Прогнозирование спектральных характеристик многослойного интерференционного фильтра Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 623.4.055 Пимкин А.Д.

Москва, в/ч 38994

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОСЛОЙНОГО ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОГО ФИЛЬТРА

Аннотация. Приводится математическая модель многослойного интерференционного защитного фильтра от ослепляющего действия лазерного излучения. Описано содержание основных этапов прг-нозирования спектральных характеристик фильтра в электродинамической постановке. На конкретном примере показано влияние погрешностей толщин напыляемых слоев на рассеивание спектральных характеристик.

Ключевые слова. Многослойный интерференционный фильтр, математическая модель, алгоритм прогнозирования, спектральные характеристики.

По простоте и надёжности элементов защиты органов зрения и оптических приборов от лазерного излучения (ЛИ) в видимом и ближнем инфракрасном диапазонах длин волн всё большее распространение находят многослойные интерференционные фильтры. Возможные ограничения в видимом диапазоне наблюдения могут быть сняты в случае корректного решения задачи проектирования многослойного покрытия и снижения технологических погрешностей толщин напыляемых слоёв.

С помощью многослойных покрытий, состоящих из чередующихся слоёв четвертьволновой оптической толщины с высоким П2 > 1,9 и низким ni > 1,48 показателями преломления, можно повысить отражение прозрачной или частично прозрачной подложки. Коэффициент отражения растёт по мере увеличения числа слоёв покрытия тем быстрее, чем больше разница показателей преломления слоёв. При этом зависимость коэффициента отражения R от длины волны излучения X, падающего на покрытие, определяется оптической толщиной слоёв покрытия и их показателем преломления.

Практическая реализация многослойных оптических систем сопряжена с рядом принципиальных трудностей. В основном - это отклонения коэффициентов преломления и толщин напыляемых пленок от рассчитанных, которые вызваны как самой технологией получения пленок, так и несовершенством методов контроля. В большинстве работ по синтезу интерференционных покрытий вопросы исследования устойчивости спектральных характеристик многослойных структур практически не затрагиваются. В первую очередь, это связано с некорректностью самой задачи и отсутствием критериев отбора наиболее пригодного из полученных решений. В работе [1 ] с использованием методики анализа стабильности спектральных характеристик многослойных систем проведены исследования искажения спектров пропускания узкополосных интерференционных фильтров к вариациям в толщинах слоев тонкопленочного оптического покрытия.

В основе численных методов синтеза интерференционных покрытий лежит задача минимизации функции качества в заданной области D3m - мерного пространства, где т - число слоев интерференционного покрытия [2 . В настоящее время используются различные варианты функции качества Кбь численно характеризующей разность расчетного значения отражения r(x,x) (или пропускания ) т (хл) и эталонного R(A) (или Т(А)). Здесь 3т-мерный вектор-столбец X, определенный в D3m линейном пространстве, задает толщины, показатели преломления и поглощения пленок. Длины волн задаются либо дискретно, в этом случае проводится суммирование по длинам волн, либо непрерывно, тогда вычисляется интеграл по длинам волн. Однако ограниченность анализа покрытия 19-ю слоями существенно снижают практическую ценность данной методики.

В случае, когда многослойные диэлектрические покрытия являются однородными по толщине, коэффициенты отражения и прохождения оптического фильтра определяются из решения краевой задачи дифракции ТЕМ-волны на системе однородных диэлектрических пробок в канале Флоке по зависимостям

I _ i2 I _ |2

й = фаф, т = г+М_ (R+T = 1). (i)

|ci+(d| |с1+а)|

Коэффициенты отражения и прохождения для метода лучевой теории и

электродинамического подхода определены единообразно на основе закона сохранения энергии. Это позволяет сравнивать результаты математического моделирования, полученные различными методами.

Для решения задачи дифракции (рис. 1) используем автономные блоки в виде отрезков канала Флоке с однородным заполнением в виде диэлектрической пробки (рис. 2).

