Оценка суммарной погрешности формул прогнозирования переменных, построенных на основе полинома Лагранжа Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мэтьюз Дж.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. 3-е изд.: Пер. с англ. - М.: Издат. дом "Вильямс", 2001. -720с.

2. Пьявченко О.Н. Многошаговая экстраполяция значений переменных на основе полинома Лагранжа // Известия ТРТУ. Специальный выпуск: Материалы XLX научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ. Таганрог. 2005. №9(53). С.31-35.

О.Н. Пьявченко, Е.В. Удод

ОЦЕНКА СУММАРНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ФОРМУЛ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ, ПОСТРОЕННЫХ НА ОСНОВЕ ПОЛИНОМА ЛАГРАНЖА

Прогнозирование переменных на к (к>1) шагов И находит применение в системах автоматического управления, мониторинга, наблюдения фазовых координат различных динамических объектов. Оно необходимо, как минимум:

1) для определения используемых в вычислениях значений переменных, не известных в данный момент времени;

2) для компенсации погрешности, порождаемой сдвигом по времени формирования результатов обработки показаний датчиков;

3) для прогноза состояний процессов мониторинга, диагностики и управления.

Для многошаговой экстраполяции значений переменных могут использоваться два типа формул [1], построенных на основе полинома Лагранжа степени г (г = 1,2,3) с равноотстоящими узлами. В настоящей работе исследуются погрешности этих формул многошаговой экстраполяции и определяются условия их применения для прогноза измеряемых физических величин в интеллектуальных датчиках [2].

Формулы многошаговой экстраполяции значений переменных первого типа строятся на основе полинома Лагранжа, соседние узлы которого отстоят на к шагов И (к>1).

Частные формулы первого типа линейной (г=1), квадратичной (г=2) и кубической (г=3) многошаговой экстраполяции и их методические погрешности приведены в табл. 1.

Таблица 1

Формулы первого типа экстраполяции значений переменных на к шагов

г Формулы экстраполяции Погрешности формул

1 А 1(1+к) = - %-к) т*1(1+к) = (кЬ)¥2](Х), Хе [^-к,^]

2 ^2(1+к) = 3№ - %-к)) + %-2к) М-12(1+к) = (кЬ)¥3](Х), Хе [х>-2к,х>]

3 * ^3(1+к) = - 6^_к) + 4%-2к) - %-3к) т*3(1+к) = (кЬ)¥4](Х), Хе [х1-3к,х1]

Формулы экстраполяции второго типа на к шагов И строятся на основе полинома Лагранжа, соседние узлы которого отстоят только на шаг И.

Частные формулы второго типа линейной, квадратичной и кубической многошаговой экстраполяции (к = 5, 10) и их методические погрешности представлены в табл. 2.

Таблица 2

Формулы второго типа экстраполяции значений переменных на к шагов

r k Формулы экстраполяции Погрешности формул

1 5 f21(i+5) = 6fi - 5f(i-1) m21(i+5) = 15h2f[2](X), Xe[Xi-5,Xi]

10 f21(i+10) = 11fi - 10f(i-1) m21(i+10) = 55h2f[2](X), Xe[Xi-10,Xi]

2 5 f22(i+5) = 21fi - 35f(i-1) + 15f(i-2) M-22(i+5) = 35h3f[3](X), Xe[Xi-5,Xi]

10 f22(i+10) = 66fi - 120f(i-1) + 55f(i-2) M-22(i+10) = 220h3f-3](X), Xe[Xi-10,Xi]

3 5 f2*3(i+5) = 56fi - 140f(i-1) + 120f(i-2)--35f(i-3) m23(i+5) = 70h¥4]©, Xe[Xi-5,Xi]

10 f2*3(i+10) = 286fi -780f(i-1) + +715f(i-2) - 220f(i-3) m23(i+10) = 715h4f-4](X), Xe[Xi-10,Xi]

Из табл. 1, 2 следует, что при одинаковых интервалах экстраполяции kh формулы второго типа точнее формул первого типа. Причём эти формулы тем точнее, чем выше их степень r. В то же время они сложнее как минимум на одну операцию умножения и содержат более значительные по величине коэффициенты. Последнее обстоятельство приводит к увеличению в экстраполированных значениях переменных f2r(i+k) погрешностей, порождённых погрешностями вычисления операндов f(i-a) (a=0,1,2,3), и их представления в рамках форматов данных

микроконтроллеров.

