CC BY
105
УДК 623.4.055
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ ФАБРИ-ИЕРО ПРИ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
А. Д. Пимкин
Рассмотрим случай дифракции плоской однородной электромагнитной волны на двумерно периодической структуре под произвольным углом падения. Для решения краевой задачи дифракции электромагнитных волн на неоднородных диэлектрических слоях интерференционного оптического фильтра используем автономный блок в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 1). Если относительная диэлектрическая проницаемость второго слоя е2 больше первого - е1, то V - область с высоким показателем преломления; V0 - V - область с низким показателем преломления. Если е2 < е15 то, наоборот, V - область с низким показателем преломления; V0 - V - область с высоким показателем преломления. Относительная магнитная проницаемость слоев принимается | = |2 = 1.
Для однородных диэлектрических слоев решается одномерная задача дифракции, для неоднородных слоев - трехмерная задача дифракции. На рис. 2,а показана декомпозиция неоднородных по толщине диэлектрических слоев на автономные блоки. Аппроксимация неоднородности по толщине диэлектрического слоя ступенчатая. Ступенчатая модель приближается к своему плавному прообразу по мере увеличения количества автономных блоков в плоскости входного сечения 51 или 52.
Решение задачи дифракции для оптического фильтра в целом ищется как рекомпозиция дескрипторов автономных блоков. Параметры оптического фильтра (коэффициенты отражения и пропускания) определяются из дескриптора фильтра. В результате рекомпозиции дескрипторов автономных блоков получаем матрицу проводимости оптического фильтра в базисе каналов Флоке автономных блоков (рис. 2,6). Эта матрица преобразуется по следующей методике.
Рис. 1. Модель автономного блока
а)
N..
<
/
■К%= 0
б)
/ / / / 7^= ✓ /
/ / / / / / / ' у\
о (і Ч4'ч / / *7 сі(і) / / а" , —л— Л
/ ✓ / / < •і / /
-1(2)
Ет = 0
"1(1).
1(1)
1(2) —►
Я 2
У
Я Я 2
,Й
х °
V
N.
Рис. 2. Модель оптического фильтра с неоднородными диэлектрическими слоями: а - декомпозиция на автономные блоки; б - рекомпозиционная модель - виртуальные каналы Флоке
автономных блоков; [Ё0, Й0- - падающая ТЕМ-волна; с^), Сщ),с^2) - амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн в каналах Флоке; N. хNy х N2 - количество автономных блоков
Касательные составляющие электрических и магнитных полей на гранях «сшиваемых» параллелепипедов представлены рядами Фурье [1]:
Е і=Е а (і)еі (і^Й і=Е • (і) ь (і) на Яі; і=і
і=і
Е 4 = Еаі(4)Єі(4),Й 4 = Е• (4)^1 (4) і=і і=і
на Я4.
(і)
(2)
X
X.
Яі Я4
Рис. 3. Рекомпозиция автономных блоков в локальных системах координат на гранях параллелепипедов
Локальные системы координат на гранях Яі и Я4 (рис. 3) отличаются лишь продольными координатами - они имеют противоположные направления. Положительное направление вектора Пойнтинга для собственных волн канала Флоке в системе координат грани Яі является отрицательным в системе координат грани Я4:
Єі (і) Х ^і (і) Єі (4) Х ^і (4), і і, 2, ...
