CC BY
40
Голованов О.А., Савицкий В.Я. , Мазур А.М. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАКТИВНО-АКТИВНЫХ ГЛУШИТЕЛЕЙ С БАЗАЛЬТОВЫМИ НАБИВКАМИ
Предложен декомпозиционный подход построения математических моделей глушителей методом автономных блоков с вязкой средой и твердотельными включениями. Получены и исследованы математические модели концентрического резонатора и реактивно-активных глушителей с базальтовыми набивками. Проведено сравнение результатов моделирования глушителей с теоретическими и экспериментальными данными, полученными другими авторами.
Реактивно-активный глушители будем рассматривать как некоторый волноводный трансформатор, в полости которого расположены различные звукопоглощающие включения и неоднородности. Такой волноводный трансформатор изображен на рис. 1. Волноводный трансформатор состоит из основной области У0 с присоединенными акустическими волноводами, которые граничат с У0 поперечными сечениями (Р —1,2) . Область У имеет энергетические связи с внешним пространством только через акустические волноводы, которые осуществляют прямую и обратную передачу акустической энергии.
Vi - 0 •l\\\
o1 < I—► z V0 z 2 ^ < 1 0 2
V2 0 Ql ///
У /
Si S2
Рис.1. Волноводный трансформатор: S , S2 - входные
сечения;
V - звукопоглощающие включения; 5 - внешняя поверхность трансформатора
Область волноводного трансформатора, включая и звукопоглощающий материал, расчленяется условными границами на автономные блоки с вязкой средой и твердотельными включениями. Составляется декомпозиционная схема объединения автономных блоков. В результате рекомпозиции дескрипторов автономных блоков получаем матрицу импеданса волноводного трансформатора, записанную относительно входных сечений в базисах собственных волн каналов Флоке автономных блоков. Эти матрицы необходимо преобразовать в матрицы, записанные в базисах собственных волн каналов волноводного трансформатора.
Объединим каналы Флоке автономных блоков, принадлежащие входным сечениям Бх, 82 (рис. 1), и запишем матрицу импеданса, используя клеточную форму
Z =
(1)
Каждая клетка матрицы Y имеет структуру
(
Zap =
<7 ap <7 ap
Z11 Z12
<7 ap rj ap
Z21 Z22
7ap
Z1Np
7ap
Z
\
<7 ap <7 ap <7 ap
Nn 1 ZN„ 2 ••• N„h
(a, p= 1,2),
где Na , N
P
количество граней (каналов Флоке) автономных блоков на входных сечениях 5 ,
Б^ волноводного трансформатора.
Клетки матрицы Zap состоят из элементов ( I - номер автономного блока ( I —1,2,...,Ыа ),
грань которого находится на сечении Ба ; т - номер автономного блока (т —1,2,...,Кр ) , грань которого находится на сечении Б^ ; к - индекс типа волны в канале Флоке (на грани) автономного блока с номером I на сечении Б ; п - индекс типа волны в канале Флоке автономного блока с номером т на сечении Б р ).
На рис. 2 показано расчленение сечения Б волноводного трансформатора гранями автономных блоков (виртуальными каналами Флоке). Акустическое поле на входном сечении Ба можно разложить в ортогональные ряды Фурье [1]:
Уа Ра к{а)Рк{а) '
(2)
к=1 -*z
к=1
ГДЄ V:
к (a) ■
Рк (a)
компоненты собственных волн волновых каналов волноводного трансформатора.
Ja (1)
a (l)
a (Na)
S
r
Рис. 2. Расчленение входного сечения волноводного трансформатора гранями автономных блоков:
*а(і) ~ грань автономного блока с номером ї
на входном сечении
количество граней на
сечении £
Акустическое поле на входном сечении £ также можно разложить в ряд Фурье (кусочно), используя собственные волны каналов Флоке:
^а Р’кіоіМ ^к(а~)1 ? Ра ^^^к(а)1 Рк(а)1 ' ^ 1> 2,..., ,
(3)
к=1 *=1
где г Рк(а)1 ~ поперечные компоненты собственных волн каналов Флоке; / номер автономного
блока, грань которого находится на входном сечении £а .
Проецируя выражения (2) и (3) на базисы {■?", р), рм р) | , , Д,, Рт } [1] и учитывая
£р = £р(1) ^£д2) ^ ■■■ ^^ ■■■ ^^ ^, получаем следующие системы линейных алгебраических уравнений
2 ю
ак(а} к(а')^:п(р'^тап(р')т,
р=1 т=1 к=1
2 ^р ю
Ък(а) ^к(а),п(р)тЬп(р)т 5
Р=1т=1 к=1
2 ю
ак (а)1 = ^^Рк (а)1,п(р)ап(р) р=1 к=1
(4),(5)
(а = 1,2; к = 1,2,...)
^а = 22бка5 (а=^21 = і5 25...^*;к=і5 25...)
(6),(7)
,0=1 к=1
Коэффициенты в системах линейных алгебраических уравнений (4)-(7) определяются следующим образом:
к(а),и(р)т ^ар J Рц[ //) ^к(а)/ р[т) ' ^к(а),и(р)т J Рк(а)1 п\ р) р[т)
ЯД».|
А/,
р(т)
к(а)1,п(р)~^ар | Р„(р)т^к{а)'и^а(1) > ^а(ї)
’С®а(1) ! Як(а)1,п(р)~^ар | Рк(а) К,(р)т ' С®а(1)
а)
гДе 5ар =
к (а)
15 а = р;
05 а ^ р.
