Научная статья на тему 'Расчет характеристик жесткости и упругости рельсовой нити при кручении под воздействием вертикальных и горизонтальных сил'

Расчет характеристик жесткости и упругости рельсовой нити при кручении под воздействием вертикальных и горизонтальных сил Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

CC BY
376
60
Поделиться
Ключевые слова
РЕЙКОВА НИТКА / ЖОРСТКіСТЬ / ПРУЖНіСТЬ / КРУЧЕННЯ / СИЛИ ВЕРТИКАЛЬНі / СИЛИ ГОРИЗОНТАЛЬНі / RAIL THREAD / RAIL STIFFNESS / ELASTICITY / TORSION / VERTICAL FORCES / HORIZONTAL FORCES / РЕЛЬСОВАЯ НИТЬ / ЖЕСТКОСТЬ / УПРУГОСТЬ / КРУЧЕНИЕ / СИЛЫ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ / СИЛЫ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Даниленко Э.И.

Цель. Имеющиеся в литературе сведения о характеристиках жесткости и упругости рельсовых нитей при кручении противоречивы. Это является следствием отсутствия точного аналитического решения задачи и сложности экспериментального изучения указанных характеристик при совместном действии на рельс вертикальных и горизонтальных сил. В статье представлен новый метод решения задачи по определению жесткости и модуля упругости рельсовой нити при кручении под совместным действием вертикальной и горизонтальной сил. Методика. В работе использован комплексный метод решения задачи, включающий теоретическую часть и результаты эксперимента. С помощью эксперимента были измерены характеристики горизонтальной поперечной жесткости рельсовых нитей по головке и подошве при разных конструкциях современных рельсовых скреплений. Последующая задача по определению реальных значений модуля упругости и жесткости рельсовой нити при кручении и решена теоретическими методами. Результаты. Получены новые значения характеристик жесткости и модуля упругости рельсовой нити при кручении для современных конструкций рельсов Р65, UIC60, Р50 и рельсовых скреплений типов КПП, КБ, ДО при совместном действии на рельс вертикальной и горизонтальной сил и кручения. Научная новизна. Впервые в отечественных исследованиях выполнено экспериментально-теоретические решение задачи по определению реальных значений жесткости и модуля упругости рельсовой нити при кручении под совместным действием на рельс вертикальных и горизонтальных колесных нагрузок. Решение представлено в функциональной зависимости от соотношения совместно действующих на рельс вертикальной и горизонтальной сил ;. Решение выполнено для современных конструкций рельсов отечественного стандарта Р65, Р50, Р43 и международного стандарта UIC60. Практическая значимость. Полученные результаты позволяют с большей точностью, в сравнении с действующей методикой, выполнять расчеты реальных напряжений и деформаций в рельсах разных типов. Это происходит при совместном действии на рельс вертикальных и горизонтальных сил (для пути на железобетонных и деревянных шпалах) и при разных конструкциях жестких и упругих рельсовых скреплений: КБ, КПП, Д0.

Похожие темы научных работ по строительству и архитектуре , автор научной работы — Даниленко Э.И.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

CALCULATION OF CHARACTERISTICS OF STIFFNESS AND ELASTICITY OF RAIL THREADS WHEN TORSION UNDER COMBINED ACTION OF VERTICAL AND HORIZONTAL FORCES

Purpose. Reference data in technical literature about such characteristics as stiffness and elasticity of rail threads at torsion are rather contradictory. This is due to the absence of correct analytical solution of this task and because of complexity of experimental studies of this problem under combined action of vertical and horizontal lateral forces. The article presents the new method of solving the task of calculation the real values of stiffness and elasticity modules of rail thread when torsion under combined action of vertical and horizontal lateral forces. Methodology. The complex method of solving the problem was used in the paper. It includes the theoretical part and the results of the experiment. Using the experiment the characteristics of horizontal lateral stiffness of the rail threads of the head and bottom at different constructions of the modern rail fastenings was measured. The second task of determination of the real values of elasticity and stiffness modulus of the rail thread when torsion was solved by the theoretical methods. Findings. New values of stiffness characteristics and elasticity module of rail thread when torsion for the modern rail constrictions Р65, UIC60, Р50 and the rail fastenings of the types КПП, КБ, ДО, under combined action of vertical and horizontal forces and torsion were obtained. Originality. For the first time in domestic research it was carried out the experimental and theoretical solution of the task for determination of the real values of the stiffness and elasticity modulus of rail thread when torsion under combined action of vertical and horizontal forces of the wheel loadings. The solution is represented in the functional dependence on the correlation of vertical and horizontal forces ; acting together. The solution is carried out for the modern designs of the rails of domestic standard P65, P50, P43 and international standard UIC60. Practical value. The obtained results make it possible to carry out calculations of the real acting strains and deformations in the rails of different types under the joint action of vertical and horizontal forces for railway track on concrete and wooden sleepers with different designs of rigid and elastic rail fastenings КБ, КПП, Д0 with higher accuracy as compared to the current calculation methodology.

Текст научной работы на тему «Расчет характеристик жесткости и упругости рельсовой нити при кручении под воздействием вертикальных и горизонтальных сил»

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

УДК 625.143.033.3-026.564.2

Э. И. ДАНИЛЕНКО1*

1 Каф. «Железнодорожный путь и путевое хозяйство», Государственный экономико-технологический университет транспорта, ул. М. Лукашевича, 19, Киев, Украина, 03049, тел. +38 (044) 591 51 47, эл. почта danilenko2010@mail.ru, ОЯСГО 0000-0002-8518-5272

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ЖЕСТКОСТИ И УПРУГОСТИ РЕЛЬСОВОЙ НИТИ ПРИ КРУЧЕНИИ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ВЕРТИКАЛЬНЫХ И ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ СИЛ

Цель. Имеющиеся в литературе сведения о характеристиках жесткости и упругости рельсовых нитей при кручении противоречивы. Это является следствием отсутствия точного аналитического решения задачи и сложности экспериментального изучения указанных характеристик при совместном действии на рельс вертикальных и горизонтальных сил. В статье представлен новый метод решения задачи по определению жесткости и модуля упругости рельсовой нити при кручении под совместным действием вертикальной и горизонтальной сил. Методика. В работе использован комплексный метод решения задачи, включающий теоретическую часть и результаты эксперимента. С помощью эксперимента были измерены характеристики горизонтальной поперечной жесткости рельсовых нитей по головке и подошве при разных конструкциях современных рельсовых скреплений. Последующая задача по определению реальных значений модуля

упругости и жесткости рельсовой нити при кручении V^) и ) решена теоретическими методами.