(3)
+
Из выражения (3) следует [1]:
е1 (1) = в1 (4), к (1) =-к1 (4), I = 1,2,... (4)
Условия непрерывности касательных составляющих электрического и магнитного полей Е1 = Е 4, Н1 = Н 4 на «сшиваемых» гранях £ и £ представленных рядами Фурье (1), (2), с учетом соотношений (4), сводятся к равенству коэффициентов:
а1 (1) = а1 (4),Ь1 (1) =-Ь1 (4),1 = 1, 2,... (5)
На «сшиваемых» гранях £1 и £4 касательные составляющие электромагнитного поля можно представить также и в виде суперпозиции составляющих прямых и обратных волн каналов Флоке:
Е1 = Е (С к(1) + С к(1))ек(1), Н1 = Е (С к(1) - С к(1))кк(1)’ (6)
к=1 к=1
Е 4 = Е (с к(4) + С к(4) )ек(4), Н 4 = Е (с к(4) - С к(4))кк(4) . (7
к=1 к=1
На рис. 4 показан фрагмент рекомпозиции автономных блоков в виде прямоугольных параллелепипедов. Первый автономный блок соединен со вторым, третий блок необходимо соединить с двумя первыми. Составим из клеток многоканальных матриц проводимости УА и УВ сводную матрицу Ус. Для наглядности будем полагать, что виртуальные каналы Флоке, обозначенные цифрами, остаются несвязанными, а виртуальные каналы Флоке, обозначенные буквами, попарно соединены между собой. Объединение многомодовых объектов А, В осуществляется по виртуальным каналам Флоке, обозначенным Р и у.
а) б)
Рис. 4 Рекомпозиция дескрипторов автономных блоков: а - фрагмент оптического фильтра; б - декомпозиционная схема фрагмента
Представим сводную матрицу Ус в виде клеток, разделенных горизонтальными и вертикальными прямыми:
Р у 1 2 3
Р У РР 0 У Р1 У Р2 0
у 0 У уу 0 0 У у3
1 1Р У 0 У11 У12 0
2 У 2Р 0 У 21 У 22 0
3 0 У 3у 0 0 У 33
УС = 1 У 0 У У и ... (8)
Клетки сводной матрицы УС, в которых встречаются сочетания индексов, принадлежащих
различным блокам, равны нулю. Совокупность индексов 1, 2, жение (8) можно записать более компактно:
Л
К =
0
лРа Л
0 у уу у уа
у ар у ау у аа
обозначим через а, тогда выра-
(9)
На основании (9) в терминах клеточных матриц имеем следующие матричные уравнения:
Ьр = уРР- ар+ уРа- аа;
Ьу= ууу- ау + ууа- аа;
Ьа= уар- ар+ уау- ау+ уаа • аа.
(10)
Наложим на матричные уравнения условия связи для локальных систем координат граней параллелепипеда (см. рис. 3) ар = йу,Ьр =-Ьу, что соответствует непрерывности касательных, со-
—А —В — А — В
ставляющих Ет = Ет , Нт = Нт , на гранях сшивания автономных блоков, и исключим векторы ар, йу, Ьр, Ьу. После несложных преобразований имеем
Ьа = ^уаа - (уар + уау) • (урр + ууу) 1 • (ууа + ура ^ • аа .
(11)
Таким образом, многоканальная и многомодовая матрица проводимости У, полученная в результате объединения объектов А, В, будет определяться как
у = уаа — (уар + у ау ) ^ (урр + ууу )-1 ^ (ууа + ура )
(12)
Процесс рекомпозиции автономных блоков, которые описываются многоканальными и многомодовыми матрицами рассеяния, включает составление сводной матрицы Яс, структура которой аналогична структуре сводной матрицы Ус (9):
(13)
' Ярр 0 Яра Л
Яс = 0 Я уу Яуа
Яар Яау Яаа
В терминах клеточных матриц имеем следующие матричные уравнения, связывающие падающие и отраженные волны в связанных виртуальных каналах:
с— = Ярр • с+ + Я
с— = Яуу Су + Я
ра • с + •
уа .с + •
а
(14)
са=я ар • ср+я^р • су+я™ • са.
?ар
На матричные уравнения (14) не наложено никаких условий связи; написанные в развернутой форме эти уравнения, в сущности, распадаются на системы, каждая из которых характеризует
объекты А, В. Наложим на уравнения (14) условия связи с* = с”,с” = с* и исключим из них векторы Ср , с”, с*, с”. После несложных преобразований имеем
Я = яаа — ( я ар Яау ) •
(
-Яр
I
-Я уу
Л 1 (Яра Л
Я уа
(15)
Рекомпозиция дескрипторов автономных блоков, описанных матрицами сопротивления, осуществляется по формуле, аналогичной (12):
2 2аа + (2ар + 2Щ ) . (2рр _ 2" )-1 • (2У“ - 2ра ) .
