Прогнозирование релеевского случайного процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

W

Системы телекоммуникации, устройства передачи, приема и обработки сигналов

УДК 519.24

В. А. Головков

Научно-исследовательский институт комплексных испытаний оптико-электронных приборов (Санкт-Петербург)

| Прогнозирование релеевского случайного процесса

Представлен алгоритм прогнозирования релеевского случайного процесса на базе модифицированного алгоритма линейного прогнозирования по выборке случайного процесса и его производных, не приводящий к абсолютным ошибкам. Оценена его эффективность для модели релеевского случайного процесса с часто используемой функцией корреляции. Приведены результаты имитационного моделирования.

Эффективность прогнозирования, релеевский случайный процесс, производные случайного процесса В настоящее время теория линейного прогнозирования случайных процессов довольно хорошо разработана [1], однако доказана оптимальность указанного прогнозирования лишь для нормального процесса. В [2] показано, что для дифференцируемых случайных процессов эффективности прогнозирования по производным и по предыдущим значениям случайного процесса (трансверсальный фильтр) совпадают с одновременным уменьшением времени между отсчетами и числа отсчетов случайного процесса, достаточным для образования соответствующих производных методом конечных разностей. Однако для нелинейных случайных процессов использование линейных алгоритмов прогнозирования может привести к "абсолютной" ошибке. Так, например при использовании для прогнозирования релеевского случайного процесса выборок из значений случайного процесса и его производной, при прогнозировании можно получить значения прогноза меньше нуля, что следует назвать "абсолютной" ошибкой. Указанный результат происходит из-за того, что плотность вероятности производной релеевского случайного процесса нормальна и имеет нулевое математическое ожидание, хотя двумерная плотность производной вероятности необязательно нормальна [3].

Получим алгоритм прогнозирования релеевского случайного процесса, не приводящий к "абсолютной" ошибке, и оценим его эффективность для частного случая огибающей узкополосного нормального случайного процесса.

Рассмотрим узкополосный нормальный случайный процесс с корреляционной функцией (КФ) R (т ) = о2р (т ) cos(ют), где а - среднеквадратическое отклонение; р - нормированная КФ; ю - круговая частота. Огибающая п такого случайного процесса имеет реле-евскую плотность вероятности. КФ его огибающей при ограничении первыми тремя членами

разложения имеет вид [4]: (т) = £>лрл (х) * вп [0.915р2 (т) + 0.057р4 (т) + 0.01429р6 (т)], где = (2-л/2)а2 - дисперсия огибающей; рп (т) - нормированная КФ огибающей.

32 © Головков В. А., 2012

Если для прогнозирования используется выборка из значений реализации п (г) случайного процесса и его производных, образующая вектор X(г) = [п(г), г\'(г), г\"(г), ...]т

( т - знак транспонирования), то оптимальное линейное прогнозирование на интервал времени т представляется в виде п (г + т) = W т (т ) X (г), где W (т) - вектор-столбец весовых коэффициентов. Оптимальный вектор W (т), позволяющий при заданном размере

выборки оценить п (г + т) с минимальной дисперсией, имеет вид [5]: W0pt (т) = Я_1Р, где Я - матрица взаимной корреляции компонентов вектора X (г); Р - вектор-столбец взаимной корреляции п (г + т) и элементов вектора X (г). Дисперсия оценки V (г + т) при использовании выборки X (г) характеризует эффективность этого алгоритма и определяется как а2 [л (г + т)| X (г)] = - РтWopt (т).

Матрицу Я и вектор Р можно получить, используя теорию выбросов случайных процессов [3]. Эти матрица и вектор при использовании для прогнозирования вплоть до четвертой производной приведены в [2]. Там же приведены линейные алгоритмы прогнозирования при использовании вплоть до двух старших производных, записанных в явном виде. Введем нормированную на дисперсию прогноза п (г + т):

/ [п (1 + т) X (г)] = а2 [п (1 + т) X (г )]/бл .

Пусть КФ имеет вид р (т) = ехр (-пт2). Энергетическая ширина спектральной плотности подобного случайного процесса А/э = 1. Процессы такого рода имеют гауссовскую

спектральную плотность и часто используются в различных задачах. Дисперсия прогноза случайного процесса при использовании выборок разных размерностей вплоть до второй производной из [2] соответственно:

/[п (г+т)| п (г)] = [1 -р2 (т)] ; (1)

/ [п (г+т)| П (г), п' (г)] = 1 -р2 (т)-р? (т)/[-рП (0)]; (2)

/ [л (г + т )| п (г), П (г), П' (г)] = {1 -РП (т)-Р'Щ (Т)/[-РП, (0)]-

р^ (т ) + РЛ (т ) р^ (о)

рП4) (0) -РП2 (о)

(3)

На рис. 1 приведены кривые / [л (г + т^ X (г)]. Кривая 1 рассчитана по

выражению (1), кривая 2 - по выражению (2), кривая 3 - по выражению (3). Ограничение представления Я^ (т) тремя первыми

/

0.8 0.6 0.40.20

0.2

0.4 0.6

Рис. 1

0.8

т

членами разложения привело к погрешности расчетов, выразившейся в том, что I (т) ф 0 при т —> 0.