Результаты. Получены новые значения характеристик жесткости и модуля упругости рельсовой нити при кручении для современных конструкций рельсов Р65, ШС60, Р50 и рельсовых скреплений типов КПП, КБ, ДО при совместном действии на рельс вертикальной и горизонтальной сил и кручения. Научная новизна. Впервые в отечественных исследованиях выполнено экспериментально-теоретические решение задачи по определению реальных значений жесткости и модуля упругости рельсовой нити при кручении под совместным действием на рельс вертикальных и горизонтальных колесных нагрузок. Решение представлено в функциональной зависимости от соотношения совместно действующих на рельс вертикальной и горизонтальной сил ввр ) = I (/н)' ) = I ((н )• Решение выполнено для современных конструкций рельсов

отечественного стандарта Р65, Р50, Р43 и международного стандарта ШС60. Практическая значимость. Полученные результаты позволяют с большей точностью, в сравнении с действующей методикой, выполнять расчеты реальных напряжений и деформаций в рельсах разных типов. Это происходит при совместном действии на рельс вертикальных и горизонтальных сил (для пути на железобетонных и деревянных шпалах) и при разных конструкциях жестких и упругих рельсовых скреплений: КБ, КПП, Д0.

Ключевые слова: рельсовая нить; жесткость; упругость; кручение; силы вертикальные; силы горизонтальные

Введение

В справочной технической литературе приведен весьма разнообразный спектр характеристик пространственной жесткости и упругости рельсовых нитей, как правило, не учитывающий реальное соотношение действующих на рельс вертикальной и горизонтальной сил. Притом приведенные результаты в основном относятся к анализу застарелых конструкций пути, применявшихся на железных дорогах 4050 лет назад. Поэтому изучение указанных характеристик работы рельсовых нитей для современных конструкций пути при совместном doi 10.15802^2016/83530

действии на рельс вертикальных и горизонтальных сил является весьма актуальной задачей.

Цель

Целью статьи является представление результатов новейших исследований по определению экспериментально-теоретическими методами характеристик пространственной упругости рельсовых нитей при кручении для современных конструкций железнодорожного пути при совместном действии на рельс вертикальных и горизонтальных сил.

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

Методика

Действующая методика инженерных расчетов пути на прочность [3], как известно, позволяет получать только результаты с точностью, достаточной лишь для практических целей. При этом влияние на работу рельса горизонтальных динамических сил и крутящего момента непосредственно не учитывается, а учитывается только опосредованно через применение так называемых коэффициентов влияния, взятых из экспериментальных исследований, и во многих случаях не имеющих точного подтверждения для конкретных расчетов.

Однако при полной постановке аналитического решения задачи по расчетам железнодорожного пути на прочность необходимо с достаточной точностью учитывать воздействие на рельсовую нить всех внешних сил и при этом совместно рассматривать возникающие в рельсовой нити деформации: вертикальный и горизонтальный изгиб рельсовой нити и ее кручение. Деформации и напряжения рельсовых нитей при аналитических расчетах с достаточной точностью можно определить только при условии знания характеристик пространственной упругости рельсовых нитей, в том числе расчетных характеристик на кручение.

При этом, особенно важным для проведения точных аналитических расчетов является нахождение правильных функциональных зависимостей между действующими на рельсовую нить внешними силами от колес подвижного состава и переменными значениями характеристик пространственной упругости рельсовой нити. Необходимо также учитывать особенности конструктивного устройства рельсов и скреплений.

Обзор предыдущих исследований и публикаций. Основы теории расчетов рельсовой нити на совместное действие вертикальных и горизонтальных сил с учетом характеристик пространственной упругости были разработаны еще в нач. ХХ в. проф. С. П. Тимошенко [10, 11], но в его решениях не учитывались силы трения между рельсом и подрельсовым основанием и конструктивные особенности закрепления рельсов на опорах, которые существенно влияют на результаты решения.

Исправление этого недостатка было предложено проф. О. П. Ершковым в 1960-х гг. в ВНИИЖТ (Россия). Но результаты теоретиче-

ских решений О. П. Ершкова [7, 8] не были доведены до практического внедрения и не были внесены в теорию расчетов на прочность железнодорожного пути.

Наши нынешние исследования 2012-2015 гг. [4, 5] показали, что результаты расчетов проф. О. П. Ершкова требуют существенной корректировки, в том числе с учетом особенностей характеристик пространственной упругости рельсовых нитей с современными конструкциями рельсовых скреплений.

В работе использован комплексный метод решения задачи, включающий теоретическую часть и результаты эксперимента. С помощью эксперимента были измерены характеристики горизонтальной поперечной жесткости рельсовых нитей по головке и подошве при разных конструкциях современных рельсовых скреплений. Последующая задача по определению реальных значений модуля упругости и жесткости рельсовой нити при кручении и^)

и р^Г) решена теоретическими методами.

Результаты

Расчетная схема и порядок решения задачи принимаются аналогичными разработанным проф. О. П. Ершковим (Россия) в 1960-х гг [7, 8]. Однако при решении данной задачи нами сделаны необходимые корректировки, учитывающие неточности в решениях [7, 8], а также приняты новые характеристики современных рельсов и рельсовых скреплений.

Для решения задачи в целом необходимо на первом этапе решить задачу об определении расчетно-аналитическим путем одной из важнейших расчетных характеристик: модуля упругости пути при кручении рельсовой нити от совместного действия внецентренно приложенных горизонтальной и вертикальной сил Н и Р, и с учетом сил трения, возникающих по подошве рельса.

