Внешняя краевая задача Карлемана в дробных пространствах Бесова Текст научной статьи по специальности «Математика»

СЕКЦИЯ 1. МАТЕМАТИКА

1.1. ВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ВНЕШНЯЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА КАРЛЕМАНА В ДРОБНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА

Альсейтов Амангельды Гумарович

учитель математики, гимназия «Умит», г. Уральск, Казахстан E-mail: alseyytov@rambler

CARLEMAN BOUNDARY VALUE PROBLEM IN FRACTIONAL BESSOV SPACE

Amangeldy Alseytov

Math teacher, gymnasium "Umit", Uralsk, Kazakhstan

АННОТАЦИЯ

Настоящая работа посвящена исследованию внешней краевой задачи Карлемана в дробных пространствах Бесова, вложенных в пространство непрерывных функций, но не вложенных в класс непрерывных по Гёльдеру функций. Получено полное решение задачи методом интегральных уравнений с применением свойств интеграла типа Коши по замкнутому ляпуновскому контуру и теорем вложения.

ABSTRACT

This work is devoted to the study of Carleman boundary value problem in fractional Bessov space imbedded into space of continuous

functions but not embedded into category of Holder-continuous functions. A complete solution by an integral equation method has been deduced using integral of Cauchy type properties according to a closed Lyapunov contour and embedding theorems.

Ключевые слова: краевая задача Карлемана; сингулярное интегральное уравнение; интеграл типа Коши; вполне непрерывный оператор; дробное пространство; метод интегральных уравнений.

Keywords: Carleman boundary value problem; singular integral equation; integral of Cauchy type; completely continuous operator; fractional space; integral equation method.

Введение. Теория непрерывных краевых задач со сдвигом в классической постановке имеется в монографиях Ф.Д. Гахова [7], Н.И. Мусхелишвили [17] и Г.С. Литвинчука [13].

Полное решение краевой задачи Газемана, а также четырех других основных краевых задач со сдвигом, кроме задачи типа задачи Карлемана, было дано Д.А. Квеселава в 1946—1948 гг. методом интегральных уравнений. Результаты исследований Д.А. Квеселава опубликованы в статьях [9—12]. Указанные работы Д.А. Квеселава сыграли решающую роль в дальнейшем развитии исследований по теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений со сдвигом.

В 1958 г. Г.Ф. Манджавидзе и Б.В. Хведелидзе [15] доказали теорему склеивания и установили конформную эквивалентность краевой задачи Газемана краевой задаче Римана. При этом в работе [15] было использовано дополнительное условие: существование второй производной сдвига C((t), удовлетворяющей условию

Гельдера. В 1964 г. И.Б. Симоненко [18] дал новое обоснование конформной эквивалентности краевой задачи Газемана краевой задаче Римана, свободное от указанного выше дополнительного ограничения.

Проблема распространения результатов работ [11], [12] и [14] на случай многосвязной области привела В.А. Чернецкого [21], [22] к обоснованию комбинированного метода интегральных уравнений и конформного склеивания, который был впоследствии применен в монографии [13]. Центральное место в этом методе занимает, так называемая, теорема конформного склеивания [13, с. 149]. Первое доказательство этой теоремы для случая аналитического сдвига d(t),

заданного на единичной окружности, дали с помощью вариационного метода теории однолистных функций М. Шеффер и Д. Спенсер [25] [8].

Теорию задачи Карлемана для доказательства отмеченной теоремы первым применил Юн Эр-Цзянь [26]. Ему удалось снять требование аналитичности и заменить это требование обычным условием

существования у функции сдвига cc(t*) отличной от нуля

гельдеровской производной первого порядка. Полное обоснование доказанной теоремы дано В.А. Чернецким [21], [22]. В этих работах обобщены и уточнены результаты Юн Эр-Цзяня и установлена конформная эквивалентность задачи Карлемана на Г задаче Римана

на разомкнутом контуре L. Последний результат независимо от В.А. Чернецкого был получен также Л.И. Чибриковой в работе [23].

Различные обобщения краевых задач со сдвигом в направлении расширения классов искомых и заданных функций и контуров можно найти в работах [1], [16], [19], [20], [24].

В основе исследования основных, а также других краевых задач со сдвигом в классическом случае лежит метод конформного склеивания, описанный в [7]. В результате конформного отображения краевая задача со сдвигом сводится к краевой задаче без сдвига, в частности, краевая задача Газемана сводится к краевой задаче Римана. С помощью метода конформного склеивания удается получить числа решений и условий разрешимости указанных задач, либо точные оценки для этих чисел. Хотя метод склеивания является наиболее экономным способом построения качественной теории основных краевых задач со сдвигом на плоскости, эта же цель может быть достигнута также применением метода интегральных уравнений. Этим, однако, не исчерпывается значение последнего метода. Этот метод дает также алгоритмы для нахождения решений и условий разрешимости краевых задач. По этой причине для решения задач Газемана и Карлемана мы будем следовать методу интегральных уравнений, предложенному Д.А. Квеселава [9]. Второй и основной причиной применения нами метода интегральных уравнений при решении указанных выше задач в дробных пространствах является

тот факт, что при конформном отображении областей D+ и D на некоторые области А+ и Д", на которые плоскость разделяется контуром L, являющегося образом исходного контура

Г, новый

контур не является контуром Ляпунова. К настоящему моменту задача Римана в дробных пространствах Бесова решена лишь для случая, когда контур является замкнутым контуром Ляпунова. В случае же внешней краевой задачи Карлемана в дробных пространствах

при конформном отображении область П - переходит на плоскость А

с разрезом вдоль простой разомкнутой дуги Ъ; насколько нам известно, задача Римана для разомкнутого контура в дробных пространствах до сих пор не рассмотрена. Отметим, что краевая задача Газемана, которая по-другому называется краевой задачей Римана со сдвигом, полностью решена нами в дробных пространствах Бесова методом интегральных уравнений [2].

В настоящей работе рассмотрим внешнюю краевую задачу Карлемана в дробных пространствах Бесова (определения этих пространств см., напр. [5]) и для удобства приведем без доказательства следующие результаты, которыми часто будем пользоваться в дальнейшем.

