ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ВАРЬИРОВАНИЯ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ПОДРЕЛЬСОВОГО ОСНОВАНИЯ В ОБЛАСТИ СТЫКА Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI 10.52170/1815-9265_2021_59_31 УДК 625.143.42+06

А. Н. Опацких

Прогнозирование зависимости варьирования модуля упругости подрельсового основания в области стыка

Поступила 29.07.2021

Рецензирование 08.10.2021 Принята к печати 11. 10.2021

В работе на основе уравнения колебания рельса последовательно решаются две задачи, связанные с определением прогиба рельса, при этом модуль упругости подрельсового основания является анизотропным. В первом случае рельс представлен как упругая балка под действием постоянной силы с упругим анизотропным основанием. При расчетах модуль упругости основания балки (рельса) нелинейно зависит от прогиба. Решение задачи найдено по малому параметру, характеризующему модель прогнозирования преобразования традиционного модуля упругости, для больших значений с точностью до членов, позволяющих провести анализ прогиба поверхности катания и оптимизировать для дальнейшей минимизации удельное сопротивление подвижного состава, а также энергозатраты при движении пассажирских и грузовых поездов.

Рассмотрен случай, когда рельсовая плеть состоит из трех участков, второй из которых (ослабленный) имеет ограниченную длину с переменным упругим основанием, находящимся под действием постоянной нагрузки, а другие оба участка уходят в бесконечность (первый влево, а третий вправо от оси стыка). Решение также найдено на основе уравнений колебаний рельса с соответствующими граничными условиями. В результате численного анализа установлено, что при обеспечении в ослабленном участке (в области стыка) закономерности изменения модуля упругости анизотропного упругого основания на стыке ось рельсовой нити не испытывает «скачка». В стыке не образуется ступенька, при этом максимальные значения прогиба снижаются на 30-40 %.

Ключевые слова: аналитическое прогнозирование, прогиб рельса, модуль упругости, ослабленный участок, уравнение колебания рельса.

Увеличение скоростей поездов, нагрузок на оси требует совершенствования методов расчета пути. Исследованию расчетов железнодорожного пути на прочность посвящено большое количество работ [1-10]. Точное решение задачи для рельса как балки бесконечной длины известно для случая, когда модуль упругости и статическая нагрузка являются постоянными. Решение рассматриваемой задачи представляет практический интерес для случая нелинейной зависимости модуля упругости от прогиба рельса.

Также известно, что процесс повышенной интеграции пути и подвижного состава в области стыка приводит к интенсивному увеличению остаточных деформаций из-за наличия удара, при котором, как правило, существует ступенька. Аналитическое прогнозирование закономерности варьирования модуля упругости подрельсового основания на ослабленном участке в области стыка, позволяющее обеспечить отсутствие ступеньки, на наш взгляд, является актуальным и представляет практический интерес. Данная работа находится в русле этого актуального направления.

В настоящей статье в целях прогнозирования и оптимизации прогиба приводится расчетная модель для случая анизотропной упругой среды, которая под действием разных факторов становится анизотропной с нелинейной поправкой вдоль оси oy'. Решение найдено по малому параметру в, характеризующему преобразование модуля упругости.

Предложено решение двух задач, связанных с определением прогиба рельса в области стыка. При этом учитывается, что модуль упругости является анизотропным. Полученные данные показывают, что максимальный прогиб рельса в области стыка в рассмотренном случае уменьшается на 30-40 % и ступенька в этой области отсутствует.

Случай 1

Рассмотрим случай, когда рельс представлен балкой, лежащей на анизотропном упругом основании. На балку (рельс) действует постоянная вертикальная сила P (рис. 1), при этом модуль упругости основания балки (рельса) нелинейно зависит от прогиба.

Дифференциальное уравнение колебания рельса в данном случае запишем в виде

Рис. 1. Расчетная схема для случая 1

EJ

dy

dx4

-u( y) y = 0,

(1)

где Е - величина модуля упругости рельсовой стали; J - значение момента инерции балки (рельса); у - величина прогиба балки (рельса); и (у) - величина функции, характеризующей зависимость варьирования модуля упругости подрельсового основания по значению у.

Задаем и (у) в виде нелинейной функции от

У:

п(у ) = U * +5«!»! + 80С,

(2)

Wi U^

где и*,их,Иг, - константы; в = —7 = —=-<1, оц

и и

и а0 - экспериментальные постоянные величины.

