Проекционный метод для матричных многомерных парных интегральных операторов с однородными ядрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь-март, 2006, Том 8, Выпуск 1

УДК 517.9

ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД ДЛЯ МАТРИЧНЫХ МНОГОМЕРНЫХ ПАРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ1

О. Г. Авсянкин

Изучаются условия применимости проекционного метода к многомерным парным интегральным операторам, ядра которых однородны степени (—п) и инвариантны относительно группы вращений 5О(п), в матричном случае.

Введение

Исследования, посвященные применимости проекционных методов к интегральным операторам, играют важную роль в математике и в приложениях (см. [1-4]). В настоящее время для многих классов интегральных операторов теория проекционных методов полностью построена. Для интегральных операторов с однородными ядрами эта теория продолжает развиваться (см. [5-7]).

В данной работе изучается применимость проекционного метода к многомерным парным интегральным операторам с однородными ядрами в матричном случае. Подчеркнем, что матричный случай принципиально отличается от скалярного, рассмотренного в [7]. Это отличие заключается не только в содержании основного результата, но и в методе доказательства. Дело в том, что прием, использованный при доказательстве достаточности в основной теореме статьи [7], в матричном случае не проходит. Поэтому в данной работе используется другой подход, основанный на полной редукции многомерного случая к одномерному.

Работа состоит из двух параграфов. В первом параграфе собраны необходимые предварительные сведения и вспомогательные результаты, относящиеся к одномерному случаю. Второй параграф посвящен доказательству основного результата — критерия применимости проекционного метода к матричным многомерным парным интегральным операторам с однородными ядрами.

В статье используются обозначения: Ж" — п-мерное евклидово пространство; х =

(хь ... ,Х") € Ж"; |х| = л/х1 + ■ ■ ■ + х"; X = х/|х|; х-у = хщ +-----Ьх„у„; в! = (1, 0,..., 0);

= {х € Ж" : |х| = 1}; Ж — компактификация Ж одной бесконечно удаленной точкой; Ъ+ — множество всех целых неотрицательных чисел; Ж — компактификация множества Ъ+ хЖ одной бесконечно удаленной точкой; У^Дст) — сферические гармоники порядка т; йп(т) — размерность пространства сферических гармоник порядка т:

, . . . . (п + т — 3)!

^(т) = (п + 2т — 2)- --;

т!(п — 2)!

© 2006 Авсянкин О. Г.

1Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований № 06-01-00297-а.

) — пространство 5-мерных вектор-функций с компонентами из ); Рт(4)

многочлены Лежандра, определяемые равенством:

1со8(т агееоя 4), п = 2,

1(Ст+„-з)-1СГ2)/2(;), п > 3,

где — многочлены Гегенбауэра.

§ 1. Предварительные сведения и вспомогательные результаты

1.1. Определение проекционного метода. Пусть X — банахово пространство, А € £(Х), {РТ1;Т2} (0 < Т1 < 1, 1 < Т2 < то) — семейство проекторов, действующих в X. Будем предполагать, что при Т1 ^ 0, Т2 ^ то проекторы РТ1)Т2 сходятся в сильной операторной топологии к единичному оператору. Рассмотрим уравнение

РТ1,Т2 АРТ1,Т2 Х = РТ1 ,Т2 (1)

Определение 1. Будем говорить, что к оператору А применим проекционный метод по системе проекторов {РТ1,Т2} при Т1 ^ 0 и Т2 ^ то, если

1) существуют такие числа ¿1 € (0,1) и ¿2 € (1, то), что при всех Т1 < ¿1 и Т2 > ¿2 для любого у € X уравнение (1) имеет единственное решение хТ1;Т2 € РТ1,Т2X;

2) при Т1 ^ 0 и т2 ^ то решение хТ1;Т2 стремится по норме пространства X к решению х € X уравнения Ах = у.

Класс операторов, к которым применим проекционный метод по системе проекторов {РТ1,Т2} обозначим через П{РТ1;Т2}.

Определение 1 эквивалентно тому, что оператор А обратим, при 0 < Т1 < ¿1 и ¿2 < т2 < то операторы РТ1)Т2 АРТ1;Т2 как операторы, действующие в РТ1)Т2X, обратимы, и операторы (РТ1,Т2 АРТ1;Т2)-1РТ1,Т2 при Т1 ^ 0 и Т2 ^ то сильно сходятся к А-1.

