Методика преобразования базисов собственных волн каналов Флоке автономного блока фотонного кристалла Текст научной статьи по специальности «Физика»

Савицкий В.Я., Голованов О.Н., Павлов Ф.Д.

МЕТОДИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ СОБСТВЕННЫХ ВОЛН КАНАЛОВ ФЛОКЕ АВТОНОМНОГО БЛОКА ФОТОННОГО КРИСТАЛЛА

В результате рекомпозиции дескрипторов автономных блоков в виде прямоугольных параллелепипедов с диэлектрическими включениями и каналами Флоке на гранях получаем дескриптор (матрицы проводимости, сопротивления и рассеяния) базового элемента фотонного кристалла (рис. 1).

Дескриптор базового элемента записан относительно входных сечений в базисах собственных волн каналов Флоке прямоугольных параллелепипедов. Рассмотрим методику

преобразования дескриптора базового элемента, записанного в базисе собственных волн каналов

Флоке, к дескрипторам в базисах собственных волн других волновых каналов. Такая методика необходима для построения математических моделей оптических устройств, в состав которых входит фотонный кристалл.

Базовый элемент фотонного кристалла будем рассматривать как волноводный трансформатор с входными сечениями $, 1^2,•••,$ (см. рис. 1) , к которым присоединены волновые каналы. В

качестве волновых каналов могут быть диэлектрические волноводы, расширенные каналы Флоке и т.д. Волновые каналы волноводного

трансформатора стыкуются с каналами Флоке на входных сечениях $,$$ . Необходимо решить

классическую задачу прикладной электродинамики о стыке волновых каналов с каналами Флоке [1].

Рис. 1. Схема базового элемента фотонного кристалла: $,$,•••,$ ~ входные сечения с

волновыми каналами

Объединим каналы Флоке автономных блоков, принадлежащие входным сечениям $, $ ,•••, $

волноводного трансформатора, и запишем матрицу проводимости, используя клеточную форму

( V-11

Y :

/12

/16 Л

(1)

Каждая клетка матрицы Y имеет структуру:

( -Kraft Y11 yap Y12 . 1Y

YaP = yap Y21 yap Y22 . yap . Y Np

-yap yN 1 У Na1 yap yN 2 . Na 2 yap . YNaNp J

(a, р= 1,2,...,6), (2)

N

N

p

количество граней автономных

блоков на входных сечениях Sa

Sp

(а, Р = 1, 2,

6) волноводного трансформатора.

Каждая клетка матрицы является

многомодовой, ее элементы обозначим ^(^т(и) , 1

- номер автономного блока, грань которого

находится на входном сечении Ба (1 = 1, 2, ...,

Ыа; а = 1, 2, .,6); т - номер автономного

блока, грань которого находится на входном сечении Бр (т = 1, 2, ..., Ыр; р = 1, 2, .,6); к -номер типа волны в канале Флоке (на грани) автономного блока с номером 1 на входном

сечении Ба; п - номер типа волны в канале

Флоке (на грани) автономного блока с номером т на входном сечении Бр.

На рис. 2 показано расчленение одного из входных сечений Б а волноводного трансформатора гранями автономных блоков, которые являются виртуальными каналами Флоке.

Рис. 2. Схема расчленения входного сечения волноводного трансформатора гранями автономных блоков: Sa(i) - грань автономного блока с

номером l на входном сечении Sa; Na -количество граней на Sa

Поперечное электромагнитное входном сечении Sa можно

ортогональные ряды Фурье

поле на каждом разложить в

к=і

ак(a) к(a);

На Рк(а\^к(а.\?

(3)

где

hi

к=i

поперечные

компоненты

к (а) , к(а)

собственных волн волновых каналов волноводного трансформатора. Это поперечное поле можно разложить в ряд Фурье (по областям), используя собственные волны каналов Флоке:

Ёа = Z0, к=1

ГДе ек(а)1 г

собственных

к(a)l к(a)l;

К

aa=Zb>

к=1

, h

к(a)l к(a)l,

/ = 1,2,..., Na , (4)

^(a)

волн

автономного блока, входном сечении Sa.

Проектируя выражения

компоненты

- поперечные

каналов Флоке; l - номер грань которого находится на

\etAP)=K(p) Sp = Sp(\)

}■

и S

\en(f>)m

, и... и S„

(3)

(РУп } и... и S

следующие уравнений:

p(2)и ... и ^р{т)

системы линейных

(4) на базисы и учитывая

p(Np ) , получаем

алгебраических

P Np да

^к(a) Z 1 1 1к(a),n(p)man(p)m

Р=1 т=1 к=1

P Np да

Ьи,, = z zz а,

а

к (a)

ак (a)l

p=1 т=1 к=1

P да

-z Z Pк p=1 к=1

P да

к^^^р^т ^(p^)n.