Введем следующие обозначения:

у = у+ при х > 0; у = у- при х < 0. (3) С учетом уравнения (1) граничные условия примут вид

Е!^- + иу+= 0, EJ^УГ + иу_= 0; (4) ах ах

= у I , у'А = у'\ = 0,

' + 1х=0 1х=0 ' ■?+ 1х=0 1х=0 '

II I I Р

у" = у" у'" - у'" = — (5)

1х=0 1х=0' + 1х = 0 1х=0 Е^

у+ ^ 0 при х ^ +да, у_ ^ 0 при х ^ -да. Аналитическое решение задач (4), (5) находим в виде:

у+= у+0 + £у+1 + £2 у+2 + (6)

у-= у-0 + у + £2 у-2 + ••• . (7) Подставим (6), (7) в (4), (5) соответ-

О (s2)

ственно, с точностью до членов О ^ е ) получим следующее выражение:

у+0 ^ 0 при и ^ +да, у-0 ^ 0 при и ^ -да; (8)

у+0 [=0 = у0-1=0, у+0 [=0 = 0, у-0 [=0 = 0

Р (9)

у ' ' = у ' ' у ' '' - у " ' = __ .

[=0 "о- |м=0> У+0 [=0 [=0

d У 1 * 2 3

EJ ~¡~4~ + У+1и ="a0У+0 "а1 У+0,

dx

T d v 1 * 23

EJ+ У—1u = —a0У-0 — а1У-0; dx

(10)

(11)

у 1 ^ 0 при х ^ +да, у_1 ^ 0 при х ^ -да, у+11 х=0 = у-1 1х=0 = 0,

у + 11х=0 = у- 11х=0 , у+11х=0 - у-11х=0 = 0.

В дальнейшем решение уравнений (10) приведем для следующих значений у0+, у0-, соответствующих их большим значениям:

у+ о =-

Pe-

4*Jlk3 EJ' A^Jlk3EJ' С учетом (12) для y0+, yü_:

Pek

у!о =■

pV 2kx

32k6E2J2, У+0 12^V2k9E3J3' Общее решение задач (10), (11) определяется выражениями

у 1 = e~k (c1 cos kx + c2 sin kx) + y4+; y_ 1 = ek (c1 cos kx — c2 sin kx) + y4_,

где уч+ и уч- - частные решения, определяемые выражениями:

p3e~ 3kx

(12)

-. (13)

(14)

т~\ —2kx,r\ —3 kx

Уч+ = D1e + D2e , уч_ = D1e2 kx + D2e3 kx.

(15)

Подставляя выражения (15) в (10), найдем Di и Di:

D =

—ас P2

1 32E2 J 2k 6(U + 16EJk4)'

D2 =

—a1P

(16)

12%y[2E3 J 3k 9(u* + 81EJk4)'

Используя граничные условия (11), найдем c1 и c2:

12D + 33D,

12D + 2Ш,

C1 = ^-L, C2 =■

-. (17)

a0 = оци , otj = a2u ,

С точностью до членов О (s2) окончательно получим:

P

у. = —5— (cos kx + sin kx) + 4k EJ

+ s[e~fa (cj cos kx + c2 sin kx) +

+ Dje-2kx + D2e-3kx ], P

(18)

У- =

ekx (cos kx - sin kx) +

4k3 EJ

kx

+ s[e (cj cos kx - c2 sin kx) +

-De2 k + D2e3Kx ].

3kx -i

Случай 2

Рассмотрим случай, когда рельсовая плеть состоит из трех участков, из второй которых (ослабленный) имеет ограниченную длину 2L с переменным упругим основанием, находящимся под действием постоянной нагрузки, а другие участки с постоянными упругими основаниями уходят в бесконечность (первый -влево, а третий - вправо от оси стока) (рис. 2).

Решение задачи, соответствующей случаю 2 с учетом уравнений (1) и (3), следует искать в виде у+ =у + у+, у =у_ + у_ :

1) функции у+ и у- есть решения нижеприведенных уравнений с граничными условиями

EJ-

У+

dx

J4

EJ-

У-

dx

+ «*Л =0,

+ и* у_ =0;

(19)

у I = у I , у\ = у\ = 0,

J + 1х=0 J - lv=0 ' ' + lv=0 IV—О '

\x=0 ' ' + \x=0

P (20)

У+ 1х=0 У- 1х=0 , У+ I х=0 У- I х=0 ел '

у+ —> 0 при х —> +со, у —> 0 при х —> -со; 2) функции у+ и у_ являются решениями уравнений, удовлетворяющих граничным условиям

EJ-iT- + « Л= ~sao (у+ + У+ f- а1 е(Л + У+ ? ах

dA ~

EJ—^r + u*y_=-zaQ{y_ + y_f-a1s(y_ +y_f: ах

(21)

V = V ' + 1х=0 " ~ 1х=0 ^ ~ lx=0 = 0,

\x=L ^ 0 =

= o, x=0 ^ L=—L :0,

= = 0.

(22)

Решения (19), (20) запишутся в виде р

У+ = ,, i^re~b(coskx + smkx),

4 k'EJ

у_= 4-

Р

(23)

ek (cos kx - sin kx).