В соответствии с расчетной схемой (рис. 1) уравнение равновесия рельса при его кручении относительно продольной оси х имеет вид:

Z mx

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

h - T ■

= M

кр '

(1)

где ^ шх - первая составляющая суммарного реактивного отпора кручению рельса по всей

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету зашзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

длине деформации кручения, вызванная реактивными моментами тх; тх - реактивный отпор кручению рельса в сечении, где приложен внешний крутящий момент:

mx = U ф'ф =

(2)

qy = Uy (y-Ф-h2),

(3)

где Z

!y "2

вторая составляющая суммарно -

го реактивного отпора кручению рельса по всей длине деформации кручения, вызванная реактивными силами ^ ду .

Цтг - центр тяжести головки Цтп - центр тяжести подошвы Цтр - центр тяжести рельса Цкр - центр кручения рельса

Рис. 1. Расчетная схема действия сил на элементарный участок рельсовой нити при горизонтальном изгибе и кручении

Fig. 1. Diagram of the forces on the elementary section of the rail thread at horizontal bending and torsion Здесь у - горизонтальное перемещение центра изгиба рельса (совпадает с центром кручения) от действия боковой силы Н; h2 - расстояние от центра кручения рельса до низа подошвы.

■ h2 - третья составляющая суммарного реактивного отпора кручению рельса по всей

длине деформации кручения, вызванная реактивными силами ^ Ту ; где Ту - реактивная

составляющая сил трения по подошве рельса в сечении приложения внешнего крутящего момента:

где ф - угол закручивания рельса; иф - модуль

упругости подрельсового основания при кручении рельсовой нити; ду - реактивный отпор

подошвы рельса боковому перемещению от действия крутящего момента в сечении, где приложен этот крутящий момент:

Tv = Uz ■ z ■ f ,

(4)

где г - вертикальное перемещение центра изгиба рельса от действия вертикальной силы; / - коэффициент трения по подошве рельса (зависит от типа скрепления и подрельсовых прокладок); Мкр - внешний крутящий момент при

совместном действии на рельс сил Н и Р.

Мкр = Н • И \ - Р • е , (5)

где И '1 - расстояние от центра кручения до места приложения силы Н; е - эксцентриситет приложения силы Р относительно оси симметрии рельса.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для обобщения действия всех сил на длине деформации закручивания рельса следует переписать уравнение (1) в интегральной форме, подставив все составляющие слагаемые из выражений (2)-(5). Тогда получим следующее уравнение:

ф

J иф-ф'^х-h2

' "У

J Uy(у-ФА)dx

+

T

J Uz ■ z ■ f ■ dx

= H ■ h \ - P ■ e .

(6)

Выражение в квадратных скобках уравнения (6) в соответствии с замечаниями в нашей предыдущей работе [5] о существовании второго интеграла в квадратных скобках только в пределах от -хТ до + хТ , можно заменить силой Н. Тогда уравнение (6) перепишется в более простом виде: +хф

| иф •ф^ёх-И2 • Н = Н •И\-Р•е . (7)

— хф

Согласно экспериментальным исследовани-

+хф

ям проф. О. П. Ершкова [8] интеграл | ф- ёх

ф

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

представляет собой площадь эпюры углов закручивания юф в пределах длины волны закручивания рельса (которая практически соответствует длине бокового изгиба рельса).

То есть:

ф

J ф -dx

= юф.

(8)

О. П. Ершковым в [8] найдено, что:

юф =

(8-1)

ю

(«)

h"

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

( г ) У

5

(9) (10)

где ю^"-1 и ю(уг)

юУп)

5 = —jy-r- .

юУг)

(11)

5 =

рУО

РУг)

(11-2)

Uф =

H (h \ + h2)-P - e

ю„

(12)

совой нити U,

ф •

= H (h \ + h2 )-h " ф (5- 1)-юуп)

P - e -1

(5-1)-

ю

( n )

(13)

площади эпюр поперечных

перемещений (п) - подошвы и (г) - головки рельса при совместном действии на рельс горизонтальной и вертикальной сил; к'' - расстояние между точками замеров поперечных перемещений головки и подошвы рельса; 5 - соотношение площадей эпюр перемещений головки и подошвы рельса, определяется по формуле:

Заметим, что формула (13), полученная нами, отличается от аналогичной формулы О. П. Ершкова, полученной им в работе [8], где допущена ошибка при выводе данной формулы, а именно - в ней отсутствует сомножитель (к") в числителе второго слагаемого правой

части уравнения. (Как показали наши расчеты, при вычислениях это может приводить к ошибке в определении модуля упругости пути на кручение на 20% и более в зависимости от соотношения сил рИ).

Если принять во внимание, что в реальных условиях взаимодействия подвижного состава и пути площадь эпюры поперечных перемещений определяется при наличии вертикальной силы Р и сил трения по подошве рельса, то

отношение следует идентифицировать

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

как реальное значение бокового модуля упругости подрельсового основания и(у ), который

вычисляется с учетом сил трения по подошве рельса [5]:

(Для практических целей, с достаточной степенью точности, можно принимать коэффициент 5 равным отношению поперечных жест-костей рельсовой нити по подошве и по головке).

ю

— = U(T)

(n) У

(14)

У

Таким образом, уравнение (7) после подстановки в него выражения (8) и решения его относительно иф, будет иметь вид:

Тогда, подставив (14) в уравнение (13), получим в окончательном виде формулу для определения реального значения модуля упругости рельсовой нити при кручении Vфг) для случая совместного действия вертикальных и горизонтальных сил (Н и Р) и с учетом сил трения по подошве рельса:

P - e->

U (T ) = (h 1 + h2 )-h" U (T )

ф 5-1 y (5-1)-H

- ). (15)

Далее подставив в уравнение (12) значение юф по формуле (9) будем иметь следующее выражение для определения модуля упругости подрельсового основания при кручении рель-

Если при измерениях перемещения головки рельса определяются напротив точки приложения горизонтальной силы Н, а перемещения подошвы рельса - близко к нижней плоскости подошвы, (что, как правило, имеет место в экспериментах), то можно принимать к'' = к '1 + к2 и тогда формула (15) примет более простой вид:

—x

ф

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету зашзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

(t ) = (h" )2

U ф) =

5-1

ттCT) - p-e-h"

y (5 — 1) ■ H

■UУТ).