Рис. 1. Система однородных диэлектрических пробок в канале Флоке:

М+(1) , М(1) , С® - соответственно амплитуды падающей, отраженной и прошедшей

ТЕМ-волн; S, S - входные сечения; Z 2 - локальные системы координат для входных сечений

212

d

S s,p

1 - 2 - 3 - 4

- - N

S

S,

а б

Рис. 2. Декомпозиционный подход математического моделирования оптических фильтров с однородными диэлектрическими покрытиями: а - автономный блок; б - декомпозиционная схема многослойного диэлектрического покрытия

Матрица проводимости такого автономного блока описывается системой скалярных функций {umn} :

^ ( (2пт + mr 2пп + тг „ jj

umn — C exphl --^ X +--- ^ y-Tmnz , (2)

( 2жт + фхЛ 2 ( 2жп + фу

Гтп=jja2£оА)^-(2'""(+Ч'Хj -|^""ф ^

являющихся решениями уравнения Гельмгольца V^u^ + ZmUmn — 0 •

При разработке покрытия с большим числом слоёв главной задачей повышения его качества является уменьшение потерь, связанных с рассеянием излучения [3 ] . Область высокого пропускания является наиболее чувствительной к систематическому рассогласованию оптических толщин слоёв, вызванному наличием дисперсии показателей преломления и ошибок, возникающих при сквозном контроле оптических толщин слоёв. Это приводит к появлению характерной полосы повышенного отражения в области пропускания системы. Систематические ошибки в толщинах слоёв могут быть связаны с неоптимальным расположением контрольной пластины и подложек относительно испарителей. Значения показателей преломления слоёв могут заметно меняться в зависимости от метода испарения материалов и таких технологических параметров, как остаточное давление в вакуумной камере, температура подложек и др. Указанные отклонения могут приводить к значительному изменению спектральной характеристики даже при достаточно высокой точности устройства контроля оптической толщины слоёв [4].

С учётом изложенного была разработана методика прогнозирования спектральных характеристик многослойного интерференционного фильтра, алгоритм которой состоит в следующем.

1. Область многослойного диэлектрического покрытия оптического фильтра разбивается условными границами на прямоугольные параллелепипеды (автономные блоки) (рис. 3). Для этого автономного блока поверхностные и тройные интегралы вычисляются аналитически

[Ы -a — d-a — В-В = 0,

\м -b —A-a —d-b = 0,

(3)

\U-b = l

где N, d, B, M, A, U - матрицы с элементами:

Bkn=im Мм2-

Akn=ia> el8hl+icoeq{e1-el)\{Rn-E,k)dV ;

Xup) - J i^np) xHk)-dSp,

dn — i X 8*n ;

Мккр) - | ih(p) *Ek)-dSp

uq(a)n= \{eqia)xHD-(Ea; «,/? = 1,2,...6; k,n = 1,2,..,,X q,l = l,2,...,L ■

Здесь ДА - количество базисных функций, учтенных в объеме jy параллелепипеда; L - количество базисных функций, учтенных на гранях параллелепипеда. Векторы а, Ь, а? b (3) составле-

ны из коэффициентов рядов Фурье

{ап} Г {к} И {^(Р)}*

где

S

V

р

S

213

x.

Рис. 3. Автономный блок для решения задач дифракции электромагнитных волн на

неоднородных диэлектрических слоях интерференционного оптического фильтра: ^ — 1 ; J/ ~

основная область автономного блока

Исключая векторы а, b из системы алгебраических уравнений (3), получаем следующее матричное уравнение:

b = ((U • Q—1 • M - гг1 • U • Q—1 • A • d—1 • n)- a' (4)

где Q = d — A• d-1 • B , I - единичная матрица.

Если е > g , то V ~ область с высоким (В) показателем преломления; V — V ~ область с низким (Н) показателем преломления. Если g < ^, то наоборот, V - область с низким (Н) показателем преломления; V —V - область с высоким (В) показателем преломления.