Очевидно, что все основные теоремы о проекционных методах, доказанные в [1] для случая однопараметрического семейства проекторов, сохраняют справедливость и в нашем случае. В дальнейшем мы будем ссылаться на результаты [1], предполагая, что они переформулированы в соответствии с определением 1.

1.2. Матричные парные операторы Винера — Хопфа. В пространстве Рр(Ж), 1 ^ р < то, рассмотрим интегральный оператор

те о

(С^)(4) = А^(£) ~у С1(4 - п)^(п) ^п -J С2(* - п)^(п) йп, 4 € Ж, (2)

где С/(4) (^ = 1, 2) — матрица-функция 5-го порядка с элементами из Р^Ж). Определим транстве Рр(Ж) п]

(ри =

в пространстве Рр(Ж) проектор РТ1 ,Т2 (т1 < 0, Т2 > 0) формулой

Т1 <^<Т2,

0, 4 < т1 или 4 > т2.

Сформулируем критерий применимости к оператору С проекционного метода по системе проекторов {РТ1 Т2} при Т1 ^ -то, Т2 ^ то (при этом мы предполагаем, что определение 1 переформулировано соответствующим образом). Следующее утверждение непосредственно вытекает из теоремы 4 работы [8].

Предложение 1. Для того чтобы оператор С £ П{Р^ Т2}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) ёе^АЕ - С1(0) = 0, ёе^АЕ - с2(£)) = 0, V£ £ Ё, где сз (£) —преобразование Фурье матрицы-функции сз- (¿);

2) все правые индексы матрицы-функции АЕ — ¿2(£) и все левые индексы матрицы-функции АЕ — ¿1 (£) равны нулю;

3) все правые индексы матрицы-функции (АЕ — ¿2(£))-1(АЕ — ¿1(£)) равны нулю.

1.3. Матричные одномерные интегральные операторы с однородными степени ( — 1) ядрами. В пространстве Ьр(0, то), 1 ^ р < то, рассмотрим оператор

1 со

(Нд)(г) = Ад (г) — ^ Н1(г,р)д(р) йр — ^ Мг,р)д(р) йр, г £ (0, то). (3)

0 1

Здесь Н^(г, р) = {Ьщ ^(г, р))где N = 1, 2, — матрица-функция 5-го порядка, элементы которой удовлетворяют условиям:

а) однородности степени ( — 1), т.е.

Ну (аг, ар) = а-1 Ну (г, р) (V а > 0);

б) суммируемости

со

У (г,р)|р-1/р йр< то.

0

Символом оператора Н назовем пару матриц-функций (©1(£), ©2(£)), заданных равенствами

N 5

/нЦз)(1,р)р-1/р+г« йр , £ £ Ё, N = 1,2. (4)

0 / и,з=1

Далее, определим в пространстве Ьр(0, то), 1 ^ р < то, проектор РТ1>т2 (0 < Т1 < 1, 1 < Т2 < то) по формуле

(Р™ )М = { 0(г)' 0'<<г<<Т2' >

10, 0 < г < т1 или г > т2.

Предложение 2. Для того чтобы оператор Н £ П{РГ1;Г2}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) ёе! ©1 (£) = 0, ёе! 62 (£) = 0 для любого £ £ Ё;

2) все правые индексы матрицы-функции ©2(£) равны нулю и все левые индексы матрицы-функции ©1(£) равны нулю;

3) все правые индексы матрицы-функции 6-1(£)©1(£) равны нулю.

< Определим оператор Ьр(0, то) ^ ЬР(Ё) равенством:

(^р/)(*) = (е-*).

Как известно (см. [9]), оператор С = ^рН^р 1 является оператором вида (2) с ядра-

-1

р

ми с^(4) = (1,е*)е*/р', N = 1, 2. Кроме того, непосредственно устанавливается, что проектор РТ Т2 = ^рРТьТ2 ^р"1 имеет вид

- 1пТ2 <4< - 1пТ1, 0, 4< - 1п т2 или 4> - 1п т1.

Из вышесказанного следует, что Н € П{РТ1;Т2} тогда и только тогда, когда С € П{Р^ Т2}. Учитывая, что символом оператора С является пара матриц-функций (©1(0, ©2(0), заданных равенствами (4), и применяя предложение 1, получаем требуемый результат. >

§ 2. Основные результаты

В пространстве Рр(Жп), 1 ^ р < то, рассмотрим интегральный оператор

(К<р)(х) = У к(х,у)<(у) йу, х € , (5)

предполагая, что элементы матрицы функции к(х, у) = (к/(х, у))|_-=1 удовлетворяют

условиям:

1° однородности степени (-п), т.е.

