Краевая задача Газемана в классе обобщенных аналитических функций в дробных пространствах Бесова Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ГАЗЕМАНА В КЛАССЕ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ДРОБНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

БЕСОВА

Альсейтов Амангельды Гумарович

учитель математики, гимназия « Умит», г. Уральск, Казахстан

Е-mail: [email protected]

HASEMAN'S BOUNDARU VALUE PROBLEM IN THE CLASS OF GENERALIZED ANALYTIC FUNCTIONS IN BESOV' S FRACTIONAL

SPACES

Alseitov Amangeldy Gumarovich

teacher of mathematics, gymnasium "Umit", Uralsk city, Каzakhstan

АННОТАЦИЯ

Настоящая работа посвящена исследованию и решению краевой задачи Газемана в классе обобщенных аналитических функций в дробных пространствах Бесова, вложенных в пространство непрерывных функций, но не вложенных в класс непрерывных по Гельдеру функций. С помощью эквивалентных преобразований исследуемая задача сводится к обычной краевой задаче Газемана в дробных пространствах Бесова, решенной автором ранее.

ABSTRACT

The present work is devoted to investigation and solution of Haseman's boundary value problem in the class of generalized analytic functions in Besov' s fractional spaces embedded in the space of continuous functions, but not nested in the class of Holder continuous functions. With the help of equivalent transformations of the investigated problem is reduced to the usually Haseman's boundary value problem in Besov's fractional spaces, solved earlier by the author.

Ключевые слова: контур Ляпунова; дробное пространство; сингулярное интегральное уравнение; краевая задача ^ сдвигом; вполне непрерывный оператор; краевая задача Газемана; интеграл типа Коши.

Keywords: Lyapunov' s boundary; fractional space; singular integral equation; boundary value problem with shift; completely continuous operator; Haseman' s boundary value problem; Cauchy-type integral.

Результаты полученные в работах [1] и [2], позволяют нам в дальнейшем изучить обобщенную задачу Газемана для эллиптических систем уравнений с частными производными первого порядка с коэффициентами из дробных пространств Бесова.

Рассмотрим систему уравнений эллиптического типа

ди dv

дх ду

= a( x, у )м + b( x, y)v + f (x, у),

^ + ^ = c(^ y> + d(x, y)v + g(x y) уу

. (1)

Известно [5], что с помощью оператора комплексного дифференцирования

dz 2 дх ду

систему (1) можно переписать в комплексной форме

dW

■ III' ■ /III' / . (2)

где

W{z) — u(x, y) + iv(x, y),

A = -ii-d + ic + ib В = — (i + d + ic-ib F = -4f + is . 4 4 2

При а = Ь = с = с1 = / = g = О система (1) переходит в систему уравнений Коши-Римана, определяющую аналитическую функцию Ф(г) - и + /V, и имеющую следующую комплексную форму

дЛ = 0.

Как известно из теории функций комплексной переменной, для любой

аналитической функции комплексная производная по г равна нулю, и обратно, если эта производная равна нулю, то функция аналитическая.

К системе (1) приводится довольно широкий класс эллиптических систем первого порядка и уравнений второго порядка [5, гл. II, III, §§ 7, 9]. Кроме того, изучение систем вида (1) весьма важно и с точки зрения приложений, так как к нахождению их непрерывных решений, удовлетворяющих тем или иным требованиям, сводятся многие задачи из анализа, геометрии и механики [5, гл. II, V, VI].

Теория обобщенных решений уравнения (2), где коэффициенты А, В и свободный член F принадлежат Ь , (Ьр1(Е)), р> 2 (определение Ьр2(Е) см.

п. 1 раздела 1), построена И.Н.Векуа [5]. Доказано, что при этих условиях неоднородное уравнение (2) всегда имеет обобщенное решение в области + ,

р — 2 г

непрерывное по Гельдеру с показателем а =-в В .

Р

Для обобщенных решений однородного уравнения

дЖ —

^ + АЖ + ВЖ = 0 (3)

дг

доказана справедливость формулы

где: Ф{г) — аналитическая в В функция, а а)(г) = -Тс

'а ^

А + В

V

С{Е).,

Ш

/

указывающей на глубокие связи между классом обобщенных решений уравнения (3) и классом аналитических функций. С их помощью распространены на обобщенные уравнения (3) многие свойства аналитических функций от г, как принцип аргумента, принцип максимума, теорема Лиувилля, теоремы единственности и другие. Поэтому обобщенные решения уравнения (3) названы И.Н. Векуа обобщенными аналитическими функциями, а само уравнение (3) — обобщенным уравнением Коши-Римана [5, с. 148].

Н.К. Блиевым [4] теория обобщенных аналитических функций продолжена на дробные пространства Бесова.

