Разностные схемы для синтеза управления нелинейными теплопроводящими объектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

0 < = / < = 5 не превосходят величины 1,226516701535729E-7.

Элементная база для реализации параллельного решателя

Придерживаясь классификации вычислительных средств для решения потовых задач и причисляя нахождение решений ОДУ к таким задачам, можно утверждать, что встроенный решатель LabVIEW имеет конвейерную структуру, а новый решатель - параллельную.

Для аппаратной реализации решателя наиболее подходят кристалы ПЛИС (FPGA) Virtex 5 фирмы Xilinx и Cyclone 4 фирмы Altera. ПЛИС предназначены для создания устройств цифровой обработки данных (DSP) с поддержкой выполнения векторных операций в форме с плавающей точкой (Floating Point IP Cores).

СПИСОК J

1. Каляев, И.А. Реконфигурируемые мульти-конвейерные вычислительные структуры [Текст] / И.А. Каляев, И.И. Левин, Е.А. Семерников, [и др.]; 2-е изд. -Ростов-на-Дону: ЮНЦ РАН, 2009. -С. 20-32.

Доказана правильность алгоритма параллельных вычислений по формулам численного интегрирования ОДУ методом Рунге-Кутта.

Погрешности решений тестового уравнения на предложенном решателе и встроенном решателе LabVIEW совпадают.

Алгоритм применим к другим и-этапным методам Рунге-Кутта

Для эффективной аппаратной реализации предложенного решателя необходимо применять ПЛИС (FPGA) Virtex 5 или Cyclone 4 с поддержкой Floating Point IP Cores.

Время решения ОДУ на предложенном решателе в четыре раза меньше, чем на встроенном решателе LabVIEW (и Matlab).

Полученные результаты могут быть применены для разработки быстродействующих моделирующих и управляющих систем.

ГЕРАТУРЫ

2. Эдвардс, Ч.Г. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление помощью Mathematica, Maple и Matlab [Текст] / Ч.Г. Эдвардс, Д.Э. Пенни; Пер. с англ.; 3-е изд. -М.: ИД «Вильямс», 2009. -С. 203-217.

УДК 53.096,536.58

В.Н. Козлов С.В. Хлопин

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ СИ НТЕЗА УПР А В ЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ТЕПЛОПРОВОДЯЩИМИ ОБЪЕКТАМИ

Синтез управления нелинейными теплопрово-дящими объектами производится на основе решения нелинейных дифференциальных уравнений. Для численного решения кусочно-квадратичных и кусочно-линейных дифференциальных уравнений теплопроводности для трехмерного случая необходимо определить канонические формы трехмерных уравнений теплопроводности. Для трехмерного случая эти формы уравнений можно получить из обобщенного уравнения теплопроводности:

( ди

И U 1 = И 2

дЯ АЯ3 Н АЯ 4(и) [дЯ ИЯ5(и)

+АУ 2

(

ду

АУ 3

д

Ау4(и)| ду Ау5(и)

(1)

+А

Az31 Az4(и) Az5(и)

+ f ( я, У, z, t),

и(0, x, y, г) = и0(x, y, г), и ^у,г^ = и3 .

Это уравнение позволяет учесть изменения теплофизических свойств среды в виде кусочно-квадратичных функций (операторов) или их аппроксимаций (кусочно-линейных функций). Эти функции (операторы) позволяют учесть зависимость свойств теплопроводности от совокупности переменных: от первых производных температуры по времени у = фД)); вторых производных температуры от сложной координаты у = ф2 (г (?)); первых производных температуры от совокупности координат оператором у = ф3 ());

коэффициента теплопроводности от температуры у = ф4 (2(()) или зависимости у = Ф5 (2(()).

Варианты различных форм кусочно-квадратичных уравнений теплопроводности можно получить путем рассмотрения частных случа-

ев обобщенного уравнения теплопроводности для трехмерного случая (1).

Исходные и обобщенные уравнения приведены в табл. 1, где рассмотрены варианты уравнений и соответствующих начально-краевых задач.