Лемма А [5, с. 353]. Пусть Г > 0 и замыкание П ограниченной области п пространства Еп = Е точек х = (х1, х2,...,хп)

взаимно однозначно отображается на замыкание п области п пространства ЕП = Е точек и = (щ, щ, ., Щ) при помощи отображения и = (( х), определяемого функциями

и = ((х) = ((х1, Х2?...?х„), I = I,2, ...,п,

принадлежащими классам С(1) = С(1г)( П) , где

1Г = тах(1, г) при нецелом г ,

1Г = Г + £ при целом г , (АО

С якобианом

П(и1,..,и„ )

> К > 0,

П( Х1,..., хп )

где К не зависит от х Е П. Пусть еще f (и) Е Н(г) (Е* ).

Тогда:

1. фушщия X) = / (р( X» = / (р( (X))

от X интегрируема в р -й степени на (при р = X ограничена) и имеет частные производные по X^ порядков р < г, вычисляемые

почти всюду на О по тем же правилам, как если бы /(и) имела непрерывные частные производные по и . При этом

V(x)\\Ьр(о) < "г! /(и)\\р (о)'

Кр

(г )

р

11^(^ИН(г)(О) < С/(и%^(г)гV*

V(X) е Н (Г) (О)

2. Функция у

Н(рг)(О) V-7|,нрг)(ВТ у

где: С — константа, зависящая от г, полунормы \((с(I) и К, I = I (г) — число, определяемое в (А1).

В этом утверждении можно всюду заменить Н ^р ) на Вр д

(1 <6 < х), однако в предложении, что е С (1г ),

где (вместо (А1))

1г = тах(1, г + е), £> 0.

Лемма В [6, с. 61]. Пусть /(^) е Вгр 6(Г), Г е С\ , 0 < V — 1, где г, р, 6 удовлетворяют одному из условий а)—с):

а. г = — , 1 < р < 2, 6 = 1; р

Ь. Г > — , 1 < р < 2, в> 1; Р

С. г = 1 - —, 2 < р, в< 1 . р

Пусть выполнено условие г Л---1 < V < 1. Тогда интеграл

Р

типа Коши

Ф( 2}=/тт <В°

I — 2

Г

принадлежит пространству Вр~%( В), а = г +--1

р Р

Ф(2)|В1+? (В) < ^(<В

11ВР"+" (В) - ^(Л'

где постоянная С > 0 не зависит от f.

Следствие В.1. В условиях леммы интеграл типа Коши <В1) имеет граничные значения слева Ф + (¿о) (2 Е В, 2 ^ to е Г)

и справа Ф (¿о ) (2 е Е/В, 2 ^ ¿о е Г), принадлежащие

Вр в (Г), причем

Ф ^ )

вр, в(г) У|1вр, в(Г).

где постоянная С > 0 не зависит от f. Из этого, в частности, следует справедливость формул Сохоцкого-Племеля.

и

Следствие В.2. В условиях леммы сингулярный оператор

SГ f = - j

ТГ1 J

If f T)dT

t e Г

mJr t — t

понимаемый в смысле главного значения по Коши, ограничен

p,6(

в К.в (г )

IS г /L ( г ) * Л Л

Brpe(Г) IK \\Brp>e(Г) '

где постоянная С > 0 не зависит от /.

Для рассматриваемых нами пространств имеют место вложения

Bp 1 (D) с^ L2(D), но Bp,(D) Lq(D), q > 2 [25],

Bp(Г) с^ с(Г), но Bp(Г) Cp(Г) ни при каком 0 < J3 < 1 [26].

2. Постановка задачи. Пусть

Г — простой гладкий замкнутый

контур класса Ляпунова CV, — — 1 < v < 1, 1 < p < 2 и разбивает

Р

плоскость комплексного переменного на две области: внутреннюю

D+, содержащую начало координат, и внешнюю D , содержащую бесконечно удаленную точку. Требуется определить функцию Ф(z),

аналитическую в D , удовлетворяющую на контуре Г краевому условию

Ф ~[a(t )]= G(t )Ф~ (t ) + g (t ), (1)

где G(t ) и g (t ) — заданные на контуре

Г функции класса Бесова

1

Bp1, 1 < p < 2, причем

G(t) ф 0 всюду на Г. Функция p(t )

переводит контур Г взаимно однозначно в себя с изменением

1

направления в нем, а также имеет производную а'(1) е Вр} (Г),

1 < р < 2, отличную от нуля в точках Г. Предполагаем, что выполняется условие Карлемана

)] = t. (2) Как увидим ниже, краевое значение Ф ^) искомой

аналитической функции также принадлежит Врг (Г), 1 < р < 2 .

1 р

р,1

1+1

Из а ) е Врг (Г) следует, что а^) е Врг (Г) . Тогда согласно

лемме А Ф— [а^)] е Врх (Г), 1 < р < 2.

Заменяя в краевом условии (1) t на а(.), получим в силу условия (2)

Ф — ^) = 0[а(ф— [а(0]+ ^[а(0]. (3)

По лемме А 0[а^)] и g[а^)] принадлежат Вр^ (Г),

1 < р < 2. Исключая из (1) и (3) предельное значение Ф [а^)], получим

ф- а)=оа о )Ф—(t)+оа )]g (t)+g[а(t)]. (4)

Соотношение (4) будет удовлетворяться в двух случаях: 1) Выражение О[а(0к(0 + g[а(t)] = f ) е Вр (Г),

1 — О[а(00^)

1 < р < 2, есть краевое значение аналитической в В— функции.

1

В этом случае искомая функция определится по своему краевому значению интегралом Коши

ф( 7)=±+ / (х) 2т ^ г - г

2

и по лемме В ф(7) е Вр (О ).

