Прогноз выхода комбинированных многосвязных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

УДК 62-506.1

Т. В. Мальцева Научный руководитель - О. В. Шестернева Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ПРОГНОЗ ВЫХОДА КОМБИНИРОВАННЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ

Рассматривается задача получения прогноза выхода взаимосвязанных статических систем. Информационная обстановка при этом характеризуется тем, что часть уравнений, описывающих связи внутри системы, может быть задана точно, а некоторые уравнения из-за недостатка информации могут быть представлены лишь качественно соотношениями неизвестной структуры и выборкой наблюдения вектора состояний. Таким образом, сама постановка задачи осуществляется в форме, когда ее нельзя отнести ни к детерминированной, ни к байесовской, ни к параметрической или непараметрической.

При моделировании сложных систем часто возникает ситуация, когда часть связей подчиняется известным законам (физическим, химическим), а часть имеет только качественное описание. Поэтому рассматривалась ситуация частичной полной определенности и одновременно частичной непараметрической неопределенности. Объекты исследования представляют собой процессы, имеющие непрерывный характер и сложную, технологическую жесткую структуру взаимных связей. Существующая структурная схема технологических связей между переменными самого объекта и его функциональных частей приводит к понятию многосвязности переменных, когда часть входных переменных одних объектов является входными для других в технологической цепочке. Это обстоятельство приводит к тому, что исследуемый класс объектов описывается неявно, в виде некоторой системы уравнений, определяющих соответствующие неявные функции.

Модели процессов, которые строятся в условиях, когда априорная информация об исследуемом объекте имеет некий смешанный характер и может одновременно принадлежать нескольким уровням, будем называть комбинированными математическими моделями. Ключевые особенности таких моделей заключаются в том, что для их построения нужен относительно малый объем априорной информации, так как не требуется знание структуры там, где необходимая для параметризации информация не может быть получена. При этом если параметризованная структура некоторых связей известна, то эта информация учитывается при построении модели. Для построения комбинированной модели не требуются дополнительные или специальные экспериментальные работы, а также нет необходимости в изменении контрольно-измерительного комплекса, поскольку данные модели по своему построению ориентируются на реальную информацию об объекте.

Сформулируем задачу моделирования. Пусть X = (х1,..., хк)еП(X) с Як- вектор входных переменных объекта, У = (, ..., у1) е О (У) с Я1 - вектор выходных переменных. Пусть для многомерного статического объекта, подверженного действию неконтролируемых возмущений, со случайными ошибками, имеющими нулевое математическое ожидание и ограниченную дисперсию, могут быть проведены стати-

стически независимые наблюдения вектора состояний объекта {X, У} в дискретные моменты времени

(Х[И], У[И]}, И = 1, N . В работе рассматривался случай замкнутой комбинированной многосвязной системы, когда внутренние связи между X и У в принятых обозначениях представлены следующей системой соотношений

¥} (х(л, У(1)) = 0, 1 = 1, т, т < 1, у1 - ф* (х(л, У(л ) = 0, 1 = т +1,1.

(1)

Тогда, имея выборку наблюдений

(Х[И], У[И]}, И = 1, N , требуется найти такое значение величины У е О(У) на объекте типа (1), которое соответствует заданному входному воздействию X = X е ) - идентификация, прогноз.

Процесс моделирования многосвязных объектов состоит из двух этапов. Первый завершается построением некоторых алгебраических систем уравнений:

FN (X, У) =

(х(л, У(*) )= 0, 1 = 1_т, т < 1,

у -фц (х (1), у (1) )=0, у = т+и,

(2)

где

Ф N

, N

( , УУ )=£ Уу V ]ф

и=1

X1 - X1 и

С

\ ( ф

X1

Уу - У] [и]

С

У1

4 (XI -XI и^

И=1

С

X1

(3)

непараметрические оценки Надарая-Ватсона [2; 3] качественных зависимостей по наблюдениям вектора состояний объекта. На втором этапе идентификации осуществляется решение системы (2) при заданном входном воздействии X = X . В качестве оценки решения принимается статистика [1]

Уу4 = 2 Уу[и ]Пф

и=1 1=1

( 0-е, [и]А

С„

-у У

1Пф

И=1 1=1

(0-е ,[и]А

Се

У

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии

j = 11,

(4)

j = 1 l

(6)

где е у [г], у = 1,1, г = 1, Ж - некоторая рабочая выборка

невязок системы (2) специальным образом сгенерированная на основе исходной выборки «вход - выход», а именно

е у [г] = у (Х,¥ [г ]) (5)

где ЕуЫ(...) - компоненты соответствующих вектор-

функций. Это означает, что сгенерированная выборка невязок (5) должна захватывать точку ноль при

X = X . Таким образом, приведенную оценку можно уточнить, включив в нее наблюдения вектора состояний объекта

yjN = Z yj мПф

Í=1

j=1

~ ~ xj[t ]

Cx

Пф

( 0-6, [t ]A

j=i

c6

zn®

t=1 j=1

r ~ - Xj [t]^ l

Cx

П®

r 0-6 j [t ]Л

j=1

Сб

Была проверена работоспособность представленных алгоритмов прогноза, проведено их сравнение, а также исследована зависимость точности прогноза от таких факторов, как объем выборки, величина помехи в каналах измерения, уровень неопределенности системы. Планируется исследовать алгоритмы прогноза при наличии ошибок в моделях (2).

Библиографические ссылки

1. Красноштанов А. П. Комбинированные многосвязные системы. Новосибирск : Наука, 2001.

2. Надарая Э. А. О непараметрических оценках плотности вероятности и регрессии // Теория вероятностей и ее применение. 1965. Т. 10 (1). С. 199-203.

3. Watson G. Smooth regression analysis // Sankhya, ser. A. 1965. Vol. 26. Part 4. P. 359-372.

© Мальцева Т. В., Шестернева О. В., 2011

УДК 62.506.1

Е. С. Мангалова Научный руководитель - О. В. Шестернева Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнёва, Красноярск

О ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО СТАТИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

Рассматривается проблема построения модели нестационарного статического объекта в условиях малой априорной информации. Приводится критерий, позволяющий разбить исходные данные на стационарные интервалы с целью возможности применения стационарных моделей.

При решении задач управления исследователю часто приходится сталкиваться с технологическими процессами, которые характеризуются нестационарностью параметров. Нестационарность связана, например, с изменяющимися свойствами сырья, нестабильностью работы и износом оборудования, как результат, она приводит к значительному усложнению анализа и синтеза систем управления такого рода объектами.

Пусть при построении модели нестационарного статического объекта исследователь располагает единственной реализацией выборки синхронных измерений (, yi, ), / = 1, п, где - /-е измерение входа объекта; - /-е измерение выхода объекта; ti - время соответствующей /-й пары измерений, при этом известно, что зависимость входа и выхода объекта меняется во времени неизвестным образом.

Одним из методов решения задачи является построение многомерной оценки регрессии, когда время рассматривается как один из регрессоров:

n( X, t) = z n = i ф

( x - X ^ (t -1 ^ Ф

y,

zn= 1Ф

л Í

(1)

х- -X i

c

V n

Ф

t. -1 i

c

V n y

Недостатком оценки (1) является то, что параметр размытости с'п является постоянным для всего временного интервала и характеризует некоторым образом степень нестационарности в среднем, а не в конкретные моменты времени.

Любой нестационарный объект на некотором конечном интервале времени можно описать стационарными моделями, тогда модель нестационарного объекта будет состоять из совокупности стационарных моделей, соответствующих определенным вре-

c

c