Таблица 1

Основные задачи теплопроводности для трехмерного случая

1 Теплопроводность в изотропной среде ди д2и д2и д2и .. . ¥ V+7 (х,у,?), 0 < X < X,0 < у < У,0 < 2 < 2,0 < г < Т, и (X У, 2, 0) = и0(X, У, 2), и (X,у,2^ = из, и(0, у,2,?) = ), и(X,у,2,7) = и2(?), и (X, 0, 2, 7) = и ((), и (X, У, 2, 7) = и4 ((), и(X,у, 0,7) = и,(?),и(х,у,2, 7) = ил(()

2 Теплопроводность в среде с зависимым коэффициентом теплопроводности от температуры ди д ( г, .ди ^ д ( „, чди | д ( 2 , чди | — Ф 4(и)^" 1 + т-| Фу4(и^ | + тЧ Ф 4(и)^" 1 + 7(х,У, дг дх ^ дх) ду ^ ду) ду ^ ду) 0 < X < X, 0 < у < У, 0 < 2 < 2, 0 < г < Т, и(X У, 2, 0) = и0 (х, ^ 2), и (X,у,2)е5 = из , и(0, у,2,г) = ), и(X,у,2,7) = и2(?), и(^0,2,7) = иъ(г), и(х,У,2,7) = иА(г), и (X, у, 0,7) = и5(0, и (X, у, 2, 7) = и6( г)

3 Среда с учетом коэффициента теплопроводности ди д х (ди у (ди |+д 2 (ди ^ + 7 ( дг дк 3 ^ дт) ду 3 ^ду) д2 3 ^д2) 0 <X<X,0 <у <У,0 < 2 <2,0<г<Т, и(^ ^ 2, 0) = и0 (х, У, 2), и (X,у,2)е5 = из , и(0, у,2,г) = их(г), и(X,у,2,7) = и2( г), и(X, 0,2,7) = и ( г), и(X,У,2,7) = и4 (г), и (X, у, 0,7) = и5 (г), и (X, у, 2, 7) = и6 ( г)

4 Теплопроводность с учетом температуропроводности и коэффициента теплопроводности ди д ( ди 1 д ( ди \ д ( ди \ -^: = ^-фXз \ ФX4(и^ |+^-фУ3 1 ФУ4(и1+^-ф23 \ Ф24(и^ | + 7(X, УЛ дг дх ^ дх) ду ^ ду) д2 ^ д2) 0 < X < X ,0 < у < У ,0 < 2 < 2,0 <г< Т, и (X У, 2,0) = и0(х, y, 2), и (X,у,2у=3 = из, и(0, у,2,г) = их(г), и(X,у,2,7) = и2(г), и(X, 0,2,7) = и (г), и(X, У, 2,7) = и4 ( г), и (X, у, 0,7) = и5(г), и (X, у, 2, 7) = и6(г)

Рассмотренные задачи соответствуют различным нелинейным уравнениям теплопроводности, учитывающим различные типы нелинейных зависимостей координат и характеристик.

Для введенного множества моделей и задач распределенной теплопроводности можно построить классы явных и частично-неявных разностных схем для анализа динамики и синтеза управлений тепловыми процессами в специальных теплопроводящих средах для трехмерного случая.

Разностные схемы для трехмерных уравнений теплопроводности. Рассмотрим методику построения явных однородных разностных схем для уравнений табл. 1. Для этого в данных уравнениях теплопроводности необходимо перейти от операций дифференцирования к вычислению разностей по времени и пространственным аргументам.

Явные разностные схемы. Разностные схемы будут сформулированы для частных случаев уравнений типа (1).