2) Соотношение (4) вырождается в тождество. Следовательно,

О[а(г )]О(?) = 1 (5)

О[а(? )]я (?) + g[а(t )] = 0. (6)

В дальнейшем будем решать задачу (1) в предположении, что условия (5) и (6) выполнены. Заметим, что функции

о(?) = ^^ () Щ)

g (?)■

) - Н [а()] Л1(') ,

где Ь-1 ( ?) и ^2 ( ?) — любые функции из Врг (Г), 1 < р < 2, причем Н (?) ф 0, удовлетворяют условиям (5) и (6). Действительно,

и

и

по лемме А hi [а^)]е Врх (Г), 1 < р < 2, / = 1,2, ив силу этого и условия (2)

0[а(t)]• 0(t) = 4« • = 1

1 (Л| () h[а(t)] \(г)

0[а(t )]g ^) + g[а(t)] = • ^) — 4 ^)]

* ( 41 [а(t)] h1(t)

+4]а)]-м)=0

41 [а(t)]

3. Интегральные представления. Рассмотрим сначала тот случай, когда краевое условие (1) имеет вид

ф[а(0] = 1ф- (t) + g(t), Л = ±1. (7)

Из условия (2) следует, что для разрешимости краевой задачи (7) необходимо, чтобы

g(t) + Лg[а(t)] = 0 . Аналитическое в В— решение задачи (7) будем искать в виде

Ф(2) = Г^г, (8)

2т г — г 1

где: ()(1) — функция из класса Вр, (Г), 1 < р < 2, причем

() + Л(>а)] = С, (9)

и

где: С — произвольная постоянная. Учитывая условие (9), по формулам Сохоцкого-Племеля, справедливость которых в классах Бесова доказана Н.К. Блиевым [6, с. 64], из (8) будем иметь:

Ф (t) = -1 Ht) + — dT, 2 2m{t-t

)] = XV(t) + Xf Л(Т)^л çijydT . (10) 2 2m j, а(т) - a(t)

Приведем соответствующие выкладки:

+ X

2

C -v(t)

X +

ф [a(t)]= - 14a(t)]+ — [-V^Ldt = - 1 • 2 2m • t - a(t) 2

+ — t =

2m T-a(t)

X , N 1+ X 1 г ç(t) .

-ç(t)--XC + —I 7 dT. (11)

2 4 2m {t-a(t)

В последнем интеграле сделаем подстановку t = a(Ti) , затем переменную Tx снова обозначим T. Учитывая, что сдвиг меняет направление на контуре, а также условие (9), имеем:

-L [ V(T) dt = -± [a,(T)v[a(T)]dT =

2m I t - a(t) 2mi { a(T) - a(t)

1+ X

a '(t)

~)тп [

2

C -v(t)

XdT

a(T) -a(t )

X г a '(t) , n . 1+ X „„r a '(t)

= — I-——v(T)dT--XC I-——d t . (12)

2mi j, a(T) - a(t) 4m j, a(T) - a(t)

Последний интеграл существует в смысле главного значения по Коши и равен — im. В самом деле, учитывая, что контур

интегрирования, во всяком случае, гладкий, и сдвиг меняет направление на г , получим:

Г «'(г) dr = lim Т «'(Г dr + f «'(г) d. f «(r) -«(t) |_f «(r) -«(t) ¿«(r) -«(t)

= Hm[ln[«(r) -«(t)] ^ + In[«(r) -«(t)] |l] =

= lim [ln [«(t - s) -a(t)] - ln [«(a) - «(t)] +

+ ln [«(a) - «(t)]- ln [«(t + s) - «(t)]] =

, «(t -s) - «(t)

= lim ln —----— = -гж. (13)

s^0 «(t + s) - «(t)

(см. также [7, с. 29]). Объединив (11), (12) и (13) получим второе из равенств (10).

Подставляя (10) в краевое условие (7), получим интегральное уравнение

Kp = (p(t) —— Г k (t, r)p(r)dr = Äg (t);

О 777 J

2m r

(14)

где

k t ,r) = 1 «'(r)

г — t а(г) — a(t) Интегральный оператор | к(^ г)((г)йГг вполне непрерывен

Г

1

в Врл(Г), 1 < р < 2 [2], [3], [4], т. е. ядро к^,г) может быть

.. М (¿,г)

представлено в виде отношения к^, г) =-—, 0 < А < 1,

\г —1|

М(I, т) е Врр1 (Г), 1 < р < 2 . Следовательно, уравнение (14) есть

уравнение Фредгольма.

Лемма 1. Однородное уравнение Кф = 0 имеет своим нетривиальным решением только произвольную постоянную.

Доказательство. Пусть ¡(I) функция обратная а(I). Легко

показать, что свойства ¡(I) аналогичны свойствам а(|). Произвольная постоянная удовлетворяет уравнению Кф = 0. Действительно, пусть ф(1) = С ф 0 . Тогда Кф = 0 примет вид

| к(1,т)ат = 2Ж .

Г

В самом деле, учитывая (13) имеем: 1 а'(т)

Г к (тт=Г ---т_г а(т) а т =

: : т_I а(т)_а(0 Зт-г 1 гу(тЛ-гу(Л

а'(т)

Г

т _ I Га(т) _а(?)

= ¡ж _ (_Ж) = 2ж.

Пусть теперь ф(|) — произвольное решение интегрального уравнения Кф = 0 . Построим две функции Ф^ (г) и Ф2 (г) ,

аналитические в В :

Ф (2) = Л_ [Ф^Ма,, ге В 2т т _ г

ф(г) = Г^т, г е В 2т у, т _ г

Г

где ) функция, обратная к функции сдвига а(?),

1

р[/3(У)]е Вр1 (Г) по лемме А, а Фф (г) и Фф (г) согласно лемме

2

В принадлежат пространству Bp у (D ) .

Используя формул Сохоцкого-Племеля, будем иметь:

Ф— (t )=-1 Mt )]+f j^ëTdT,

2 2m ^ t — t

ф- (t) = 1 ç(t) —-!_ ¡é^Jt . 2 2 2m¡t—t

Отсюда сначала с помощью замены переменной интегрирования Т = р(Ту ) и переобозначив Ту через Т, а также учитывая,

что p(t) обратный гомеоморфизм контура Г на себя и J3(t)

функция, обратная к функции сдвига p(t ), получим

Ф-Р )]=— 1 Ét )+-L ¡Щ*т==

2 2m Jr T — a(t)

= —1 œ(t ) — — f——é(t)Jt 2 2m j р(т) — a(t)

Далее рассмотрим разность

Ф- (t) — ФГ[p(t)]= 1 É(t) — jÉ(T)dT — 2 2m t t — t

(—1 É(t)— — f Р '(Т) é(t)Jt) = v 2 2mz' j р(т) — p(t) 7

É ) -è f

2m r

1 p ' (t)

t — t р(т) — p(t )

é(t)jt,

и увидим,что

Ф2 (t) - Ф1[а(г)]= 0

в силу интегрального уравнения К( = 0. Это означает,

что функции ф (z) и Ф2 (z) удовлетворяют на Г краевому условию

Ф-[а(г)] = Ф-(t) . (15)

Из работы [10] известно, что если аналитическое в D - функции Ф- (z) и Ф- (z) удовлетворяют краевому условию (15), то Ф- (z) = ф- (z) = const. Учитывая, что ввиду представимости интегралами типа Коши функции Ф1 (z) и Ф2 (z) исчезают в бесконечно удаленной точке, отсюда получаем Ф- (z) = Ф2 (z) = 0.

