CC BY
43
g (t,х)
1 yx(t) y2(t)
W(x) yi(x) y2(x)'
(8)
где W (x)
g(t, X)
(9)
Полученное выражение (9) есть ничто иное, как математическая модель канала распространения сигнала пульсовой волны. По данному выражению можно получить его частотные характеристики, перейдя от временной оси на частотную.
Список литературы:
1. Эккле Дж. Физиология синапсов. М.: Мир, 1966.-366с.
2. Мещерский Р.М. Анализ нейронной активности. М., 1972.-222с.
3. Пятигорский П.Я. Спонтанная активность первых центральных нейронов восходящих путей кожной чувствительности // Биофизика. 1967. Т.12, вып. 3. С. 516-
4. Ахутин В.М., Оболонкин В.В. Оценки передаточных характеристик сосудистого русла //Биомедицинские измерительные системы и аппараты. Вестник ГЭТУ. 1994, вып. 468. С 3-7.
5. Щукин С.И. Аппараты и системы для электромагнитной индивидуальной терапии и активной диагностики // Вестник МГТУ, сер. Приборостроение. 1993. №4. С
6. Винницкий А.С. Модулированные фильтры и следящий прием ЧМ. М.: Сов. Радио, 1969. 547с.
7. Гаджиев М.И. Основы параметрической фильтрации и режекции. Махачкала: РИО ДГУ, 1988. 80с.
8. Кузнецов Г.В., Яшин А.А. Уравнение гемодинамики и дифференциальные формы. Ч.1 Введение в теорию моделирования сердечно-сосудистой системы человека // Вестник новых медицинских технологий. 1996. Т. III, №1. С 10-16.
9. Кузнецов Г.В., Яшин А.А. Уравнение гемодинамики и дифференциальные формы. Ч.2. Поверхности «постоянной энергии» в гемодинамике // Вестник новых медицинских технологий. 1996. Т. II, №3. С 13-17.
10. Константинова Н.В., Кузнецов Г.В., Яшин А.А. Уравнение гемодинамики и дифференциальные формы. Ч.3. Поверхности «полной энергии» для специального потока крови в аппроксимированных граничных условий // Вестник новых медицинских технологий. 1996. Т. III, №4. С 74-77.
11. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь,
1994. 480с.
УДК 330.4:519.62:519.86
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ КРИВЫХ
523.
9-23.
РОСТА
Магомедов К.А., д-р техн. наук, проф.
НОЧУ ВПО «Институт гуманитарного образования и информационных
технологий», Москва
Аннотация: В статье рассматриваются свойства кривых роста и их использование в прогнозировании. В отличие от ранее описанных моделей предлагается способ учета нелинейной зависимости коэффициента пропорциональности в дифференциальном уравнении модели роста от исследуемой характеристики. В статье предлагаются математические и разностные модели задач Коши для анализа нелинейных процессов в моделировании. Основой моделей являются негладкие операторы, представляющие собой линейное отображение и отображение сдвига, по традиции называемые кусочно-линейными. В статье приводятся результаты численных экспериментов.
Ключевые слова: прогнозирование, кривая роста, логистическая кривая, кусочно-линейная аппроксимация нелинейных процессов, кусочно-линейные операторы, кусочно-линейные дифференциальные уравнения, кусочно-линейные разностные схемы.
PREDICTION OF BY MODELS GROWTH CURVE
Abstract: The article deals with the properties of the growth curves and their use in forecasting. Unlike the previously described models is provided a method of accounting of the nonlinear dependence of the coefficient of proportionality in the differential equation model of growth of the studied characteristics. In the article the mathematical model and the difference of the Cauchy problems for the analysis of nonlinear processes in the simulation. The basis of the models are non-smooth operators representing a linear mapping and the shift map, traditionally called piecewise linear. The article presents the results of numerical experiments.
Keywords: forecasting, growth curve, logistic curve, a piecewise linear approximation of nonlinear processes, piecewise linear transformation, piecewise-linear differential equations, piecewise linear finite difference schemes.
Развитие многих эволюционных процессов в природе, экономике и технических системах отражается S-образной кривой роста (кривой развития), называемой иногда логистической кривой, представляющей собой временную либо другую зависимость параметров исследуемого процесса или объекта. Например, логистическую кривую используют при характеристике развития различных сторон потенциала организации и ее положения во внешней среде: описания жизненных циклов спроса, технологии, товара и даже самой организации.
В технических системах логистической кривой можно описать рост определенной функциональной характеристики и обосновать использование такой кривой для прогнозирования научно-технического развития и создать такую модель процесса развития техники, чтобы прогнозы могли составляться с большей точностью.
Эмпирический анализ огромного числа природных, технико-экономических и социокультурных процессов показал, что динамика процессов их роста, развития, распространения подчиняется логистическому закону. На рис. 1 приведена динамика развития сетей транспорта и коммуникаций в США, подчиняющаяся логистическим закономерностям [1].