О возможности постановки краевой задачи Газемана для системы (1) в работах И.Н. Векуа не упоминается. Между тем эта краевая задача имеет как с принципиальной точки зрения, так и с точки зрения приложений такой же интерес, как и задача Гильберта. Известно, что обычная задача Римана (так мы будем называть задачу Римана для аналитических функций, т. е. задачу Римана без сдвига) применяется в плоской теории упругости. Например, к ней непосредственно сводится первая краевая задача для плоскости с прямолинейными щелями [5, с. 319]. Аналогичную задачу, как предполагал Л.Г. Михайлов [7], очевидно, можно ставить и для упругих оболочек. Рассматривая бесконечную оболочку со щелями и задавая краевые условия на щелях, мы придем к задаче Газемана для системы (1).

К системе вида (1) сводятся системы уравнений с частными производными первого порядка эллиптического типа и эллиптические уравнения второго порядка в случае двух независимых переменных, а также весьма широкий класс уравнений с частными производными второго порядка [5, с. 19].

Пусть Г — простой замкнутый контур класса Ляпунова Clv,--1 < v < 1,

Р

ограничивающий односвязную ограниченную область D+ комплексной плоскости Е. Дополнение замкнутой области D+ + Г до полной плоскости обозначим через D~. Не ограничивая общности можно считать, что начало координат z- О принадлежит области 1)+. Положительным направлением на контуре Г будем считать то направление, которое область 1) 1 оставляет слева.

Пусть a(t) —функция, которая переводит контур Г в себя с сохранением направления и имеет производную a'(t), отличную от нуля всюду на Г и

1

принадлежащую пространству функций В^Х{Г), \<р<2. Из этих условий

следует, что функция P(t), обратная к а(1), обладает теми же свойствами, что и a{t).

1

На контуре Г заданы функции G(t) и g(t), принадлежащие Bpx(Г),

1 < р < 2, причем G{t) ф 0 на Г.

Постановка задачи. Найти кусочно -регулярное решение W(z) = u{z) + iv{z) уравнения

dW —

+ A{z)W + B{z)W = F{z), (4)

dz

имеющее конечный порядок на бесконечности и удовлетворяющее на контуре Г краевому условию

^(t)~=G(t)W-{t) + g(t).(5)

Коэффициенты А( г), В( г) и Е (г) считаем принадлежащими

2

пространству функций В"1 (Е), а =--1, 1 < < 2.

Для рассматриваемых нами пространств имеют место вложения

Вар¿2(Д), но Я^ф) <г_> ^ф), ^>2 [3],

1

при 1</?<2 В? но ВР(Г)с£^Св(Г) ни при каком

0<^<1 [4, с. 62]. Уравнение (1)

ЭЖ —

+ + В(г)1¥ = ^(г)

дг

можно упростить. Для этого положим

1¥(г) = У{2) ■ е

где определяется формулой

а V(г) — аналитическая функция [4, с. 69]. Тогда

и

^ = -1(7(2) ■ е) = €■ е-«* - 7(2) ■ ■ ^

дг дг дг дг

В силу

дсо

= А(г) [4, с. 30]

последнее уравнение можно переписать в следующем виде

дг дг

дЖ —

Вставляя в уравнении (1) вместо ——, IV, Ж полученные выше

дх

выражения, имеем

С • е-*2) - А(г) ■ У{2) ■ е"®<*> + А(2) ■ У(г) ■ <Г®<г> дг

Отсюда

дУ _

е-а(г) + . уф . е-а>К2) =

дг

-а>(г)

или

д¥

дг

+ В(г) ■ У(г) ■ е

са(г)-(а(г) _

F(z) ■ е

<а(г)

Обозначив В(г) ■ е0^'0^ через С (г), а Г(г)-еа{2) через Щг) имеем

дг

Отсюда получаем, что С(г), Н(г) принадлежат пространству функций 2

В"Х(Е), а = -~ 1, 1<р<2. р

Таким образом, не ограничивая общности, можем ограничиться рассмотрением уравнения (6).

Итак, вместо уравнения (4), не нарушая общности можно рассматривать уравнение

дЖ — ^ + А(г)Ж = В(г).( 7)

дг

В дальнейшем будем рассматривать краевую задачу Газемана именно для уравнения (7); сначала для однородного

дЖ — ^ + А(г)Ж = 0,(8)

дг

затем для неоднородного (7).

Однородной задачей Газемана будем называть такую задачу, когда однородно как краевое условие, так и само уравнение. В остальных случаях задача называется неоднородной.

Различные сочетания краевого условия и уравнения дают следующие случаи:

Однородная задача Газемана. Краевое условие

Уравнение

дЖ — дг

Неоднородные задачи Газемана. Краевое условие

(О,

Уравнение

дЖ — ^ + А(2)Ж = В(2).