Запишем системы линейных алгебраических уравнений (4)-(7) в матричной форме
а = М• аФ ; Ь = N■ ЬФ ; аФ = Р• а ; ЬФ = 0 Ь . (8)
Компонентами векторов а, Ь , аФ , ЬФ являются соответственно коэффициенты а^а^
ак(а)1 , Ъ^ау рядов Фурье (2), (3). Из выражения (8) следует унитарность следующих матриц:
а = (М• Р)-а ; Ь = ^• 0)-Ь ; а® = (Р• М)-а® ; Ь® = (0• Ь® . (9)
Матрицы М, Ы, Р, 0 и имеют блочно-диагональную структуру по входным сечениям волноводного
трансформатора.
Матрица проводимости Z волноводного трансформатора, записанная в базисах собственных волн каналов Флоке автономных блоков, имеет следующий вид:
Z• аФ = ЬФ . (10)
Подставляя (8) в (10), получаем
У • Р • а = 0 • Ь .
Умножим слева это матричное выражение на матрицу N
N • У • Р • а = N • 0 • Ь ,
и учитывая унитарность матрицы N• 0 , получаем:
^ • У • Р^а = Ь .
Матрица Zв= N • У • Р является матрицей импеданса волноводного трансформатора, записанной в базисах собственных волн волноводных каналов волноводного трансформатора. Затем матрица импеданса пересчитывается в матрицу рассеяния [1]:
8В = +1)-1 • -1) .
На рис. 3 показаны результаты расчетов и эксперимента зависимости потери передачи в концентрическом глушителе от частоты.
2 г И
Рис. 3. Потери передачи в концентрическом глушителе без звукопоглощающего материала от частоты: = 50,9мм , D = 76,2мм , L = 66,8мм , А = 2,1 мм , В = 2,1 мм , г = 2,1 мм , h = 11,13мм , d = 0мм , -
одномерная модель,- эксперимент [2], Потери передачи определялись как
метод автономных блоков
TL = 10lg^
где с - амплитуда падающей волны, е2 - амплитуда прошедшей волны.
Наблюдается хорошее совпадение теоретических и экспериментальных результатов. Необходимо отметить , что одномерная модель резонатора [2] может быть использована, если поперечные размеры резонатора меньше длины волны. Здесь это условие выполняется.
За последние годы в европейских странах отмечается большой прогресс в снижении шума легковых автомобилей (до 7 4 дБ). Для обеспечения такого уровня шума выхлопная система двигателя внутреннего сгорания должна иметь потери передачи порядка 50 - 60дБ в полосе частот 1000-1500Гц . В практике автомобилестроения для обеспечения таких потерь передачи используются два реактивных глушителя в выхлопной системе двигателя внутреннего сгорания. Однако использование базальтовой набивки позволило добиться таких показателей с применением одного глушителя в выхлопной системе, что повлекло изменение конструкций глушителей (рис. 4, 5).
ЬТ, дБ
40
20
0 600 1200 1800 2400 /, Гц
Рис. 4. Зависимость потери передачи однокамерного глушителя с базальтовой набивкой от частоты:
I =500мм (длина); d =150мм (диаметр); кривая 1 - к = 0мм (расстояние от гофрированной трубы до базальтовой набивки); 2 - к = 10мм ; 3 - к = 20мм
На рис. 4 приведены результаты расчета зависимости потери передачи однокамерного глушителя с базальтовой набивкой от частоты при различных объемах заполнения глушителя базальтовым волокном. Глушитель хорошо подавляет звуковую энергию в диапазоне частот от 1000 Гц до 1500 Гц . Наилучшее подавление энергии в этом диапазоне частот наблюдается при неполном заполнении базальтовой набивкой (между гофрированной трубой и базальтовой набивкой необходимо предусматривать небольшой зазор порядка 10 - 20 мм ).
ЬТ , дБ"
20
2 1
2
+
С
2
С
2
40
0 600 1200 1 800 2400 f, Гц
Рис. 5. Зависимость потери передачи одно- и двухкамерного глушителя с базальтовой набивкой от частоты: ^ = 600мм (длина); a = 225 мм (ширина); b = 125 мм (высота); кривая 1 - однокамерный глу-
шитель; 2 - двухкамерный
Однокамерный глушитель имеет выраженную басовую составляющую звука. Низкие звуковые частоты глушителем подавляются не достаточно эффективно. Для подавления низких частот необходимо увеличивать поперечные размеры глушителя.
На рис. 5. приведены результаты расчета зависимости потери передачи глушителя с базальтовой набивкой от частоты с одной и двумя резонансными камерами. С одной резонансной камерой частотная характеристика глушителя (кривая 1) имеет провал на частоте 780 Гц (резонанс). Наличие второй резонансной камеры существенно улучшает частотные характеристики потери передачи глушителя (кривая 2), в частности на частоте 780 Гц (второй резонатор настроен на подавление волнового процесса этой частоты) . Отметим, что базальтовое волокно слабо поглощает волновую энергию низких частот, поэтому принципиально невозможно построить чисто активный глушитель с хорошими характеристиками на низких частотах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Голованов О.А., Макеева Г.С., Мазур А.М., Грачев А.И. Декомпозиционный подход к решению трехмерных краевых задач акустики на основе метода автономных блоков с каналами Флоке. Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. Т. 12. N1. С. 43-4 9.
2. Sullivan J. W., Crocker M. J., A Mathematical Model for Concentric Tube Resonators, May 1977.