(16)
Краевое условие Ет = 0 на гранях автономных блоков при использовании матрицы проводимости является фиксированным - оно не накладывается. Для автономного блока, описанного матрицей сопротивления, фиксированным является краевое условие Нт = 0 . Получим матричные выражения для наложения не фиксированных краевых условий.
Разделим матрицу проводимости У автономного блока горизонтальной и вертикальной линиями на четыре клетки:
I
У = I У1
а У
а1
а
у 1а у аа
(17)
Индексу I соответствуют грани автономного блока, на которых создается краевое условие Нх = 0 (магнитная стенка), индексу а - грани, не подлежащие магнитному закорочению. В клеточных терминах на основании выражения (17) имеем следующие матричные уравнения:
Ь1 = У11• а1 + У1а • аа; Ьа= Уа1 • а1 + У аа. аа
(18)
Накладывая на матричные уравнения (18) условие Ь1 = 0, что эквивалентно Нт = 0 на гранях блока, и исключая вектор а1, определяем матрицу проводимости автономного блока:
У у аа у а1 (У 11 ) У^а
(19)
Для автономного блока, который описывается матрицей сопротивления, для краевого условия Ет = 0 (электрическая стенка) имеем аналогичное выражение
2 2аа 2а1 (211 ) У^а
(20)
Краевые условия Ет = 0 (электрическая стенка) и Нт = 0 (магнитная стенка) для автономного блока, который описывается матрицей рассеяния Я, накладываются так же, как и в случае матриц проводимости и сопротивления. При наложении краевых условий Нт = 0 матрица рассеяния определяется матричным выражением
->а/ / т Г)11 >
Я = Яаа + Яа1 • (I _ Я11) при наложении краевых условий Ех = 0 выражением
• Я
1а
Я = Я““ + Яа1 • (I + Я“) • Я
1а
(21)
(22)
На заключительном этапе матрица проводимости оптического фильтра преобразуется в матрицу рассеяния, из которой определяются коэффициенты отражения и пропускания
Я =
2
с1(1)
2
с1+(1)
Т =
'1(2)
(Я + Т = 1).
(23)
4(1)
Падающая волна Е0, Н0 и с ней поле дифракции подчинены теореме Флоке в форме [2]:
E(x + a,y,z) = E(x,y, z)exp(-iфx) H (x + a, y, z ) = H (x, y, z )exp (-іф x) E(x,y + b,z) = E(x,y,z)exp(іфy),
H(x,y + b,z) = H(x,y,z)exp(іфy )
(24)
где фх = Гиа cos а , фу = Гnb cos Р; а, Р - углы ориентации направления распространения волнового процесса (см. рис. 2). Угол падения 0 с углами а и Р связан соотношением cos2 а + cos2 Р + cos2 0 = 1 . Требованию (24) будет также удовлетворять система скалярных функций Kn} :
Umn = С exp
( (2nm + фx 2т + ф у V*
i'l ------ x +-------— — y - rmnz
Л a b /У
(25)
где rmn=л/ю2є0^0є^-%mmn=
ю є0ц0єц-
являющихся решениями
2 2
уравнения Гельмгольца V1umn + %тпитп = 0.
Построение векторных функций Етп, Нтп как Е-волны при Етп = г0итп и как #-волны
при Нгтп = 1,0итп проводилось по следующей методике.
Собственные волны канала Флоке определим из решения краевой задачи для уравнения Максвелла с периодическими условиями на стенках канала. Запишем уравнения Максвелла для гармонических колебаний [2]:
rotHm = iюЄoЄEm; rotEm = -irn|l0^Hm
(26)
где ю = 2%/ - круговая частота колебаний; Ет , Нт - амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей; е, ц - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости; е0 , ц0
- электрическая и магнитная постоянные.