В ряде случаев необходимо предсказать скорость, с которой новое технологическое решение будет вытеснять предыдущее, используемое для получения
тех же функциональных характеристик. Иначе говоря, необходимо предсказать скорость, с которой новая техника замешает старую. Новая техника не будет принята всеми сразу, поскольку существует определенный риск, связанный с ее использованием. Многие будут работать со старой техникой, пока кто-то не попробует применить новую. Все зависит от скорости адаптации к новому продукту. Часто предполагают, что рост потребления новой техники описывается логистической кривой и ее можно использовать в качестве прогнозной.
Рис. 1
Для использования логистических кривых в прогнозировании необходимо подобрать математическую модель, наиболее точно описывающую исследуемый процесс.
Обозначим число людей, использующих новую технику к моменту через N а через М обозначим емкость рынка. Тогда разность М — N определит число лиц, которых можно еще привлечь к использованию новой техники. Предположим, что прирост числа новых потребителей пропорционален числу взаимодействий между сторонниками новинки и сомневающимися. Число таких взаимодействий будет пропорционально произведению N • (М — Щ). Отсюда получается уравнение:
М - N- = 2(М_1)(М - М_1)
Дифференциальная форма уравнения (1) имеет вид:
(1)
(М(г) ¡г
= 2 (М (г ))(М - N (г))
(2)
где N(1) - количество потребителей новой техники в момент времени М - число потенциальных потребителей новой техники в момент времени
величину 2(N(г)) (3)
назовем скоростью адаптации, т.е. вероятностью того, что потенциальный потребитель новой техники приобретет его в момент времени Обычно эта величина задается в виде некоторой константы [2].
Существует множество исследований, которые опираются на модели, описываемые соотношением (2), однако в этих исследованиях не учтена зависимость скорости адаптации (3) как от времени, так и от степени потребления новой техники N В общем случае эту связь можно считать нелинейной.
Настоящая работа посвящена анализу нелинейных динамических систем. В работе показано, что в силу общности математических моделей в экономических
исследованиях можно использовать опыт, накопленный при исследовании процессов в нелинейных технических системах [3-8].
Аппроксимация нелинейной характеристики «скорость адаптации»
Нелинейную характеристику «скорость адаптации» можно выразить зависимостью вида:
ё = ё (Ю). (4)
Зададим характеристику (4) сначала в виде линейно возрастающей функции (скорость адаптации возрастает), а затем в виде колоколообразной функции (скорость адаптации сначала возрастает, а затем снижается) рис. (2). Здесь горизонтальная прямая
Указанные зависимости зададим таблично:
Таблица 1 (колоколообразная кривая)
N 0 1.25 2.5 3.75 5
g 0 4 5 4 0
Таблица 2 (линейная функция)
N 0 1.25 2.5 3.75 5
g 0 1.25 2.5 3.75 5
Далее сформируем дифференциальные операторы и уравнения. Основой для формулировки операторов и уравнений будут непрерывные кусочно-линейные функции, определяемые равенством [3]:
У = ((2) = Ь + ао2 + аМ - |' > а*, 1 > к, Эти функции строятся по системе узлов \а } с параметрами Ь, а0, аi е R1.
(5)
Кусочно-линейный базис функций используется для аппроксимации представленных графически или таблично характеристик нелинейностей. Такое представление позволяет сформировать кусочно-линейные дифференциальные уравнения и сформулировать разностные схемы для численного анализа.
Теперь определим параметры оператора (5). Для этого по данным таблицы значений ар и ср(ар) составим систему линейных алгебраических уравнений задачи кусочно-линейного интерполирования:
(Р1(ар ) = Ь +а0ар +Х;=1а
(Р1(е) = Ь +ао с + Х^=1а
(Р1(С) = Ь +ао с + ^1=1а1
1=1 1 с - а
а - а
р 1
Р = 1, я,
1
(6)
с-а
где < (а ), < (с), < (с) - известные из таблицы значения, с = шах} (а) + 8} , с
= шщ (а) - 82, ) = 18> 0).
Для формулирования методики интерполирования (аппроксимации) рассмотрим характеристику «скорость адаптации». Обычно она аппроксимируется константой (горизонтальная прямая на рис. 2). Решим задачу кусочно-линейной аппроксимации для нелинейной характеристики (кривая в форме колокола на рис. 2). Для этого выберем несколько значений коэффициентов ар и <(ар).
