Алгоритм оценки и прогнозирования поведения переменной состояния объекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.Б. Клевцова

АЛГОРИТМ ОЦЕНКИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА

Предположим, что фиксированные значения переменной состояния объекта (ПСО), поступающие на обработку, представляют собой точки гладкой кривой, которой можно интерполировать выходной сигнал, например, с датчика давления. Разброс значений ПСО минимален.

Значения давления фиксируются в заданные моменты времени через фиксированный временной интервал Д1

Таким образом, имеется массив значений ПСО 5), зафиксированных в моменты времени ^.

Задача заключается в получении прогнозного значения ПСО в момент времени t > Ъ, например в t = ^+ь т.е. t= Ъ+Д^ а также оценке характера изменения ПСО в последующие моменты времени. Эти данные используются при оценке и прогнозировании поведения ПСО.

Пусть ПСО меняется в заданном диапазоне значений (5тт, 5тах). Выход ПСО за пределы этих значений считается аварийной ситуацией.

Для предотвращения аварийной ситуации необходимо прогнозировать поведение ПСО, чтобы в случае опасной ситуации предпринять соответствующие ситуации меры по ее разрешению.

Процесс изменения состояния контролируемого объекта характеризуется инерционностью. Временной промежуток Дt между фиксацией опасной ситуации и изменением состояния объекта, например началом снижения давления (если оно было высоким), определяется временем срабатывания автоматики на объекте, а также инерционностью самой среды, давление в которой измеряется.

Таким образом, предупреждение о возможной аварийной ситуации должно поступить раньше ее наступления за Дt = Д^.

С этой целью следует в диапазоне значений (5тш, 5тах) выделить интервал (5шп о, £тах о) такой, что

Ашт о Атт? Атах о Атах.

Если известна максимальная скорость изменения ПСО У^ах, то ширину этого интервала можно определить как

Д£>= Убпах*Д^

и, следовательно,

, < Д£>,

Атах. Атах о •

5 - 5 ■

Атт о Атт -

Шаг Д^ с которым снимается информация, должен быть таким, чтобы за один шаг до границы 5тах о можно было получить прогнозное значение ПСО. Тогда Дt < Д^.

При фиксации значения ПСО

5е[(£тах о, 5тах); 5тт о, 5тт)]

оператор или автоматика должны принимать экстренные меры по снижению или повышению величины ПСО вплоть до остановки объекта. Это опасная ситуация, которую по возможности необходимо предотвращать. Поэтому зоне изменения ПСО (1), которую назовем зоной опасности, должна предшествовать зона прогнозирования, достаточная для регулирования ПСО в обычном, не экстренном режи-

ме. В этой зоне необходимо осуществлять прогнозирование изменения ПСО. Ширина этой зоны должна быть значительно больше А£,.

Минимальное значение зоны прогнозирования определяется шагом временной дискретизации отсчетов, количеством этих отсчетов, необходимых для проведения прогноза, скоростью Vfmax, дальностью прогноза, т.е. ее величина не менее

Мп > (П+1) • Vfmax • Аt

Аt < А^,

где п - количество отсчетов, необходимых для прогнозирования; 1 - длительность прогноза в шагах дискретизации; Аt - шаг дискретизации.

Тогда внутренние границы зоны прогнозирования определяются следующим образом:

^пах п ^пах о — Аfп,

^шп п ^пт о + А^?п.

Оставшаяся часть допустимой зоны изменения ПСО на объекте является зоной стабильного изменения ПСО, где не требуется осуществлять прогноз.

Последовательность этапов оценки и прогнозирования ПСО может выглядеть следующим образом:

1. Идентификация текущего положения ПСО.

2. Оценка текущего состояния ПСО.

3. Определение необходимости прогнозирования.

4. Прогнозирование ПСО, если определена необходимость этой процедуры.

5. Идентификация прогнозного значения ПСО.

6. Оценка прогнозного состояния ПСО.

Идентификация текущего положения ПСО

На рис. 1 представлены возможные зоны изменения ПСО.

Запретная зона

(Зз)

Зона опасности (Зо)

Зона предупреждения (Зп)

Зона безопасности

(36)

Зона предупреждения (зп)

Зона опасности (Зо)

Запретная зона

(Зз)

Рис. 1. Зоны изменения переменной состояния объекта Пусть имеется текущее значение ПСО £.

Тогда текущее положение ПСО определяется следующим образом.

Если ^ < ^пах п , £ > ^пт п, то ^ Зб.

Если выполняются неравенства £ > п, £ < fmax о или £ < fmin п, £ > fmin о, то £ е Зп.

Если выполняются неравенства £ > fmax о, £ < fmax, или f1 < fmin о, f1 >fmin , то £

е Зо.