Уравнения Максвелла (26) в прямоугольной декартовой системе координат имеют следующий вид:
OH OH
Oy Oz
OHmz OHmx
Ox Oz
OHmy OHmx
Ox
Oy
m— = i^Emx,
= -i“VEmv ,
= ІЮЄ0ЄEmz;
OEmz OE
Oy Oz
OEmz OEmx
Ox Oz
OEmy OEmx
Ox Oy
my =-irn^0MHmx, = ,
= -i“^0MHmZ;
(27)
здесь Е , Е , Е , Н , Н , Н - соответственно компоненты векторов электрического и
^ тх ’ ту ’ тг ’ тх ’ ту ’ тг ~ г
магнитного полей Е и Н .
т т
Решение уравнений Максвелла (27) для бесконечно протяженного канала Флоке будем искать в виде плоской неоднородной волны [2]:
Em = E(x, y)exp(-iГz), Hm = H (x, y)exp(-iГz),
(28)
где Е(х, у), Н(х, у) - функции, характеризующие распределение электромагнитного поля на поперечном сечении канала Флоке; Г - постоянная распространения волны в канале Флоке. Внося выражения (28) в системы уравнений (27), имеем
ЭЕ„
Эу
ЭE,
Эx
+ /ГЕу = -i'ro^0MHx,
+ іГЕх = іюц 0^Hy
ЭЕу 9Ex
Эx Эу
= -i'ro^0^Hz;
9Hz
Эу
9Hz
Эx
9HV 9Hx
+ iTHy = іюр0рЕх ,
+ іГHx = -іюр0рЕу ,
= ІЮР0РE:
(29)
Эx Эу
где Ех, Еу , Е2, Их, Ну, Н2 - соответственно компоненты векторов Е (х, у) и Н (х, у ).
В уравнениях (29) поперечные компоненты Ех, Еу , Нх, Ну можно выразить через продольные, т.е. Ег, И . Действительно, первая строка в левом столбце и вторая в правом - это система линейных алгебраических уравнений относительно Еу и Н х , а вторая строка в левом столбце и правом в первом - такая же система относительно Ех и Ну. Запишем решения этих алгебраических систем:
Ex =-
/г эе^
X2 9x
іюц0ц 9Hz іюр0р ЭЕ.
-------------■, H x =----------!
іГ 9H,
X
Эу ’■
Ey ="x2 Эу
X
іГ 9Ez іюц0ц 9Hz „ іюр0р 9Ez іГ 9H
My = -
2 Эу X2 9x
0*
(30)
X2 дх X2 дх X2 ЭУ
Полученным выражениям (30) можно придать более компактный вид. Обозначая поперечные составляющие части векторов Е (х, у), Н (х, у) символами Ег, Нг:
Е = Ех^+Еу1; Ht = Н/ + Ну1,
находим
Е, = -ГViEz-'“•bitro,iH,; Ht = ‘“*0*ro,iE: - ^V IH
XX XX
(31)
где X2 = ю2£0£^о^_Г2; V - оператор Лапласа; ± - символ, который обозначает, что операция производится по координатам, лежащим в поперечной плоскости z = const, Ez = Ezk,Hz = Hzk; / , j , k - единичные орты, направленные соответственно вдоль координатных осей ox, oj, oz.
Поперечные компоненты электромагнитного поля плоской неоднородной волны состоят из двух частей (31), одна из которых обращается в нуль вместе с компонентой Ez , а другая - с Hz . Частный класс плоских неоднородных волн составляют такие, которые лишены продольной компоненты Hz = 0. Такие волны называются E-волнами (электрическими волнами) [2].
Положив в выражениях (31) Hz = 0, с учетом выражений (28) получаем следующие выражения для векторов поля для волн этого класса:
Em =
^ - іГ - ^
Ez - — Vi Ez X2
H = іЮР0Р Hm
exp(-iTz); 2 rotiEz exp(-iTz),
зз
Другой частный класс образуют плоские неоднородные волны без продольной электрической компоненты Ег = 0. Такие волны называются Н-волнами (магнитные волны) [2]. Взяв в выражениях (31) Ег = 0, получаем
Em = іюц°ц rotiHz exp(-iTz);
Hm =
X
( - ‘Г - ^
Hz - — V±H X2
(33)
exp(-iTz).