Далее составляется декомпозиционная схема (рис. 4).

а б

Рис. 4. Математическая модель оптического фильтра с неоднородными диэлектрическими слоями: а) декомпозиция на автономные блоки;

б) рекомпозиционная модель; ______ - виртуальные каналы Флоке автономных блоков;

4(1) 4(1)

4(2)

амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн

(isu,/fu) - падающая ИЕМ-волна; в каналах Флоке; n хN хN - количество автономных блоков

В результате рекомпозиции дескрипторов автономных блоков получаем матрицу проводимости оптического фильтра в базисе каналов Флоке автономных блоков (рис. 4,а). Преобразуем эту матрицу в матрицу проводимости в базисе каналов Флоке поперечных сечений оптического фильтра отно-

S (рис. 4,б). Для этого базовый элемент оптического фильтра будем рас-

сительно входных

сматривать как волноводный трансформатор с входными сечениями S1, S2,..., S6 (рис. 5), к которым присоединены волновые каналы. Волновые каналы волноводного трансформатора стыкуются с каналами Флоке на входных сечениях S1,S2,...,S6 .

214

Рис. 5. Базовый элемент оптического фильтра

Объединим каналы Флоке автономных блоков, принадлежащие входным сечениям Si9 S2,..., S6 волноводного трансформатора, и запишем матрицу проводимости, используя клеточную форму л/16Л

Y =

Г12

Г 22

(5)

Y61 Y62 Y6

VY Y ■■■ Y j

Каждая клетка матрицы Y имеет структуру: (

Yap —

Yf Yak ■ \ap 2 ■ Yl, Np

\af y21 \af Y22. \ap ■ Y2,Np Уск Ы II (6)

\7af YNa,l \af Y N a,2 • \raf ■ YNa,Np j

где Na

N,

f

количество граней автономных блоков на входных сечениях Sa, Sp (а, р = 1, 2,

.., 6) волноводного трансформатора.

Каждая клетка матрицы Yap является многомодовой

ее элементы обозначим ,

номер ав-

S

21

26

l

тономного блока, грань которого находится на входном сечении Sa (l = 1, 2, ..., Nat а = 1, 2, ...,6); m - номер автономного блока, грань которого находится на входном сечении Sp (m = 1, 2, ..., Np; р = 1, 2, .,6); k - номер типа волны в канале Флоке (на грани) автономного блока с номером l на входном сечении Sat n - номер типа волны в канале Флоке (на грани) автономного блока с номером m на входном сечении Sp. На рис. 6 показано расчленение одного из входных сечений Sa волноводного трансформатора, гранями автономных блоков, которые являются виртуальными каналами Флоке.

Sa(l)

Sa(2)

Sa( l) Sa

e °a((a )

Рис. 6. Расчленение входного сечения волноводного трансформатора гранями автономных блоков: S - грань автономного блока с номером l

на входном сечении Sat Na - количество граней на Sa

Поперечное электромагнитное поле на каждом входном сечении Sa разложим в ортогональные ряды Фурье

Е<х = ^ак(а)вк(а)’ На = ^^к(а)^к(а)> П)

к=1

к=1

где ек(а) ' \{а) ~ поперечные компоненты собственных волн волновых каналов волноводного

трансформатора. Это поперечное поле разложим в ряд Фурье (по областям), используя собственные волны каналов Флоке:

, 1 = \л,-,Na , (8)

где е.