к/ (ах, ау) = а-пк/ (х, у) (V а > 0);

2° инвариантности относительно группы 50(п) вращений пространства т.е.

к/(ш(х),ш(у)) = к/(х, у) (Vш € 50(п));

3° суммируемости, т. е.

к/ = I |к/(е1,у)||у| п/р^у< то.

Как известно ([9, с. 70]) оператор К ограничен в пространстве Рр(Жп). Определим проектор

(Р<)(х) = (<(х), |х| ^ 1, 0, |х| > 1,

и положим Q = I - Р. Рассмотрим оператор

А = А1 - К1Р - К^, (6)

где А € С, а К и К2 — операторы вида (5). Следуя [10], назовем символом оператора А пару матриц-функций (©1 (т, 0, ©2(т, 0), заданных на компакте Ж равенствами

©^(т,0 = АЕ -(/ к/)(е!,у)Рт(е1 ■ у')|уГга/р+* йу) * , (7)

где N = 1, 2.

Определим теперь в пространстве Ьр(Ёп), 1 ^ р < то, проектор РТ1,т2 (0 < Т1 < 1, 1 < Т2 < то) формулой

(рТЬТ2^)(Ж)Л^(ж), Т1 <|ж| <Т2,

10, |ж| < Т1 или |ж| > Т2.

Для того чтобы получить условия применимости к оператору А проекционного ме-

тода по системе проекторов {Ртьт2}, рассмотрим в ЬР(ЁП) интегральное уравнение, по-

рождаемое оператором А:

А^(ж) ^ У к1(ж,у)<р(у) йу + J к2(ж,у)<р(у) йу + /(ж). (8)

МО М>1

Известно ([11, с. 36]), что если функция а(ж, у) удовлетворяет условию 2°, то найдется такая функция ао(г, р,£), что а(ж,у) = ао(|ж|2, |у|2, ж' ■ у'). Поскольку элементы матриц-функций км (ж, у), где N = 1, 2, удовлетворяют условию 2°, то, учитывая вышесказанное, найдутся такие матрицы-функции Ьм (г, р, ¿), что км (ж, у) = Ьм (| ж |2, |у|2, ж'-у'). Принимая во внимание этот факт и переходя в уравнении (8) к сферическим координатам ж = га, у = р0, получим

1

1П ( р

АФ(га) = ^ J 1А (■ ^ Ф(р0) йрй0

0 £„-1

:—2 (■ ^ Ф(р0) йрй0 + Е(га), (9)

со

+ / ' 1 - ' р

гг

1 5П-1

где

Ф(га) = <^(га)г(га-1)/р, Е (га) = / (га)г(п-1)/р, (р,4) = Ьм(1,р2,ф(га-1)/р, N = 1, 2. Легко проверить, что элементы матриц-функций (р, ¿) удовлетворяют условиям:

со 1

/ / |—(зм)(р,^)|р-1/р(1 — ¿2 )(п-3)/2 йр^< то. (10)

0 -1

Умножая уравнение (9) на У^и(а), интегрируя по единичной сфере и применяя формулу Функа — Гекке ([11, с.43]), получим бесконечную диагональную систему одномерных интегральных уравнений

1 со

АФти(г) = J 1—1т (г) Фти(р) йр + ^ ^т (р) ф™м(р) йр + Ет^(г), г £ (0; то), 01

(11)

где т £ р = 1, 2,..., йп(т),

Фти(г) = J Ф(га)Ути(а) йа, ЕтДг) = ^ Е(га)Ути(а) йа,

5

5

п-1

п-1

2п(™-1)/2 1

2п(п-1)/2 г

(г) = 2-—У- Я*(р,4)Рт(¿)(1 - ¿2)(га-3)/2 N = 1, 2. (12)

2 ) —1

Далее, рассмотрим в пространстве РР(0, то), 1 ^ р < то, оператор

1 со

(Ат^)(г) = Ад(г) - 11 А™ (Г) 5(Р) ¿Р - / 1 ^ (Р) 5(р) ¿р. 0 1

С помощью условия (10) легко проверить, что элементы матриц-функций удо-

влетворяют условию б) п. 1.3. Следовательно, оператор Ат есть оператор вида (3). Согласно п. 1.3 символом оператора Ат является пара матриц-функций (©1т(£), ©2ТО(^)), заданных равенствами

со

6^т(е)= АЕ-(У Я^т)(р)р-1/р+* ф)' , е е Ж,

где N = 1, 2; т е Учитывая формулу (12), получаем

б^т(е) = АЕ (в1,у)Рт(в1 ■ у')Ы-п/р+^е е ж.