Таким образом, функции (p(t) и ([^(t)] являются краевыми значениями некоторых функции ^^ (z) и (z) аналитических

в области D , т. е.

((t) = 4? (t) , (|^(t)] = ^2+ (t) . (16)

Из (16) получаем краевое условие на Г : (t) = [a(t)].

Следовательно, в области D+ выполняются следующие равенства (z) =^2 (z) = C и W(t) (t) = C [10]. Таким образом, уравнение К( = 0 имеет лишь одно независимое решение и как показано выше оно есть постоянная. Лемма 1 доказана.

Следовательно, союзное однородное уравнение К 'у = 0 также

имеет единственное независимое решение y/(t), а для разрешимости неоднородного интегрального уравнения K((t) = g (t) должно выполняться одно условие разрешимости

| g (т)г(т^т = 0, (17)

Г

где у/(?) — нетривиальное решение однородного уравнения

>+2т I

1

а\г)

г- ? а(г) -а(?)

щ(г)ёг = 0. (18)

Лемма 2. Если есть нетривиальное решение уравнения

(18), то функция

\у(г) = сцг[а(г )]а ' (?)

(19)

тоже является решением этого уравнения при любой постоянной с .

Доказательство. Если С = 0, т. е., ) = 0, то лемма

тривиальна. Пусть теперь С Ф 0, тогда поступаем следующим образом: перепишем (18) в виде

)=- 2т I

1

а'(?)

г- ? а(г) - а(?)

у/(г)ёг,

затем

заменив ? на а(?) и умножив на с Ф 0,

имеем

■¥[а(? )] = |

2т

а

а)]

г - а(?) а (г) - а[а(?)]

у/(г)ёг

или с учетом условия (2) и следующего из него равенства

а' [а(?

а (?)

(20)

1

получим

ш\а(Х )] =—---— Г

1 уп 2т а'(X) [

а '(0___

т _ а(Х) а(т) _ X

ш(т)йт.

Совершив в последнем интеграле подстановку т = а(т) и переобозначив т1 через т будем иметь

ш\а(Х )]а ' (X) + ^ [

1

а' (X)

т _ X а(т) _ а(Х)

; ш\а(т)]а' (т)а?т = 0,

что и доказывает лемму.

Лемма 3. Если а(Х) — сдвиг Карлемана, то любое решение союзного интегрального уравнения Фредгольма (18) удовлетворяет условию

, ч ш'\а(Х)] л ш(Х) + у 1 п = 0 . Ш() а ' (X )

(21)

Доказательство. В силу того, что уравнение (18) имеет единственную собственную функцию, заключаем ш(X) = ТШ(Х) ,

где Т] — некоторая постоянная. Полагая Т] = 1 из (19) получим

а '(X) = ■

Ш(Х )

Ш[а(Х)]

(22)

Изменяющий ориентацию гомеоморфизм а(Х) обязательно имеет две неподвижные точки первой кратности, т.е. существуют точки Х1 е Г такие, что а(Х) = Хг , I = 1,2. Из (20) следует,

что в неподвижных точках а'2( Хг) = 1. Так как а(X) изменяет

ориентацию на Г, то а'(ti) = -1, / = 1, 2. Тогда из (22) имеем

-1 = а' (^ ) = — , отсюда с = —1. с

Таким образом, показано, что любое решение союзного однородного уравнения (18) удовлетворяет условию (21). Лемма 3 доказана.

Согласно альтернативе Фредгольма неоднородное интегральное уравнение Кф = С, где С Ф 0 — некоторая постоянная, не имеет

нетривиального решения, отсюда следует, что любое решение союзного однородного уравнения (18) удовлетворяет условию

^у(т)йт Ф 0.

Г

Лемма 4. Если

g (I) + g[а(t )] = 0, (23)

то интегральное уравнение Кф = g(?) разрешимо и любое его решение удовлетворяет условию

ф(г) + ф[а(г )] = с, (24)

где: С — постоянная.

Доказательство. В силу условия (23) можно записать

| ^ (*) — g[а(т)]}у(т)dт = 0, (25)

Г

где: у() — любое нетривиальное решение союзного уравнения (18). Перепишем (25) в виде

|g= -[g[а(т)\/(т)йт .

Г

Г

Преобразуя интеграл в правой части последнего равенства с помощью замены т = сх(г^) , имеем

|Я(тУТУт = |я(т)у [а(т)]а'(т)йт .

Г Г

В силу леммы 3 имеем, что )] • а' (?) = —у(?), и получаем

что условие (17) разрешимости уравнения К( = Я(?) выполнено. Пусть ((?) — решение этого уравнения. Тогда функция — ([а(?)]

также является решением. Доказательство последнего утверждения проводится аналогично доказательству леммы 1 с помощью условия (23). Заметим, что функция ((?) + ([а(?)] есть решение однородного уравнения К( = 0. Но общим решением этого уравнения в силу леммы 1 является произвольная постоянная. Отсюда следует справедливость соотношения (24). Лемма 4 доказана.

Из леммы 4 следует справедливость следующего интегрального представления.

Теорема 1. Всякая функция Ф— (г), аналитическая в области

1

В— и имеющая на Г предельные значения Ф (?) е Врд(Г) , допускает интегральное представление

Ф (г) = 4 + С

9 777 * Т — V

г) =-4 т + С, (26)

2т у* т — г

где постоянная С однозначно определяется по Ф (г), а плотность ((?) определяется по Ф— (г) с точностью до произвольного постоянного слагаемого, причем ((?) + ([а(?)] = с, С — постоянная.