Третий частный класс включает чисто поперечные волны Ег = 0, Н = 0, которые называются ТЕМ-волнами (поперечно-электромагнитные) [2]. Из выражений (31) видно, что если Ег = 0 и Нг = 0,
то при X ^ 0 обращаются в нуль все компоненты поля, а это значит, что ТЕМ-волны не существуют. Однако данный запрет снимается при X ^ 0, поскольку выражения всех поперечных компонент становятся при этом неопределенностями вида 0, где 0 - бесконечно малые величины.
Поле ТЕМ-волны можно рассматривать как предельный случай Е-волны при Ег — 0, X — 0 или Н-волны при Н2 — 0, X —— 0. Поэтому для ТЕМ-волн на основании выражений (32) и (33) имеем следующие выражения:
Em =V_^exp(-iTz);
Hm =
: ^-р0р(к x V^)exp(-iTz),
(34)
где ф= lim -‘Г Е ,
Ez ^0,X^0 X2
E=
m
-0-
Р0Р
|v±^x k jexp(-iTz);
(35)
Hm =V1^exp(-i—z);
здесь у = lim —Г H .
hz ^0,X^0 X2
Преобразуем уравнения Максвелла (26). Применяя операцию rot к первому уравнению и подставляя в него второе уравнение, имеем
rot rot Hm =rn2£0£|l0^Hm . (36)
Используя дифференциальные формулы векторного анализа [4], из уравнения (36) получаем
(37)
grad diVHm -V2Hm =“2p0-0*-Hm .
Применяя операцию ко второму уравнению Максвелла и используя дифференциальные формулы векторного анализа [4], имеем
divHm = 0.
С учетом выражения (38) уравнение (37) имеет вид
V2Hm +“2P0-0P-Hm = 0 .
(38)
(39)
Дифференциальное уравнение (39) является уравнением электродинамики второго порядка. Аналогично можно получить дифференциальное уравнение второго порядка относительно Е :
V2 Em +“2p0-0*-Em = °.
(40)
Подставляя выражения (28) для плоских неоднородных волн в выражения (39) и (40), получаем двухмерные векторные уравнения Гельмгольца
V2 Е (х, у) + х2 Е (х, у) = 0; VIН (х, у) + х2 Н (х, у) = 0,
(41)
2 2 2
где X = Ю еоМюФ*- Г , которые применяются при изучении электромагнитных волн в волновых каналах Флоке. Каждое из векторных уравнений (41) эквивалентно трем скалярным относительно Ех, Еу, Ег и Нх, Ну, Нг. Поперечные компоненты волн Ех, Еу, Нх, Ну определяются через
продольные Е2, Н . Сформулируем и решим краевые задачи для уравнений Гельмгольца относительно Е , Н . Используя формулы (32)-(35), определим поперечные компоненты волн
Ех, Еу, Нх ] Ну. 2
Краевая задача для определения Е2 формулируется в виде [5]
)2 х у) Э 2 х у) 2
- + Х2 Е2 (х, у) = 0
Эх
2 Эу 2
а 1 г (а
2 у
Решение краевой задачи (45) имеет вид [4]
Е2 = ЕГ = Е>ехр
2ят 2пт
(42)
■х -
-у
(43)
Х2=Х2 = 1I2+(2™х 2
А г^тп I 1 I
т = 0, ± 1, ± 2,...; п = 0, ± 1, ± 2,
а ) ^ Ь
где Е0 - неопределенный амплитудный коэффициент; ЕГ" - собственные функции задачи (42); Хтп - собственные значения, т.е. значения параметра X2 в выражениях (42), при которых реализуются решения.. Они составляют бесконечное множество, причем каждая из функций ЕГ" характеризует распределение продольной компоненты вектора Е той или иной собственной волны на поперечном сечении канала Флоке. Подставляя выражения (43) в систему уравнений (32), получаем компоненты поля Е-волн прямоугольного канала Флоке
Кп = Е0 ехР
V
2кт 2пп
-х + -
а
-у
ехр(-/'Г2);
Г 2,лт
ех = . 1
тп 0 2
X
а
ехр
2кт 2кп
-----х + -
у
Еу = Е,
Г 2пп
0 2 7
X2 Ь
-ехр
2пт 2пп
-х + -
у
Л
Нх = -Е Ю£0е 2пп
Н тп Е0 2 7
X2 Ь юе0£ 2пт
ехр
2кт 2кп
-----х + -
ехр(-/Г2);
ехр(-/Г2);
Л
Нтп = -.0 2
X2
ехр
а Ь 2пт 2пп
у
ехр(-/Г2);
-х + -
а
у
Л
ехр(-/Г2);
где Г = Г тп =•
Ю £0Ц0£Ц-
2'кт
2'кп
- постоянная распространения Е-волны.
