Прогнозирование значений переменных физических величин на основе полинома Лагранжа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис. 3. График распределения показаний датчиков давления

Рис. 4. Значения показаний датчиков в каждой точке

Предложенная модель обнаружения местоположения течи может быть применена при разработке систем мониторинга трубопровода, которые помогут вовремя выявить наличие опасных течей во втором контуре реактора.

О.Н. Пьявченко, Е.В.Удод

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРЕМЕННЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВЕ ПОЛИНОМА ЛАГРАНЖА

На практике прогнозирование переменных находит широкое применение в системах автоматического управления, мониторинга, наблюдения фазовых координат различных динамических объектов.

В системах автоматического управления прогноз переменных состояния и состояния динамических объектов позволяет не только улучшить качество управления [1], но и решить проблему создания таких систем [2].

В процессе мониторинга САУ прогноз используется для экстраполяции состояния контролируемой системы [3]. При этом обеспечивается оперативная оценка работоспособности как составных частей, так САУ в целом. Это позволяет либо компьютерам, либо операторам принимать своевременные решения по ликвида-

ции возникающих нарушений (нештатных ситуаций) и устранению их последствий.

В системах наблюдения движения объектов экстраполяция лежит в основе компенсации погрешности по фазе и определения положения объекта не только в текущий момент времени, но и с опережением на задаваемый период прогноза.

Методы прогноза отличаются разнообразием и зависят от характеристик объектов, применяемых алгоритмов управления, мониторинга и наблюдения.

В настоящей работе рассмотрим возможность использования прогноза измеряемых физических величин в интеллектуальных датчиках-измерителях сигналов физических величин [4]. При этом ограничимся выбором формул экстраполя-

ции значений переменных на основе полинома Лагранжа [5].

Предположим, что на интервале работы ИДИС [га г,] для функции /(г') известны ее максимальное значение

/шах = тах/(г) (1)

и максимальное значение ее производной

/Шах = шах/'(г)- (2)

Для множества отстоящих на шаг Ь значений независимой переменной

^ = гя + И, а=0,1,...,1) (3)

известны значения функции

I = 1(1), 0=0,1,...,1). (4)

Необходимо рассчитать значение функции/(I) вне интервала [1о,г$ в момент времени

*

Ч = Ч + нэ , (5)

находящийся на расстоянии шага экстраполяции

Иэ = к ■ И, (6)

где к - количество шагов И.

Для вычисления / = / (Ч ) воспользуемся формулами экстраполяции значения функции на к шагов

г

!(-+к) X СУ ■ /( + ( У - г )к )’

У=0

с. = (г +1)!(-1)-У- 1

У (г +1 - } )!

(7)

модернизировав формулы экстраполяции на шаг [5].

*

Погрешность вычисления экстраполированного значения функции +к)

определяется выбором степени г шага Иэ (6) и составляет

4+кн) = (кк)г+1 ■ /[г+1 ](Х), X е 14 -гк, Ч ]. (8)

Частные формулы экстраполяции приведены в табл. 1.

Таблица 1

Частные формулы экстраполяции значений переменных на k шагов

г Формулы экстраполяции значений переменных Погрешности формул

1 /(г+к) = 2/ - /(Щ II ^ 5 ^ * І ш со ^

2 / (г+к) = - !о-к}) + 1(-2к) 'П N 7 з ^ * І ш со ^

3 / (г+к) = 4/ - 6/(г-к) + 4 /(г-2к) - !(г~3к) ^ а* N 7 з ^ * І ш со ^

4 /(г+к) = 5/г - 10/(;_к) + 10/(г-2к) - 5/(г-3к) + /(^к) ‘о ч ч~ ^ II - 5 £ * І Ш со ^

Среди формул экстраполяции нужно выбрать формулу с минимальным значением степени г, у которой погрешность экстраполяции

*

е( + кк) £е , (9)

где е - заданная предельно допустимая погрешность.

Заменим неравенство (9) неравенством отношений

> 1. (10)

е(і+кк )

После подстановки в (10) выражения погрешности экстраполяции (8) и логарифмирования получим

1^—ТГ+Т + к—П+ТПТ > ^ . (11)

(ккГ1 1[г ](Х) е

Проведя преобразования, найдем

^1 - к—п+тгт-

г >—------1—----Х-1. (12)

*кн

Для выбора формулы экстраполяции должны быть заданы шаг вычислений ^ количество шагов ^ на которое осуществляется экстраполяция, (Ь+1)-я производная функции ОД и предельно допустимая погрешность экстраполяции е.

Значения шагов вычислений h выберем равными 0,001 с и 0,01 с, исходя из того, что время цикла на нижнем уровне в системах АСУТП на базе PROFIBUS не больше 10 мс [6]. Для расчётов воспользуемся функцией / = е на интервале от

е

1тт = 0 с до 1„шх = 0,5 с. Максимальное значение /тах = е0,5 = 1,649 и производной /т ах = 1,649. Зададим время экстраполяции равным Тэк = 0,05 с и Тэк =0,1 с. Соответственно, для к = 0,001 с - к = 50 и к = 100, а для к = 0,01 с - к = 5 и к = 10.

Будем считать, что методическая погрешность на выходе блока экстраполяции должна быть не больше погрешности интеллектуального датчика давления. Современные интеллектуальные датчики давления имеют относительную погрешность ^еи.д=0,1% [7]. С учётом этого выберем

8е = 0,5 8еид = 0,05% и соответственно е = (8е ■ /тая)/100 = 0,00083.