Доказательство. Так как функция я(?) = Ф [а(?)] — Ф (?) удовлетворяет условию (23), то согласно лемме 4, уравнение К( = Ф [а(?)] — Ф (?) разрешимо и любое его решение удовлетворяет условию (24). Пусть ((?) — некоторое решение уравнения

Кф = Ф~[а(г)] — Ф (г).

Введем функцию

(Ю [¿а^т.

2т у, т — z

Учитывая (24), рассмотрим разность

Г[а(, (,) = — 1 ф(,) — ± ¡аТф^ т — 2 2^а(т) — а(г)

— —

1 ф\а(, )]+|фааТ]

йт\ =

г т — ^

1 .. 1 Г а'(т)ф(т) . 1 1 ,. —ф(г)--—к ' ат +— с—ф(г) —

2т {а(т) — а{г) 2 2

1- [ф^ат:

2т т — t 2т т — t

ф)+т[

а' (т)

т — t а(т) — а^)

=Кф=ф а)]—Ф—(t)=

=Фа)]—с}—{ф ^)—с}

ф(т)йт =

где С = Ф (да). Отсюда имеем

ч>—а)]—{ф а)]—с}=(t)—{ф ^)—с}

1

В силу леммы [10]

(г) — [ф (г) — С|= 0, т. е. Ф (г) = (г) + С. Теорема 1 доказана.

4. Простейшие неоднородные краевые задачи Карлемана. На теореме 1 непосредственно основывается решение внешней краевой задачи Карлемана по скачку. Именно, справедлива Теорема 2. Краевая задача

Ф[а(?)]— Ф (?) = Я(?), (27)

где Я(?) + )] = 0, разрешима и её общее решение в классе

функций, ограниченных на бесконечности, выражается формулой

Ф-(г) = -!_ [(Щ/т-нС,

2я7 ^ т — г

где: ((?) — решение интегрального уравнения Фредгольма

К( = Я (?),

С — произвольная постоянная.

Доказательство. В соответствии с теоремой 1 решение задачи (27) будем искать в виде (26), где плотность ((?) удовлетворяет условию

(24). Вычисляя предельные значения Ф [а(?)] и Ф (?) , и учитывая условие (24), краевую задачу (27) сводим к интегральному уравнению Фредгольма К( = ). В силу условия (23) последнее уравнение, во-первых, разрешимо по лемме 4, а во-вторых, решение этого уравнения удовлетворяет условию (24) и определяется с точностью до произвольной постоянной. Так как эта постоянная в выражение

входит в виде слагаемого, то решение Ф— (г) на самом деле не зависит от этой постоянной. В качестве ( (? ) можем взять любое частное решение уравнения К( = я (?). Теорема 2 доказана. Далее найдем ещё решение краевой задачи

Ф [а(?)]+ Ф (?) = ) , (28)

что соответствует задаче (7) при X = — 1, где g(1:) е Врр1 (Г) , 1 < р < 2 и удовлетворяет тождеству

g(t) — g[а(t )] = 0. (29)

Теорема 3. Пусть а^) — обратный сдвиг Карлемана. Всякая

функция Ф (г), аналитическая в области В — и имеющая всюду

1

на Г предельные значения Ф (1;) е (Г) , 1 < р < 2, допускает интегральное представление

/ч 1 Г ф[а(т)],

ф (г)=—i т+г,

2т у, т — г

где плотность ф^) и постоянная ] определяются заданной функцией Ф (г), причем ф(1) удовлетворяет условию

ф(0 — фа(г )]= 0. (30)

Доказательство. Рассмотрим интегральное уравнение

Кф = Ф [а^)]+ Ф ^) — 2]. (31)

Необходимое и достаточно условие разрешимости уравнения (31) имеет вид

[ {ф— [а(т)] + Ф— (т) — 2]\(т)с1т = 0, (32)

Г

где у^) — любое решение союзного однородного уравнения (18). В силу того, что [у(т)йт Ф 0 для любого отличного от нулевого

Г

решения уравнения (18), мы можем путем подбора постоянной ] сделать выполненным (32).

Функция g(^) = Ф [а(t)] + Ф (^) — 2] удовлетворяет условию

(29). В силу этого решение уравнения (31) удовлетворяет условию

(30). Пусть ф^) — решение уравнения (31). В силу (30) предельные значения функции

(= . 1 Гф[а(т)1

ч—(г) = [фатат 2т у т — г

удовлетворяют условию

[а(t)] + (t) = Кф = Ф [а(t)] + Ф (t) — 2],

или

[а(t)]—ф а)]+г = Кф = —(ч— (о—Ф (г) + г),

откуда, согласно лемме из [10], имеем

(г) — Ф (г) + ] = 0,

что равносильно

Ф (г) = Ч— (г) + ].

Теорема 3 доказана.

С помощью теоремы 3 докажем теорему о разрешимости краевой задачи (28).

Теорема 4. Краевая задача Карлемана

Ф [a(t)]+ Ф (t) = g^) , (28)

где

g (t) — g[а(t )]= 0, (29)

разрешима в классе функций, ограниченных на бесконечности, и ее решение имеет вид

Ф-(г) = [ /т + ъ (33) 2т £ т — г

где {(?) — решение интегрального уравнения К( = Я (?), а Т] = Ф («) и определяется формулой

[ Я (т)У(т)/т

Т] = ——^-, (34) ) — решение уравнения К'у = 0 .

21 у(т)/т

Доказательство. Согласно теореме 3 решение задачи (28) будем искать в виде (33), где плотность удовлетворяет условию (30). Предельные значения Ф(?) и Ф[а(?)] имеют вид

Ф(?) = —1 ({а?)] + — [^ВД/т + т, 2 1 2т[ т—?

' + т].

т — а(?)

Отсюда с учетом условия (29) следует

Ф[а(? )]=—1 )+-!_ Г(1а(^т

1 п 2 2т [ т — а(?)

Ф— [а(?)] +Ф—(0 = —1 (( 0 + — [ {[а(т)1/т + ] —

2 2т [ т — а(?)

1 ([а(0] + — [{[0(^т + т =

2 1 2т [ т — ?

2т *

а(т)

т — ? а(т) — а(?)

((т)/т = Я(О,

г

1

то есть,

Кф = -Ф [a(t )] + 0~(t) = 2V- g{f). Условие разрешимости примет вид

\[2rt- g (z)}y(z)dz = 0.