у * къЕЗ

Общее решение задач (21), (22) будем искать в виде

+£%++■■■> (24)

Подставляя (24) в систему уравнений (21) с учетом (22), получим аналитическое решение с соответствующими граничными условиями:

Ул * "" 2 3

EJ^-r- + и v1+ = -a0v; -aj^,

.4

dx

Т^ т d у, * ~

EJ-1- + и уг_ = -а0у:-агу_;

(25)

dx

4

Уи x=0 lx=0 Д- x=0 = 0,

lx=0 0 • ATL- fc x=0 = o, С

= o, J;i- x=—L = 0 V/ L=-L

Общее решение системы уравнений (25) запишем следующим образом:

v+1 = е~ь {Ех cos kx + Е2 sin kx) + + ek(E3cos kx - E4 sin kx) + уч+, y_j = ehc(Elcoskx-E2smkx) + + e~ь (E3 cos kx + E4 sin kx) + уч_.

(27)

Рис. 2. Схема расчета для случая 2

С учетом (13) частные решения (27) определим в виде формул (15), которые находятся выражениями (16).

Константы Ei (i = 1, 2, 3, 4) определяем из граничных условий (22). После необходимых вычислений получим:

(E cos kL + E2 sin kL)e~kL + + (E3 cos kL — E4 sin kL)ekL + + D1e-2kL + D2e-3kL = 0, 4EÍ + 4E2 — 4E3 — 4E4 — 16D1 — 54D2 = 0, —E1 + E2 + E3 — E4 — 2D1 — 3D2 = 0, —e~kL (E1 cos kL + E2sin kL) + + e~kL (—E1 sin kL + E2 cos kL) + +ekL (E3 cos kL — E4sin kL) + + (—E3 sin kL — E4cos kL) — —2D1e—kL — 3D2e—kL = 0. Вычисляя систему (28), окончательно получим:

1

(28)

E =-

1 4(—e~2kL + 2sin(2kL) + e2kL)

x [4 D2 cos(kL)e~4kL + 8sin(kL) D2e~4'

+ 4sin(kL) D1e

—3kL

16D1 — 54D2 +

+ 12D1 cos(2kL) + 4cos(kL) D^3^ — — 16sin(kL) D2e2 — 4D2 cos(kL)e"2 — — 12e~sin(kL)D1 — 4e~kL cos(kL)D1 +

+ 4 D1 sin(2kL) + 21D2 sin(2kL) + + 4e2 kLD1 + 21e2 kLD2 + 33D2 cos(2kL)];

E2 =

1

4(—e-2kL + 2sin(2kL) + e2 ) x [—8D2 cos(kL)e-4 kL + 4sin(kL) D2 e—

—3 kL

+ 8D1 + 12D2 —

—3kL

+ 4sin(kL)D1e

— 4D1 cos(2kL) — 4cos(kL)D1e + 4 sin(kL) D2e-2kL — 16D2 cos(kL)e'2kL + + 4e~sin(kL)D1 — 12e~kL cos(kL)D1 +

+12D1 sin(2kL) + 33D2 sin(2kL) + + 12e2kLD1 + 33e2 kLD2 — 21D2 cos(2kL)];

1

—4(e-2 kL — 2sin(2kL) — e2 ^ ) x [4D2 cos(kL)e"4 + 8sin(kL)D2 + + 4sin(kL) n1e'3kL + 21eT2 kLD2 — 16D1 — — 54D2 + 12D1 cos(2kL) + 4cos(kL)D1e3kL —

— 16sin(kL)D2e2kL — 4D2 cos(kL)e^2kL —

—kL ГЧ л „—kL

-12^ вш(А£)Д - 4е ^(к£)Д -- 4D1 sш(2kL) - 21D2 яп(2*£) + + 33D2 ^(2*1) + 4D1е~2kL ];

Е =_1_х

4 4е-ш -8sin(2k1) -4е21

х [8£2 cos(кL)е-k1 - 4sin(k1)Де- -

- 4sin(k1)D1е-k1 - 33е~2к1Б2 -

- 8Д - 12£2 + 4Д ^(2*1) +

+ 4^(к1)Це-1 - 4яп(*1) Де"2 +

+ \6В2 ^(Ще-к1 - 4е-1 sin(k1)D1 +

+ 12е*1 ^(Л)Ц + 12Ц sin(2k1) +

+ 33В2 sin(2kL) + 21Д ^(2*1) -12Де~ш].

С точностью до членов О(е2) с учетом

(23), (26)-(28) для у+ и у_ окончательно получим следующие выражения в области [-1, 1]:

У+ =

Pe-

8k3 EJ

(cos kx + sin kx) +

+ s [e (E1 cos kx + E2 sin kx) +

+ ekx (E3 cos kx + E4 sin kx)] + + s[ D1e2 + D2 e~3 ],

У— =

Pek

4k3 EJ

(cos kx — sin kx) +

+ s[ekx (E1 cos kx — E2 sin kx) -

+ е ** (E3cos кх - Е^т *х)] + + е[ Dlе2 ** + D2 е3 ** ].

