ПРОДОЛЖЕНИЕ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1

УДК 517.956

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 69

ПРОДОЛЖЕНИЕ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Ишанкулов Толиб, д.ф.-м.н. профессор,

tolibi@mail.ru

Самаркандский государственный университет имени Шарофа Рашидова

Самарканд, Узекистан Маннонов Махмуд базовый докторант.

maxmudjon_mannonov@mail. гы Самаркандский государственный университет имени Шарофа Рашидова Аннотация. Рассматривается задача продолжения п-аналитической функции в область по значениям ее последовательных производных до (п-1) - го порядка на части границы. Построена формула продолжения Карлемана для п - аналитических функций.

Ключевые слова: уравнение Коши - Римана, полианалитические функции, теорема Коши, формула Сохоцкого - Племеля, формула продалжения.

CANTINUATION OF POLYANALYTIC FUNCTIONS

Ishankulov Tolib, Dr Sc, professor, tolibi@mail.ru

Samarkand State University named after Sharof Rashidov,

Samarkand, Uzbekistan Mannonov Maxmud, basic doctoral student maxmudjon_mannonov@mail. ru Samarkand State University named after Sharof Rashidov

Abstract: We consider the problem of continuation the n analytic function in to a domain by values of its sequential derivatives up to the (n-1) - th order on a part of the boundary. Carleman's continuation formula for n -analytic functions is constructed.

Key words: Cauchy - Riemann equation, n - analytic function, Cauchy theorem, Sokhotskiy - Plemel formula, continuation formula.

Введение

Функция

W = f (Z) = u (X, У) + iv (x, У) называется полианалитической порядка n (или кратко n - аналитической) в некоторой области D плоскости комплексного переменного Z = X + iy , если она в D имеет

непрерывные частные производные до порядка n включительно и удовлетворяет обобщенному условию Коши-Римана:

anw „ . а 1 (а . ал

= 0, где - = -

— +1

\дх ду у

(1)

д1п д2 2

Полианалитические функции тесно связаны с полигармоническими функциями.

Функция и (х, у) тогда и только тогда является полигармонической, если она служит

вещественной или мнимой частью полианалитической функции [7]. Бианалитические функции (решения уравнения (1) при m=2) в виду их связи с бигармоническими функциями, имеют важные применения.

В работах Г. В. Колосова, Н. И. Мусхелишвили, И. Н. Векуа, А. В. Бицадзе, М. Б. Балка, Х. Бегера и их учеников рассмотрены различные краевые задачи для полианалитических функций [4,7-9]. В этих статьях краевые условия задаются на всей границе области регулярности.

В данной работе рассмотрим задачу продолжения п-аналитической функции в область по ее значениям и значениям производных до ( п — 1)-го порядка на части границы этой области.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть В — ограниченная область с кусочно-гладкими границей требуется определить п -аналитическую функцию м(г) в области В по значениям ее

(км?

последовательных производных —к = 0,1,...,п — 1), на части границы 5(5 < дВ)

дг

этой области:

дк ( д0 Л

^ м ч ,7 . . о дм/

= /к(г) (к = 0,1,...,п — 1), г е 5 — = м . (2)

дёк

д0м = м

J

Класс полианалитических порядка п функций в области В обозначим через Пп(О). При п = 1 этот класс совпадает с классом аналитических в области В функций. Поэтому задачу (1), (2) естественно называть граничной задачей продолжения для полианалитических функций. Данная задача является некорректной. Решение единственно, но неустойчиво. Пример некорректности типа Адамара приведен в [10].

2. Формула продолжения Карлемана Важным средством в теории аналитических функций является интегральная формула Коши. Для п — аналитической функции Н. Теодореско [2] впервые получил подобную формулу выражающую значения п — аналитической функции в области В через значений этой функции и ее последовательных производних м_к (к = 0,1,...,п — 1) на границе:

, ч 1 П—г (г — 7 )к ,

М (г ) = ^ (г (^ =)' (3)

В случае п = 1, решение задачи (1), (2) для аналитических функций можно задавать формулой Карлемана ([5, стр. 60-61]; [6, стр. 18-19]). Для п — аналитических функций когда часть границы области является отрезком действительной оси (область типа шапочки) формула Карлемана доказана в [10]. Приведем аналог формулы Карлемана для п — аналитических функций в случае когда областью регулярности являеться единичный круг

В1 =[г: |г| < 1}, 5 - дуга (г', Г) окружности дД,(V = егв, I" = егв" 0 <в'<в"< 2л].