Если выполняются неравенства £ > £лах или f1 < fmin, то £ е Зз.

Оценка текущего состояния ПСО

Введем следующие значения качественной оценки текущего состояния

ПСО:

- нет изменений ® А;

- возможны изменения ® А0;

- убывание равномерное ® В1;

- рост равномерный ® А1;

- убывание с ускорением ® В2;

- рост с ускорением ® А2;

- убывание с замедлением ® В-2;

- рост с замедлением ® А-2;

- неустойчивое состояние ® А .

Будем рассматривать три значения ПСО 5, £-а, £-2а, где fl=f(tl);

£-а=Д£-аА£);

£-2а=££-2аА£);

Аt - шаг изменения по £ а - фиксированное целое число, а > 1.

Введем переменную С0= Соф > 0 определяемую ошибкой измерения и последующего вычисления ПСО, а также самим значением переменной £

Введем величину Б0, определяющую погрешность разности

А£ = £-ка - £- (к-1)а.

Тогда алгоритм оценки текущего состояния ПСО выглядит следующим образом.

Находим разности:

А£) = £ - £-а,

А£ = £-а - fl-2a.

Определяем, верны или не верны результаты неравенств:

01 = |аю1< с$),

02 = |А£ |< Co(fl-a),

Оз = 11а£, | - |А£ ||< 00,

04 =А£> 0,

05 =А£> 0,

Об = |аю | >|а£ |.

Результатом оценки является 1 - если неравенство верно, 0 - если не верно.

Далее по совокупности выполнения условий определяем состояние ПСО. Если Оі = 1. &. О2 = 1, то состояние А.

Если (О1 = 1. &. О2 = 0) . V . (О1 = 0. &. О2 = 1) , то состояние А0.

Если О1 = 0. &. О2 = 0 . & . Оз =1 , то возможны состояния А1, В1, А .

Тогда необходима проверка:

если О4= 1. &. О5 = 1, то состояние А1;

если О4 = 0. &. О5 = 0, то состояние В1;

если (О4= 1. &. О5 = 0) . V . (О4= 0. &. О5 = 1), то состояние А ;

если О1 = 0. &. О2 = 0 . & . О3 =0, то возможны состояния А2, А-2, В2, В-2, А .

Тогда необходима проверка:

если О4= 1. &. О5 = 1 . & . О6 =1, то состояние А2;

если О4 = 0. &. О5 = 0 . & . О6 =1, то состояние В2;

если О4 = 1. &. О5 = 1 . & . О6 =0, то состояние А-2;

если О4 = 0. &. О5 = 0 . & . О6 =0, то состояние В-2;

если любой другой вариант, то состояние А.

Структурная схема алгоритма оценки текущего состояния ПСО представлена на рис. 2.

Конец

Рис. 2. Структурная схема алгоритма оценки текущего состояния ПСО

Определение необходимости прогнозирования

Прогнозирование проводится, если текущее значение ПСО £ находится вне зоны безопасности, т.е., если £ - С0 > 5^ п или £+С0< £пт п. На рис. 3 показаны уровни начала прогнозирования.

Прогнозирование ПСО, если определена необходимость этой процедуры

Экстраполяцию на к шагов будем осуществлять, используя формулы интерполяционного многочлена Лагранжа.

Зона безопасности

-т

Рис. 3. Уровни начала прогнозирования

Будем использовать многочлен 2-й степени и соответственно значения переменной в точках 1Ъ 11-к, 11-2к, где 1 - текущая точка;

Ъ-к = 11 - кД1;

1-2к = 11 - 2кД1.

Тогда прогнозное значение переменной в точке 11+к = 11 + кД1, будет равно

С = 3^ - Г£-к) + ^1-2к . (1)

Погрешность прогноза можно оценить по формуле

А о

Х1+к = (кД1)^'"(X), где х £ [ 11 - 2кД1, 11] . (2)

Проблема оценки Х*+к заключается в оценке f '"(X).

Для проведения оценки f '"(X) воспользуемся формулами производных высокого порядка для полинома Лагранжа [1,2]:

5^ - Ж: , + 24fj 2 - 14fj 3 + 3^ 4

Г'(1:) = ^--------------------------------------------------^^^ . (3)

2Д13

Поскольку X лежит в интервале [ 11 - 2кД1, 11], то необходимо по формуле (3) рассчитать значения f'"(1;) для ]= 1 - 2к, 1.

Величину

Ср=та4 "(1р}.=1-2к (4)

}

можно использовать при оценке погрешности прогноза ПСО по формуле (2).

Тогда

И« "2

Х(1+к)„р = '(X). (5)

Пошаговый алгоритм прогнозирования ПСО может быть представлен следующим образом.

1. Рассматриваются значения ПСО в точках 11, 1^, 11-2к, т.е. 5, £-к, £-2к, где к - интервал экстраполяции.