Отсюда для постоянной Г = Ф (да) имеем (34). 4. Однородная задача. Рассмотрим далее однородную краевую задачу

Ф-[а^ )] = G(t^(t ). (35)

В силу (2) из самого краевого условия следует, что для разрешимости задачи (35) необходимо выполнение условия (5). Поскольку a(t ) обратный гомеоморфизм контура Г на себя, то,

как легко заметить, 1Мф[а(^]=-1Мф() = N-, где N- —

число нулей функции Ф (z) в области D . Взяв индекс обеих частей равенства (35) и воспользовавшись этим фактом, а также свойствами индекса [7, с. 102], получим

% = 1ndG(t ) = 2 N-.

Отсюда видно, что для разрешимости однородной краевой задачи Карлемана необходимо, чтобы индекс задачи % был неотрицателен. Здесь необходимо различать два случая, когда коэффициент задачи G(t) имеет нечетный или четный индекс. Функция сдвига a(t)

имеет две неподвижные точки, то есть точки, где a(t) = t [12]. В силу (5) в этих точках G(t) = +1, причем при чётном % функция G(t) принимает на них одинаковые значения, а при нечетном % — различные [13, с. 158]. В случае нечетного %, как видно из самого краевого условия (35), не существует решения задачи (35), нигде

не обращающегося в нуль на контуре Г. Введем обозначение: % = 2%', если % — четное число; % = 2%' — 1, если % — нечетное.

Пусть сперва, % = 2%' — четное число. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу

р \а()]=скоР- (t), (36)

где С (X) = X~%а% (Х)С(Х) , X — значение ) в обеих неподвижных точках ^ и X0'. Легко убедиться, что 1паОх (X) = 0, С (Х'о ) = С(Х'о ) = 1. Кроме того, С (X)С [®(0] = 1. При этом 1п С (X) будет однозначной функцией. Логарифмируя краевое условие (36), получим

1п Р [а(Х)] = 1п С (X) + 1п Р— (X), (37)

причем 1п С (X) + 1п С [а(Х)] = 0.

Мы пришли к краевой задаче Карлемана по скачку. По теореме 2 задача (37) разрешима и имеет в классе аналитических функций, исчезающих на бесконечности единственное решение. Из (36) видим,

что функция X(г) = гР(г) удовлетворяет краевому условию

X— [а(Х)] = ХС(Х) X— (X). (38)

Функцию X(г) назовем канонической функцией краевой задачи (35) с четным индексом. Каноническая функция аналитична всюду

в области В ~ , и имеет в бесконечно удаленной точке нуль порядка %'. Во всех точках включая точек контура Г, X(г) Ф 0 .

Так как X (X) Ф 0 всюду на Г то в силу (38) будем иметь

Ф а)]=х Ф о) „„

х[а(х)] х(х) . (39)

Ф(г )

Обозначив Ж(г) = —проведем краевое условие (39) к виду Х(г )

Ж [а(?)] = ЛЖ (?). (40)

Искомая функция Ж (г) аналитична в области В— всюду, кроме бесконечно удаленной точки, в которой она имеет полюс порядка . Будем искать решение задачи (40) в виде

Гг) = Р (г

Ж(г) = [{(т)/г

ж 2т £ т — г

где Рх* (г) многочлен степени , {(?) удовлетворяет условию (9). Запишем по формулам Сохоцкого-Племеля предельные значения Ж(г) на Г

Ж (?)=— 1 (/{(т)/т + Р,(?)

Ж-М )] = — 1 ([а(?)]+2-т + рМ>)]

и поставив их в краевое условие (40), придем к интегральному уравнению

К{ = (? ) —- [ к (?, т((т)/т = Р, (?) — Лр, [а(?)]

2т г

Условие разрешимости последнего уравнения имеет вид

[ р (т) — ЛР%. [а(т)]]у(т)/т = 0, (41)

г

где: ) — решение союзного уравнения (18).

ж'

Пусть р, (?) = ^ скЬк . Тогда путем замены т = «(г)

-к

к=0

и переобозначив Ту через Т, а также учитывая, что сдвиг меняет направление, получим

- Л\Рх,[а{т)\/{т)с1т = Л\Рх(т)^[а{тУ«'{т)с1т .

г г

Теперь нетрудно убедиться, что условие (41) легко преобразовать к следующему виду

ж

X Ск \тк У(Т) + Лщ [а(т)]а ' (Т)$Т = 0 . (42)

к=0 г

Учитывая, что решения союзного уравнения (18) обладают свойством (21), приходим к выводу: при Л = 1 все интегралы левой части (42) равны нулю, и, следовательно, все постоянные с

произвольны. Если Л = — 1, то условие (42) в силу леммы 3 примет вид

ж г

X Ск \тк¥Т)Лт = 0.

Л

к=0 г

Последнее равенство определяет коэффициент с0 через

остальные коэффициенты многочлена Рж), и, следовательно,

общее решение задачи (40) при Л = — 1 содержит на одну произвольную постоянную меньше, чем при Л = 1. Тем самым доказана

Теорема 5. Однородная краевая задача Карлемана (35) с четным индексом ж в случае, если ) = 1 в неподвижных точках сдвига

), имеет ж +1 линейно независимых решений; эта задача имеет

X ~ -

— линейно независимых решений, если в неподвижных точках ) = — 1. Общее решение задачи дается формулой

Ф(г ) = Р.(! )Х(г ^г е В , х' = |

х 2т ± т — г 2

где: Р%'(2) — многочлен степени не выше х' с (х'+1) произвольными коэффициентами в случае Л = 1 и х' произвольными коэффициентами, если Л = —1;

Х (г) — каноническая функция задачи с четным индексом;

{(?) — решение интегрального уравнения Фредгольма

К( = Рх(г)—ЛРх[а(?)} .