К"

Таким образом при фиксированном значении т имеет место равенство

б^т(£) = &м(т,е), е е Ж, N = 1, 2. (13)

Лемма 1. 1) Если оператор А обратим в Рр(Ж"), то оператор Ат обратим в Рр(0, то) для любого т е .

2) Если оператор РТ1)Т2АРТ1)Т2 обратим в РТ1)Т2(рр(Жга)), то оператор РТ1)Т2АТОРТ1)Т2 обратим РТ1 ,Т2 (Рр(0, то)) для любого т е

< 1) Если оператор А обратим в Рр(Ж"), то для любой функции /(ж) е Рр(Жга) уравнение (8) имеет единственное решение. Тогда, принимая во внимание связь между уравнением (8) и системой одномерных уравнений (11), получаем, что каждое из уравнений системы (11) имеет единственное решение при любом свободном члене. Следовательно, оператор Ат обратим в пространстве Рр(0, то) при любом т е

2) Вторая часть леммы доказывается аналогично. >

Лемма 2. Если А е П{РТ1;Т2}, то Ат е П{РТ1;Т2} для всех т е .

< Если А е П{РТЬТ2 }, то (см. п. 1.1) оператор А обPатим, операторы РТЬТ2

,Т2 !

действующие в РТ1,Т2(Рр(Жга)), обратимы при 0 < Т1 < ¿1 и ¿2 < Т2 < то, и

8-Иш(Рп ,Т2 АРТ1,Т2 )-1РТ1,Т2 = А-1. (14)

Т1^0

Тогда по лемме 1 для любого фиксированного значения т е оператор Ат обратим в Рр(0, то), а операторы РТ1,Т2 АтРТ1;Т2 обратимы в -РТ1,Т2 (рр(0, то)) при указанных выше значениях п и Т2. Далее, из условия (14) легко следует, что

8-Ит (РТ1,Т2 Ат,РТ1,Т2 ) -РТ1,Т2 = Ат .

Т1^0 Т2

Следовательно, Ат е П{РТ1;Т2}. >

Теорема 1. Для того чтобы оператор A £ П{РТ1;Т2}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) det ©1 (m,£) = 0, det ©2(m,£) = 0 для любой (m,£) £ Z+xR;

2) для любого фиксированного значения m £ Z+ все правые индексы матрицы-функции ©2(m, £) и все левые индексы матрицы-функции ©1 (m, £) равны нулю;

3) для любого фиксированного значения m £ Z+ все правые индексы матрицы-функции ©- (m, £)©i (m, £) равны нулю.

< Необходимость. Пусть A £ П{РТьТ2}. Тогда по лемме 2 оператор Am £ П{РТьТ2} для любого m £ Z+. Учитывая, что символом оператора Am является пара матриц-функций (©i(m,£), ©2(m, £)) (см. равенство (13)), и используя предложение 2, убеждаемся в выполнении условий 1)-3) данной теоремы.

Достаточность. Пусть выполнены условия 1)-3). В пространстве Lp(Rn) определим проектор Pm равенством

M dn(m)

1) (x ),

m=0 ^=1

и положим Rm = I — Pm . Легко проверить, что проекторы Pm и РТ1)Т2 коммутируют и подпространства Im Pm и Im Rm инвариантны относительно оператора A. Положим

Ap = AI Im pm ; Ar = Allm rm ;

РР = P I • PR = P I

P Т1,Т2 P Т1 ,Т2 Im PM • P Т1,Т2 P Т1 ,Т2 Im RM '

В силу теоремы о поблочной применимости проекционного метода ([1, с. 93]), для того чтобы оператор A £ П{РТ1,Т2}, необходимо и достаточно, чтобы Ap £ П{Рр1Т2} и Ar £ П{Р^Т2 }.