На основании системы уравнений (34) при т = 0, п ^ 0 или п = 0, т ^ 0 поле Е-волны переходит в поле ТЕМ-волны. Например, при п = 0, т ^ 0 поле ТЕМ-волны имеет следующую структуру:
Г Етх = Е0Г ехр(-/Гг);
| Ету = Е0®Є0Є ехр(-/Г);
где Г = ю^/е^ец .
Краевая задача для определения Н2 формулируется в виде
Э 2 Н2 (х, у) Э 2 Нг (х, у) ,,
Эх2
Эу2
- + Х Н (х, у) = 0
НА- §. у)=Н2 (а, у); н2 (х,- 2 }=Н2 (х, 2
Решение краевой задачи имеет вид [6]
Нг = нтп = н0ехр
2пт 2яп
-----х +
-у
(45)
X2 =Х2тп =
Ъкт \ + (2лт_) , т = 0, ± і, ± 2,...; п = 0, ± 1, ± 2,. а
Подставляя выражения (45) в систему уравнений (33), получаем компоненты поля Н-волн прямоугольного канала Флоке
(
Нтп = Н0ехР
2пт 2пп
-х + — у а Ь
\
ехр(-/'Гг);
Г 2кт
Нтп = н —
X2 а
ехр
2кт 2кп
Г 2лп
тп 0 2 7
х2 Ь
ехр
-х +------у
V V а Ь УУ
( ^2кт 2кп ^
ехр(-/'Гг);
Ех = Н ЮЄ0Є 2пп
Етп Н 0 2 7
х2 Ь
ехр
-х + — у а Ь 2пт 2пп
ехр(-/'Гг);
-х + —— у а Ь
\
цу --и ш"0 0 2
V V ^ /у
ює0є 2кт ( (2кт 2кп ^
X а
ехр
V
-Х + —— у а Ь
ехр(-/'Гг);
ехр(-/'Гг);
/
(46)
где Г = Гтп =
ю є0ц0єц-
2кт ^2 ( 2лпч 2
- постоянная распространения Н-волны.
а ) V Ь
Выражения (44) и (46) являются собственными волнами прямоугольного канала Флоке с краевыми условиями (рис. 5):
ЕI -2,у) = Е\-2,у^ехр(-7фх),Н(-2,у^ = Н\-2,у^ехр(-/фх), Е\ х - 2 )=ЕIx, Ь ) ехр(-/ф у х Н (x, - Ь 1=Н (x, 2 1 ехр(-/ф у).
(47)
На рис. 6 показана расчетная и экспериментальная спектральная характеристика коэффициента пропускания одиннадцатислойного узкополосного фильтра а -8і/8і02 . Конструкция выбра-
на с А/2-низкопреломляющим слоем внутри набора из четвертьволновых чередующихся слоев с высоким и низким показателем преломления, т.е. структура представляла собой фильтр Фабри-Перо. У такого фильтра коэффициент отражения высок, а коэффициент пропускания мал для всех длин волн, кроме узкого диапазона.