дг

Краевое условие

Уравнение

+ А(г)Ж = О

дг

~^ + A(z)W = B(z).

oz

Обычная краевая задача Газемана в дробных пространствах Бесова рассмотрена нами в работе [2].

Следуя методу работы [2], решение задачи начнем с простейшего случая

W+ \c{t)~=W-{t).{9)

Из a'{t)& ВррХ{Г), \ <р<2 следует, что a(t) g Врх{Г), \<р<2, откуда в

силу леммы [4, с. 19] W(t)е Bpp1(Г), 1<p< 2. Из связи W(z) с аналитическими функциями

W(z) = (p(z)-ea(z) (10)

можем доказать следующую лемму.

Лемма 1. Если W(z) кусочно-регулярное решение уравнения (8), исчезающее на бесконечности и если W(z) удовлетворяет условию (9), то W(z) = 0.

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть краевая задача (9) имеет отличное от тождественного нуля решение W (z). Представляя

функцию W(z) по формуле (10) W(z) = (p(z) • eC0<yZ) и подставляя в (9), имеем

(p+ \c(t) = е^-0^^ (р-(t). (11)

Нетрудно установить эквивалентность краевых задач (9) и (11). Если W(z) нетривиальное решение уравнения (9), то cp(z) = W(z) • e~ûj(=) нетривиальное решение задачи (11).

С другой стороны (11) представляет собой обычную однородную задачу Газемана с коэффициентом индекс которого

Inde^'^t) ILo.

Такая задача, как известно [2], не имеет решений, отличных от тривиального. Полученное противоречие показывает справедливость леммы.

Согласно обобщенным формулам Коши [4, с. 101]

W(z) = — JQj (z, t) W+ (t) dz —— Jq2 (z, z)W+ (z) dr, zeD+,

2m^ 2m r

W ( z ) =

1 г 1 Г -

- [Ql(z,z)W'(z)dz--[Q2(z,z)W~(z)dz , zeD~. (12)

Г « 1 777 J

2m ^ 2m r

Если уравнение (9) имеет решение, то оно допускает представление (12), где плотности связаны соотношением

W+ |ï(t)=W~(t)

или

здесь fî{t) — функция, обратная к функции a(t) и у нее свойстватакие же, как у a(t).

Обозначив JV~(t) через <p(t), можем переписать (12) в виде

W{z) = — ÎQx{z,t)(p^{t) dz—— ÎQ2(z,r)^p(r) dz, zeD 2m ' 2m f

W ( z ) =

1 r 1 Г -

- iQ1(z,T)<p(T)dT--iQ2(z,r)ç)(T)dT , zeZ) . (13)

'J 2m J

2 m

г

г

Для нахождения контурных значений функции (13) воспользуемся формулами предельных значений обобщенного интеграла типа Коши [4, с. 107]:

w+ (t) = \(p t(t) 1+ -i- JA(f,r)cp t(T)~dr~ J«2(t,r)q>t(T)dT ,

2 2m f, 2m r

w- (t ) = -

2 2^7

г

2 m

г

1 1 f If--

= т KO - IQ1 (t>T) + IQ2 (t, Г) Ф) dT.

2 2m ^ 2m f

Тогда

W+ l(t)=~<p(t) + — i(t<p\}(*) dr-Q2i(t),т ср\}(т) dT 2 2m J

Г

-(p{t) + -^— ÎQj \û(t\af(r) a'{y)(p{r)dT-Çï2 \(t),a(r)¿а'(т)-cp{z)dT

2 2m J

г

Найденные для IV+ |с(/) и IV (?) выражения подставим в (9):

1ср(г) + ) ,а(т) а'(т)(р(т)) ,а(т)¿_а'(т)-(р(т)<Лт =

2 2т

Г

1 1 Г 1 Г--

= т - I (*>т) ¿т + —- Iа2 г) ¿/г.

2 ^ 2т £

Отсюда

|г(?),а(г) а'(г)(р(т)<1т-а'(т)-(р(т)с1т

+

1 г 1 Г--

+ — Гц (г, т) ¿г - —102 (Г, т) ф) с1т = 0.(14) 2яг £ 2т £

Используя свойства ядер и [4, с. 98]

О^О--— = 1

г-г

преобразуем уравнение (14)

217 ^

О - ос(т)\ 1 {х'(т)(р(т)с1т -" 1

ог(г) - «(?) — {о ^(0 - ^'(г) ■ (р{ту1т + т— |

2тг/

г-/1

- + 01-Т

(р(т)с!т -

г

1

далее, перегруппировав левую часть последнего уравнения, получим

2 т ^

а'(т) 1

у 7 +

<р(т)с1т +

+ ■

а(т) - а(Г) т - ? — 11- а(т)\ 1 ^а'(т) + о |( - т\ 1

2 т

г

/1£(0-а(т)[1+ о{-А~1 ^Мгулт = 0.(15)

Введя обозначения

• ( (*(0 - а(г)|-1 ^а'(т) + о ^ - г|-1 4 (Г, г),

(16)

перепишем (15) в виде

2я7 ^

<*'(*) + 1

«(г) - г - ?