1. Для линейного уравнения теплопроводности типа (1) табл. 1, можно сформулировать разностные соотношения на основе замены операций дифференцирования операциями вычисления разностей, которые примут вид:

Д и",

т т,к ,г

и"+1 - и",

т,к ,г т,к ,г

= Д[Ди] + Д [Д и] + Д [Д и] + Г, =

xLxJ ^ ^ J zLzJ л т ,к ,г

= Д

и +,, - и ,

т+1,к ,г т,к ,г

+Д

+ Д,

+1\ =

л т,к,г

(2)

ит+2,к ,г 2ит+1,к ,г + ит ,к ,г

и 1, г, 2и /,, + и 1

+ т,к + 2, г т, к + 1,г т,к ,г +

и 1 , г, 2и 1 ,1 + и 1

т,к ,г+2 т,к ,г+1 т,к ,г гп

7 2 У т,к,г '

К

т = 0, ± 1, ± 2,...,к = 0, ± 1, ± 2,..., ..., г = 0, ± 1, ± 2,..., п = 0,1,..., N -1.

На основании (2) можно сформулировать разностный оператор:

А (и(К)) н

ип+1 - и",

т ,к ,г т,к ,г

ит+2,к ,г 2ит+1,к ,г + ит ,к ,г

ит, к+2,г 2ит, к+1, г + ит, к, г

_ 2иП + и"

1,к,г+2 т,к,г+ 1 т ит,к,г

К2

= / (Хт , ук , гг , С ),

и0, =Ш , ,

т,к,г т т,к,г '

т = 0, ± 1, ± 2,...,к = 0, ± 1, ± 2,..., ..., г = 0, ± 1, ± 2,..., п = 0,1,..., N -1.

Последний оператор определяет явную линейную разностную схему для трехмерных уравнений теплопроводности:

ит,к,г = ит,к,г + 2 (ит+2,к,г 2ит+1,к,г ^ ит,к

+ иПт,к,г ) +

+ — (ип, +2 - 2и", +, + и". ) +

7 2 4 т,к+2,г т,к+1,г т,к,г '

(3)

+ 7 2 (ит,к,г+2 2и,т,к,г+1 + ит,к,г ) + т/т,к,г ,

т = 0, ± 1, ± 2,...,к = 0, ± 1, ± 2,..., ...,г = 0, ± 1, ± 2,..., п = 0,1,..., N -1.

Разностные схемы (3) могут использоваться для анализа и синтеза управлений тепловыми процессами.

2. Для уравнений (2) табл. 1 можно получить разностные схемы на основе замены операций дифференцирования операциями вычисления разделенных разностей и применением леммы о вычислении разности произведения функций [1]. Это приводит к разностным соотношениям:

Д ип .

т т,к ,г

иТ1„ - и ■

т,к ,г т,к ,г

ДХ [фХ4(и)Дхи"т,к,г ] +

+Ду [фу 4 (и )Дуит,к ,г ]+Дг [фг 4 (и )дх

+ /пк = д

•■> т,к,г х

фХ4(и )"

+Д

фу4(и)"

X

х

у

х

У

X

Л

К

у

X

+Д,

е2 е(иУ

+ р =

т,к,г

= есе(и) +еУ е(ие

+е2 е(и)

Ст+2,к ,г 2Ит+1,к ,г + Ит ,к ,г

Vк+2,г амт,к+1,г т ит,к,г

Ит ,к ,г+2 2Ит ,к ,г+1 + Ит ,к ,г

а:

+ У"

«/ т.

т = 0, ± 1, ± 2,...,к = 0, ± 1, ± 2,..., ...,г = 0, ± 1, ± 2,..., п = 0,1,..., N _ 1.

; ? • • • ?

На основании разностных соотношений можно сформулировать разностный оператор, характер нелинейности которого определяется использованием кусочно-квадратичных или кусочно-линейных операторов для характеристики свойств теплопроводности.

Этот разностный оператор может быть представлен в следующей форме:

и"+1 _ и",

т,к ,г т,к ,г

А (и(А ееЧ

с ^„.\Ит+2,к ,г 2Ит+1,к ,г + Ит ,к ,г

_есе(и)

_еУ е(и)

_е2 е(и)

и2

^т, к + 2, г 2ит , к +1,г + И" ь т,к ,г

и2

У

Стп ,к ,г+2 2итп ,к ,г+1 + И" ь т,к ,г

(ее

К

= / (ст , Ук , 2г , С е, Ит,к,г =^т

т = 0, ± 1, ± 2,...,к = 0, ± 1, ± 2,..., ...,г = 0, ± 1, ± 2,..., п = 0,1,..., N_ 1.

