Методика определения эффективных значений параметров звукопоглощающих материалов на основе вязких сред с твердотельными включениями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Голованов О.А., Савицкий В.Я., Мазур А.М. МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ЗВУКОПОГЛОЩАЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ ВЯЗКИХ СРЕД С ТВЕРДОТЕЛЬНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Предложена методика определения эффективных параметров звукопоглощающих материалов. Эффективные значения скорости звука и вязкости определяются из решения задачи распространения звуковых волн в трехмерной периодической структуре, эффективные значения плотности материала - из решения задач дифракции на двумерной периодической структуре.

Поглощение волновой энергии звукопоглощающими материалами обусловлено резким изменением касательной составляющей скорости частиц вязкой среды в нормальном направлении к поверхности твердого тела. Это приводит к большому трению между слоями вязкой среды и поглощению акустической энергии. Звукопоглощающие материалы на основе вязкой среды с твердотельными включениями (базальтовое волокно) можно рассматривать как вязкие жидкости с неоднородным распределением трения между слоями среды. Акустические свойства звукопоглощающих материалов будем описывать тремя физическими величинами - это эффективная скорость распространения звука , эффективные плотность р2 и динамическая вязкость U . Знание значений этих величин необходимо для построения математических моделей реактивно-активных глушителей с базальтовыми набивками.

Для звукопоглощающих материалов (вязкая жидкость) волновое число [1]

z-fi

= Г'-ІТ" , (1)

где q = 1 + i

Py.

является комплексной величинои.

На рис.1 показан звукопоглощающий материал в виде трехмерной периодичес-

a

sf-rf--Jf-

__i'-J-_->-■

".зйГ.ж.;,

ш

6i 4

-yf-

У

- направление распространения волнового процесса; б -моделирование ячейки периодической структуры автономным

золнового числа. Строение периодической структуры является пери-через длину Л геометрия структуры в плоскости поперечного се-

Рис.1. Звукопоглощающий материал: а

трехмерная периодическая структура; в -блоком

кой структуры для определения одическим вдоль оси ^ (рис.1,а)

чения повторяется.

Поперечная структура свободных акустических полей в периодической системе в силу симметрии также должна повторяться через период Л . На двух отстоящих на расстояние Л поперечных сечениях фазы колебаний не являются одинаковыми [2]. Если соответствующий фазовый сдвиг равен р , то при

дальнейшем смещении на пЛ дополнительный фазовый сдвиг составит пр . Для комплексных амплитуд акустического поля справедливы соотношения:

Р(ъ,г!,Ь + Л) = р{^гі,С)ещі-і<р).

+ Л) = ї{ь,П,ь)ехр(-і<р).

Эти равенства выражают содержание теоремы Флоке [3]. Отметим, что вдоль осей структура

(2)

также является периодической. Это позволяет в пространстве вдоль оси £ Анализ безграничной периодической структуры сводится к анализу отдельно условиями периодичности (2).

Введем величину р

выделять каналы Флоке. взятого канала Флоке с

V = -

Л

(3)

и построим функции

= Р(ь,П,Ь )ехр(-пС), v(i,^,C) = ?(i,^,C)exp(-nC),

которые являются периодическими.

(4)

00 2 жп

2 A,(i='7)exP(-»—О,

п.==<-

00

. 2 жп

Ц%,Г],0= £ v„(£,77)exp(-i—O,

где

1 С+Л ^ 1 ЬТЛ ZN

Р„(Ш = - j Ж^С)ехр(/^СУС = - f Ж^С)ехр«г + ^ХГУС, Л . Л Л і А

•і С+Л у і С+Л ~

Ы,Г}) = - j v(£j7,Oexp{І^£Ж = - Г V(i,7,0^0■ + ^L')C)dC.

Л J Л A J A

Разлагая функции 7/, ¡^), в ряд Фурье, имеем:

(5)

С+Л

Из (4) с учетом (5) получаем выражения для свободных акустических полей для периодической структуры в направлении оси £ (рис. 1, а)

L

b

2

3

б

в

00 2 7ГУ1

Р(ъ,Л,ь) = 2 Л,(ч,^)ехр(-/(г + — )С),

П= — 00

2т„

л

(7)

Согласно (6) свободный волновой процесс в периодической структуре в направлении оси ^ можно рассматривать как наложение бесконечной совокупности плоских неоднородных волн с компонентами и постоянными распространения 2п=

"д" ,

= — 0, ± 1, ± 2,..., ±го.

Физическое содержание пространственных гармоник заключается в том, что в области существования акустического поля можно реализовать взаимодействия одной из них с твердотельными включениями в вязкой среде. Рассмотрим волновое взаимодействие с основным типом пространственной волны в периодической структуре.