Рассмотрим гармоническую меру С дуги 5 относительно круга Вх [5]:

С (г,в',вп ) = 1агв л

(, в в—в г Л

е

■е

ев'

Функция Карлемана дуги 5 относительно круга В следующий вид [5]:

Фа (г, 2 ) = -^ехр{с[А(г) - ж2)]},

t - 2

где Ж(2)е аналитическая функция в области ^ такая что с(2) = КеЖ(2) ,

С > 0 положительный числовой параметр.

Теорема 1. Для функции ^ еПи(С(^) при 2 Е справедливы следующие эквивалентные формулы продолжения

w (

к=0 5

/А 1 ^Г (2 - Т )к

w (2 )=21/ ^¡ц-^) (t ^+

^ п 1 (2 _ J )к

(2)= 1лт— X ¡(—77^Фс(г,2)V(гУг с^да 2т к! t

(4)

(5)

А.

1 0 ¿01 к! t (t - 2) Доказательство. Эквивалентность (4) и (5) следует из формулы

Нт^(с, 2 ) = |2 ) +¥( 0,2 ). Докажем (4). Из определения функции Карлемана, следует что Фс представима в

виде

где

Фс( г, ^)

1

t - 2

ёс( г, 2),

8 (,г)_ехр{с[ж(t)-ж(2)]}-1

t - 2

регулярная ограниченная аналитическая по t функция в области ^. Покажем, что функция

п-1 ( 2 - Т)к

Р (t, 2 )= I >"Тк (! )

к=0 к!

является аналитической по t в ^, непрерывной на ^. Прямое вычисление показывает справедливость равенства:

-\п-1

д^ (t, г ) ( 2 -1 )п

д t

(п -1)!

-^п ^) = 0.

п-1 (■=

Тогда функция Р1 (t, 2) = gс(t, 2)1

( 2 - 7 )к

к=0

к!

^-к ^ )

тоже является аналитической

по t в , ограниченной на По теореме Коши, имеем:

n -К- T\k

J ( t ) I

дП k=0

( z - t )k

V ,, W-k (t )dt = 0. k ! t

Из равенств (3) и (6), поличем

'(z)=¿" J M*,z)I

n—1

W (

дП

k=0

( z — T )k

Перепишем последнее равенства в вида:

n—1 (- -^k

ч 1

W ( z

9 rri

г=0 S

n—1

(z) = _L I f iï-lL([*t)]W-k (t)dt + () 2^I0J k !( t — z) t ()

1

.V f ( z — Г f.7*)—*z)] (t )dt

(7)

Оценим второй интеграл в правой части (7):

_L у f М^МО—*(z)]Wk

2я 1 -L k ! (t — z ) t

(t )dt

< C1 ( z ) e

z )

(8)

k=0 dD \ Sk ! (t — z )

где C ( z ) вполне определенная функция не зависящая от 7, конечная при каждом

z Е D . Переходя к пределу в (7), при 7 ^ f и учитывая неравенство (8), поличим (4).

Эквивалентные формулы продолжения типа Карлемана (4), (5) дают решение задачи (1), (2) в D .

Рассмотрим вопрос существования, решения задачи (1), (2). С этой целью рассмотрим область Dj = D ^ {z < arg z < 6"}. Обозначим через L(S) множество

абсолютно интегрируемых на S функций. Критерий разрешимости задачи (1), (2) в D1 дает

следующая

Теорема 2. Пусть

fk еL(S)nCn~k~l(S0), S°=lntS (£ = 0,...,я-1).

Для существования функции W Е Пп (D ) ^ Cn 1(D ^ ) удовлетворяющей условиям

W_k (t) = fk (t) (k = 0,1,...,n — 1),t Е S

'0 =

(9)

необходимо и достаточно чтобы для каждого г е В сходился несобственный интеграл:

± f d7i fiizO-fi (t yK* M z )]*(')-*(-- )

2 яJ IJ k ! kW ( t — z )

k!

dt

< f

0 к=0 5

(равномерно на кампактах из В1 ).

Доказательство. Необходимость. Пусть сушествует м е Пп(В) ^ Сп ^ ) удовлетворяющая условиям (9). Функция

(10)

функция

+

е (tz) = ЖС£)-АА*)-ж(2)] ^ ^)= (t - 2) 6

при каждом 2 Е Д, является аналитической по t в Д , непрерывной на Д. Поэтому повторяя рассуждение при доказательстве теоремы 1, можно убедится что равенство (6) сохраняется если там заменит gс на glс :

сА )-ж( 2 )]Я(£)-Ж(£) п-1 (2 - Т )к

1

дД

( ' - 2 )

I

к=0

к!

^-к (t = 0.

Перепишем последнее равенство в виде:

п-1/= т\к п-1/= т\к

I А

5 к=0

( 2 - 7 )к к\

-/к ^ )dt = - | ^с!

(2 - 7 У

^к а У*.