Поэтому для выяснения возможности использования формул многошаговой экстраполяции (табл. 1, 2) необходимо оценить и сопоставить суммарные погрешности экстраполяции, включающие в себя приведённые относительные методические (5еД трансформированные (5ev) и инструментальные (5ер) погрешности.

Для определения условий применения формул воспользуемся экстраполяцией функции f(t) = e1 при 0 < t < 0,5 с, на k = 5,10 шагов h = 0,01 с. Величина шага h выбрана из тех соображений, что на нижнем уровне АСУТП, построенном на базе PROFIBUS, время цикла работы не превышает 10 мс [3]. Оценка методической погрешности экстраполяции Методические погрешности экстраполяции рассчитывались в результате компьютерного моделирования в системе MATLAB. На начальный участок разгона при экстраполяции по формулам первого типа отводилось rk шагов h, а по формулам второго типа - (r+1) шаг. В качестве примера на рис. 1 приведены графики методических погрешностей формул квадратичной экстраполяции первого и второго типа, наглядно иллюстрирующие более высокие погрешности и более значительные начальные участки у формул первого типа.

Следует отметить, что характер изменения погрешностей формул экстраполяции сохраняется и для r = 1 и r = 3. Таким образом, на данном этапе моделирование подтверждает и иллюстрирует преимущество формул второго типа.

Полученные в результате компьютерного моделирования приведенные относительные методические погрешности экстраполяции по формулам первого и второго типа сведены в табл. 3.

Рис. 1. Приведённые относительные погрешности метода экстраполяции квадратичными формулами первого и второго типа

Таблица 3

Приведённые относительные методические погрешности

г Погрешность метода формул первого типа 5ец11- % Погрешность метода формул второго типа 5ец21- %

k=5, ^=0,05 с k=10, ^=0,1 с k=5, ^=0,05 с k=10, ^=0,1 с

1 0,2 379 0,9 056 0,1 446 0,513

2 0,0 116 0,09 618 0,00 346 0,0 203

3 0,0 005 658 0,008 201 0,0 000 646 0,0 006 523

Из табл. 3 можно сделать вывод, что увеличение степени г на единицу приводит к снижению методической погрешности более чем на порядок для каждого типа формул.

Отношения методических погрешностей формул первого типа (5£^г) к методическим погрешностям формул второго типа (5е^2г) приведены в табл. 4.

Таблица 4

Отношение погрешности метода формул первого и второго типа

Г (5еЦ1г)/ (5£Ц2г) при k=5 (5еЦ1г)/ (5£Ц2г) при k=10

1 1,65 1,77

2 3,35 4,74

3 8,76 12,57

Из табл. 4 можно сделать вывод, что формулы второго типа обеспечивают меньшую погрешность метода экстраполяции.

Оценка трансформированной погрешности экстраполяции Однако, как уже было сказано, для расчёта экстраполированных значений переменных используются содержащие погрешность операнды. В интеллектуальных датчиках их основными источниками являются первичные преобразователи (сенсоры), приведённые относительные погрешности которых составляют порядка

0,1% [2]. Поэтому для оценки трансформированной погрешности представим трансформируемую погрешность в виде синусоиды с амплитудой 0,1% от максимального значения экстраполируемой формулы. Период трансформируемой погрешности Тпогр зададим отношением к интервалу экстраполяции Тэк.

Максимальные значения приведённой относительной трансформированной погрешности экстраполяции линейными формулами первого и второго типа при 0<Тпогр/Тэк<14 представлены на рис. 2.

