Характеристики прогнозирующих фильтров Текст научной статьи по специальности «Физика»

Теория сигналов

УДК 681.518.25

В. А. Головков

Северо-Западный технический университет

| Характеристики прогнозирующих фильтров

Исследовано поведение весовых коэффициентов оптимальных линейных прогнозирующих фильтров, использующих выборки значений случайного процесса и его производных, в зависимости от времени прогнозирования и размерности выборки. Получены амплитудно- и фазочастотные характеристики оптимальных линейных фильтров, прогнозирующих случайные процессы, при использовании выборки его производных и выборок предыдущих значений случайного процесса. Приведены результаты численных исследований амплитудно- и фазочастотных характеристик фильтров и спектральных плотностей прогнозируемых процессов для случайного процесса с одним видом функции корреляции.

Случайный процесс, выборка, прогнозирование, корреляционная матрица, вектор весовых коэффициентов, амплитудно- и фазочастотные характеристики

При прогнозировании случайных процессов для компенсации помех в реальном времени в различных оптико-электронных и радиотехнических системах, в системах управления разного рода широко используются линейные фильтры [1]. Указанные фильтры реализуются на базе трансверсальных фильтров [1], использующих выборку предыдущих значений реализации, либо на базе фильтров, анализирующих выборку из значений случайного процесса и его производных. Эффективность таких фильтров рассмотрена в [2], [3]. В указанных работах численными исследованиями показано, что при стремлении временного интервала между элементами выборки в трансверсальном фильтре к нулю эффективности трансверсальных фильтров и фильтров, использующих выборку производных, для выборок одной размерности становятся одинаковыми. Однако при конечном значении этого интервала эффективность фильтров с использованием производных выше, по крайней мере для процессов с наиболее

употребимыми корреляционными функциями (КФ) вида R (т) = а2р(т), где а2 - дисперсия

случайного процесса; р(т) - нормированная КФ.

Построение фильтров с использованием выборки производных требует, чтобы обрабатываемый случайный процесс был дифференцируем бесконечное число раз, т. е. относился к классу линейно сингулярных [4]. Дальнейший материал статьи посвящен именно таким процессам.

В работе [5] на основе численных расчетов рассмотрено влияние дискретизации по уровню и по времени на эффективность работы прогнозирующих фильтров. Представляет интерес исследовать зависимость весовых коэффициентов прогнозирующих фильтров от времени прогнозирования. Целесообразно найти амплитудно- и фазочастотные характеристики таких фильтров с целью сравнения их с характеристиками идеального прогнозирующего фильтра.

Структурная схема прогнозирующего фильтра с использованием выборки производных входного случайного процесса приведена на рис. 1. Реализация случайного процесса ^) дифференцируется, и полученные производные умножаются на весовые коэффици-

© Головков В. А., 2010

3

Рис. 1

енты Wjj, где / - порядок производном реализации; ] - объем выборки, используемой для прогнозирования. Совокупность коэффициентов образует винеровский вектор весовых коэффициентов W [1]. Оптимальный вектор W, обеспечивающий минимум среднеквадратического отклонения, определяется как W = R1Р, где R - матрица корреляции выборки производных, используемых для прогнозирования; Р - вектор взаимной КФ отсчетов полезного сигнала £(г + Т) (Т - время прогнозирования) и

элементов выборки £(г), £'(г), ..., £(пЧг) .

Матрица R и вектор Р в [2], [3] определены через выборку производных процесса. Обозначим элементы вектора W, зависящие от Т, как Won, Wln, ..., wnn, тогда

£( г + Т ) = won (Т )£( г)+wln (Т )£'( г)+...+wnn (т )£( п)( г). (1)

При этом обеспечивается минимальное значение условной дисперсии Б оценки величи-

как:

ны £(t + T) по выборке {£(t), £'(t), ..., £(" (t)}, определяемое [1]

D[£(t + T)|£(t), £ '(t), ..., £(")(t)

= а2 - PтW

(2)

2 - "т"

где а - дисперсия случайного процесса; - знак транспонирования.

При использовании выборки из предыдущих значений случайного процесса, что характерно для трансверсального фильтра, алгоритм прогнозирования имеет вид

£(t + T) = k0 (T)£(t) + k1 (T, At)£(t-At) + ... + k" (T,"At)£(t-"At).

Весовые коэффициенты k¡ (T, iAt) можно получить как элементы оптимального вектора W, составив матрицу корреляции R для выборки £( t), £( t - At), ..., £( t - "At) и вектор P взаимной корреляции £(t + T) и указанной выборки. Для трансверсального фильтра дифференцирующие цепи заменяются отрезками линий задержки на время At.

Для случайного процесса с недифференцируемой КФ, например вида R (т) =

= a2exp (-а|т|) (а - константа), при использовании трансверсального фильтра от нуля будет отличен только коэффициент ko (T), поскольку процесс с такой КФ относится к марковским случайным процессам. Для детерминированного периодического процесса, например вида A(t ) = A cos (rat + с КФ R (т) = ( A2/2 ) cos (шт), коэффициенты wiH, используя [3], определятся только для i = 0, 1: woo =p(T) = cos(raT) ; wjj = p'(TVp"(0) = = sin(raT)/ra , где p(T) = cos(raT) - нормированная КФ. При использовании второй про-

изводной процесса (/ = 2) матрица R станет сингулярной. Можно показать, что это объясняется однозначностью определения А (г) на всем интервале времени, если известны уровни сигнала и его первой производной в любой момент времени.

