостей рассмотрим вынужденные изгибные моногармонические колебания с частотой с балки с равномерно распределенной погонной массой р , длиной а, изгибной жесткостью EJ при за-гружении ее постоянной продольной силой N. Представим расчетные схемы с узловыми закреплениями, обеспеченными линейными и узловыми связями под номерами 1, 2, 3, 4 (рис. 1).
1Соболев Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики.
Sobolev Vladimir, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics.
Семёнов Валерий Васильевич, кандидат технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики, тел.: 89025665157.
Semenov Valeriy, Candidate of technical sciences, Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel.: 89025665157.
N
ТТТ ' a)
0
©
0
N—
/0
ло
N—
N—►
N—
б)
в)
N—
д)
©
О
Л0
е)
Рис. 1. Расчетные схемы балок с различными вариантами закреплений;
1, 2,3, 4 - номера связей
Колебания балок, включенных в ансамбль дискретно-континуальных элементов, осуществляются под воздействием сосредоточенных гармонических сил и моментов, приложенных или передающихся в некоторых точках (узлах) балок. При отсутствии межузлового динамического воздействия уравнение динамического равновесия элементарного участка балки в пролете между узлами описывается следующим уравнением [2]:
pVx + EJVxxx - NVXX = 0.
(1)
При заданной частоте внешнего воздействия ю колебательные формы балки однозначно определяются вектором амплитуд узловых гармонических перемещений
у=(у(ади^(^иУ. (2)
в котором компоненты расположены по порядку нумерации соответствующих связей. Вектор у 8тю определяет краевые условия для уравнения (2).
Представим решение уравнения колебания балки в разложении по вынужденным колебательным формам от единичных гармонических перемещений (с единичными амплитудами) связей, обеспечивающих закрепления узлов [4, 5,
7]. Единичное гармоническое перемещение каждой связи с номером / по своему направлению вызывает реакции во всех наложенных связях. Упорядоченные по номерам связей значения этих реакций образуют некоторый вектор Я амплитуд гармонических реакций в связях. Поочередное гармоническое перемещение связей формирует матрицу динамических реакций Я = {Я, Я, Я} или же матрицу динамических реакций Я = {Я, Я, Я, Я} в зависимости от количества динамических связей в узлах элемента (рис. 1).
Положительными считаются реактивный момент, направленный по часовой стрелке, и сила, действующая в положительном направлении оси У (рис. 2).
Для определения коэффициентов матрицы Я и функции амплитуд У (х) вынужденных колебаний балки подставим искомое решение вида ¥(х) = У(х)8т(ю*) в уравнение (1). Сократив полученное
уравнение на 8т(|ю), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:
Y(()x) —
NY (2)( x ) EJ
—Y ( x ) ^ = 0. EJ
(3)
Y
a
X
г)
X
X
X
///////
Рис. 2. Правило знаков реакций в связях
Характеристическое уравнение для выражения (3) имеет вид
М
Определив
N
N 2 — М EJ
со2 р
= 0.
2
М 12 =
2EJ
■ +
N2
4 ( EJ )2
■ +
со2 р
~EJ~
имеем
М = q, где
q =
m = -q, м= ls, м = ~is ■
V
N 2EJ
■ +
У
N2
4 ( EJ )2
■ +
с2 р EJ
s =
N
2EJ
■ +
1
N2
4 ( EJ )2
■ +
со2 р EJ
Общее решение У(х) уравнения (3) может быть представлено в виде линейной комбинации
7(х) = Н{х)С (4)
четырех линейно независимых частных решений, образующих базисную вектор-функцию
Н(х) = (е9*, е-ч*, эт^х), саз^х)),
где С является вектором коэффициентов линейной комбинации (4).
Краевые условия для решения уравнений (2) и (3) могут быть заданы в виде вектора амплитуд перемещений по направлениям связей. При определении У(х) коэффициенты линейных комбинаций фундаментального решения определяются в виде матрицы C путем поочеред-
ного задания единичных амплитуд перемещений по направлениям связей.