0 2 4 6

ТпогрГГэк

Рис. 2. Максимальные значения трансформированной погрешности экстраполяции линейными формулами первого и второго типа

На рис. 3 показаны максимальные значения приведённой относительной трансформированной погрешности экстраполяции квадратичными формулами первого и второго типа при 0<Тпогр/Тэк<14.

Тпогр/Тэк

Рис. 3. Максимальные значения трансформированной погрешности экстраполяции квадратичными формулами первого и второго типа

На рис. 4 изображены графики максимальных значений приведённой относительной трансформированной погрешности экстраполяции кубическими формулами первого и второго типа при 0<Тпо1р/Тэк<12.

Рис. 4. Максимальные значения трансформированной погрешности экстраполяции кубическими формулами первого и второго типа

Выделим для различных значений отношения Тпогр/Тэк максимальные значения приведённой относительной погрешности экстраполяции по формулам пер -вого типа (58у1Г) и по формулам второго типа (6ву2г) и сведём их в табл. 5.

Значения трансформированных погрешностей

Таблица 5

г Отношение Тпогр/Тэк

3 5 7 10

6ву1г, % 6ву2г, % 6ву1г, % 6ву2г, % 6ву1г, % 6ву2г, % 6ву1г, % 6ву2г, %

к=5 к=10 к=5 к=10 к=5 к=10 к=5 к=10 к=5 к=10 к=5 к=10 к=5 к=10 к=5 к=10

1 0,26 0,26 0,25 0,24 0,19 0,19 0,17 0,17 0,16 0,16 0,14 0,14 0,13 0,13 0,12 0,12

2 0,53 0,53 0,32 0,28 0,26 0,26 0,15 0,14 0,17 0,16 0,12 0,11 0,12 0,11 0,1 0,1

3 0,95 0,95 0,26 0,19 0,28 0,21 0,1 0,09 0,13 0,13 0,1 0,1 0,1 0,05 0,1 0,1

Из анализа графиков на рис. 2 - 4 и табл. 5 следует:

• в случае, когда период трансформируемой погрешности меньше интервала экстраполяции (Тпогр<Тэк), трансформированные погрешности ведут себя непредсказуемым образом и в основном превышают трансформируемую, причём погрешности формул второго типа больше погрешностей соответствующих формул первого типа;

• при снижении частоты трансформируемой погрешности, трансформированные приведённые относительные погрешности формул обоих типов стабилизируются на интервале 1<Тпогр/Тэк<4, причём в начале интервала они значительно превосходят трансформируемую погрешность и уменьшаются с ростом отношения Т /Т ;

погр эк

• когда отношение Тпогр/Тэк достигает значения 5, кубическая формула второго типа позволяет получить трансформированную погрешность, равную транс-

формируемой погрешности. Остальные формулы не обеспечивают такую точность;

• при отношении Тпогр/Тэк, равном 7, трансформированные погрешности кубической и квадратичной формул второго типа равны трансформируемой погреш -ности, в то время как погрешности остальных формул значительно больше;

• когда отношение Тпогр/Тэк достигает значения 10, квадратичные и кубические формулы первого и второго типа позволяют получить трансформированную погрешность примерно равную трансформируемой.

Таким образом, моделирование показывает, что хотя формулы второго типа обеспечивают более высокую погрешность, когда трансформируемая погрешность имеет относительно высокую частоту (Тпогр/Тэк<1), но дают более точные результаты вплоть до равенства трансформируемой и трансформированной погрешностей при уменьшении этой частоты.

Для более полного представления о рассматриваемых формулах многошаговой экстраполяции необходимо учитывать их инструментальные погрешности, которые порождаются в результате представления операндов ограниченным коли -чеством разрядов.