На рис. 1, а показано распространение свободного волнового акустического процесса (p,v) в трехмерной периодической структуре в направлении вектора, который подчинен теореме Флоке в форме р(х + a,y,z) = p(x,y,z)exp(—i(px) v(x + a,y,z) = v(x,y,z)exp(- ig>x) p(x,y+b,z) = p(x,y,z)exip(-i(py) v(x,y + b,z) = v(x,y,z)exp(-i<py) , (8) p(x,y,z +L) = p(x, y, z) exp(-i<pz ) v(x,y,z + L) = v(x,y,z)Qxp(-i(pz)

где cpx — Г= a cos px , cpy — Y=b cos Py , cpz — Г= L cos P2 ; Px, Py, Pz - углы ориентации направления распространения волнового процесса.

Выделим в трехмерной периодической структуре элементарную ячейку с геометрическими размерами a, b, L (рис. 1, б) и представим ее автономным блоком с дескриптором в виде матрицы импеданса. На входных сечениях автономного блока должны выполняться условия теоремы Флоке (8):

ia=(4) — a=(1) eXP ( 7' Фх) , a= (5) — a= (2) eXP ( ^y), a=(6) — a=(3) eXP ( фz ),

\bk(4) — bk(1) eXP (-i фх), bk(5) — bk(2) eXP (-ф ), bk(6) — bk(3) eXP (-фф ),

k, = — 1, 2,...

(9)

Подставляя (9) в матрицу импеданса, получаем следующее характеристическое уравнение для определения постоянных распространения Г п волн в трехмерной периодической структуре:

А(ГП) — \УАА- H-1- 7^+ 7^- H - H1 ц| — 0 ,

(10)

клетки матрицы импеданса

7 —

7 7

Yaa Yab

y y

Yba Ybb

( a

совокупность входных сечений автономного блока ^, <^2, ; В - совокупность входных

сечений ав

(

тономного блока S., S„ S6 ); H —

h oo

0 hy 0

0 0 h

диагональная матрица с элементами:

Кт = —5иГ»а, Кол = —5иГпьС0*Ру, Кт = —8цГпьС08Л •

Решая характеристическое уравнение (10), определяем волновое число основного типа волны в трехмерной периодической структуре к0 = Го — /Гд •

Из выражения (1) определяем эффективную скорость звука и эффективную динамическую вязкость в звукопоглощающем материале:

' 92

^ =4 ц = _^ 1т__. (11)

4ф

Значение эффективной плотности р£ звукопоглощающего материала определим из результатов решения задачи отражения и прохождения звука через плоский слой звукопоглощающего материала при нормальном падении (рис. 2).

У

0 а х

Рис.2. Прохождение звука через плоский звукопоглощающий слой:

1,2 - среды с параметрами р0,с0 ; 3 - звукопоглощающий материал с параметрами р,, ц ; С амплитуда падающей волны; с1 - амплитуда отраженной волны; с2 - амплитуда прошедшей волны

где А(Г=) - определитель матрицы; Yaa, Tra, Yab, Ybb

1

3

2

+

c

c

2

c

Строгое решение задачи о прохождении звука через плоский слой звукопоглощающего материала сводится [1] к решению задачи дифракции для волнового уравнения Гельмгольца относительно давления. Уравнение Гельмгольца для сред 1,2 «2

" (12)

V2p +m p = о

с.

Уравнение Гельмгольца для среды 3 .,2

-Р = 0 , (13)

V72 Ю

V2 p +

CY qY

где qY = 1 + i

4m^Y 3cY Py.

Решения волновых уравнений Гельмгольца (12) и (13) должны удовлетворять граничным условиям:

Р\0 = Ръ\,=0’ Ръ\й = Р21,,

dpl = p ÊPl Фз _ Py дР 2 (14)

dx x=0 Py dx О II x x=d P0 dx x=d

Решая уравнения Гельмгольца (12), (13) совместно с граничными условиями (14), определяем коэф-

фициенты отражения и прозрачности слоя [1]:

k = c;=^ S" S ,

°тр c+ ^(S-1 + S)2 + 4ctg2kEd

(15)

k = ^ =

пР „+

2

^4cos2 kjd + (S 1 + S)2 sin2 kjd

(16)

. k0pY kYp0

k0 = ' kY = "

1 + i-

. 3p t m 4m—^ Im^ 4m k2

3C 2ре

Значение эффективной плотности р2 звукопоглощающего материала определяется из решения уравнения (15) или (16), при этом значения амплитуд падающей волны с^ , отраженной волны с[ и прошедшей с^ должны быть известны. Их значения определяются из решения подобной задачи для двумерной периодической структуры толщиной й методом автономных блоков в виде прямоугольных параллелепипедов с вязкой средой и твердотельными включениями.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лепендин Л.Ф. Акустика. - М.: Высшая школа, 1978. - 448 с.

2. Никольский В.В. Вариационные методы для задач дифракции. // Известия ВУЗов. Радиофизика. Т.20. №1. 1977. С. 5.

3. Floquet. «G. Ann. sci. Ecole norm. Super». 1883. t.12. p. 47-88.

где

m

S

с

0