Разностному оператору (4) (уравнение типа (2е табл. 1е соответствует явная кусочно-квадратичная или кусочно-линейная разностная схема для трехмерных уравнений теплопроводности, которая определяется следующим образом:

сп+1 = и" + т'е е(ие(и" _2сп + сп е +

т,к,г ~ ит,к,г т , 2 \иш+2,к,г £-ит+1,к,т^ит,к,г > т

т-еУе(ие(ип _ 2сп + еп е +

" , 2 V т,к + 2,г Х"т,к+1,г ^ "т,к,г ^

х-е2 е(и) / П >-> И . П \ .

^ Г"2 (Ит,к,г+2 2Ит,к,г+1 + Ит,*,г ) + Ут,*,г ,

К

3. Для уравнения типа (3) табл. 1 разностные соотношения принимают следующую форму:

и"+1 _ и\

т,к ,г т,к ,г

= Д с е сз(Д сИ" ,к ,ге +

= Д

+Д

+Д_

+Ду еу з(Д уит ,к ,г е+ +Д2 е2 з(ДгиТ,к ,ге + /т,к ,г = есз(ит+1,к ,ге _ес з(и" ,к ,ге

ис

еу з(иТ ,к+1,г) _ е з (Ит ,к ,г )

К

е2 з(и" ,к ,г+1) _ е2 з(иТ ,к ,г)

(5)

К

+/П,к,г = [есз (и"+2,к,г е _ 2есз (и"+1,к,г е +

+есз(и" ,к ,г)]/К + [еу з(и" ,к+2,г) _ _2еуз(и" ,к+1,г) + еуз(и" ,к ,г)]/К + +[е2 з(иТ ,к,г+2) _ 2е2з(и" ,к ,г+1) + +е2з(и" ,к ,г)]/К + /:,к ,г,

т = 0, ± 1, ± 2,...,к = 0, ± 1, ± 2,..., ...,г = 0, ± 1, ± 2,..., п = 0,1,..., N_ 1.

На основании разностной схемы (5) можно сформулировать разностный оператор, характер нелинейности которого определяется использованием кусочно-квадратичных или кусочно-линейных операторов для характеристики свойств теплопроводности.

Этот разностный оператор может быть представлен в следующей форме:

А И ^ =

и"+1 _ Ип,

т,к ,г т ,к ,г

есз (иТ+2,к ,г) _ 2есз (иТ+1,к ,г) + есз (иТ ,к ,г) _

_ К1 "

еуз (иТ,к+2,г) _ 2еуз (иТ,к+1,г) + еуз (иТ,к,г) _ (6)

_ V "

е2 з (иТ ,к ,г+2) _ 2е2 з (иТ ,к ,г+1) + е2з (иТ ,к ,г) =

_ К "

= У (ст , ук , 2г , Ит,к,г =^т,к,г ,

2

и

с

т

2

К

У

х

2

X

с

У

т = 0, ± 1, ± 2,...,к = 0, ± 1, ± 2,..., ...,г = 0, ± 1, ± 2,..., п = 0,1,..., N -1.

Разностному оператору (6) соответствует явная кусочно-квадратичная или кусочно-линейная разностная схема (в зависимости от типа оператора), которая имеет следующее представление:

ип+1 =ип ,

т,к ,г т,к ,г

+ т[фХ3(ит+2,к,г ) -

(7)

-2фХз(ит+1,к ,г)+фХз(ит ,к ,г)]/К + +т[фуз(ит ,к+2,г) - 2фуз(ит ,к+1,г)+ +фу з(ит,к ,г)]/К+т[фг з(ит ,к ,г+2) --2фгз (ит ,к ,г+1)+фгз (ит ,к ,г)] / К+т/:л г,

т = 0, ± 1, ± 2,...,к = 0, ± 1, ± 2,..., ...,г = 0, ± 1, ± 2,..., п = 0,1,..., N -1.