Зададим основные узлы, равные следующим значениям: а1 = 1.25, а2 = 2.5, а3 = 3.75, а также дополнительные узлы: с= а1 - 8=0 и с = а5 + 82 =5, где 81 = 1.25, 82 =1.25, которые определяют поведение оператора (5) за пределами интервала [а1 - а3]. Далее из таблицы 1 выберем значения: <р(а\) = 4, < (а2) = 5, < (а3) =4, < (а1 - 81) = 0, < (а5+82) = 0. Подставляя значения ар и <р (ар) в (6), можно получить систему уравнений, решая которую, определим параметры: Ь = 8, а0 = 0, а} = -1.2, а2 = -0.8, а3 = -1.2. Аппроксимирующий кусочно-линейный оператор представлен на рис. 3 сплошной кривой.
5
4
У<Х) у1(ъ)3
9 9 9
2
у2(ъ) " " " 1
0 1 2 3 4 5
ъ
Рис. 3
Аналогично, пользуясь для расчетов данными, приведенными в табл. 2, можно получить кусочно-линейное приближение линейной зависимости, представленной на рис. 3 пунктирной линией.
Для корректного сравнения результатов численного эксперимента случай, когда скорость адаптации не изменяется, также аппроксимирован кусочно-линейным оператором (рис. 3 штрихпунктирная линия линия).
Кусочно-линейные дифференциальные уравнения
Описанная выше нелинейная характеристика «скорость адаптации» определяет нелинейность соответствующих дифференциальных уравнений.
Возможность использования негладких операторов в экономическом моделировании наиболее полно изложена в [9].
Дифференциальные или разностные уравнения (разностные схемы) являются кусочно-линейными, если их правые части представляют собой скалярные или векторные кусочно-линейные операторы, определенные на переменных заданного класса гладкости.
Кусочно-линейными называются операторы, построенные в виде линейной комбинации базисных функций
Фг (г) = { 1 , Г, | Г - а(/)| } , (7)
состоящих из постоянной, линейной функции и модульных функций.
Термин «кусочно-линейный» используется по традиции. Правильнее было бы
говорить о том, что на каждом из подмножеств оператор у = Ф(г) является аффинным, т. е. представляет собой линейное отображение и отображение сдвига.
Пусть Ъ е Я", У е Я" - конечномерные пространства над вещественным полем. Тогда векторный кусочно-линейный оператор задается вектор-функцией вида:
У = Ф(2) = Ь + а0 2 + - а\, (8)
где ao,, а1 е Яшх" - числовые матрицы размером (шхп); Ь, а; е Я", а; е Я" -векторные узлы оператора. Операторы типа (9) являются средством формирования разностных схем при анализе нелинейных процессов.
Каноническая форма кусочно-линейного дифференциального уравнения имеет
вид:
X = фх( х\ x(t0) = x0s (9)
где х Е Rn.
Систему (9) можно записать и в координатной форме:
n
х 1 = Sav%(х')' где х 1 (0) = 0 .
j=i
Кусочно-линейные разностные схемы
Разностную схему можно построить по аналогии с уравнениями по канонической схеме (10) в векторно-матричной форме:
xk+i = hA0^(xk), хко = хо,
(10)
где правые части представляют собой линейные комбинации кусочно-линейных операторов с учетом возможности вычисления процессов в дискретные моменты kh, причем h - шаг численного интегрирования по времени. В классе моделей (10) описываются явные разностные схемы.
Разностную схему (11) можно записать в координатной форме:
n
хК +1 = aijVij (xk X xkо = х0.
j=1
Пример формирования разностных схем
Для иллюстрации применяемого метода на рис.4 представлена программа для численного анализа исследуемых процессов. Здесь входными данными являются параметры кусочно-линейной характеристики «скорость адаптации» ар и ар. Приведенная программа функционирует в среде Mathcad.
-1.2 а12 :=-0.8 а1 :=-1.2a1 := 1.25 a^ := 2 .5 аЦ := 3. = 0 a2x := 2.5
b1 := ■ 8 а10 := 0 а1х
b2 := ■ 2.5 а20 : = 0 а2
b3 : = С а30 := 1 а3 ^
N := 100 k := 0..N T := 5
T N
h :=— t := 0 X) := 0.1 yQ := 0.1 v := 0.]
Рис. 4
innov(t,х,у ^^,h) :=
t0 ^ t
X0
^ x
У0 ^ У
vo ^ v
&г k е 0..N - 1
1 , ^ 1 + h k +1 к
у. , ^ у. + h 7 к+1 -'к
V 1 ^ V + h • к+1 к
Хк+1 ^ Хк + h •
Ь2 + а20 • ук + Е К • |ук- 32
в | к б
Б = 0 0
Ь3 + а3„ • V + (а3 • IV - а3
0к
Б к Б
Б = 0 2
Ь1 + а!^ • х +
• Хк + Е К • Ь- а18
Б = 0
•I1 - Ук)
•I1 - vk)
•(1 - Хк)
ъ augment(t ,х, у , V)
Результаты численного анализа приведены на рис.5: сплошной логистической кривой, обозначенной как хк, соответствуют результаты, полученные при аппроксимации зависимости «скорость адаптации» колоколообразной логистической кривой, обозначенной как ук, соответствуют результаты, полученные при аппроксимации зависимости «скорость адаптации» константой, а логистической кривой, обозначенной как ук, соответствуют результаты, полученные при аппроксимации зависимости «скорость адаптации» линейной функцией.