Векторы амплитуд единичных перемещений, упорядоченные по номерам связей, образуют матрицу L. Матрицы C и L имеют вид:
C =
ic c11 C12 C ^ c13
С21 C22 C23
C31 C32 C33
C42 C43 J
L =
О О ^
О 1 О
О О 1
vO О О J
Элементы матрицы C определяются из решения систем уравнений:
АС = Ь, (5)
где A - матрица, образованная из базисной
вектор-функции Н(х) следующим образом:
' Н(0)
Нх( х)Х
Н (I)
Н (х) !х= ,
Матрица амплитуд реакций в связях при попеременных единичных гармонических перемещениях связей в порядке их нумерации (матрица гармонических реакций) определяется в виде
Я = -ЮСН, (6)
A =
где H = (HXxx (x) u HXx (x) U Hlx (x) U).
Вектор-столбец Y амплитуд узловых перемещений, соответствующий вектору F амплитуд гармонических воздействий по направлениям связей с частотой ш, определяется из решения системы уравнений:
RY = F или -EJ(A~lLf H = F.
Функция амплитуд перемещений оси балки (функция формы вынужденных колебаний) при заданной узловой форме F силового гармонического воздействия имеет вид
Y (x) = Y1 C H1 (x). (7)
Осуществляемая при этом узловая сшивка решений уравнений динамического состояния конечных элементов, полученных в виде амплитуд гармонических реак-
ций в налагаемых связях, допускает аналитическое (функциональное) представление колебательных форм. Последнее обстоятельство значительно упрощает процедуры анализа и обобщения результатов решения и позволяет осуществлять нетрадиционные способы виброизоляции, основанные на формировании колебательных форм с заранее заданными свойствами [6]. Метод, использующий свойства колебательных узлов в вынужденных формах колебаний упруго изгибаемых элементов, проиллюстрирован на примере разработки системы виброизоляции промышленных грохотов, расположенных на деформируемых основаниях-конструкциях.
Статья поступила 27.11.2015 г.
Библиографический список
1. Колоушек В. Динамика строительных конструкций. М.: Изд-во литературы по строительству, 1965. 632 с.
2. Крауч С., Старфилд А. Метод граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. 328 с.
3. Применение ЭВМ для расчета многосвязных систем методом динамической жесткости / Э.Л. Ай-рапетов, М.Д. Генкин [и др.] // Решение задач машиноведения на ЭВМ. М.: Наука,1975. С. 42-47.
4. Соболев В.И. Дискретно-континуальные динамические системы и виброизоляция промышленных грохотов. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2002. 202 с.
5. Соболев В.И. Дискретно-континуальные модели в задачах виброзащиты деформируемых систем // Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов: труды XVIII Международной конференции. СПб.: НИИХ СпбГУ, 2000. Т. 3. 5 с.
6. Соболев В.И. Колебательные формы и узлы в задачах виброизоляции технологического оборудования // Вестник ИрГТУ. 2003. № 2 (14). С. 89-92.
7. Соболев В.И. Метод гармонического элемента и дискретно-континуальные динамические модели // Вестник ИрГТУ. 2003. № 1 (13). С. 124-129.
УДК 621.923.1
ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ ПОДАЧИ ПРИ МАЯТНИКОВОМ ШЛИФОВАНИИ ДЕТАЛЕЙ ИЗ АЛЮМИНИЕВОГО СПЛАВА В95очT2 НА МИКРОРЕЛЬЕФ ПОВЕРХНОСТИ
© Я.И. Солер1, Нгуен Чи Киен2
Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Высокопрочный сплав В95очТ2 широко используются в летательных аппаратах для деталей, испытывающих знакопеременные нагрузки. К ним предъявляются высокие требования по шероховатости их поверхностей. Стохастический характер абразивной обработки высокопористыми кругами Norton 39C46K12VP, а также нарушение гомоскедастичности и нормальности распределений наблюдений шероховатости обусловили привлечение непараметрического метода их анализа. Это позволило охарактеризовать шероховатости мерами положения (медианами) и рассеяния (квартильными широтами) и обосновать величину поперечной подачи с учетом служебного назначения детали.
1
Солер Яков Иосифович, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения, тел.: (3952) 405459, e-mail: solera@istu.irk.ru
Soler Yakov, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Mechanical Engineering Technology, tel.: (3952) 405459, e-mail: solera@istu.irk.ru
2Нгуен Чи Киен, аспирант, тел.: 89245357666, e-mail: chikien89irk@gmail.com Nguyen Chi Kien, Postgraduate, tel.: 89245357666 e-mail: chikien89irk@gmail.com