(16)

Знак «-» перед вторым слагаемым в правой части уравнения (15) и (16) соответствует схеме загружения рельса, показанной на рис. 1, когда крутящий момент определяется по формуле (5). Для случая приложения вертикальной нагрузки слева от оси симметрии рельса в уравнениях (15) и (16) следует ставить знак «+» перед вторым слагаемым.

В случае, когда вертикальная нагрузка Р приложена по оси симметрии рельса, эксцентриситет е=0 и формула (16) значительно упрощается:

тт(Т) = (h "2 TT(т)

ф 5-1 У '

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(17)

М,,

ф = -

Рф

(18)

M,

ф=

кр

2D^he ■ r ■ Г2 ■

■( + r2 2

(19)

где Мкр - крутящий момент внешних сил (оп-

ределяется по формуле (5)); Ид - расстояние

между центрами тяжести головки и подошвы; В - приведенная жесткость головки и подошвы рельса при горизонтальном изгибе, определяемая по формуле С.П. Тимошенко [10, 11]

D = E

I г'1п

Iг + L

(20)

Как видно из сопоставления формул (18) и (19), знаменатель в выражении (19)

Рф= 2D-

hl - Г1 -Г2 (Г1 + Г2 )

(21)

Второй этап решения задачи. На следующем этапе решения задачи перейдем к определению другой важнейшей характеристики, определяющей работу рельсовой нити при кручении - к определению жесткости рельсовой нити при кручении (Рф).

Из классической теории кручения стержней [12] известна формула для определения угла закручивания стержня, которая имеет вид:

представляет собой жесткость рельсовой нити при кручении Рф, свободно лежащей и не закрепленной на рельсовых опорах, при воздействии на нее горизонтальной боковой силы Н и крутящего момента от этой силы, а также внецентренно приложенной вертикальной силы Р. При этом не учитывается действие вертикального изгиба и трения по подошве рельса между рельсом и подрельсовыми опорами.

В выражениях (19) и (21), кроме уже указанных характеристик В и Ид , присутствуют

весьма важные коэффициенты г1 и г2, определенные в исследованиях О.П. Ершкова [7, 8] как г1 - коэффициент, характеризующий из-гибно-крутильную жесткость рельса, который определяется по формуле:

где Рф - жесткость стержня при кручении.

При рассмотрении горизонтального изгиба и кручения рельсовой нити, не прикрепленной к опорам, на воздействие боковой поперечной силы Н и крутящего момента Мкр, вызванного

действием боковой силы и внецентренно приложенной вертикальной нагрузки Р, О. П. Ер-шковым в работе [8] получена следующая зависимость между углом закручивания рельса и крутящим моментом, приложенным к рельсу (для расчетного сечения в месте приложения крутящего момента):

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

i

Ск

DhQ

(22)

г2 - коэффициент относительной жесткости рельсового основания и рельса при кручении, определяется по формуле:

U ф

С,

(23)

кр

На основании результатов исследований [7, 8] О. П. Ершковым было получено для типовой конструкции пути на деревянных шпалах с рельсами типов Р43 и Р50 соотношение г2/г1 = 0,15 . Поэтому после некоторых преобразований и подстановки в выражение (19) значения г2 =0,15 г1 формула для угла закручивания рельсовой нити ф в работе [8] приведена к виду:

r2 =

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету зашзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

M,,

ф =

2,30D - hQ - Tj2 - r2

(24)

А после подстановки в формулу (24) выражений (22) и (23) для r и r2 получено:

M

ф = -

кр

2,30 - С,,

1

(25)

C

кр

То есть, выражение для жесткости рельсовой нити вф в окончательной редакции О. П. Ерко-

ва [8] приведено к виду:

Рф = 2,30 - С

кр

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

. (26)

Из выражения (26) в результате выведена заключительная формула, выражающая зависимость между модулем упругости подрельсового основания при кручении иф и жесткостью рельсовой нити при кручении Рф в следующем виде:

1

U<p 5,30 - С Гф

ß2

ф

(27)

Формула (27) была предложена проф. О. П. Ершковым как универсальная для определения взаимосвязи между модулем упругости подрельсового основания при кручении иф

и жесткостью рельсовой нити при кручении Рф

для всех типов рельсов, уложенных на деревянных шпалах, безотносительно конструкции рельсовых скреплений. При этом жесткость рельсовой нити предложено определять по формуле (21).

Формула (27) после опубликования исследований в работах [7, 8] в 1960 г. получила широкую известность и стала применяться при расчетах рельсов на прочность с учетом кручения. В том числе данная методика легла в основу расчетов справочных данных по крутильным характеристикам рельсов для «Справочника инженера-путейца» 1972 г. [1] и была использована в других широко опубликованных изданиях [3, 13].

Однако, наши современные исследования (2012-2015 г.г.) [5, 6] показали, что использо-

вание выше изложенной методики требует существенной корректировки для обеспечения правильности конечных результатов применительно к современным конструкциям верхнего строения пути.

1. Прежде всего необходимо заметить, что принятое О. П. Ершковым в [7, 8] постоянное соотношение коэффициентов г2/г1 = 0,15 некорректно использовать для разных типов рельсов, для разных эпюр укладки шпал и, тем более, для разных конструкций пути.

Результаты наших исследований показали, что величину соотношения г2/г1 = 0,15 можно принимать только для конструкции пути на деревянных шпалах с рельсами типов Р43 и Р50 (с которыми проф. О. П. Ершков как раз и проводил экспериментальные исследования). Например, для такой же конструкции пути на деревянных шпалах с эпюрой шпал 1 840 шп/км для рельсов ШС60 следует принимать соотношение г2/ г1 = 0,16, а для рельсов Р65 следует принимать г2/г1 = 0,17. При изменении эпюры шпал соотношение г2/г1 также должно изменяться, пропорционально изменению коэффициента г2. Результаты наших расчетов показали, что даже незначительные неточности в выборе исходного соотношения т2/г1 приводят в конечном итоге к существенным погрешностям при определении искомых характеристик

на кручение Рф и иф; ифТ) и Рфг).

