Алгоритм восстановления нестационарной стохастической зависимости по принципу дерева регрессий Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскце чтения

В результате, подставляя (2) и (5) в (1), получим:

4 nR0 d у

No .

У= N~Sln Фо'

(6)

Следует заметить, что вещественная часть от Л1 из формул^! (4) отличается от Л1 из (6), так как диски и тонкая пленка с включениями состоят из различных материалов.

Библиографические ссылки

1. Горшков М. М. Эллипсометрия. М. : Сов. радио, 1974.

2. Bohren C. F., Huffman D. R., Absorption and Scattering of Light by Small Particles. New York : Wiley, 1983.

S. A. Lyaschenko

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

S. N. Varnakov, S. G. Ovchinnikov Kirensky Institute of Physics, Russian Academy of Sciencess, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

MULTIPLE REFLECTION OF LIGHT IN A THIN LAYER FOR DISKS AND HOMOGENEOUS FILMS WITH A RANDOM CYLINDRICAL INCLUSION

Analytical method for calculating the number of internal reflections of electromagnetic waves in a thin layer of the disk and film with random cylindrical inclusions is presented. Search results are designed for calculating the Fresnel reflection coefficient of the «thin film - semi-infinite medium», limited to the plane of the interface.

© Лященко С. А., Варнаков С. Н., Овчинников С. Г., 2011

УДК 62.506.1

Е. С. Мангалова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПО ПРИНЦИПУ ДЕРЕВА РЕГРЕССИЙ

Рассматривается проблема построения модели нестационарного статического объекта в условиях малой априорной информации. Приводится критерий, позволяющий разбить исходные данные на стационарные интервалы с целью возможности применения стационарных моделей.

На сегодняшний день теория идентификации в основном посвящена вопросам построения моделей стационарных объектов, что, как правило, является результатом некоторой идеализации. Реальные технические объекты имеют изменяющиеся во времени параметры, т. е. являются нестационарными. Существенным для анализа нестационарных систем фактором является закон изменения параметров, который отражает характер и скорость их изменения. В данной работе рассматривается класс объектов с периодически изменяющимися параметрами.

Пусть при моделировании исследователь располагает единственной реализацией выборки измерений

(х1, х2,..., хт, t¡, у), I -1, п, где х/ - 1-е измерение у-го входа объекта; у - ¡-е измерение выхода объекта; t¡ - соответствующий момент времени. Параметры объекта изменяются во времени с некоторой из-

вестной периодичностью, а время наблюдений превышает этот период.

Идея предлагаемого в данной работе подхода основывается на том, что любой нестационарный объект на некотором конечном интервале можно описать стационарными моделями, тогда модель нестационарного объекта будет состоять из совокупности моделей стационарных интервалов, а задача будет сводиться к определению этих интервалов.

Разбиением Ь на множестве Т (Т = ..., 4})

будем называть систему подмножеств, для которой выполняется:

1. Ь(0) = Т.

2. Ь(0)з Ь(1) з ... з Ь(р).

3. Ьк) = ,...,Ь«|.

к

4. у Ь.к) = Т, к = 0, 1, ..., р.

¡=0

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

5. IЬ|к) = 0,, к = 0, 1 .,P.

I=0

6. Для е Ьк' и е Ь^ справедливо tq < ^, к = 1, 2, ..., р, г = 0, 1, ..., к - 1.

Каждому подмножеству Ь(гк' разбиения Ь(к) поставим в соответствие две величины: начало (1.к') и конец (Ик') временного интервала:

1(к) = 0, И(к' = шах^. е Ь(кк'}, I = 1~П}, к = 0, 1, ., р,

1(к) = И.-) = 2 (шах^ е Ь«} + ш1и{/|. е Ь.)}),

к = 1, 2, ...,р, г = 1, 2, ..., к.

По выборкам измерений, компонента времени / которых принадлежит множеству ), строится частная модель ]€Т(к) (х), структура оценки поверхности регрессии имеет вид:

€)( х, / ) = ££ к)( х ) I(к)(/, г ),

г= 1

где I(к)(/, г) - индикаторная функция, которая рассчитывается по формуле

I(k)(t, r ) =

1 l{k )< t < h{k) 0 otherwise

Класс частных моделей к' (х) выбирается исследователем. Это может быть как структура / заданная с точностью до параметров 6: к' (х) = /(х, 6<к'), так и непараметрическая оценка регрессии:

X„сk)<tt <h(k)П"iФ

€)( X ) = ■

f \ Xtj - XJ

Щ

'r 0

[()

У,

X tC k) < tt < h(k) П ;=1 Ф

i ö xjj - X

()

(k)

где Ф - ядерная функция; (С) ' - параметр размытости, который удовлетворяет следующим свойствам:

(С )П' >0,11шпг (С )П'=0, ишпг п (С Г'=¥.

Каждое разбиение производится из условия минимума суммы квадратов отклонений выхода модели от выхода объекта:

Ь(к)= а^Шп£(л - €>(х,/))2.

Процедура разбиения может быть представлена бинарным деревом, в котором каждая вершина характеризуется временным интервалом, на котором строится частная модель, подмножеством наблюдений, принадлежащих этому интервалу, и самой частной моделью [1].

Условие остановки роста дерева: ст2(k+1) <s2(k),

что

может быть интерпретировано, как требование к последующему разбиению быть значимо лучше предыдущего.

Были проведены численные исследования предлагаемого подхода к идентификации нестационарных статических систем методом статистического моделирования, которые показали, что полученная модель обладает заданной точностью.

Библиографическая ссылка

1. Hardle W. Applied Nonparametric Regression / Institut fur statistic and Ökonometrie. Berlin, 1994.

E. S. Mangalova

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

NONSTATIONARY MODEL BUILDING USING REGRESSION TREES

In this work a new method of building nonstationary models using regression trees is described. The technique of recursive splitting is adapted to estimating a nonstationary regression curve. The feasibility of the approach is demonstrated with simulation data.

© MaHraioBa E. C., 2011