Рис. 5. Прямоугольный канал Флоке: а, Ь - размеры волновода
Рис. 6. Угловая зависимость коэффициента Т пропускания одиннадцатислойного узкополосного фильтра а -Б^БЮг: кривая 1 - 0 = 0°; 2 - 0 = 15°; 3 - 0 = 30°;4 - 0 = 40°; 5 - 0 = 42°; 6 - 0 = 45°; здесь:------одномерная электродинамическая модель;------эксперимент [6]; М = X /4 = 0,2625 мкм
Наиболее широко распространенная технология изготовления диэлектрических покрытий оптического фильтра - электронно-лучевое испарение, которое на длину покрытия АЕ = 300 нм дает отклонение от расчетных значений толщины покрытия порядка Zmax = 3.. .5 нм. Это и является основной причиной расхождения экспериментальных результатов с теоретическими результатами.
На рис. 7 показаны реализации случайного коэффициента пропускания одиннадцатислойного узкополосного фильтра а -81/8Ю2 при среднеквадратичных отклонениях толщины диэлектрических покрытий аА, = аг = 4 нм. Реализации получены с помощью трехмерной электродинамической модели. Резонансные длины волн являются случайными величинами. В результате статистической обработки по 20 реализациям получены следующие результаты.
Математическое ожидание значения резонансной длины волны равно = 0,961 мкм, среднеквадратичное отклонение = 0,0073 мкм. Эти результаты согласуются с экспериментальными и теоретическими результатами, показанными на рис. 6.
Рис. 7. Реализации случайного коэффициента пропускания одиннадцатислойного узкополосного фильтра: 0 = 45°; ай = а1 = 4 нм
Список литературы
1. Никольский, В. В. Электродинамика и распространение радиоволн / В. В. Никольский, Т. И. Никольская. - М. : Наука, 1989. - 544 с.
2. Никольский, В. В. Проекционный метод для незамкнутых электродинамических систем / В. В. Никольский // Радиотехника и электроника. - 1971. - Т. 16, № 8. - С. 1342.
3. Чиркина, М. А. Математическое моделирование устройств сверхвысоких частот на магнитных нанокомпозитах / М. А. Чиркина, Н. К. Юрков, А. Н. Якимов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2011. - № 11. - С. 166-175.
4. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1974. - 701 с.
5. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М. : Наука, 1972. - 437 с.
6. Ершов, А. В. Многослойные оптические покрытия / А. В. Ершов, А. И. Машин. - Нижний Новгород, 2006. - 99 с.
УДК 623.4.055
Пимкин, А. Д.
Математическое моделирование оптических фильтров Фабри-Перо при наклонном падении электромагнитной волны / А. Д. Пимкин // Надежность и качество сложных систем. - 2013. - № 2. -С. 27-39.
Пимкин Александр Дмитриевич
заместитель командира, в/ч 38994,
Москва, Кремль, 9
Аннотация. Предложена математическая модель дифракции плоской однородной электромагнитной волны на двумерно периодической структуре под произвольным углом. Разработана методика преобразования матрицы проводимости на примере интерференционного фильтра Фабри-Перо в базисе каналов Флоке автономных блоков. Для определения коэффициентов отражения и пропускания фильтра дано математическое описание процедуры пре-
A. Pimkin
deputy commander,
VCh 38994,
Moscow, the Kremlin, 9
Abstract. A mathematical model of the diffraction of a plane electromagnetic wave on a uniform twodimensional periodic structure at an arbitrary angle. The technique of pre-form a matrix of conductivity on the example of interference filter Fabry-Perot in the basis of channels Floquet autonomous units. To determine the reflection and transmission coefficients filter gives a mathematical description of Procedure of the transformation matrix of the conductivity in the scattering ma-
образования матрицы проводимости в матрицу рассеяния. Полученные расчетные спектральные характеристики коэффициентов пропускания одиннадцатислойного узкополосного фильтра Фабри-Перо имеют удовлетворительную сходимость с экспериментальными данными.
Ключевые слова: интерференционный фильтр Фаб-ри-Перо, плоская однородная электромагнитная волна, дифракция, математическое моделирование, коэффициенты отражения и пропускания.
trix. Obtained calculated the spectral characteristics of the transmittance odinnadtsatisloynogo narrowband filter Fabry-Perot have satisfactory agreement with the experimental data
Key words: interference filter Fabry-Perot plane homogeneous electromagnetic wave diffraction, mathematical modeling, reflection and transmission coefficients.