Пусть теперь х = 2х ' — 1 — нечетное число. В этом случае, как сказано выше, не существует решения краевой задачи (35), нигде не обращающегося в нуль на контуре Г. Обозначим через ту неподвижную точку, в которой С(?) = — 1. В таком случае любое решение Ф(г) задачи (35) имеет вид Ф(г) = (г — ?0)Ф0 (г) ,

где Ф0 (г) мероморфна в В и удовлетворяет граничному условию

на Г , где

Ф— 0(? )] = О* (? )Ф—(? )

^ (?) = С(?) ? — ?0

а

(?Ь ?0 '

Откуда

arg G0 (t) = arg G(t) - arg{«(t) -10}+ arg{t -10}, и, следовательно

IndGo(t) = 2x'.

i

Функция Go(t) принадлежит классу (Г), 1 < p < 2

и отлична от нуля всюду на Г . Кроме того, индекс функции G0 (t)

равен 2Z ' и Go (t)Go [a(t)] = 1, Go(t) = 1.

Таким образом, и в этом случае пришли к задаче с четным индексом. Проведем полное исследование.

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу

Fi~[a(t )] = G2 (t )Fi(t), (43)

где G2 (t) = t ^ -ax (t)• G0 (t). Нетрудно убедиться, что IndG2 (t) = o, G2 (t0) = G (to ) = 1, G2 (t)G2 [a(t)] = 1. Ясно, что ln G2 (t) однозначная функция. Прологарифмировав (43) имеем

ln F- [a(t)] = ln F~ (t) + ln G2 (t), (44)

при этом ln G (t)+ ln G )] = o .

По теореме 2 задача (44) безусловно разрешима и имеет в классе аналитических функций, исчезающих на бесконечности, единственное

решение. Из (43) видно, что функция X1 (z) = z F (z)

удовлетворяет краевому условию

X-[a(t)] = Go (t]X- (t). (45)

Функцию X ( z) назовем канонической функцией краевой задачи (35) с нечетным индексом. Каноническая функция X1 (z)

аналитична всюду в области В— и имеет в бесконечно удаленной

точке нуль порядка х'. Во всех остальных точках В , включая

точек контура Г, Х1 (г) Ф 0. Так как X— (?) Ф 0 на Г, то в силу (45) имеем

(а(?) ? )Ф [а(?)] = Ф—(?) (? ? )

(а(?)—to^ г = (?—?0). (46)

Х1[а(?)] Х1(?)

Обозначив

г) = ^ (г — ?0) Х1( г)

приведем (46) к виду

Ж[а(? )] = ). (47)

Искомая функция Ж ( г) аналитична всюду в области В —, кроме бесконечно удаленной точки, в которой она имеет полюс порядка х' +1. Решение задачи (47) будем искать в виде

Ж( г) = Рх-+1( г) + [{(т)/т, 2т* т — г

где Рх+1 (г) многочлен степени х' +1, {(?) удовлетворяет условию (9). Используя формул Сохоцкого-Племеля, запишем предельные значения (г) на Г

Ж,-(?) = Рх+1 (?) — 1 ((?)+ [{(т)/т 2 2т * т — ?

ъ- а)]=р,+1 [«(г)] -14*)]+^•

и подставив их в краевое условие (47), придем к следующему интегральному уравнению

Кр = 4)- | к (X, г)р(г)Г = Р,+1 (X) - Р,,+1 [а(г)]. (48) 2т

Условие разрешимости уравнения (48) имеет вид

| {Р, ,+1 (г) - р,+1 [а(г)]}^(г)й?г + 0 • (49)

г

где: у/(Х) — решение союзного уравнения (18).

После некоторых преобразовании условие (49) приводится к виду

, +1

£ ск | гк {^(г) + ^[а(г)]а ' (г)}Г = 0. (50)

к = 0 г

Учитывая, что решения союзного уравнения (18) обладают свойством (21) приходим к заключению: все интегралы в левой части (50) равны нулю, и, следовательно, все постоянные с^ произвольны.

Нами доказана следующая теорема.

Теорема 6. Общее решение однородной задачи (35) с нечетным

индексом , = 2, ' — 1, аналитическое в В , представляется в виде

ф(г)= (г - Ор,1 (г)Х1(г) +(г—^г) /^г, Г 6 В •

^ 2т у г-г

где: X о — та неподвижная точка а(?), в которой ^ (X) = -1,

р,-+1(г) — многочлен степени не выше (, ' +1) с произвольными коэффициентами,

р(Г) — решение интегрального уравнения

Кр = ) - Р%,+1[а(<)],

Ху (2) — каноническая функция задачи (35) с нечетным индексом,

Хг f (т)ат

V / \ -У / V- \ 2т * т—г определяемая формулой Х 1 (г) = г (г — Г° ) ' е 1 ,

где /(Г) — решение интегрального уравнения К/ = 1п 02 (Г),

02(Г) = Г• ах\г)• \ — 0 • 0(Г).

■а" \г)• \— Г° а(Г)—Г°

6. Неоднородная задача. Перейдем к изучению неоднородной краевой задачи (1). Пусть у = 1^0(1) > 0.

В силу условия (5) к соответствующей однородной задаче применимы все рассуждения приведенные выше. В частности, каноническая функция Х^) удовлетворяет краевому условию (38). Выражая из условия (38) функцию в(1) и подставляя полученное выражение в краевое условие (1), имеем,

Ф—[а(0] = дФ—(0, £ (Г)

Х [а(Г)] Х—(г) Х—[а(0]

Здесь Л = —1, если О(Г) = — 1 в обеих неподвижных точках а( Г), Л = 1 — во всех остальных случаях.

Краевая задача (51) есть задача (7) с заданным скачком. Нетрудно показать, что условие (6) является условием разрешимости задачи (51). Решение краевой задачи (51) будем искать в виде

^-РМ,^ т, (52)

1 = Р

Х(2 ) = Ру(г)+ 2тТ

где: РУ,(г) — произвольный многочлен степени у'.

По формулам Сохоцкого-Племеля найдем предельные значения

Ф(г) г

—т-г- на контуре Г X(z)

Щ-2 ")+2т №

Ш - 2 ** )1+2m ¡7^ р>(<)]

и подставив их в краевое условие (51) после некоторых преобразований придем к интегральному уравнению

K" = Рх, (t) -APx,[a(t)]-gW) • (53)

Интегральное уравнение (53) разрешимо при выполнении условия

||рДг)-ЛР>7)]-Ф7тк>7 = 0 • (54)

где: — нетривиальное решение союзного однородного

уравнения К= 0. Используя условий (17) и (41) нетрудно показать, что при X = 1 условие (54) выполняется для произвольных коэффициентов С0, Сх,...,С а в случае Х = —1 условие (54)

определяет одну постоянную С^ через остальные.