Нетрудно показать, что исходная формула (21), представляющая собой жесткость рельсовой нити при кручении Рф и после преобразований приведенная к заключительному виду (26), будет иметь другой заключительный вид, если подставить другие соотношения коэффициентов, не равные г2/г1 Ф 0,15 . Для пояснения раскроем внутренние преобразования формулы (21)

2Щгхг2 (г + г2 ) =

= 2Б • к2в • г • г2 (1 + г2/гх) (21-1)

После подстановки г2/г1 = 0,15 получим: 2Б • к2д • г • г2 (г + г2) = 2,30Б • к2д • г12 • г2 (21-2)

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

А после подстановки значений г1 и г2 по формулам (22) и (23) исходная формула (21) приводится к виду:

Рф = 2,30D-hQ -r?-Г2 = 2,30-С

кр

1

С

(26)

кр

Как уже отмечено, формула (26) выведена применительно к рельсам типов Р43 и Р50 на деревянных шпалах. Однако, для рельсов типа Р65 вычисления дают другое соотношение г2/ г1 = 0,17, и поэтому заключительная формула для определения Рф примет вид, отличающийся от (26), а именно:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рф = 2DhQr Г2 (r + Г2 ) =

= 2,34 -С„

V

£. (26-2)

Скр

А для рельсов типа ШС60 при г2/г1 = 0,16 будет иметь место другое выражение:

Рф = 2DhQrr (r1 + Г2 ) =

= 2,32-С,

кр

С^. (26-3)

Скр

Таким образом, заключительная формула (27), выражающая взаимосвязь между величинами иф и Рф для рельсов типа Р65 будет

иметь вид:

ß

Uф=-ф 5,475 -С.,

(27-2)

а для рельсов типа UIC60 будет иметь вид:

ß2

ф

Uф 5,382-С

(27-3)

кр

Приведенные коррективы в формулах (27-2), (27-3), (26-2) и (26-3) с учетом большого порядка величин характеристик Скр и Б существенно изменяют значения характеристик иф и Рф для рельсов типа Р65 и ШС60 по сравнению с известной формулой (27), приведенной в трудах О. П. Ершкова, которая может применяться только к рельсам Р43 и Р50.

2. Также требует уточнения физический смысл характеристик Рф и иф в связи с установленными между ними зависимостями.

Как уже указано, методика проф. О. П. Ер-шкова легла в основу расчетов и опубликования справочных данных по крутильным характеристикам рельсов в отечественной печати [1, 2, 9, 13]. При этом было принято обозначать через иф - модуль упругости подрельсового

основания при кручении, а через Рф - жесткость рельсовой нити при кручении.

Дело в том, что характеристика жесткости рельсовой нити Рф, определяемая по формуле

(21), получена из рассмотрения только работы рельса на горизонтальный изгиб под воздействием горизонтальной силы Н и на одновременно происходящее кручение рельса под действием крутящего момента Мкр от внецентренно

приложенных горизонтальной силы Н и вертикальной силы Р, при этом вертикальный изгиб рельса в данной задаче не учитывался и, соответственно, не учитывались силы трения по подошве между рельсом и рельсовым основанием от действия вертикальной силы. Таким образом, характеристика Рф, вычисляемая по

формуле (21), характеризует жесткость рельсовой нити, не связанной скреплениями с основанием и зависящую только от формы рельса и жесткости элементов его сечения. Именно поэтому характеристика иф в формулах (27),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(27-2), (27-3) - не может называться модулем упругости реального подрельсового основания, так как получена она из решения задачи, где влияние основания не учитывалось. Правильно называть эту характеристику иф - модулем

упругости при кручении фиктивного рельсового основания. Исследования показали, что значения характеристик иф, определяемых по

формуле (27) для рельсов Р43 и Р50 (или по формулам (27-2) и (27-3) для рельсов Р65 и ШС60), могут быть корректно применимы только для случаев отсутствия вертикальной нагрузки (при Р=0), что практически не имеет места в реальных условиях взаимодействия подвижного состава и пути.

Реальное значение жесткости рельсовой нити при кручении, с учетом ее связей с подрель-

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

совым основанием рфг), следует определять из

формул вида (27-1), (27-2), (27-3) после подстановки в них вместо фиктивного модуля упругости при кручении рельсового основания иф,

значений реальных модулей упругости рельсового основания при кручении рельсовой нити VфТ), определяемых по формуле (15) и, соответственно, различающихся для разных типов рельсов, а именно:

- для рельсов типа Р50 и Р43 по формуле:

Рфг) 5,30• Скр •Vф) ; (28-1)

- для рельсов типа Р65 по формуле:

Рфг) =75,475 • СкР • Vф) ; (28-2)

- для рельсов типа ШС60 по формуле:

Рфг) ^5,382• Скр •Vфт) . (28-3)

Результаты поверочных расчетов [4, 5] показали, что реальные значения модуля упругости при кручении ) существенно больше

значений модуля упругости фиктивного основания Vф и отличаются порядка в 3,5-5,0 раза

для реальных эксплуатационных соотношений вертикальных и горизонтальных сил Р/И. А реальные значения жесткости рельсовой нити при кручении рфг) (с учетом связей ее с под-

рельсовым основанием) отличаются в сторону увеличения от фиктивного значения жесткости Рф порядка в 1,5-2,5 раза для реальных эксплуатационных соотношений вертикальных и горизонтальных сил Р/И .

В табл. 1 приведены результаты вычислений по изложенной методике значений значений V

для рельсов типов Р50, Р65, UIC60 для

и ифт >

случая воздействия на путь грузового вагона при P/H = 2,336+2,55 при железобетонных и деревянных шпалах соответственно. На рис. 2 приведен общий вид зависимости Uфг -1 = f (P/H) для всего спектра P/H от 0 до max.