Оценка инструментальной погрешности экстраполяции

Оценка инструментальной погрешности для формул первого типа проводилась при представлении числовых данных в 16-битном целочисленном формате со знаком и масштабным коэффициентом, равным 214. Оценка инструментальной погрешности для формул второго типа проводилась при представлении числовых данных в 16-битном целочисленном формате со знаком и масштабным коэффициентом, равным 214. Вместо операции умножения использовалось сложение, с оптимизацией последовательности вычислений прогнозируемых значений по фор -мулам второго типа, для использования наибольшего масштабного коэффициента. В качестве эталонных значений взяты вычисленные по соответствующей формуле в 64- битном формате с плавающей точкой экстраполированные значения функции. Для примера на рис. 5 показана инструментальная относительная погрешность экстраполяции при вычислениях в 16-битном формате по формулам первого и второго типа линейным способом для к=5 и к=10.

5 ^ Формулы первого типа (г = 1, к=5)

О Формулы первого типа (г = 1,к=10)

0 03 Ц * Формулы второго типа {г = 1, к=5)

х Формулы второго типа (г = 1, к=10)

0.025

0.02

ш 0.015

0.01

0.005

О Время I

Рис. 5. Инструментальная относительная погрешность экстраполяции при вычислениях в 16-битном формате линейными формулами первого и второго

типа

Следует отметить, что случайный характер изменения инструментальных погрешностей формул экстраполяции для г = 2 и г = 3 сохраняется. Максимальные значения инструментальных погрешностей сведены в табл. 6.

Таблица 6

Значения инструментальных погрешностей

г Инструментальная погрешность формул первого типа при 16-битном формате 8гр1г ,% Инструментальная погрешность формул второго типа при 16-битном формате б£р2г, %

к=5 к=10 к=5 к=10

1 0,00 442 0,004 194 0,01 782 0,03 418

2 0,008 307 0,008 985 0,07 443 0,2 495

3 0,01 647 0,01 732 0,32 1,857

Из табл. 5, 6 видно, что инструментальные погрешности квадратичных и кубических формул второго типа при вычислениях в целочисленном 16-битном формате превышают значения трансформируемой погрешности.

Для снижения инструментальной погрешности формул второго типа воспользуемся 32-битным целочисленным форматом со знаком и масштабным коэффициентом равным 228.

Инструментальные относительные погрешности экстраполяции при вычислениях в 32-битном формате по квадратичным и кубическим формулам второго типа для к=5 и к=10 представлены на рис. 6.

Рис. 6. Инструментальные относительные погрешности экстраполяции при вычислениях в 32-битном формате по квадратичным и кубическим формулам

второго типа

Максимальные значения инструментальных относительных погрешностей экстраполяции при вычислениях в 32-битном формате по линейным, квадратичным и кубическим формулами второго типа сведены в табл. 7.

Таблица 7

Значения инструментальных погрешностей

г Инструментальная погрешнос 32-битном фо ;ть формул второго типа при рмате 5ер2г %

к=5 к=10

1 0,000 001 0,000 002

2 0,0 000 064 0,00 002 183

3 0,00 003 125 0,0 001 796

Из табл. 7 следует, что при использовании 32-битной разрядной сетки формулы второго типа позволяют получить приемлемую величину инструментальной погрешности.

Оценка суммарной погрешности экстраполяции

Относительные суммарные погрешности экстраполяции по формулам первого и второго типа при периодах трансформируемой погрешности, равных пяти и десяти периодам экстраполяции, сведены в табл. 8.