к (a)l,n(p)an( Р)

к (a)l

(a = 1, 2,

Р=1 к=1

, P; l = 1,2,

-к(a^)l,n(p) n(p^),

(5)

(6)

(7)

(8)

, Na; к = 1,2,

где

)

Коэффициенты в системах линейных

алгебраических уравнений (5) - (8) определяются

следующим образом:

^k{a),n{p)m ~ ^ар J i^k{a)l ХК(р))£^р

Sp(m)

п) ■

^k(a},n[/3}m *0 J ^ Р{т)

SP(m)

Р,

Qk{a}l,п{Р) ^а.р J ^ '

SaQ)

где

_(1, а = р; а |0, а Ф р.

Запишем системы линейных алгебраических уравнений (5) - (6) в матричной форме:

а = М• аФ ; Ь = N• ЬФ ; аФ = Р• а ; ЬФ = 0• Ь . (9)

Компонентами векторов а, Ь, аф, Ьф являются соответственно коэффициенты ак(а) , Ьк (а) , Зк(а)1, Ьк(а)1 рядов Фурье (3), (4). Из матричных

выражений (9) следует унитарность следующих матриц:

а = (М-Р)- а ; Ь = (N • 0)^ Ь ; аФ = (Р-М)-аФ; ЬФ=(0-N)•ЬФ

(10)

Матрицы М, Ы, Р, 0 имеют блочно-диагональную структуру по входным сечениям волноводного трансформатора:

M, N, P, Q

Матрица проводимости У базового элемента (волноводный трансформатор фотонного кристалла) записана в базисах собственных волн каналов Флоке

У • аФ = ЬФ (11)

и скомпонована так же, как векторы аф и Ьф. Подставляя третье и четвертое матричные уравнения из (9) в уравнение (11), получаем:

У • Р • а = 0 • Ь .

Умножим слева это матричное уравнение на матрицу Ы:

N • У • Р • а = N • 0 • Ь .

и учитывая унитарность матрицы N•0 (10),

получаем:

(N • У • Р^ а = Ь .

Матрица Ув = N • У •Р является матрицей проводимости волноводного трансформатора, записанной в базисах собственных волн волноводных каналов волноводного

трансформатора.

Матрица сопротивления Z волноводного

трансформатора, записанная в базисах

собственных волн каналов Флоке автономных

блоков, имеет форму записи:

г • ЬФ=аФ.

Учитывая выражения (9) и (10), аналогично получаем:

(М• г• 0)^Ь = а ,

где гв = м • г • 0 - матрица сопротивления

волноводного трансформатора, записанная в базисах собственных волн волноводных каналов волноводного трансформатора.

Каналы Флоке с волновым каналом на входных

сечениях волноводного трансформатора (см. рис. 2) образуют скачкообразную нерегулярность (стык волновых каналов), которую в технике сверхновых

частот рассматривают как простейшее устройство сверхвысоких частот. Скачкообразная

нерегулярность является волновым

трансформатором с входными сечениями Sa, Sa(i),

Sa(2), ■■■, Sa(i), ..., Sa^N J . Для Этого волноводного

трансформатора существует только матрица рассеяния (объем волноводного трансформатора вырождается в нуль). Определим элементы этой матрицы из матричных уравнений (9). Учитывая,

b

Ф .

, из выражений (9) получаем следующие матричные уравнения:

(12)

fI —M 1 ' c +' f-1 M1 f c -i

I-Q I J' v c Ф J - Q IJ' v c Ф/

I -N f c +J = f I -N1 f c -i

-P I j , c Ф J l P -1J v c Фу

Решая

определим

(12),

(13)

(13),

матричные уравнения

матрицу рассеяния стыка волновых каналов (см. рис. 2) в двух вариантах:

1

Rc =

-1 - Q

м

I

- Q

- м

I

(14)

(15)

Рис. 3. Схема волноводного трансформатора (базовый элемент магнитной наноструктуры) в базисах собственных волн волноводных каналов: Т - волноводный трансформатор в базисах собственных волн волноводных каналов Флоке автономных блоков; 1,2, ..., Р - стыки волновых каналов

Матрицы рассеяния (14) или (15) стыка волновых каналов применяются для преобразования матрицы рассеяния волноводного трансформатора, записанной в базисах собственных волн каналов Флоке автономных блоков, в матрицу рассеяния, записанную в базисах собственных волн волноводных каналов волноводного

трансформатора. Для этого составляется декомпозиционная схема (рис. 3), в которой

волноводный трансформатор и стыки волновых каналов рассматриваются как автономные блоки с дескрипторами в виде матриц рассеяния. Такой подход называется вторичной декомпозицией. Объединяя дескрипторы автономных блоков в декомпозиционной схеме (рис. 3), получаем матрицу рассеяния волноводного трансформатора в базисах собственных волн волноводных каналов, присоединенных к волноводному трансформатору (базовый элемент фотонного кристалла) .

1. Prasad,

P. 252-258.

P.N. Nanophotonics [Text]

ЛИТЕРАТУРА

/ P.N. Prasad // John Wiley and Sons - 2004.

Vol. 11.

аф = c

что