1 г

(р{т)йт + - М^Г^'Г^Г

2^7 г

1

2тп

- \А2^,т)-ф)с1т = 0. (17)

г

Г

Из (16) видно, что ядра А1((,т) и А2(?,т) имеют слабые особенности, т.е. являются фредгольмовыми ядрами. Тогда интегральные операторы

1а1^,т)р(т)с/т и р42(?,г) ■ ср{т)с1т являются вполне непрерывными

г г

операторами.

Совершив предварительно преобразование

-I

2т '

а'(т) 1

а(т)-а(1) т

-Ч

2т ^

а'(г)

1 +2 1

а(т)- а(1) т - 7 т - 7

(р(т) йт = ^г) йг =

тгт-I 2т ^

а\т)

1

а(т) - а(?) т -I

(р{т)йт

выделим характеристическую часть сингулярного интегрального уравнения (17):

К(р = — + [Кх{1,т)(р{т)с1т + \К2{1,т)(р{т)с1т = 0),(Щ

где

2тп

а'(т)

1

а(т) - т - ?

, К2($,т) = А2($,Т).

В силу теоремы [1, с.7] оператор

Г

а'(т)

1

а(т)-а(/) г-?

ср(т)с1т

есть вполне непрерывный оператор. Таким образом, ядра и

К2^,т) того же типа, что и ядра А^,т) и А2((,т). В работе Г.Ф.Манджавидзе

[6] доказано, что для уравнений типа (18) справедливы теоремы Нетера, понимая линейную зависимость в смысле комбинаций с действительными коэффициентами. По этой причине вместо х фигурирует 2/, разность числа решений данного уравнения и союзного уравнения равная

1

к-к' = 2%. (19)

Индекс уравнения (18) равен нулю, поэтому теоремы Нетера превращаются в теоремы Фредгольма.

Теорема. Интегральное уравнение (18) не имеет решений, отличных от тривиального.

Доказательство. Допустив обратное, рассмотрим функцию Ж^), определяемую формулами (13). Из самого способа получения уравнения (18) следует, что его можно переписать в виде

ж+ ~= ж~ (О-

В силу леммы отсюда вытекает, что Ж (г) = 0. Таким образом,

— \пг(г,т)(рр(т)—— \П2(г,т)(р^(т) йт = 0, zeZ)+,

тп * / тп "

2т £ 2т Г

1 г 1 г - - -

— О! (г, г) <р(т) (1т--: 0.2 (г, т) ср(т) с1т = 0 , z е И . (20)

тп * / тп *

2т £ 2т Г

Обобщенному интегралу типа Коши взаимно однозначно соответствует интеграл типа Коши [4, с. 107], Поэтому из (20) следует

2т £ т-z 2тл гт — z

Отсюда следует, что <p(t) = 0 [7]. Теорема доказана.

Из этой теоремы и альтернативы Фредгольма вытекает, что неоднородное уравнение

имеет и притом единственное решение при любой правой части f (x). Тем самым мы показали, что краевая задача Газемана (4)—(5) в классе обобщенных аналитических функций в дробных пространствах Бесова эквивалентна рассмотренной и полностью решенной нами в работе [2, с. 7—24] краевой задаче Газемана в дробных пространствах Бесова.

Список литературы:

1. Альсейтов А.Г. О вполне непрерывности одного интегрального оператора в дробных пространствах О.В. Бесова // Тезисы II Международной научной конференции «Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры», Актобе, 1999. — С. 7.

2. Альсейтов А.Г. Краевая задача Газемана в дробных пространствах Бесова // Естественные и математические науки в современном мире»: материалы международной заочной научно-практической конференций. (22 июля 2013 г.) Новосибирск. Изд. «СибАК». — 2013. — 170 с.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. — 480 с.

4. Блиев Н.К. Обобщенные аналитические функции в дробных пространствах. Алма-Ата: Наука, 1985. — 160 с.

5. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959. — 628 с.

6. Манджавидзе Г.Ф. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений со сдвигом // Докл. АН СССР. — 1958. — Т. 123. — № 5. — С. 791—794.

7. Михайлов Л.Г. Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения // Учен. зап. Тадж. ун -та. — 1957. — Т. 10. — С. 32—79.