Значение модулей упругости пути при кручении рельсовой нити Uф и Uфт ^ для разных конструкций пути

The values of track elasticity modulator at rail thread torsion иф , Uф) for different designs of a railway track

Таблица 1

Table 1

Тип скрепления Тип рельса Эпюра, шп/км Модуль упругости пути при кручении рельсовой нити U(f ; Uфт) , кг/рад

U<f (при Р = 0, Н Ф 0 ) UJ г (при Р Ф 0 , Н Ф 0 )

КБ Р65 1 680 34 834,906 166 335,323

1 840 38 152,517 182 188,737

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

КБ UIC60 1 680 25 989,831 149 732,617

1 840 28 465,053 164 003,760

КБ Р50 1 680 25 054,575 93 150,919

1 840 27 440,725 102 029,718

КПП-5 Р65 1 680 34 834,906 162 536,382

1 840 38 152,517 178 106,519

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

Окончание табл. 1 End of table 1

Тип скрепления Тип рельса Эпюра, шп/км Модуль упругости пути при кручении рельсовой нити иф ; ифТ-1*, кг/рад

Пф (при Р = 0, Н Ф 0 ) г (при Р Ф 0 , Н Ф 0 )

КПП-5 UIC60 1 680 25 989,831 151 732,437

1 840 28 465,053 166 282,583

КПП-1 Р65 1 680 34 834,906 126 415,101

1 840 38 152,517 138 520,024

Д0 Р65 1 840 38 152,517 80 080,311

2 000 41 470,127 87 051,831

Д0 Р50 1 840 27 440,725 53 453,482

2 000 29 826,875 58 104,937

Д0 Р43 1 840 22 991,733 43 461,505

2 000 24 991,014 47 245,834

() - значение вертикальной и горизонтальной сил принято равным наиболее вероятным значением: на железобетонных шпалах Рдин = 16 350 кг, Ндин = 7 000 кг ; на деревянных шпалах Рдин = 17 850 кг, Ндин = 7 000 кг , имеющих место в динамике при взаимодействии грузового 4-осного вагона с рельсовым путем в кривой Я « 800 м при движении со скоростью V = 90 км/год .

Рис. 2. График функциональной зависимости U ^) = f (pH) Fig. 2. Graf of the functional dependence U^) = f (pH)

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

Научная новизна и практическая значимость

Впервые в отечественных исследованиях выполнено экспериментально-теоретические решение задачи по определению реальных значений жесткости и модуля упругости рельсовой нити при кручении при совместном действии на рельс вертикальных и горизонтальных колесных нагрузок. Решение представлено в функциональной зависимости от соотношения совместно действующих на рельс вертикальной и горизонтальной сил рфг) = I (Р/И) ;

Vфт) = I (Р/И ) . Решение выполнено для современных конструкций рельсов отечественного стандарта Р65, Р50, Р43 и международного стандарта ШС60.

Следует отметить, что результаты (табл. 1 и рис. 2) новейших исследований модуля упругости рельсовой нити на кручение (в функции от соотношения действующих сил и с учетом трения рельсов по подошве и работы скреплений) даются впервые в отечественной технической литературе. Таких данных нет также в зарубежной технической литературе [14, 15].

Полученные результаты позволяют с большей точностью в сравнении с действующей методикой выполнять расчеты реальных действующих напряжений и деформаций в рельсах разных типов, при совместном действии на рельс вертикальных и горизонтальных сил для пути на железобетонных и деревянных шпалах при разных конструкциях жестких и упругих рельсовых скреплений: КБ, КПП, Д0.

Выводы

Приведено решение задачи по определению жесткости и модуля упругости рельсовой нити при кручении от совместного действия вертикальной и горизонтальной сил и крутящего момента для разных типов подрельсового основания с учетом сопротивляемости скреплений и сил трения по подошве рельса.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В результате выполненных исследований получены новые результаты по характеристикам пространственной упругости рельсовой нити для современных конструкций железнодорожного пути на железобетонных и деревянных шпалах со скреплениями типов КБ, КПП-5,

КПП-1, ДО при их работе под совместным воздействием вертикальной и горизонтальной сил.

Впервые получены аналитические и графоаналитические зависимости между реальными характеристиками жесткости и упругости рель-

3(T)

U

совой нити при кручении вф шением действующих сил P и H.

(T)

и соотно-

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Басилов, В. В. Справочник инженера-путейца /

B. В. Басилов, М. А. Чернышев. - Москва : Транспорт, 1972. - 2 т.

2. Вериго, М. Ф. Взаимодействие пути и подвижного состава / М. Ф. Вериго, А. Я. Коган. -Москва : Транспорт, 1986. - 559 с.

3. Вериго, М. Ф. Общие положения для корректировки «Правил расчетов железнодорожного пути на прочность» / М. Ф. Вериго, С. С. Креп-когорский. - Тр. ВНИИЖТа. - Москва, 1972. -Вып. 466. - С. 4-50.

4. Даншенко, Е. I. Експериментальш дослвдження характеристик горизонтально! поперечно! жорсткосп i модуля пружносл залiзнично! коли при рiзних конструкциях рейкових скршлень / Е. I. Даншенко, В. П. Велшець // Залiзн. трансп. Укра!ни. - 2015. - № 4. -

C. 3-11.

5. Даншенко, Е. I. Новггш дослвдження бiчно! пружносп рейкових ниток при стльтй дп вертикальних i горизонтальних сил // Наука та прогрес транспорту. - 2015. - № 6 (60). -С. 65-77. doi: 10.15802^2015/57021.

6. Даниленко, Э. И. Теоретическое решение задачи по определению реального бокового модуля упругости пути, при совместном действии на рельсовую нить горизонтальных и вертикальных сил / Э. И. Даниленко, В. П. Велинец // Зб. наук. пр. Держ. економ.-техн. ун-ту трансп. Серiя: Трансп. системи i технологи. - Ки!в, 2014. - Вип. 24. - С. 106-122.

7. Ершков, О. П. Расчет рельса на действие боковых сил в кривых / О. П. Ершков // Тр. ВНИИЖТа. - Москва, 1960. - Вып. 192. -С. 5-59.

8. Ершков, О. П. Характеристики пространственной упругости рельсовой нити / О. П. Ершков // Тр. ВНИИЖТа. - Москва, 1960. - Вып. 192. -С. 59-101.

9. Татуревич, А. П. Результаты определения фактических значений жесткости пути для исследований взаимодействия пути и подвижного состава / А. П. Татуревич // Вюн. Дншропетр.

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. 13. Шахунянц, Г. М. Железнодорожный путь /

- Дншропетровськ, 2003. - Вип. 2. - С. 95-100. Г. М. Шахунянц. - Москва : Транспорт, 1969. -

10. Тимошенко, С. П. Метод исследований стати- 536 с.