4. Для уравнений, соответствующих трехмерным моделям теплопроводности типа (4) табл. 1, разностные соотношения могут формироваться путем дискретизации по времени и по трем пространственным переменным. При этом возможен учет различных областей изменения свойств нелинейной теплопроводности.

В простейших случаях, когда изменение свойств теплопроводности происходит по «прямоугольным сечениям» (параллельно основным осям координат), соответствующие разностные схемы принимают следующий вид:

и"+1 - и",

т,к ,г т,к ,г

= Д Х фХ3[фХ 4(Д х^тЛ ,г )] +

= Д

+ ДуфуЗ[фу4(Дуипт,к,г )] +

+ Дгфгз[фг4(Дгипт,к,г )] + /:к,г =

фХ3 [фХ4 (ипт+1,к,г )] - фХ3 [фХ4 (ипт,к,г )]

+Д

ф у з[ф у 4(ип

К

г )]-ф у з[фу 4(ипт,к ,г )]

+Д

ф 2 3[фг 4(ип

Ку

у

1)] -ф2 3[ф2 4(ипт,к ,г )]

К

(8)

+ /п =

^ т,к,г

= (фХ3 [фХ4 (и"т + 2,к,г )] - 2фХ3 [фХ4 Кт+и,г )] +

+фХ3[фХ4(ипт,к,г )])/ КХ + + (ф у3[ф у 4(ипт,к+2,г )] - 2ф у3[ф у 4(ипт,к+1,г )] +

+ фу 3[фу 4(ипт,к ,г )])/К2 у +

+ (ф23[ф24(ипт,к,г+2)] - 2ф23[ф24(ипт,к,г+1)] +

+ф23[ф2 4(ипт,к ,г )])/К2 г + /Пт, ,г ,

т = 0, ± 1, ± 2,...,к = 0, ± 1, ± 2,..., ...,г = 0, ± 1, ± 2,..., п = 0,1,..., N -1.

На основании (8) можно сформулировать разностный оператор:

А (и№) Ч

и"+1 - и",

т ,к ,г т,к ,г

-(фХ3[фХ4(и т+2,к,г

)] -

-2фХ3[фХ4(ипт+1,к,г )] + +фХ3[фХ 4(ипт,к ,г )])/К2 х -(ф у3[ф у 4(ипт,к+2,г )] --2ф у3[ф у 4(ипт ,к+1, г )] + +фу3[фу 4(ипт,к ,г )])/К2 у

(9)

-(ф23[ф2 4(ип

2)] -

-2ф23 [ф24(ипт,к,г+1)] +

+ф2 3[ф2 4(ипт,к ,г )])/К г = т,к,г '

_ гп

т

и 7 =Ж 7 ,

т,к • т,к '

т = 0, ± 1, ± 2,...,к = 0, ± 1, ± 2,..., ..., г = 0, ± 1, ± 2,..., п = 0,1,..., N -1.

Разностный оператор (9) позволяет получить явную кусочно-квадратичную или кусочно-линейную разностную схему для трехмерных уравнений теплопроводности типа (4) табл. 1. В результате соответствующая разностная схема, адекватная уравнению (4), принимает следующий вид:

и .п+1. = и:„ ^-^(фх3[фх 4(ип

т,к ,г т, к ,г

К2

Г )] -

-2фХ3 [фХ4 (и"т+1,к,г )] + фХ3 [фХ4 (и"т,к,г )] +

+ Кг(ф у3[фу 4(ипт ,к+2,г )] - 2ф у3[фу 4(^т,к+!,г )] + у

+ фу3[фу 4(ипт,к ,г )]) + Т^(фг3[ф2 4 (и^т, к, г+2)] --2ф23 [ф24(ипт,к,г+1)] + ф23[ф24(иВт,к,г )]) +

+ Т/ (Хт , ук , 2г, X

т = 0, ± 1, ± 2,...,к = 0, ± 1, ± 2,..., ...,г = 0, ± 1, ± 2,..., п = 0,1,..., N -1.