2. Прогноз значения ПСО осуществляется в точке 11+к = 11 + кД1.

3. Прогнозное значение ПСО определяется в точке 11+к по формуле (1).

4. Вычисляется множество значений f'"(1;) в точках ]=1 - 2к,1 на основе

значений ПСО в точках (18}=1 -2к-4 по формуле (3).

5. Вычисляется ^,ир по формуле (4).

6. Определяется ошибка прогноза по формуле (5).

7. Определяем интервал возможных значений прогноза ПСО в 11+к

* I * * * I

^+кист. £ ?1+к - x(1+к)5ир ;А+к + X(1+к)5и^.

Идентификация прогнозного значения ПСО В идентификации участвуют два значения прогноза ПСО:

* *

%+к)т1п = ^+к -X(1+к)5ир ,

* *

%+к)тах = fl+к + ^1+к)5ир .

Идентификация проводится так же как, на первом этапе.

В результате получаем две оценки. Из двух оценок выбираем худшую. Например, были получены следующие оценки:

^+к)т1п £ ЗБ ,

^+к)тах £ ЗП .

В результате считаем, что

fГ+ к £ ЗП.

В качестве прогнозного значения ПСО берем то значение из пары

!* * I

%+к)т1п ,f(1+к)тах I которое дало худшую °ценку ПСО.

*

Обозначим это значение как ^+кпр.

Оценка прогнозного состояния ПСО

Для оценки прогнозного состояния ПСО берутся три временных точки * *

11-к, 11, 11+к , в которых ПСО имеет следующие значения: 4 fl+k пр .

Оценка прогнозного состояния ПСО осуществляется аналогично 5 этапу. Простота и низкая вычислительная сложность предложенного алгоритма позволяет реализовать оценку и прогнозирование поведения переменной состояния объекта на нижнем уровне распределенной микрокомпьютерной системы мониторинга, что обеспечивает высокую скорость реакции на нештатные ситуации, возникающие на объекте, и возможность принятия действий по их предупреждению.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мэтьюз Дж.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование МЛТЬЛБ. 3-е изд.: Пер. с англ. - М.: Издат. дом "Вильямс", 2001. -720с.

2. Пьявченко О.Н. Многошаговая экстраполяция значений переменных на основе полинома Лагранжа // Известия ТРТУ. Специальный выпуск: Материалы ХЬХ научнотехнической конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ. Таганрог. 2005. №9(53). С.31-35.

О.Н. Пьявченко, Е.В. Удод ОЦЕНКА СУММАРНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ФОРМУЛ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ, ПОСТРОЕННЫХ НА ОСНОВЕ ПОЛИНОМА ЛАГРАНЖА

Прогнозирование переменных на к (к>1) шагов И находит применение в системах автоматического управления, мониторинга, наблюдения фазовых координат различных динамических объектов. Оно необходимо, как минимум:

1) для определения используемых в вычислениях значений переменных, не известных в данный момент времени;

2) для компенсации погрешности, порождаемой сдвигом по времени формирования результатов обработки показаний датчиков;

3) для прогноза состояний процессов мониторинга, диагностики и управления.

Для многошаговой экстраполяции значений переменных могут использоваться два типа формул [1], построенных на основе полинома Лагранжа степени г (г = 1,2,3) с равноотстоящими узлами. В настоящей работе исследуются погрешности этих формул многошаговой экстраполяции и определяются условия их применения для прогноза измеряемых физических величин в интеллектуальных датчиках [2].

Формулы многошаговой экстраполяции значений переменных первого типа строятся на основе полинома Лагранжа, соседние узлы которого отстоят на к шагов И (к>1).

Частные формулы первого типа линейной (г=1), квадратичной (г=2) и кубической (г=3) многошаговой экстраполяции и их методические погрешности приведены в табл. 1.

Таблица 1

Формулы первого типа экстраполяции значений переменных на к шагов

г Формулы экстраполяции Погрешности формул

1 А 1(1+к) = 2^ - %-к) т11(1+к) = (kh)2f[2](X), ^ [х1-к,х1]

2 А2(1+к) = 3№ - %-к)) + %-2к) т*2(1+к) = (kh)3f[3](X), x £ [х1-2к,х1]

3 * Аэ(1+к) = 4^ - 6%-к) + 4 %-2к) - %-3к) т*3(1+к) = (kh)4f[4](X), ^ [х1-3к,х1]

Формулы экстраполяции второго типа на к шагов И строятся на основе полинома Лагранжа, соседние узлы которого отстоят только на шаг И.

Частные формулы второго типа линейной, квадратичной и кубической многошаговой экстраполяции (к = 5, 10) и их методические погрешности представлены в табл. 2.