■к(а)1

пк{а)1

поперечные компоненты собственных волн каналов Флоке; l - номер автономного

блока, грань которого находится на входном сечении Sa

215

Проектируя выражения (7) и (8) на базисы

КлМ*)}' {г

\{0)т

и учитывая

Sp = S^ ^^...^S^^...^S^^ ^, получаем следующие системы линейных алгебраических уравнений

P Np ад

ak(а) = Mk{a),n{p)man{p)m

р=1 m=l k=1

bk m = IH N (

Jk (а) * / * * * k (a'),n(p')mbn(p')m ,

p=1 m=l k=1

P ад

ak(a)l * * ** 'jPk(a')l,n(fi')an(fi')

p=1 k=1

; (9-12)

Ьк(а), =**Qk (a)l,n(p)bn(p), (а = 1 2,.... P;l = 1 2... Na, k = 12, ...)

p=1 k=1

Коэффициенты в системах линейных алгебраических уравнений (9)- (12) определяются следующим

образом:

M,

k (а ),n(p)m

8ар | (ek(a)l Xb„(p))^p(m)

Sp(m)

bbk(a),n(p)m 8а.р J (3(а) Х Ьп(Р)) ^Р(т) ’

■VH

Рк(а)1,п(р) - 8ар | ipk(a)xbn(p)m)C^a(l)

а)

Qk(a)l,n(p) 8а.р | (Ьк(а)хЬп(р)т)С^а(1) '

_JX а = Р;

6ар “[О, аФр.

Запишем системы линейных алгебраических уравнений (9) - (12) в матричной форме a = M*аФ ; b = N• ЬФ ; аФ = P• a ; ЬФ = Q• b . (13)

Компонентами векторов a, Ь, аф, Ьф являются соответственно коэффициенты ак(а), bk (а), ак(а)1г Ьк(<а) i рядов Фурье (7), (8). Из матричных выражений (13) следует унитарность следующих матриц:

a = (M• P)-а ; b = (N• Q)-b ; аФ =(P• M)-аФ ; ЬФ =(Q• N)-ЬФ . (14)

Матрицы M, N, P, Q и имеют блочно-диагональную структуру по входным сечениям волноводного трансформатора:

M, N, P, Q

Матрица проводимости Y базового элемента (волноводный трансформатор фотонного кристалла) записана в базисах собственных волн каналов Флоке

и скомпонована так же, как и векторы аф и Ьф. Подставляя третье и четвертое матричные уравнения из (13) в уравнение (15), получаем Y • P • а = Q • b .

Умножим слева это матричное уравнение на матрицу N N • Y • P • а = N • Q • b ,

и учитывая унитарность матрицы N•Q (14), получаем (N • Y • P^ а = b .

Матрица Yb = N• Y • P является матрицей проводимости волноводного трансформатора, записанная в базисах собственных волн волноводных каналов волноводного трансформатора.

Матрица сопротивления Z волноводного трансформатора, записанная в базисах собственных волн каналов Флоке автономных блоков, имеет форму записи:

Z Ьф=аФ .

Учитывая выражения (13) и (14) аналогично получаем

(M• Z• Q^b = а ,

где ZB = M • Z • Q - матрица сопротивления волноводного трансформатора, записанная в базисах собственных волн волноводных каналов волноводного трансформатора.

Каналы Флоке с волновым каналом на входных сечениях волноводного трансформатора образует скачкообразную нерегулярность (стык волновых каналов). Скачкообразная нерегулярность является волновым трансформатором с входными сечениями Sa, Sa(1), Sa(2), ■■■, Sa(i), ..., Sa^N Для этого вол-

новодного трансформатора существует только матрица рассеяния (объем волноводного трансформатора вырождается в нуль).