(10)

т

и

X

Таблица 2

Явные разностные схемы для основных задач теплопроводности для трехмерного случая

Um,k,r = Um,k,r + , 2 (Um+2,k,r 2Um+1,k,r + Um,k,r ) + , 2 (Um,k+2,r 2Um,k+ 1,r + Um,k,r ) + f n n n n + (Um,k,r+2 — 2Um,k,r+1 + Um,k,r ) + fJm,k,r , z m = 0, ± 1, ± 2,..., k = 0, ± 1, ± 2,..., r = 0, ± 1, ± 2,..., n = 0,1,..., N -1 (3)

U"+1 = Un +X'<?X4(U\Un 2Un 1 Un ) 1 X'<?>'4(U\un 2Un + Un ) + m,k,r m,k,r + , 2 \Um+2,k,r ^Um+1,k,r 1 Um,k,r^ 1 , 2 \Um,k +2,r ZUm,k+1,r^Um,k,r ' ^ hx hy , Т'ф 4(U ) (un 2un , Un ) , fn + , 2 (Um,k,r + 2 2Um,k,r+1 + Um,k,r ) + Jm,k,r , hz m = 0, ± 1, ± 2,..., k = 0, ± 1, ± 2,..., r = 0, ± 1, ± 2,..., n = 0,1,..., N -1 (4)

<+1 =U"m ,k,r +%X3(Um+2,k ,r )-2фXз(um+U ,r ) + фXз(um ,k ,r )]/hX + ^3« ,k+2,r )^3« ,k+1,r ) + +Фу 3(um ,k ,r )]/К+f[фz 3(um ,k ,r+2) - 2фz 3(um ,k ,r+1)+фzз(um ,k ,r )]/hZ+fJik ,, m = 0, ± 1, ± 2,..., k = 0, ± 1, ± 2,..., r = 0, ± 1, ± 2,..., n = 0,1,..., N -1 (7)

f U"m+k,r = U"m,k,r + ^3 [ФX4 (U"m+Ur )] - 2фX3 [фX4 (unm+1,k,r )] + фX3 ^4 (u"m,k,r )]) + X + Т^(ф Уф ' 4(unm,k+2,r )] - 2ф У3[ф y4(unm,k+1,r )] + ф ^ "M" ,r )]) + h y + 1fr (ФZ3 [фZ4 (Unm,k,r+2 )] - 2фZ3 [ФZ4 (Unm,k,r+1 )] + ф% [фZ4 (Unm,k,r )]) + f (Xm , 'k , Z, К X h z m = 0, ± 1, ± 2,..., k = 0, ± 1, ± 2,..., r = 0, ± 1, ± 2,..., n = 0,1,..., N -1 (10)

Полученная разностная схема имеет характерную структуру, определяемую типом используемого нелинейного оператора.

Можно составить системную матрицу явных разностных схем для трехмерных кусочно-квадратичных уравнений теплопроводности, частных случаев уравнения теплопроводности для трехмерного случая (1).

Варианты явных разностных схем, получен-

ные для рассмотренных трехмерных уравнений теплопроводности, приведены в табл. 2.

Полученные разностные схемы могут использоваться для анализа процессов распространения тепла на основе решения задач Коши в полубесконечных средах, когда отсутствуют обратные процессы от отражения тепла от края границы исследуемого объекта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлов, В.Н. Обобщенные модели и разностные схемы теплопроводности [Текст] / В.Н. Козлов, С.В. Хлопин. -СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2009. -157 с.

2. Козлов, В.Н. Обобщенные модели и разностные схемы теплопроводности [Текст] / В.Н. Козлов, С.В. Хлопин // Управление энергетическими системами; Ч. 4. -СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2008. -136 с.

3. Козлов, В.Н. Нелинейные модели и разностные задачи теплопроводности [Текст] / В.Н. Козлов, К.А. Магомедов, С.В. Хлопин. -СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2008. -290 с.

4. Козлов, В.Н. Негладкие операторы и распределенные системы. Модели теплопроводности [Текст] / В.Н. Козлов, К.А. Магомедов. -СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. -196 с.