Таблица 8

Суммарные погрешности экстраполяции

г Суммарная погрешность формул первого типа при 16-битном формате ЗбехМг^ Суммарная погрешность формул второго типа при 16-битном формате 5еех1г2г, % Суммарная погрешность формул второго типа при 32-битном формате 5£ех4г2г ,%

к=5 к=10 к=5 к=10 к=5 к=10

1 0,37 232 1,039 794 0,28 242 0,66 718 0,264 601 0,633 002

2 0,139 907 0,215 165 0,17 789 0,3698 0,103 466 0,120 322

3 0,117 036 0,075 521 0,420 065 1,957 652 0,100 096 0,100 832

В завершение подчеркнём, что при выборе для практического применения формул многошаговой экстраполяции следует учитывать граничную частоту трансформируемой погрешности измеряемой переменной. При этом можно рекомендовать:

• если период частоты среза трансформируемой погрешности меньше пяти интервалов экстраполяции, применение формул, как первого, так и второго типа приводит к формированию больших погрешностей и поэтому нецелесообразно;

• если период частоты среза трансформируемой погрешности составляет семь и более интервалов экстраполяции, обосновано применение квадратичной и кубической формул экстраполяции второго типа с операндами, представленными в 32-битном формате;

• при частоте среза трансформированной погрешности, когда её период превышает десять интервалов экстраполяции, предпочтение может быть отдано формулам экстраполяции первого типа, как менее сложным и обеспечивающим близкую точность при реализации операций в 16-битном формате.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пьявченко О.Н. Многошаговая экстраполяция значений переменных на основе полинома Лагранжа // Известия ТРТУ. 2005. №9. С.31-35.

2. Поздняк В. Интеллектуальная революция: вчера, сегодня, завтра // Нефтегаз. 2004.

№4.

3. Кругляк К. Промышленные сети: цели и средства // СТА. 2002. №4. С.6-10.

В.Ф. Гузик, Д.А. Беспалов

ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ДЛЯ ОБРАБОТКИ ВТОРИЧНОЙ ГИДРОАКУСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

Вейвлет-анализ - это сравнительно новое и перспективное направление анализа данных самого разного типа, уже доказавшее эффективность своего применения практически во всех сферах обработки информации: от анализа и прогнозирования экономических трендов до сжатия видеоизображений и звука в реальном времени. Применение вейвлетов при анализе сигналов обусловлено не только наличием отлаженных алгоритмов на программном уровне, но и серийно выпускаемых аппаратных средств, т.е. «вейвлет-процессоров» (например, семейства ADV601 компании Analog Devices, используемых в цифровых видеомагнитофонах для компрессии/декомпрессии видеосигнала высокого качества в реальном времени, или процессоров обработки сигналов SHARC ADSP-2106x).

В рамках сложившейся тенденции наращения вычислительной мощности современных аппаратно-программных средств, применимых для обработки гидроакустических сигналов, были сделаны выводы о возможности применения относительно новой алгоритмической базы вейвлет-преобразования для многомасштабного анализа вторичной гидроакустической обстановки с целью обнаружения «внештатных» объектов на донной поверхности в условиях неопределенности поступающей информации.

Использование вейвлет-анализа в такой ситуации обусловлено явными преимуществами разложения в базисе вейвлет-функций перед классическими рядами Фурье в условиях приближения формы сложного сигнала с высокой точностью, анализа локальных особенностей сигнала (принципиально отсутствующему у рядов Фурье), сжатия, фильтрации и масштабного анализа всего сигнала в целом.

Такие недостатки классического Фурье-преобразования, как невозможность точного восстановления пространственной формы сигнала, «размазывание» локальных особенностей сигналов по частотной оси (т.е. локализовать такие особенности практически невозможно), необходимость точного определения сигнала не только в прошлом, но и в будущем, а также многократно большие трудности преобразования Фурье нестационарных сигналов, существенно ограничивают применение такого классического аппарата при разносторонней обработке информации в рассматриваемой области приложения.

Обработка информации о рельефе дна и расположенных на нем объектах подразумевает комплексную задачу обработки одномерного или двумерного непериодического зашумленного сигнала с целью выявления его «чистой» формы, его геометрических и масштабных характерных особенностей, таких, как пики амплитуды малоразмерных объектов или точные пространственные контуры большого объекта. Следует также учесть, что обнаружение и локализация такого рода особенностей сигналов должна проводиться вне зависимости от дрейфа линии дна (чего не могут делать любые пороговые методы) и на разных масштабах (вследст-