Запишем алгоритмы оптимального линейного прогнозирования в виде

П(: + т) = м00 (т) п (1); (4)

П (t + т) = м01 (т)п (1) + мп (т) П (1); (5)

П (1 + т) = м02 (т)п(1) + м12 (т)п'(1) + м22 (т)п''(1). (6)

С использованием [2] найдем: (т) = мл (т) = р^ (т); м 1 (т) = (т) = р^ (т)/р'П (0);

^02 (т) = [рл (т) рП4) (0) - РП (т) рП (0) J/ [р^ (0) - РП,2 (т)

^22 (т) = [р; (т) - рл (т) р; (0 )]/[рл(4) (0) - р; (0 >".

Проанализируем алгоритмы прогнозирования (4)-(6). Коэффициенты ^00 = w01, а также реализации n (t), при любом т положительны. Коэффициенты м?ц = W12 положительны при любом т по крайнем мере для выбранного р (т) = exp (-пт2), а n' (t) может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Как показывают численные расчеты, коэффициент W02 тоже положителен при любом т для выбранного р (т), а n'' (t)

может принимать любые значения. В результате, если n (t + т) принимает отрицательные значения, в линейных алгоритмах прогнозирования возникает "абсолютная" ошибка.

Целесообразно модифицировать линейный алгоритм прогнозирования релеевского случайного процесса так, чтобы исключить возможность "абсолютной" ошибки либо уменьшить ее вероятность при прогнозировании.

Рассмотрим алгоритм прогнозирования по реализациям процесса и двух его первых производных как наиболее точный среди предложенных (4)-(6). Возникновение "абсолютной" ошибки при прогнозировании наиболее вероятно, если n (t) ^ 0, а n' (t) и n'' (t) отрицательны. Поэтому в данных условиях в алгоритме целесообразно уменьшить n' (t) и r\" (t). Во всех остальных случаях уменьшения влияния указанных величин следует избегать. Тогда модифицированный алгоритм прогнозирования релеевского случайного процесса можно представить, например при использовании алгоритма (6), как

л' (t) л" (t)

Пт (t + т) = W0 (т)n (t) + wl(т) ' f ' )] + W2 (т) ' f " )], (7)

1 + 1 + sign [n (t)\ 1 + 1 + sign [n (t)]

k n (t) k n (t)

где sign ( x) =

k - весовой коэффициент, регулирующий влияние n' (t) и n'' (t) на результат прогнозирования n (t + т).

Для проверки предложенного алгоритма прогнозирования релеевского случайного процесса проведено имитационное моделирование процесса n (t) с корреляционной функ-

34

S4) (л) ~"2 I

П (t) П (t + т ) Пт (t + Т) 2

1

0:

- 1

■n (t)

-Ц (t + т )

Пт (t + Т)

0

2 3 Рис. 2

цией рп (т) = exp (-пт2 ) при а2 = 1. Реализации полученного процесса в функции от условного времени модели t приведены на рис. 2. Интервал прогнозирования т = 0.2, коэффициент k = 4 (при меньших значениях k ошибка прогнозирования существенно возрастала). Как видно из кривых на рис. 2, в момент времени t« 4.7 при прогнозировании алгоритмом n (t + т) возникает "абсолютная" ошибка: n (t + т) < 0. Использование модифицированного нелинейного алгоритма (7) позволяет избежать такой ошибки, поскольку nm (t + т) сохраняет положительные значения при любом времени t.

Как видно из результатов моделирования, nm (t + т) ~ ц (t + т) при достаточно больших значениях реализаций n (t) и nm (t + т) фц (t + т) при близких к нулю n (t), однако использование модифицированного алгоритма прогнозирования позволяет избежать "абсолютной" ошибки.

Таким образом, в результате проведенного исследования можно сделать вывод, что при прогнозировании нелинейных процессов возможно использование линейных алгоритмов, которые после некоторой модификации позволяют избежать "абсолютных" ошибок.

Список литературы

1. Головков В. А. Характеристики прогнозирующих фильтров//Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2010. № 2. С. 3-8.

2. Головков В. А., Зыкин М. В. Прогнозирование случайного процесса по выборке его производных // Радиотехника и электроника. 1993. № 3. С. 1049-1053.

3. Тихонов В. И., Хименко В. И. Выбросы траекторий случайных процессов. М.: Наука, 1982. 304 с.

4. Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986. 296 с.

5. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов / пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

V. A. Golovkov

Research institute for complex testing of optoelectronic devices and systems (Saint-Petersburg)

Prediction of random Rayleigh process

The prediction algorithm of random Rayleigh process based on the modified algorithm of linear prediction on the random process sampling and its derivatives giving no absolute errors is obtained. Its efficiency for the model of random Rayleigh process with a high-usage correlation function is estimated. The results of simulation modeling are given.

Effectiveness of prediction, Rayleigh random process, random process derivatives

Статья поступила в редакцию 6 октября 2011 г.