ческих и динамических напряжений в рельсе / 14. Experimental study on the transverse stiffness of

С. П. Тимошенко // Статич. и динам. проблемы WJ-8 rail fastening / C. Liu, Z. Ping Zeng, B. Wu

теории упругости. - Киев, 1975. - С. 209-220. [et al.] // Applied Mechanics and Materials. -

11. Тимошенко, С. П. Напряжения в железнодо- 2014. - Vol. 596. - P. 3-6. рожном рельсе / С. П. Тимошенко // Статич. doi: 10.4028/www.scientific.net/ amm.596.3.

и динам. проблемы теории упругости. - Киев, 15. Tests on lateral resistance in railway tracks during

1975. - С. 318-355. the operation of a tamping machine / W. Koc,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

12. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов / A. Wilk, P. Chrostowski, S. Grulkowski // Proc. of В. И. Феодосьев. - Москва : Наука, 1970. - the Institution of Mechanical Engineers, Part F: J. 544 с. of Rail and Rapid Transit. - 2011. - Vol. 225. -

Iss. 3. - P. 325-334. doi: 10.1243/09544097-

jrrt324.

Е. I. ДАНШЕНКО1*

1 Каф. «Затзнична колш та колшне господарство», Державний еконотко-технолопчний утверситет транспорту, вул. М. Лукашевича, 19, Ки!в, Украша, 03049, тел. +38 (044) 591 51 47, ел. пошта danilenko2010@mail.ru, ОЯСГО 0000-0002-8518-5272

РОЗРАХУНОК ХАРАКТЕРИСТИК ЖОРСТКОСТ1 ТА ПРУЖНОСТ1 РЕЙКОВО1 НИТКИ ПРИ КРУЧЕНН1 П1Д Д1СЮ ВЕРТИКАЛЬНИХ I ГОРИЗОНТАЛЬНИХ СИЛ

Мета. Наявш в лiтературi ввдомосп про характеристики жорсткосп та пружносп рейкових ниток при крученш е суперечливими. Це е наслщком ввдсутносп точного аналогичного ршення задачi та складносп експериментального вивчення зазначених характеристик при спшьнш ди на рейку вертикальних i горизон-тальних сил. У статл представлений новий метод вирiшення задачi по визначенню жорсткостi й модуля пружносп рейково! нитки при крученш тд спiльною дiею вертикально! i горизонтально! сил. Методика. У робоп використано комплексний метод вирiшення задачу що включае теоретичну частину i результати експерименту. За допомогою експерименту були вимiрянi характеристики горизонтально! поперечно! жорс-ткостi рейкових ниток по голiвцi та пiдошвi при рiзних конструкцiях сучасних рейкових скрiплень. Подаль-ша задача по визначенню реальних значень модуля пружностi й жорсткосп рейково! нитки при крученнi

ифТ) i рфТ) вирiшена теоретичними методами. Результати. Отримано новi значення характеристик жорсткосп та модуля пружностi рейково! нитки при крученш для сучасних конструкцш рейок Р65, ШС60, Р50 i рейкових скрiплень типiв КПП, КБ, ДО при спшьнш ди на рейку вертикально! та горизонтально! сил i кру-чення. Наукова новизна. Вперше у вичизняних дослiдженнях виконано експериментально-теоретичнi рь шення задачi по визначенню реальних значень жорсткосп та модуля пружносп рейково! нитки при крученш шд спiльною дiею на рейку вертикальних i горизонтальних колюних навантажень. Рiшення представлено у функцюнальнш залежностi вiд спiввiдношення спiльно дшчих на рейку вертикально!

i горизонтально! сил рфТ) = / (Р/Н ) ; ифТ) = / (Р/Н ) . Рiшення виконано для сучасних конструкцш рейок

вичизняного стандарту Р65, Р50, Р43 i мiжнародного стандарту и1С60. Практична значимкть. Отриманi результати дозволяють iз бшьшою точнiстю, в порiвняннi з дшчою методикою, виконувати розрахунки реальних напруг i деформацiй у рейках рiзних типiв. Це виникае при спшьнш ди на рейку вертикальних i горизонтальних сил (для коли на залiзобетонних i дерев'яних шпалах) при рiзних конструкц1ях жорстких i пружних рейкових скрiплень: КБ, КПП, Д0.

Ключовi слова: рейкова нитка; жорстшсть; пружнють; кручення; сили вертикально сили горизонтальнi

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

E. I. DANILENKO1*

1 Dep. «Railway Track and Track Facilities», State Economic and Technological University of Transport, Lukashevich St., 19, Kyiv, Ukraine, 03049, tel. +38 (044) 591 51 47, e-mail danilenko2010@mail.ru, ORCID 0000-0002-8518-5272

CALCULATION OF CHARACTERISTICS OF STIFFNESS AND ELASTICITY OF RAIL THREADS WHEN TORSION UNDER COMBINED ACTION OF VERTICAL AND HORIZONTAL FORCES

Purpose. Reference data in technical literature about such characteristics as stiffness and elasticity of rail threads at torsion are rather contradictory. This is due to the absence of correct analytical solution of this task and because of complexity of experimental studies of this problem under combined action of vertical and horizontal lateral forces. The article presents the new method of solving the task of calculation the real values of stiffness and elasticity modules of rail thread when torsion under combined action of vertical and horizontal lateral forces. Methodology. The complex method of solving the problem was used in the paper. It includes the theoretical part and the results of the experiment. Using the experiment the characteristics of horizontal lateral stiffness of the rail threads of the head and bottom at different constructions of the modern rail fastenings was measured. The second

task of determination of the real values of elasticity U(T) and stiffness p(T) modulus of the rail thread when torsion

was solved by the theoretical methods. Findings. New values of stiffness characteristics and elasticity module of rail thread when torsion for the modern rail constrictions P65, UIC60, P50 and the rail fastenings of the types Kl II I. KB, ,3,0, under combined action of vertical and horizontal forces and torsion were obtained. Originality. For the first time in domestic research it was carried out the experimental and theoretical solution of the task for determination of the real values of the stiffness and elasticity modulus of rail thread when torsion under combined action of vertical and horizontal forces of the wheel loadings. The solution is represented in the functional dependence on the correlation of vertical and horizontal forces U() = f (P/H) ; p(T) = f (P/H) acting together. The solution is carried

out for the modern designs of the rails of domestic standard P65, P50, P43 and international standard UIC60. Practical value. The obtained results make it possible to carry out calculations of the real acting strains and deformations in the rails of different types under the joint action of vertical and horizontal forces for railway track on concrete and wooden sleepers with different designs of rigid and elastic rail fastenings KB, Knn, ,0 with higher accuracy as compared to the current calculation methodology.