Рассмотрим дифференцируемый случайный процесс, реализации которого г) имеют КФ вида

R (т) = с2ехр (-ат2). (3)

При а = л эффективная ширина спектральной плотности случайного процесса 4/э = 1. Приведем матрицу R и вектор P, используемые при прогнозировании, с выборками до четвертой производной включительно [6]:

R = с2

1 0 р"( 0) 0 р( 4)( 0)

0 -р"(0) 0 -р( 4)( 0) 0

р"( 0) 0 р( 4)(0) 0 р(6)( 0)

0 -р( 4)( 0) 0 -р( 6)( 0) 0

р( 4)( 0) 0 р( 6)(0) 0 р(8)( 0)

p = с2||р(т) -Р'(т) р "(Т) -р(3)(Т) Р(4)(т)||т, На рис. 2 приведены зависимости нормированной дисперсии I (Т) = = D г + с2 , рассчитанной по выражению (2), от времени прогнози-

рования Т для процесса с КФ R (т) = с2 ехр (-л:т2 ) . Кривые 1-5 соответствуют используемым в выборке порядкам производных от нулевого до четвертого. Из рис. 2 следует, что при росте времени прогнозирования Т I (Т) ^ 1, т. е. дисперсия прогнозируемого значения сходится к дисперсии самого процесса. С другой стороны, при малых значениях Т I (Т) ^ 0, причем эффективность прогнозирования увеличивается с ростом объема выборки. На рис. 3 показана зависимость коэффициентов wij (Т). Коэффициенты Woj фильтра являются коэффициентами при выборке самого прогнозируемого процесса г) и "отвечают" за непрерывность кривой прогнозирования, поэтому при Т = 0 Wo j = 1. Характер поведения коэффициентов Wjj для / > 1, унимодальных и равных нулю при Т = 0, объясним тем, что прогнози-

I

0.75 0.5 0.25

0'

0.5

1.0

Рис. 2

Т

0.75 0.5 0.25

0

^00 = ^01

^02 = м'03 Щ3 = ^4 w22 = ^3 w33 = w34

0.5

1.0

Рис. 3

Т 5

руемый процесс не должен иметь разрыва в этой точке. Из графиков видно, что весовые коэффициенты при старших производных несколько уменьшаются, однако отсюда не следует, что влияние старших производных становится меньше, так как с ростом порядка

производной случайного процесса растет и ее дисперсия [6] как (-1)П р(2п)(0)о2. Как видно из рис. 3, весовые коэффициенты при одних и тех же производных выборки попарно равны при увеличении порядка производных для выборки на единицу. Этот же результат можно получить и по аналитическим выражениям весовых коэффициентов, приведенным в [3], но лишь применительно к выборкам, использующим не более двух производных ввиду сложности нахождения аналитических выражений для Wjj в явном виде.

Идеальный прогнозирующий фильтр представляет собой фазовращатель с комплексным коэффициентом передачи К (/ю) = ехр (/юТ), который на практике не реализуется. Целесообразно получить комплексные коэффициенты передачи ранее рассмотренных прогнозирующих фильтров и сравнить их с идеальным коэффициентом передачи. Комплексный коэффициент передачи прогнозирующего фильтра найдем по выборке производных с помощью (I):

К (7ю) = Щп (Т) + /юм/1П (Т) -ю^2П (Т) + . + (7ю)П ЩП (Т) .

При использовании для прогнозирования выборок значений случайного процесса и его первой производной ( п = I) получим модуль комплексного коэффициента передачи и фазочастотную характеристику фильтра в виде:

|К ( /ю)| = WQl +ю2wl2l ; ф(ю) = агС£ (юwl^w0l) .

При использовании второй производной ( п = 2) получим

К (/ю)|=^^02-ю^22 ) +Ю2 w22 ; ф(ю) = агС£ ЮWl^ (wo2-Ю2W22 )

Для п = 3 найдем

\к(/ю)| = ^(Woз-Ю2W23 ) +(юwlз-Ю3Wзз ) ;

ф(ю) = arctg (юwlз -ю3wзз)/(woз -ю2w2з) .

Комплексный коэффициент передачи трансверсального прогнозирующего фильтра К (/ю) = ^ (Т) + ^ (Т, Лг) ехр(-/юЛг) + . + ^ (Т, nЛt) ехр (- jюnAt).