(11)

дД\ 5 к=0

Оценим интеграл, стоящей в правой части равенства (11). Имеем

Г ДАг)-ж(2)]Я(0-Я(2) I1 ^

2 (- 2) к=0 й t

дД

0 < к < п-1

где С1 = тах ж-к (г), С = тах

tЕдД

tЕдД] 2ЕК

к!

А( t )-А( 2)

п-1 ^к »=0 к! 1

2 ^ -сс( 2,0',0")

(! - 2 )

Таким образам

1

м 2)] АМ-АМI1 (!

5 (1 - 2) к=0

< С2еА(2^,2 е Д. (12)

к

■w

2) — к! t Из неравенства (12) следует выполнение условия (10).

Достаточность. Пусть функции /к Е Д5) О удовлетворяют

условиям (10). Покажим что существует функция w Е Пи (Д ) О Сп 1(Д ^ ) удовлетворяющая условиям (9). Рассмотрим выражение в правой части (5), если заменит там WJk (^) на /к (0 (к = 0,1,..., п -1) . Полученное выражение обозначим через g (2) .

Первое слагаемое в выражение g (2) является интегралом типа Коши для аналитических функций

п

Р{г) = 1_ у Г (2 - 7) (2 ^й)1 к!(! - 2)

/к ^ ,

(13)

которое представляет п - аналитическую в Д функцию 2) и п - аналитическую в Д \ Д функцию F-( 2) такие что разность их предельных значений и предельных значений их производных до (п -1) - го порядка по нормалям (или по углам

ограниченного раствора, а соответствующие точки 2+ Е Д и 2 Е Д \ Д при стремлении

к точке t Е Sg находятся на равных расстояниях от t ) на Sg равны f (t) (к = 0,1,...,n —1) [4, стр. 67-69]

^— ^ = /к (г), ( к = 0,1,..., п -1), Г е 50.

Причем, если одно из этих функций непрерывна вместе со своими производными до (п — 1) — го порядка в соответствующей области вплоть до 50 , то другая тоже обладает

данным свойством. Согласно (10), второе слагаемое выражения § (г) являетется п — аналитической по г в В1 . Следовательно, выражение § (г) определяет п — аналитическую в В1 функцию §1 (г) и п — аналитическую в В1 \ В1 функцию §2 (г) и

= /к(Г),(к = 0,1,...,« — 1),Г е 50. (14)

С другой стороны выражение для § (г) равно выражению правой части (4), если

заменим м-к (Г) на /к (Г) (к = 0,1,...,п — 1) . Так как для точек г е В ' п{| г| > 1] функция с (г,в',6'') принимает значения больше единицы, то §2 (г) = 0 . Отсюда следует

0, ( к = 0,1,..., п — 1), Г е 5.

dkg 2(t )

dzk

Но тогда из (14) получим

^gp = fk (t ), ( к = 0,1,..., П - 1) , t Е Sq.

Следовательно, g1 ( z ) требуемая п — аналитическая функция w ( z ).

Критерий разрешимости задачи аналитического продолжения впервые была получена в [3]. Теорема 2 является аналогом теоремы Фока-Куни для п — аналитических функций в круге.

Литература

1. Carleman, T. Les functions quasi analytiques[Text] / T. Carleman //. Gauthier-Villars, Paris, 1926

2. Teodoresku, N. La dérivée aréolaire et ses applications à la Physique Mathématique [Text] / N. Teodoresku // Gauthier-Villars, Paris, 1931

3. Фок, В. А. О введении "гасящей" функции в дисперсионные соотношения [Teкст] / В.А. Фок, Ф.М. Куни //, Докл. АН СССР. 127(6), 1195-1196 (1959)

4. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения [Teкст] / Н. И. Мусхелишвили //М. Физматгиз, 1962. 600с

5. Лаврентьев, М. М. Некорректные задачи математической физики и анализа [Teкст] / М. М. Лаврентьев, В. Г.Романов, С. Шишатский // М.: Наука, 1980

6. Айзенберг, Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения [Teкст] / Л. А. Айзенберг // Новосибирск: Наука, 1990

7. Балк, М. Б. Полианалитические функции и их обобщения [Teкст] / М. Б. Балк // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления том 85, 187-246 (1991)

8. Heinrich, B. Boundary value problems for bipolyanalytic functions, Applicable Analysis[Text] / Heinrich Begehr, Ajay Kumar. // 85:9, 1045-1077 (2006)

9. Heinrich, B. A boundary value problem for Bitsadze equation in the unit disc[Text] / Heinrich Begehr //, Journal of Contemporary Mathematical Analysis. 42, 177-183 (2007)

10. Ишанкулов, Т. Продолжение полианалитических функций[Teкст] / Ишанкулов Т., Фозилов Д. Ш. // Известия вузов. Математика. 8, 37-45 (2021)