О задаче моделирования нестационарного статического объекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии

j = 11,

(4)

j = 1 l

(6)

где е у [г], у = 1,1, г = 1, Ж - некоторая рабочая выборка

невязок системы (2) специальным образом сгенерированная на основе исходной выборки «вход - выход», а именно

е у [г] = у (Х,¥ [г ]) (5)

где ЕуЫ(...) - компоненты соответствующих вектор-

функций. Это означает, что сгенерированная выборка невязок (5) должна захватывать точку ноль при

X = X . Таким образом, приведенную оценку можно уточнить, включив в нее наблюдения вектора состояний объекта

yjN = Z yj мПф

Í=1

j=1

~ ~ xj[t ]

Cx

Пф

( 0-6, [t ]A

j=i

c6

zn®

t=1 j=1

r ~ - Xj [t]^ l

Cx

П®

r 0-6 j [t ]Л

j=1

Сб

Была проверена работоспособность представленных алгоритмов прогноза, проведено их сравнение, а также исследована зависимость точности прогноза от таких факторов, как объем выборки, величина помехи в каналах измерения, уровень неопределенности системы. Планируется исследовать алгоритмы прогноза при наличии ошибок в моделях (2).

Библиографические ссылки

1. Красноштанов А. П. Комбинированные многосвязные системы. Новосибирск : Наука, 2001.

2. Надарая Э. А. О непараметрических оценках плотности вероятности и регрессии // Теория вероятностей и ее применение. 1965. Т. 10 (1). С. 199-203.

3. Watson G. Smooth regression analysis // Sankhya, ser. A. 1965. Vol. 26. Part 4. P. 359-372.

© Мальцева Т. В., Шестернева О. В., 2011

УДК 62.506.1

Е. С. Мангалова Научный руководитель - О. В. Шестернева Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнёва, Красноярск

О ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО СТАТИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

Рассматривается проблема построения модели нестационарного статического объекта в условиях малой априорной информации. Приводится критерий, позволяющий разбить исходные данные на стационарные интервалы с целью возможности применения стационарных моделей.

При решении задач управления исследователю часто приходится сталкиваться с технологическими процессами, которые характеризуются нестационарностью параметров. Нестационарность связана, например, с изменяющимися свойствами сырья, нестабильностью работы и износом оборудования, как результат, она приводит к значительному усложнению анализа и синтеза систем управления такого рода объектами.

Пусть при построении модели нестационарного статического объекта исследователь располагает единственной реализацией выборки синхронных измерений (, yi, ), / = 1, п, где - /-е измерение входа объекта; - /-е измерение выхода объекта; ti - время соответствующей /-й пары измерений, при этом известно, что зависимость входа и выхода объекта меняется во времени неизвестным образом.

Одним из методов решения задачи является построение многомерной оценки регрессии, когда время рассматривается как один из регрессоров:

n( X, t) = z n = i ф

( x - X ^ (t -1 ^ Ф

y,

zn= 1Ф

л Í

(1)

х- -X i

c

V n

Ф

t. -1 i

c

V n y

Недостатком оценки (1) является то, что параметр размытости с'п является постоянным для всего временного интервала и характеризует некоторым образом степень нестационарности в среднем, а не в конкретные моменты времени.

Любой нестационарный объект на некотором конечном интервале времени можно описать стационарными моделями, тогда модель нестационарного объекта будет состоять из совокупности стационарных моделей, соответствующих определенным вре-

c

c

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

менным интервалам, а задача сводится к определению этих интервалов.

Разбиением L на множестве T (T = {tb t2, ..., tn}) будем называть систему подмножеств, для которой выполняется:

1. L(0) = T. Разбиение нулевого уровня - все множество T.

2. L(0) з L(1) з ... з L(p) Каждый интервал разбиения k-го уровня является подынтервалом некоторого интервала разбиения (k - 1)-го уровня (k = 1, 2, ..., p).

3. L(k) = {L0k>,..., Lk)} Разбиение k-го уровня содержит k + 1 интервал.

k

4. ULf) = T , k = 0, 1, ...,p.

i=0 k

5.1L(k) = 0, k = 0, 1, ...,p.

i=0

6.Для Vtq G L(rk^ и Vt^ G 4справедливо tq < t^, k = 1, 2, ..., p, r = 0, 1, ..., k - 1. Интервалы разбиения k-го уровня упорядочены по времени.

Каждому интервалу разбиения L() поставим

в соответствие две величины: начало (frk ^) и конец (h( kk)) интервала:

lf> = 0, h(k} = max{t, g L[k}}, k = 0, 1, p; i

l(k} = h« = 2(maxft gL<->} + min{ti gL(k)}

, k = 1, 2, ..., p, r = 1, 2, ..., k.

В результате для разбиения k-го уровня получаем k + 1 непараметрическую модель:

Y (= ^ j : t, e ) ф

' x - x 1

V cn /

yj X j :, e ) *

( x - x 1

, г = 0, 1, ..., к. Каждое последующее разбиение будем производить из условия минимума суммы квадратов отклонений выхода модели от выхода объекта:

Ь(к ' = ащшт V |е( к )

где е(к}= .у, - У(х,, Ь(к)).

Зададим условия, при которых ¿(к+1) предпочтительнее £(к) :

1. Уменьшение суммы квадратов невязок:

X i«' ''"12 <X ief '2

2. Уменьшение дисперсии невязок: О^) < о2(к). Для того чтобы проверить выполнение условие 2, выдвинем гипотезу Н0: о2(к+1) = °2(к). Так как закон

распределения остатков зависит от вида нестационарности и в общем случае не является нормальным, ста- 2 /-2

тистика г = О (к) / (О (к+1) может серьезно отклонять-

е / е

ся от распределения Фишера с числом степеней свободы у1 = п - 1, у2 = п - 1. Применение критерия Ле-вене, допускающего отклонения от нормальности, является в данном случае более обоснованным. Конкурирующая гипотеза Н1 : о2(к+!) ^ о2(к). С учетом

того, что объемы анализируемых выборок равны между собой и равны п, статистика критерия Левене имеет вид:

W = (2n - 2)-

Xn(Z,.. -Z«)2

i=1_

2 n .

X Xn(Zj - Z.*)2

i=1 j=1

где Z* =

_ j=i

n

X z.,

j

Z.. =

2 n

X xz

_<-=i j=i j

п 2п

Выбор определяет устойчивость критерия. В [1] предлагается в качестве использовать величину:

Ъ =

e(k-1+i) - e (к-1 + i)

где e

■(к-1+i)

выборочное

среднее.

Гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется, если W > Fa, 1, 2n _ 2, где а - уровень значимости, а если при

этом <J2(к+1) < и2(к), то условие 2 - выполнено.

Были проведены численные исследования предлагаемого подхода к идентификации нестационарных статических систем методом статистического моделирования, которые показали, что полученная модель обладает заданной точностью.

Библиографическая ссылка

1. Levene H. Robust tests for equality of variances. In I. Olkin and others (Eds): Contributions to probability and Statistics. Essays in Honor of Harold Hotelling. Stanford, I960. P. 278-292.

© Мангалова Е. С., Шестернева О. В., 2011

i=1

i=1

c

n