Расчёт по формуле (12) минимального значения г при Тэк = 0,05 для к = 0,001 с и к = 0,01 с показал, что для прогноза необходимо использовать формулы экстраполяции степени г > 1,54.

Для того, чтобы оценить формируемые при экстраполяции погрешности, воспользуемся их аналитическими расчётами по формуле (1.8) и компьютерным моделированием экстраполяции по формулам, приведённым в табл. 1, в математической системе МА^АВ. При этом на первоначальное накопление информации отведём при г = 1 к шагов к, при г = 2 2к шагов к, при г = 3 3к шагов Ь.

Значения функции / = е1 и её экстраполяции квадратичным способом (при Ь = 0,01с и к = 5) показаны на рис. 1.

1.5923

1.5922 X / . ' ' ^

1.5921

1.592 у/

- 1.5919 У

1 5918 ■ .у' / - У

1.5917 ■ ■

1 5916 1.5915 ;

1 5914 У* , , , , , ■

0.4647 0.4648 0.4Є49 0.465^ 0.4651 0 4652

Участок накопления-итіформации для экстраполяции

~ Функция е* ■ Экстраполированная функция

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Время I

Рис. 1. Функция е и её экстраполяция квадратичным способом при Тэк = 0,05с для к = 0,01 с

Относительная погрешность экстраполяции квадратичным способом приведена на рис. 2.

с 10.5 - «

с *

а. х

£ 10 - *

о х

X х

3 X

О)

а. х

О 9 5 - ,

к х

X

-С к

С „

а? х

0 9 " х *

1 *

О х и

8.5 - и

8----------1---------1--------1---------1---------1--------1----------1---------1

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Время 1

Рис. 2. Относительная погрешность экстраполяции квадратичным способом функции е при Тэк = 0,05с для к = 0,01 с

Полученные в результате расчётов по формуле (12) и компьютерного моделирования методические погрешности экстраполяции приведены в табл. 2.

Таблица 2

Теоретические и компьютерные методические погрешности экстраполяции

Погрешности Способ экстраполяции Теоретическая абсолютная погрешность Теоретическая относительная погрешность % Абсолютная погрешность, полученная в результате моделирования Относительная погрешность, полученная в результате моделирования %

Линейная экстраполяция 0,00412 0,25 0,00377 0,23

Квадратичная экстраполяция 0,00021 0,013 0,000182 0,011

Кубическая экстраполяция 0,0000103 0,000625 0,00000887 0,000539

Из таблицы следует, что при выборе г =2, 3 условие (9) выполняется с запасом при заданном значении е = 0,00083.

В результате расчёта по формуле (12) минимального значения г при Тэк = 0,1с для к = 0,01 с получим, что необходимо использовать формулы экстраполяции степени г > 2,297.

Значения функции / = е1 и её экстраполяции кубическим способом при Ь = 0,01 показаны на рис. 3.

О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Время I

Рис. 3. Функция и её экстраполяция кубическим способом при Тэк =0,1с для к = 0,01 с

Относительная погрешность экстраполяции кубическим способом приведена на рис. 4.

Время 1

Рис. 4. Относительная погрешность экстраполяции кубическим способом функции е1 при Тэк =0,1с для к = 0,01 с

Результаты расчётов по формуле (12) и компьютерного моделирования методических погрешностей экстраполяции сведены в табл. 3.

Т аблица З

Теоретические и компьютерные методические погрешности экстраполяции

Погрешности Способ экстраполяции Теоретическая абсолютная погрешность Теоретическая относительная погрешность % Абсолютная погрешность, полученная в результате моделирования Относительная погрешность, полученная в результате моделирования %

Линейная экстраполяция G,G 165 1 0,0147 0,888

Квадратичная экстраполяция G,GG16 G,1 0,00138 0,837

Кубическая экстраполяция G,GGG165 G,G1 0,00013 0,0079

Из таблицы видно, что при £=0,00083 условие (9) выполняется при выборе формулы экстраполяции степени г = 3.

Из результатов исследований следует:

• для прогноза физических величин в интеллектуальных датчиках - измерителях сигналов могут быть использованы формулы экстраполяции на основе полинома Лагранжа;

• возможен прогноз с приемлемой точностью на временные интервалы в 5 - 10 раз превышающие максимальное время цикла на нижнем уровне в АСУТП;

• при прогнозировании предпочтение следует отдавать более точным формулам квадратичной (г = 2) и кубической (г = 3) экстраполяции.

Окончательное заключение может быть получено после исследования трансформированной и инструментальной погрешностей формул экстраполяции.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гайдук А.Р. Алгебраические методы анализа и синтеза систем автоматического управления. - Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ.

2. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. -232 с.

3. Дмитриев А.К., Мальцев П.А. Основы теории построения и контроля сложных систем. -Л.: Энергоатомиздат, 1988. -192 с.

4. Пьявченко О.Н. Локальные интеллектуальные микрокомпьютерные измерительные системы // Известия ТРТУ. Специальный выпуск. Материалы XLIX научно-технической и научно-методической конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ. -Таганрог: Изд-во ТРТУ. 2004. №1(36). -С. 38-42.

5. Пьявченко О.Н. Конечно-разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений в микрокомпьютерах. - Таганрог: ТРТУ, 2000. - 96с.

6. Кругляк К. Промышленные сети: цели и средства// СТА. 2002. №4. - С.6-10.

7. Интеллектуальные датчики давления ST 300 серии 100 и серии 900// www.honevwell.ru/product/page 3_2_7.shtm