Keywords: rail thread; rail stiffness; elasticity; torsion; vertical forces; horizontal forces

REFERENCES

1. Basilov V.V., Chernyshev M.A. Spravochnik inzhenera-puteytsa. 2 Toma [Reference of a railway engineer]. Moscow, Transport Publ., 1972. 2 volumes.

2. Verigo M.F., Kogan A.Ya. Vzaimodeystviye puti i podvizhnogo sostava [Track and rolling stock interaction]. Moscow, Transport Publ., 1986. 559 p.

3. Verigo M.F., Krepkogorskiy S.S. Obshchiye polozheniya dlya korrektirovki «Pravil raschetov zheleznodorozhnogo puti na prochnost» [General provisions for adjusting the «Rules of calculation of railway track for strength»]. Trudy Vserossiyskogo nauchno-issledovatelskogo instituta zheleznodorozhnogo transporta [Proc. of All-Russian Research Institute of Railway Transport], 1972, issue 466, pp. 4-50.

4. Danilenko E.I., Velinets V.P. Eksperymentalni doslidzhennia kharakterystyk horyzontalnoi poperechnoi zhorstkosti i modulia pruzhnosti zaliznychnoi kolii pry riznykh konstruktsiiakh reikovykh skriplen [Experimental studies of characteristics of horizontal and lateral stiffness and elasticity modulus of railway track in various designs of rail fasteners]. Zaliznychnyi transport Ukrainy - Railway Transport of Ukraine, 2015, no. 4, pp. 3-11.

5. Danilenko E.I. Novitni doslidzhennia bichnoi pruzhnosti reikovykh nytok pry spilnii dii vertykalnykh i hory-zontalnykh syl [Recent researches of the lateral flexibility of the rail threads under combined action of vertical and horizontal forces]. Nauka ta prohres transportu - Science and Transport Progress, 2015, no. 6 (60), pp. 65-77. doi: 10.15802/stp2015/57021.

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)

6. Danilenko E.I., Velinets V.P. Teoreticheskoye resheniye zadachi po opredeleniyu realnogo bokovogo modulya uprugosti puti, pri sovmestnom deystvii na relsovuyu nit gorizontalnykh i vertikalnykh sil [The theoretical solution of the problem to determine the real lateral modulus of the track elasticity under the joint action of the horizontal and vertical forces]. Zbirnyk naukovykh prats Derzhavnoho ekonomichno-tekhnichnoho univer-sytetu transportu [Proc. of State Economic and Technical University of Transport], 2014, issue 24, pp. 106122.

7. Yershkov O.P. Raschet relsa na deystviye bokovykh sil v krivykh [Rail calculation for the action of the lateral forces in the curves]. Trudy Vserossiyskogo nauchno-issledovatelskogo instituta zheleznodorozhnogo transporta [Proc. of All-Russian Research Institute of Railway Transport], 1960, issue192, pp. 5-59.

8. Yershkov O.P. Kharakteristiki prostranstvennoy uprugosti relsovoy niti [Characteristics of the spatial elasticity of rail thread]. Trudy Vserossiyskogo nauchno-issledovatelskogo instituta zheleznodorozhnogo transporta [Proc. of All-Russian Research Institute of Railway Transport], 1960, issue 192, pp. 59-101.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

9. Taturevich A.P. Rezultaty opredeleniya fakticheskikh znacheniy zhestkosti puti dlya issledovaniy vzaimod-eystviya puti i podvizhnogo sostava [The results of determining the actual values of track stiffness to study the interaction of track and rolling stock]. Visnyk Dnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zaliznnychnoho transportu imeni akademika V. Lazaryana [Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan], 2003, issue 2, pp. 95-100.

10. Timoshenko S.P. Metod issledovaniy statisticheskikh i dinamicheskikh napryazheniy v relse [Method of research of statistical and dynamic stresses in the rail]. Statisticheskiye i dinamicheskiye problemy teorii uprugosti [Statistical and dynamic problems of the elasticity theory]. Kyiv, 1975, pp. 209-220.

11. Timoshenko S.P. Napryazheniya v zheleznodorozhnom relse [Stresses in the rail]. Statisticheskiye i dinamicheskiye problemy teorii uprugosti [Statistical and dynamic problems of the elasticity theory]. Kyiv, 1975, pp. 318-355.

12. Feodosyev V.I. Soprotivleniye materialov [Strength of materials]. Moscow, Nauka Publ., 1970. 544 p.

13. Shakhunyants G.M. Zheleznodorozhnyyput [Railway track]. Moscow, Transport Publ., 1969. 536 p.

14. Liu C., Ping Zeng Z., Wu B., Yuan J. Yu, He X.F. Experimental study on the transverse stiffness of WJ-8 rail fastening. Applied Mechanics and Materials, 2014, vol. 596, pp. 3-6. doi: 10.4028/www.scientific.net/ amm.596.3.

15. Koc W., Wilk A., Chrostowski P., Grulkowski S.Tests on lateral resistance in railway tracks during the operation of a tamping machine. Proc. of the Institution ofMechanical Engineers, Part F: Journal of Rail and Rapid Transit, 2011, vol. 225, issue 3, pp. 325-334. doi: 10.1243/09544097jrrt324.

Статья рекомендована к публикации д.т.н., проф. Н. Б. Курганом (Украина); научн. комитетом XIVМеждунар. конф. «Проблемы механики железнодорожного транспорта. Безопасность

движения, динамика, прочность подвижногосостава, энергосбережение»

Поступила в редколлегию: 12.05.2016

Принята к печати: 14.09.2016