Если индекс % < 0, то в формуле (52) следует положить

Р = 0. Чтобы Ф(?) была аналитической в В функцией, необходимо требовать, кроме того, чтобы функция

Ф^["Id7,

2m j. 7 - z

г

имела на бесконечности нуль порядка не ниже — у'. Это означает необходимость выполнения — у ' условия разрешимости

|тк—1р{т)Лт = 0, к = 1, 2,..., —у'.

Кроме того, функция р(Г) есть решение интегрального уравнения

кр=—а.

Р Х—(г )

Следовательно, при Л = — 1 должно выполняться еще одно условие разрешимости

Г 01{г)аг = °, Г Х—(т) У ^

где у(Г) — нетривиальное решение союзного однородного уравнения К' у = 0 . Полученные результаты резюмирует следующая Теорема 7. Неоднородная краевая задача (1) с индексом у > 0

( уЛ

имеет у' +1 — линейно независимых решений у' = Е\ — I, если

Л = 1, и у' линейно независимых решений, если Л = — 1. Общее решение задачи (1), аналитическое в В— дается формулой

, Х(2)г(т).

Ф(2) = Р.(2)Х(2) + Х(2) Г^г, у 2от' I т — г

Ру) — многочлен степени не выше у' с (у' +1) произвольными коэффициентами в случае Л = 1 , и у — в случае

где у

г

г

Л = — 1, Х(г) — каноническая функция, р(Г) есть решение интегрального уравнения

кр=Ру.(,)—ра)]—¿м.

Если индекс у < 0 , то краевая задача (1) имеет единственное решение, аналитическое в В ~ , определяемое формулой

Ф*(г) = Щ ГР^т , геВ-,

9-777 * 7" — -7

2т * т — г

г £[а()]

где р (Г) есть решение уравнения Кр = — ^ ^ ^ .

Для существование решения Ф* (г) в случае Л = 1 необходимо и достаточно выполнение — у' условий разрешимости

\тк—]р* {т)Лт = 0, к = 1,2,..., —у. (55)

г

при Л = — 1 к условиям (55) добавляется еще одно условие

Г Ш{т»т = 0,

где у (Г) — решение союзного однородного уравнения К' у = 0 .

Список литературы:

1. Айзенштат А.В. Задача Карлемана с разрывным сдвигом // Теория функций комплексного переменного и краевые задачи. Изд-во Чувашского ун-та. — 1974. — № 2. — С. 3—11.

2. Альсейтов А.Г. Краевая задача Газемана в дробных пространствах Бесова // Материалы VIII международной научно-практической конференции «Естественные и математические науки в современном мире». Новосибирск. Изд. «СибАК». 1999. — С. 7—24.

3. Альсейтов А.Г. О вполне непрерывности одного интегрального оператора в дробных пространствах О.В. Бесова // Тезисы II Международной научной конференции «Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры», Актобе, 1999. — С. 7.

4. Альсейтов А.Г. Об одном интегральном операторе в дробных пространствах О.В. Бесова // Поиск. Серия естест. наук. — 1999. — № 5. — С. 199—205.

5. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. — 480 с.

6. Блиев Н.К. Обобщенные аналитические функции в дробных пространствах. Алма-Ата: Наука, 1985. — 160 с.

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. — 640 с.

8. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. — 540 с.

9. Квеселава Д.А. Решение одной граничной задачи теории функций // Докл. АН СССР. — 1946. — Т. 53. — № 8. — С. 683—686.

10. Квеселава Д.А. Об одной граничной задачи теории функций // Сообщ. АН. Груз. ССР. — 1946. — Т. 7. — № 9—10. — С. 609—614.

11. Квеселава Д.А. Решение одной граничной задачи теории функций Т. Карлемана // Докл. АН СССР. — 1947. — Т. 55. — № 8. — С. 683—686.

12. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций // Труды Матем. ин-та. Груз. ССР. — 1948. — Т. 16. — С. 39—80.

13. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. — 448 с.

14. Литвинчук Г.С. О некоторых краевых задачах Римана со смещениями // Изв. вузов, матем. — 1961. — № 6. — С. 71—81.

15. Манджавидзе Г.Ф., Хведелидзе Б.В. О задаче Римана-Привалова с непрерывными коэффициентами // Докл. АН СССР. — 1958. — Т. 123. — № 5. — С. 791—794.

16. Мельник И.М. О краевой задаче Карлемана с разрывными коэффициентами // Сообщ. III конф. Ростовск. матем. об-ва. Ростов-н/Д. — 1969. — Вып. 2. — С. 41—49.

17. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1968. — 512 с.

18. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана для n пар функций с измеримыми коэффицентами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в пространствах Lp с весами // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1964. — Т. 28. — № 2. — С. 277—306.

19. Симоненко И.Б. Краевые задачи Римана и Римана-Газемана с непрерывными коэффициентами // Исследования по современным проблемам теории функций компл. перем. М.: Физматгиз. 1961. — С. 380—389.

20. Чакветадзе С.С. Обобщенная граничная задача Гильберта для нескольких неизвестных функций с разрывными коэффициентами // Тр. Горийского пед. ин-та. — 1961. — № 7. — С. 155—164.

21. Чернецкий В.А. О конформной эквивалентности краевой задачи Карлемана краевой задачи Римана на разомкнутом контуре // Докл. АН СССР. — 1970. — Т. 190. — № 1. — С. 54—56.

22. Чернецкий В.А. Краевая задача Карлемана для многосвязной области. Новосибирск (Деп. в ВИНИТИ, — 1971, — № 3782-71. — 32 с.).

23. Чибрикова Л.И. О применении римановых поверхностей при исследовании плоских краевых задач и сингулярных интегральных уравнений // Труды семинара по краевым задачам Казанского университета. — 1970. — вып. 7. — С. 28—44.

24. Чибрикова Л.И. Особые случаи обобщенной задачи Римана // Уч. зап. Казанского ун-та. — 1952. — Т. 112. — № 10. — С. 129—154.

25. Schaeffer A.C. and Spencer D.C. Coefficients regions of schlicht functions, Amer. Soc. Colloquim, Publ. 35, (1950).

26. Yong Er-gian. On the sewing theorem, Chinese Math.5, 1 (1964).