Докажем, что Ar £ П{РТ^Т2}. Так как Ir £ П{Р^Т2}, то найдется такое число Y > 0, что если B £ L(ImRm) и ||B|| < 7, то \Ir — B £ П{Р^Т2} ([1, с. 94]). Как известно ([9, с. 81-82]), число M можно подобрать так, что норма оператора (К1Р + K2Q)r будет меньше любого наперед заданного числа. Выберем число M столь большим, чтобы выполнялось условие ||(К1Р + K2Q)r|| <7, и зафиксируем число M. Тогда AIr —

(К1Р + K2Q)r £ П{Р£ Т2 }, т.е. Ar £ П{Р* Т2 }.

Покажем, что Ap £ П{Р_Т1Т2}. Так как выполнены условия 1)-3), то в силу предложения 2 оператор Am £ П{РТ1,Т2} для любого фиксированного m £ Z+. Это значит, что для каждого m £ Z+ найдутся такие числа ¿1m £ (0,1) и ¿2m £ (1, то), что при 0 < Т1 < ¿1m и ¿2m < Т2 < то операторы РТ1)Т2 Ato^P^,Т2, действующие в РТ1,Т2 (Lp(0, то)), обратимы и

8-Ит(РТЬ Т2 AmP-1,T2 ) 1РРТ1, Т2 = Am1 • (15)

Положим ¿1 = min {¿1m} и ¿2 = max {¿2m}. Поскольку для всех 0 < Т1 < ¿1

и ¿2 < Т2 < то операторы РТ1,Т2Amipn,Т2 (m = 0,1,...,M) обратимы, то оператор Р^,Т2 ApРТ1,Т2, действующий в Р^,Т2 (ImPM), обратим для всех 0 < т1 < ¿1 и ¿2 < т2 < то. Далее, с помощью (15) легко проверяется, что

^(РтР, Т2 Ap РтТ т2 )-1РТ1, Т2 = A-1.

Т1^0

Следовательно, Ap £ П{РТ1Т2}. Теорема доказана. >

Непосредственным следствием данной теоремы является критерий применимости проекционного метода к оператору А/ - К, ранее установленный в [6]. Символом оператора А/ - К является матрица-функция 6(т, е) = 61(т, е) = б2 (т, е), где 6N (т, е) определяется равенством (7).

Следствие 1. Для того чтобы оператор А/-К е П{РТ1;Т2}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) 6(т,е) = 0, V (т, е) е Ж;

2) при любом фиксированном значении т е все левые и правые индексы матрицы-функции 6(т, е) равны нулю.

Другим следствием теоремы 1 является критерий применимости проекционного метода к оператору А в скалярном случае, ранее полученный в [7]. Пусть в = 1. Тогда символ оператора А есть пара функций (^1 (т, е), ^2 (т, е)), заданных на компакте Ж соответствующими скалярными аналогами формул (7).

Следствие 2. Для того чтобы оператор А е П{РТьТ2}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) Ст1(т,е) = 0, Ст2(т,е) = 0, V (т,е) е хЖ;

2) при любом фиксированном значении т е

тё а1(т, е) = с2(т, е) = 0.

Литература

1. Гохберг И.Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.—М.: Наука, 1971.—352 с.

2. Böttcher A., Silbermann B. Analysis of Toeplitz Operators.—Berlin, Heidelberg, New York: SpringerVerlag, 1990.—512 p.

3. Prössdorf S., Silbermann B. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations.—Basel, Boston, Berlin: Birkhauser, 1991.—476 p.

4. Hagen R., Roch S., Silbermann B. Spectral theory of approximation methods for convolution equations.—Basel, Boston, Berlin: Birkhauser, 1995.—427 p.

5. Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (-n) ядрами // Докл. РАН.—1999.—Т. 368, № 6.—С. 727-729.

6. Авсянкин О. Г., Карапетянц Н.К. Проекционный метод в теории интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки.—2004.—Т. 75, вып. 2.—С. 163-179.

7. Авсянкин О. Г. О применении проекционного метода к парным интегральным операторам с однородными ядрами // Изв. вузов. Математика.—2002.—№ 8.—С. 3-7.

8. Козак А. В. Локальный принцип в теории проекционных методов // Докл. АН СССР.—1973.— Т. 212, № 6.—С. 1287-1289.

9. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators. Boston, Basel, Berlin: Birkhäuser, 2001.—427 p.

10. Авсянкин О. Г. Об алгебре парных интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки.—2003.—Т. 73, вып. 4.—С. 483-493.

11. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1984.— 208 с.

Статья поступила 15 декабря 2004 г-

Авсянкин Олег Геннадиевич, к. ф.-м. н. Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет E-mail: avsyanki@math.rsu.ru