Сравнение этих результатов свидетельствует о значительных расхождениях в результатах прогнозов по логистическим кривым в зависимости от вида функции, аппроксимирующей характеристику «скорость адаптации».
tk
Рис.5
Выводы:
1. Предложена методика математического моделирования нелинейных процессов в динамических системах на основе применения кусочно-линейных операторов.
2. Разработаны обобщенные подходы к построению разностных схем кусочно-линейных дифференциальных уравнений, описывающих нелинейные динамические процессы.
3. В качестве иллюстрации предложенного метода проведено численное исследование известной модели распространения нововведений. Результаты численного анализа показывают значительное отклонение логистической кривой от исходного состояния, когда не учитывается нелинейная зависимость скорости адаптации к нововведениям, что может сказаться на точности прогнозов.
Список литературы:
1. Плотинский Ю.М. Модели социальных процессов: Учебное пособие для высших учебных заведений. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Логос, 2001. - 296 с.: ил.
2. Соловьев В. И., Магомедов К. А. Оптимальное управление распространением инноваций в условиях пространственной неоднородности экономики // Инновационное предпринимательство и управление знаниями: Тезисы докладов межвузовской научно-практической конференции. Москва, 28 ноября 2006 г. — М.: РИПО ИГУМО, 2006.
3. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Аддитивные кусочно-линейные разностные схемы для анализа электрических цепей // Известия Российской академии наук. Энергетика, 2002, № 4. С.83 - 92.
4. Козлов В.Н. Магомедов К.А. Негладкие операторы и распределенные системы
модели теплопроводности / СПб., 2003. Сер. вып. №3 Серия "Системный анализ и управление" / М-во образования Рос. Федерации, С.- Петерб. гос. политехн. ун-т
5. Козлов В.Н. Магомедов К.А. Негладкие операторы и распределенные системы
М-во образования Рос. Федерации, С.-Петерб. гос. политехн. ун-т. СПб., 2003. Сер.
Вып. № 5 Серия: "Системный анализ и управление"
6. Магомедов К.А. Математическое моделирование и анализ электрических и тепловых процессов в технических комплексах: Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук- СПб, 2003
7. Магомедов К.А. Математическое моделирование и анализ электрических и тепловых процессов в технических комплексах: Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук- СПб, 2003
8. Козлов В.Н. Магомедов К.А. Синтез управлений частотой и активной мощностью энергообъединений с учетом тепловых процессов // Известия Российской академии наук. Энергетика. 2003. № 2. С. 158.
9. Магомедов К.А. Негладкие операторы в экономическом моделировании //Актуальные проблемы науки: ИГУМО и ИТ как исследовательский центр. 2013. Т. 2. № 1. С. 96-103.
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ СТУДЕНТОВ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ Мадаев С.Р., ст. преподаватель кафедры информационных тхнологий Институт (филиал) ФГБОУ ВПО «МГОУ имени В.С. Черномырдина»
в г. Махачкале
Аннотация: Понятие научно-исследовательская работа студентов включает в себя следующие элементы: обучение студентов основам исследовательского труда, привитие им определённых навыков; выполнение научных исследований под руководством преподавателей.
Ключевые слова: студенты, деятельность, образование.
RESEARCH ACTIVITY OF STUDENTS IN THE EDUCATIONAL PROCESS
Abstract: The concept of scientific-research work of students includes the following elements: teaching students the basics of research work, inculcating certain skills; perform research under the guidance of teachers.
Keywords: students, education.
«Научно-исследовательская работа студентов» включает в себя следующие компоненты: процесс формирования качеств, навыков, умений научно-исследовательской деятельности у студентов от курса к курсу с учетом особенностей вуза, факультета и специализации (с какой целью и что формируется); систему методов, форм и средств формирования данных качеств, навыков, умений (как и через что формировать); систему и структуру субъективно-объективных связей в процессе формирования качеств, навыков, умений НИРС (кто формирует и у кого формируется, какого взаимодействия формирующего и формирующихся); эффективность процесса, системы и подсистемы НИРС (с каким эффектом). Данный компонент расчленяется на: эффективность массового охвата студентов НИР; эффективность воздействия НИРС на развитие творческих способностей и овладение методами индивидуального и коллективного творчества; эффективность качественного содержания и вклада студентов в науку; эффективность воздействия субъекта на объект процесса формирования качеств, навыков, умений НИР;