На рис. 4, а представлены зависимости |К(/ю)| для прогнозирующих фильтров, использующих выборки отсчетов случайного процесса и его производных. Кривая 1 соответствует выборке, использующей первую производную случайного процесса, кривая 2 - выборке в виде двух предыдущих значений случайного процесса, разделенных интервалом времени Лг = 0.05 . Кривая 3 соответствует выборке, использующей производные случайного процесса до третьего порядка, кривая 4 - выборке, содержащей четыре отсчета случайного процесса с временным интервалом между соседними отсчетами Лг = 0.05 . Как показывают расчеты, при Лг ^ 0 кривая 2 совпадает с кривой 1, а кривая 4 - с кривой 3. Этот факт 6

Я' 0.75 0.5 0.25

0

Рис. 4

объясняется тем, что в двух отсчетах случайного процесса содержится то же количество информации, что и в отсчете и первой производной. Аналогично, имея четыре отсчета случайного процесса, можно оценить, хотя бы методом конечных разностей, первые четыре его производные, что отражается в совпадении кривых 3 и 4. Как видно из графиков на рис. 4, а, с ростом количества используемых при прогнозировании производных коэффициент передачи |К (уш)| приближается к единице, во всяком случае, в области низких частот.

Целесообразно сравнить спектральную плотность реализаций прогнозируемого случайного процесса £( ^ + т) со спектральной плотностью реализаций исходного случайного процесса ^), которая имеет вид [6]:

' 2,

Я(ш) = -у/л/а ехр(-ш2/4а).

= Л/л/а ехр\-ш~/4а/. (4)

Очевидно, что, чем точнее прогнозирование случайного процесса, тем ближе должна

I |2

быть спектральная плотность процесса ^ + т), имеющая вид Ят (ш)= К(уш)| (ш) , к спектральной плотности Я(ш). На рис. 4, б приведены кривые Ят (ш) при времени прогнозирования Т = 0.4, причем кривая 1 представляет Я (ш), рассчитанную по (4). Кривая 2 соответствует выборке, использующей первые три производные случайного процесса, кривая 3 - выборке, использующей только первую производную случайного процесса. Как следует из этих графиков, с ростом количества производных, используемых для прогнозирования, спектральная плотность процесса на выходе фильтра приближается к исходной спектральной плотности.

На рис. 5 построены фазочастотные характеристики прогнозирующих фильтров при КФ (3) и времени прогнозирования Т = 0.4 . Прямая 1 соответствует фазочастотной характеристике идеального фильтра, прогнозирующего на интервале Т = 0.4: ф(ш) = 0.4ш . Кривые 2 и 3 представляют собой ф(ш) для выборок, использующих три производные случайного процесса и четыре отсчета случайного процесса, разде- 0 ш ю

Рис. 5

2 -

б

а

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 2======================================

ленных интервалом At = 0.05 соответственно, при том же времени прогнозирования T = 0.4, а кривые 4 и 5 - ф(ш) для выборок, использующих первую производную случайного процесса и два отсчета случайного процесса, разделенных интервалом At = 0.05 соответственно. При уменьшении At кривая 3 приближается к кривой 2, а кривая 5 - к кривой 4, следовательно с ростом количества используемых для прогнозирования производных или при снижении интервала прогнозирования реальная фазочастотная характеристика приближается к идеальной.

В настоящей статье исследованы весовые коэффициенты оптимальных линейных прогнозирующих фильтров, использующих выборку производных случайного процесса, на примере случайного процесса с гауссовской КФ. Численными методами показано, что весовые коэффициенты при одних и тех же производных попарно равны при увеличении порядка производных в выборке на единицу. Получены амплитудно- и фазочастотные характеристики таких фильтров и проведено их сравнение с соответствующими характеристиками идеального прогнозирующего фильтра. Показано, что по мере уменьшения времени между отсчетами случайного процесса характеристики результатов прогнозирования, полученные трансверсальным фильтром, приближаются к аналогичным характеристикам для фильтров, использующих производные этого процесса.

Список литературы

1. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

2. Головков В. А., Пимнев С. В. Прогнозирование нормального случайного процесса по выборке его производных // Радиотехника. 1992. № 5/6. С. 65-68.

3. Головков В. А. Зыкин М. В. Прогнозирование случайного процесса по выборке его производных // Радиотехника и электроника. 1993. № 3. С. 1049-1053.

4. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. М.: Наука, 1990. 272 с.

5. Головков В. А., Бодренок Ж. Е. Выбор параметров фильтров предсказания случайных процессов // Радиотехника. 1997. № 4. С. 32-33.

6. Тихонов В. И., Хименко В. И. Выбросы траекторий случайного процесса. М.: Наука, 1987. 450 с.

V. A. Golovkov

North-West technical university

Characteristics of the predicting filters

Character of behavior of weight factors for optimum linear predicting filters of casual process using sample and its derivatives depending on time of predicting is investigated. Peak and phase frequency characteristics of optimum linear filters predicting casual processes for a case of use of sample of its derivatives and a case of use of sample of the previous values of casual process are received. It is shown, that these filters are equivalent under condition of reduction of an interval of time between readout of casual process and identical dimension of sample. Results of numerical researches of peak and phase frequency characteristics of filters and spectral density of predicted processes for casual process with one kind offunction of correlation are resulted.

Casual process, sample, predicting, correlation matrix, vector weight factors, peak and phase frequency characteristics

Статья поступила в редакцию 13 ноября 2009 г.