Вне промежутка |х| < 1 е = 0 .

Результаты численного анализа приведены на рис. 3

Выводы

1. Представленная методика расчета рельса на анизотропном упругом основании при нелинейной зависимости модуля упругости от прогиба балки (рельса) может применяться при прогнозе и оптимизации прогиба поверхности катания, при этом значительно уменьшаются удельное сопротивление, а также энергозатраты при движении подвижного состава.

2. При обеспечении на ослабленном участке (в области стыка) закономерности изменения модуля упругости анизотропного упругого основания ось рельсовой нити не ис-

kx

Рис. 3. Зависимость безразмерного прогиба у от х без учета (1) и с учетом (2) анизотропии модуля упругости подрельсового основания

пытывает «скачка». В стыке не образуется ступенька, при этом максимальные значения прогиба снижаются на 30-40 %. Полученные

результаты могут использоваться при создании переходного пути для участков примыкания к искусственным сооружениям.

Библиографический список

1. Вериго М. Ф. Взаимодействие пути и подвижного состава. М. : Транспорт, 1986. 559 с.

2. Коган А. Я. Вертикальные динамические силы, действующие на путь // Труды ЦНИИ МПС. М. : Транспорт, 1969. Вып. 402. С. 206.

3. Замуховский А. В., Меренченко К. В. Экспериментальное обследование участков переменной жесткости // Мир транспорта. 2013. № 3. С. 74-82.

4. Филиппов А. П., Кохмалюк С. С. Динамическое воздействие подвижных нагрузок на стержни. Киев : На-укова думка, 1967. С. 132.

5. Усов Д. А. Моделирование участков переменной жесткости перед искусственными сооружениями // Вестник Сибирского государственного университета путей сообщения. 2021. № 1 (56). С. 79-85.

6. Стоянович Г. М., Пупатенко В. В., Змеев К. В. Обеспечение стабильности пути в зоне сопряжения искусственных сооружений и земляного полотна // Путь и путевое хозяйство. 2017. № 10. С. 14-17.

7. Гавриленко А. К. Учет жесткости железнодорожного пути // Путь и путевое хозяйство. 2007. № 4. С. 37-39.

8. Климов В. И., Рыбкин В. В. Статический расчет пути как балки на опорах с нелинейной жесткостью // Исследование взаимодействия пути и подвижного состава : межвуз. сб. науч. тр. Днепропетровск, 1984. Вып. 235/26. С. 3-8.

9. Курган Д. Н. К решению задач расчета пути на прочность с учетом неравноупругости подрельсового основания // Наука та прогрес транспорту. Вюник Дшпропетровського нацюнального ушверситету залiз-ничного транспорту. 2015. № 1 (55). С. 90-99.

10. Ашпиз Е. С., Замуховский А. В. Обоснование нормативов деформативности подрельсового и под-шпального основания // Мир транспорта. 2012. № 5. С. 112-119.

A. N. Opatskikh

Predicting Dependence of the Modulus Elasticity Variation of the Sub-rail Base in the Joint Area

Abstract. In this work, on the basis of the rail vibration equation, two problems are successively solved related to the determination of the rail deflection, where the modulus of elasticity of the rail base is anisotropic. In the first case, the rail is presented as an elastic beam under the action of a constant force with an elastic anisotropic base. In the

calculations, the modulus of elasticity of the base of the beam (rail) depends nonlinearly on the deflection. The solution to the problem is found by a small parameter characterizing the model for predicting the transformation of the traditional elastic modulus. The solution was found for large values accurate to terms, allowing analyzing the rolling surface deflection and optimizing it to further minimize the resistivity of the rolling stock, as well as energy consumption during the movement of passenger and freight trains.

Further, the case is considered when the rail whip consists of three sections, of which the second (weakened section) has a limited length with a variable elastic base under the action of a constant load, and the other both sections go to infinity (the first to the left, and the third to the right of the axis joint). The solution was also found on the basis of the equations of rail vibrations with the corresponding boundary conditions. As a result of the numerical analysis, it was found that when providing in the weakened section (in the joint area) the regularities of the change in the elastic modulus of the anisotropic elastic foundation at the joint, the rail line axis does not experience a "jump". No step is formed in the joint, while the maximum deflection values are reduced by 30-40 %.

Key words: analytical forecasting; rail deflection; elastic modulus; weakened section; rail vibration equation.

Опацких Анастасия Николаевна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Изыскания, проектирование и строительство железных дорог» Ростовского государственного университета путей сообщения. E-mail: opatskih@yandex.ru