Эффективность компенсации помехи в реальном времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.216.3

В. А. Головков

ОАО "Научно-исследовательский институт оптико-электронного приборостроения" (Санкт-Петербург)

| Эффективность компенсации помехи в реальном времени

Предложен алгоритм компенсации помехи, заключающийся в прогнозировании смеси сигнала с шумом и в вычитании результата прогноза из наблюдаемой реализации. Выделенная при этом разность рассматривается как математическое ожидание помехи или в качестве сигнала. Приведены результаты численных расчетов коэффициента подавления помехи для двух видов ее корреляционной функции. Представлены реализации случайного процесса и выделенного сигнала, полученные в ходе имитационного моделирования при использовании предложенного алгоритма компенсации помехи.

Случайный процесс, прогнозирующий фильтр, подавление помехи, выделение сигнала

Рассмотрим аддитивную смесь у I I сигнала неизвестной формы \ 1 с

помехой г| I . Классическая задача выделения сигнала [1] требует знания спектральной плотности помехи и самого сигнала, которые зачастую неизвестны. В этом случае для выделения сигнала используются общеизвестные методы скользящего среднего (выделение тренда), метод регрессии, метод медиан, являющиеся, вообще говоря, полуэмпирическими [2].

2

Предположив, что помеха г| / стационарна, характеризуется дисперсией а и кор-

2

реляционной функцией 7?т=арт (рт - нормированная корреляционная функция), можно оценить величину сигнала я I как изменение во времени математического ожидания т t принятой смеси. В [3] для компенсации помехи и оценки математического ожидания предложено использовать прогнозирующий фильтр. В той же работе методом максимального правдоподобия показано, что оценка изменения математического ожидания может формироваться в виде разности значения реализации случайного процесса и прогноза случайного процесса на этот момент времени, полученного из предыдущих значений реализации. Простое вычитание из случайного процесса прогноза, формируемого из его предыдущих значений, позволит подавить помеху, но не сохранит форму выделяемого сигнала. Сохранение его формы будет возможно, только если полученная разность будет использована как изменение математического ожидания реализации случайного процесса и дальнейший прогноз будет осуществляться с учетом этого фактора.

Рассмотрим эффективность компенсации помехи при условии, что в качестве приращения математического ожидания реализации случайного процесса I используется разность случайного процесса и его прогнозируемого на интервал времени х значения. Пусть прогноз формируется в момент времени t. Тогда оценка математического ожидания в момент ? + т представима в виде т ¿ + т =Ъ) ¿ + т -с; t + т\t +т t , где ^ + тк - прогноз реализации случайного процесса на момент времени t + x, выполненный в момент Если случайный процесс г| I дифференцируем хотя бы один раз [3], то алгоритм работы

66

©. Головков В. А, 2012

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 5

линейного трансверсального прогнозирующего фильтра, использующего два отсчета реализации 2, I , может быть записан в виде

Е, t + т\t -т г х Е, Х-Ы -т t-At + щ х Е, г -т г , (1)

где х , м?1 х - оптимальные коэффициенты прогнозирующего фильтра.

Для простого трансверсального фильтра \¥ х = Ци^ х х || = х , где из [4]

G = а2

1 At р At 1

- корреляционная матрица выборки Е, t — At , Е, t ; Р т - вектор

корреляции Е, t + т с выборкой Е, t — At , t (Р1 х =а^||р х + А t р х ||; т -символ транспонирования).

Выбор интервала времени At рассмотрен в работе [5]. Он должен быть минимальным, причем ограничения на него налагаются шумами квантования аналого-цифровых преобразователей. Поэтому в выражении (1) можно принять т t - At ~т I .

Определим оценку математического ожидания в момент t + x в виде т t + x = = Е, t + x -Wq т Е, t — At -Wi х t + k х т t , где k х = х + w$ х . Если принять

2 т —1

т t - const, то дисперсия т t + х выразится, как в [4], М2 т 1 +1 = а 1 ' Р т

Учтем, что m t , в свою очередь, - случайная величина, выраженная на предыдущем шаге анализа как т t =Е> t -w$ х Es t — x — At —м\ х Е, t-x +k х т t-x . Тогда новое значение т t + x представимо в виде т t + x =Е> t + x +w$ х Е, t -w$ х Е, t — At —

-wq х Е, t — At -k х wi x E, t-x -k x wq x E, t — x — At +k x m t-x . Дисперсия m t + x при условии m t-x = const определится как

M2 m t + x = a2 1 + 2wq x + \_k x wi x ]2 + x Wq x ]2 + 2wq x R x -

-2Wq x R x + At -2k x w1 x R 2x -2k x w0 x R 2x +At -

2 2 -2Wq X R At -2k X Wq X Wi X R X -2k X Wq X R X + At +

2 2

+2k x Wq x Wi x R т — At +2k x Wq t R t +2k x Wq t Wi x R At . Если условие постоянства математического ожидания на предыдущем шаге не выполняется, можно, повторив подобные рассуждения для более ранних шагов, найти дисперсию т t + т при условии, что математическое ожидание принято постоянным за п шагов до момента предсказания т t — m = const *. Если при некотором п и заданном х

дисперсия m t + т перестанет увеличиваться, то ее можно принять за истинную дисперсию, так как предыстория процесса уже на ней не сказывается. С уменьшением времени прогнозирования дисперсия m t + т также уменьшается, но при расчете Л</2 m t + т приходится учитывать большее число шагов п.

* При больших п выражения для М2 т / + т весьма громоздки и в настоящей статье не приводятся.