Определим элементы этой матрицы рассеяния из матричных уравнений (13) . Учитывая, что а = с++ с— , b = с+— с" , аф = сф + сф , Ьф = сф — сф , из выражений (13) получаем следующие матричные уравнения:

N

P

где

Y^ аФ = Ьф (15)

216

- M 1 ' c+ 1 f-1 M

-Q I v c+ J l-Q I

-N1 ' c +1 =f I- -N1

- P IJ- v c Ф J =i P- -I J

(16)

(17)

Решая матричные уравнения (16), (17)

двух вариантах:

(18)

M1-1 f I - M

-Q IJ l-Q I

- N1-1 f I - N1

p -I J V-p I J

Rc =

Rc =

определим матрицу рассеяния стыка волновых каналов в

Запишем матрицу проводимости автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда с диэлектрическим включением и каналами Флоке на гранях в виде:

Y = (U• Q-1 • M-1)-1 • U• Q-1 • A• d-1 • N , (19)

где Q = d — A•d-1 • B, I - единичная матрица, d, N, B, M, A, U - матрицы с элементами:

У =гА8У

У/(Р) = {(9(е)Х#;)-й»9 Bin=im Mtm = \(hmxE;)-dS/

S, "

kl(P) “ ]V4(P) '

SR

Ak„ = ia) ei5h,+ia)Уе-У{(У -K)dv

U , , = f(e , ,xH*)-dS '

q(a)n J V q(a) n J a

S

a,p = 1,2,...6; k,n = 1,2,...,N; q,l = 1,2,...,L •

2. Дескрипторы (матрицы проводимости) автономных блоков альным каналам Флоке с использованием матричного выражения

Y = Y

аа

( YaP + Yay

)•( ypp + Y”

)-1 •( YTa +

Ypa) •

объединяются между собой по

вирту-

В результате рекомпозиции получаем матрицу проводимости диэлектрического многослойного тического фильтра.

3

Используя матричное выражение

R = (I + Y) 1 (I - Y) ,

оп-

матрица проводимости диэлектрического многослойного оптического фильтра преобразуется в матрицу рассеяния.

4. Из матрицы рассеяния диэлектрического многослойного оптического фильтра определяются коэффициенты отражения и прохождения оптического фильтра.

5. Используя генераторы случайных чисел, распределенных по нормальному закону для имитации геометрических размеров автономных блоков, на которые разбивается диэлектрическое многослойное покрытие оптического фильтра, моделируются реализации коэффициента отражения и пропускания оптического фильтра.

6. По реализациям случайного коэффициента отражения и пропускания определяются математическое ожидание и дисперсия коэффициента пропускания и отражения оптического фильтра.

Таким образом, задаваясь стохастическим распределением толщины напыляемых слоёв (рис. 4.2), можно прогнозировать рассеивание спектральных характеристик фильтра. Для понимания принципиальной картины изменения исследуемых характеристик и их визуализации варианты статистических распределений коэффициентов пропускания ограничивались 40-ка реализациями. Для среднеквадратичного отклонения (СКО) толщины слоя 3 и 9 нм результаты статистического моделирования представлены на рис. 4.3.

217

Рис. 4.2. Вариант исходных данных при СКО толщины слоя 9 нм

ВЙ Mathcad - |вероятностная модель l.mcd]

а

218

б

Рис. 4.3. Стохастическое распределение коэффициентов отражения при СКО толщины слоя 3 нм (а) и 9 нм (б)

Таким образом, при изготовлении многослойных интерференционных фильтров определяющую роль в достижении заданных спектральных характеристик играет обеспечение точности толщин напыляемых слоёв, которая не должна превышать 3-х нм.

ЛИТЕРАТУРА

1. Котликов, Е. Н., Тропин, А. Н. Критерий устойчивости спектральных характеристик многослойных интерференционных покрытий [Текст] //Оптический журнал. - 2009. - Т. 76. - №3. С. 60 -

64.

2. Мешков, Б. Б. Проектирование интерференционных покрытий [Текст] //Б.Б. Мешков, П.П. Яко-

влев. - М.: Машиностроение, 1987. - 185 с.

3. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн [Текст] //В.В. Никольский,

Т.И. Никольская. - М.: Наука, 1989. - 544 с.

4. Ершов, А.В. Многослойные оптические покрытия [Текст] //А.В. Ершов, А.И. Машин. - Учеб-

но-методический материал: Нижний Новгород. - 2006. - 99 с.

219