Рассмотрим эффективность компенсации помехи при использовании предложенного алгоритма для случайных процессов с наиболее употребляемыми в практике коэффициен-

2 2 2 • / тами корреляции [6]: R тк = а ехр -атк и R тк =а sin атк атк , где тк - текущее время корреляции; а - коэффициент, характеризующий скорость изменения коэффициента корреляции.

Процессы с такими корреляционными функциями являются дифференцируемыми. При а = п для введенных функций корреляции эффективная ширина спектра случайного процесса Л/э = 1, что дает возможность пересчитать полученные далее характеристики для различных значений параметра а. В таблице приведены результаты расчета коэффициента подавления помехи случайного процесса Кп= a2/M 2 т t + x с веденными функциями корреляции для различных времен прогнозирования. Как показывают результаты расчета, при значении At — 0.01 с обеспечивается высокая точность прогнозирования, и эффективности выборок <~ t — At , t , а также t, t , t , практически одинаковы [4].

Как следует из таблицы, подавление помехи тем больше, чем меньше время прогнозирования. На основании расчетов можно сделать заключение, что для точного определения коэффициента подавления при времени прогнозирования т > 0.2 с необходимо учитывать не менее 12 "шагов", т. е. можно положить т t-nx = const только при п —12. При т = 1с точность прогнозирования снижается и подавления помехи не происходит. При меньшем времени прогнозирования х < 0.2 с подавление помехи будет больше, однако коэффициент подавления трудно рассчитать.

Кроме того, из таблицы видно, что подавление помехи для случайного процесса с

коэффициентом корреляции R тк = a2 sin атк / атк несколько больше, особенно при

малых временах прогнозирования. Это объясняется тем, что спектр процесса с указанной корреляционной функцией принципиально ограничен и точность прогнозирования для такой помехи выше.

На рис. 1 приведена иллюстрация работы алгоритма компенсации помехи методом имитационного моделирования. В системе Mathad проводилось моделирование реализации

2

нормального случайного процесса t с а = 1 и нормированной корреляционной функцией р тк = sin 7гтк / 7гтк . Интервал дискретизации по времени составил At = 0.01 с. Кривая 1 соответствует реализации y t , кривая 2 - изменению математического ожидания (сигналу) s t , кривая 3 - оценке m t . В начальный момент времени принята оценка

математического ожидания т 0=^0 исходя из отсутствия прогноза. При 0 < t < 50 с сигнал s t — 0, лыпих

значениях времени становится синусоидальным (см. кривую 2) с амплитудой А —2 и с частотой / = 0.01 Гц. Интервал

R тк 6

0.2 0.3 0.4 0.5 1.0

Кп

2 2 a exp -атк 4.464 2.976 2.252 1.745 1.012

9 sin ахк а2 к атк 10.526 5.555 4.264 3.534 1.425

Рис. 1 Рис. 2

прогнозирования составлял т = 0.4 с. На рис. 1 при I < 50 с видно подавление "чистой" помехи. Она же существенно подавлялась и на синусоидальном сигнале ? > 50 с , хотя при этом отношение "сигнал/помеха" было невелико.

На рис. 2 работа алгоритма компенсации помехи методом имитационного моделирования проиллюстрирована применительно к скачкообразному изменению сигнала. Параметры помехи сохранены прежними. Интервал прогнозирования т = 0.2 с. Случайный процесс у / отображен кривой 1. В момент времени 1 — 50 с математическое ожидание

случайного процесса (т. е. сигнал, кривая 2) менялось скачком до ^ ^ =2. Компенсированный по описанному алгоритму процесс, при котором оценивалось математическое ожидание, отображен кривой 3.

Кривые на рис. 2 наглядно демонстрируют характер подавления помехи и выделение скачка сигнала. Из рисунка следует, что в зоне скачка сигнала подавление помехи также довольно эффективно, а сам скачок компенсируется практически сразу.

Из рассмотрения результатов моделирования на рис. 1 и 2 при нулевом значении сигнала (при ^ < 50 с следует, что подавление "чистой" помехи на рис. 2 выше, чем на рис. 1, что объясняется меньшим выбранным временем прогнозирования.

В настоящей статье рассмотрена эффективность компенсации помехи с использованием простого трансверсального фильтра. Приведены расчеты коэффициента подавления помехи для различных параметров прогнозирующего фильтра и случайных процессов с часто используемыми функциями корреляции. Представлены осциллограммы, иллюстрирующие работу рассмотренного алгоритма.

Список литературы

1. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк., 2000. 462 с.

2. Лабунец Л. В., Лабунец Н. Л., Чижов М. Ю. Реккурентные статистики нестационарных временных рядов // Радиотехника и электроника. 2011. Т. 56, № 12. С. 1468-1489.

3. Головков В. А. Компенсация помехи с известными характеристиками // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 5. С. 30-34.

4. Головков В. А. Характеристики прогнозирующих фильтров // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 2. С. 3-8.

5. Головков В. А., Бодренок Ж. Е. Выбор параметров фильтров предсказания случайных процессов // Радиотехника. 1997. № 4. С. 32-33.

6. Тихонов В. И., Хименко В. И. Выбросы траекторий случайных процессов. М.: Наука, 1982. 304 с.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 5================================

V. A. Golovkov

JSC "Research institute of optical-electronic instrument making" (Saint-Petersburg) Efficiency of noise compensation in real time

The algorithm of the noise compensating, consisting in a signal with noise compound prediction and subtraction ofprediction result from observed realization is offered. The selected difference is considered as mathematical expectation of a noise or as a signal. Results of numerical calculations of noise suppression coefficient for two types of its correlative function are given. Implementations of random process and the selected signal, obtained during imitative simulation with using the offered algorithm of noise compensating are provided.

Random process, prediction filter, noise suppression, signal separation

Статья поступила в редакцию 21 сентября 2012 г.