Научная статья на тему 'Продольная устойчивость движения экипажа на магнитном подвесе'

Продольная устойчивость движения экипажа на магнитном подвесе Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
90
42
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЛИНЕЙНЫЙ СИНХРОННЫЙ ДВИГАТЕЛЬ (ЛСД) / УГОЛ НАГРУЗКИ / УСТОЙЧИВОСТЬ В "МАЛОМ" / КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Ким К. К., Корнух А. В.

Рассмотрена одна из частных задач о продольной устойчивости движения экипажа на магнитном подвесе с линейным синхронным двигателем при нерегулировании и регулировании напряжения статорной обмотки по углу нагрузки и его производной по времени. Показано, что при регулировании по углу нагрузки область устойчивой работы уменьшается, а при регулировании напряжения пропорционально производной угла нагрузки критический угол становится больше.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Продольная устойчивость движения экипажа на магнитном подвесе»

ОЙщетехнические и социальные проблемы

УДК 656.2.022.846

К. К. Ким, А. В. Корнух

ПРОДОЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЭКИПАЖА НА МАГНИТНОМ ПОДВЕСЕ

Рассмотрена одна из частных задач о продольной устойчивости движения экипажа на магнитном подвесе с линейным синхронным двигателем при нерегулировании и регулировании напряжения статорной обмотки по углу нагрузки и его производной по времени. Показано, что при регулировании по углу нагрузки область устойчивой работы уменьшается, а при регулировании напряжения пропорционально производной угла нагрузки критический угол становится больше

Р

линейный синхронный двигатель (ЛСД), угол нагрузки, устойчивость в «малом», критерий Гурвица.

Введение

При произвольно быстрых изменениях обобщённых координат экипажа на магнитном подвесе с использованием линейного синхронного двигателя (ЛСД), когда необходимо сравнивать эффекты, обусловленные производными этих координат по времени, для описания движения экипажа наряду с уравнением движения твёрдого тела должны привлекаться уравнения Кирхгофа. Совокупность указанных уравнений будем называть общим уравнением движения ЛСД. В d-, q-координатах эти уравнения выглядят следующим образом:

2

= const;

(1)

dt

= 0;

= 0;

J

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

Общетехнические и социальные проблемы

142

У

Р

w-1 +—e x,

t

где Ю - частота напряжения статора; т - полюсное деление;

e x - возмущение продольной координаты центра инерции экипажа.

Первые два уравнения отражают баланс напряжений статорной обмотки, третье уравнение характеризует режим работы системы возбуждения; два последних уравнения описывают электромагнитные процессы в d-, ^-обмотках, эквивалентирующих экран.

Уравнение движения центра инерции экипажа запишем в инерциальной системе координат xyz, движущейся со скоростью: Р

vx =—w; где vx - скорость бегущего магнитного поля статорной x t обмотки;

m0 d У Fx • C\ S V 1

dt2

m0 - d 2s= F - F(0);

dt= У У 5

m0 d 2e= Fz Г\ О V 1

dt2

J

(2)

где m - масса экипажа;

F(0) J7(°) /7(0)

F(0)

У :

(0)

F: - силы сопротивления и силы, создаваемые системами

подвеса и направления.

Рассмотрим одну из частных задач об устойчивости движения ЛСД. Будем полагать, что возмущенное состояние ЛСД характеризуется отсутствием вращения экипажа, а также отсутствием поступательных движений в направлениях у и z ex = ey =0. Таким образом, в

рассматриваемом случае имеет место возмущение единственной пространственной координаты ex. Для этого рассмотрим задачу об

устойчивости движения в “малом” при наличии и отсутствии регулирования напряжения путевой структуры.

1 Линеаризованные уравнения нерегулируемого ЛСД

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

Общетехнические и социальные проблемы

Имея в виду е= — (yu +----------0), где 0 - угол нагрузки, и

t 2

полагая, yu = const, перепишем уравнения (1) и (2), рассматривая их как систему с одной (механической) степенью свободы:

тт ■ d Y d / d 0Л

U=r 4d+~dT - (w-d} ;

U = r •iq + dYq--(w-—)•y; q q dt dt

3

У f =T ' M ' id + Lf ' If + mfd ' i3d = c0nst;

Гэ • hd +

d Y

э d

dt d Y

= 0

r • i +-

э э9 dt

э q

= 0;

0 t d 0 3 pr /. . . .v

-m ---M • If • lq +(iэd • ^q - iэq ’ ^ )

p dt 2 t L

Л

F 0

2

(3)

где гэ - активное сопротивление статорной обмотки и экрана; у -потокосцепление; If - ампер-витки возбуждения, Lf - собственная

индуктивность системы возбуждения, М - взаимная индуктивность между статорной обмоткой и системой возбуждения при совпадении их магнитных осей; mfd - взаимная индуктивность между системой

возбуждения и d-обмоткой экрана.

Величины L, Lf, Lэ, M, m, mfd используются в следующих формулах:

Vd =L • id + M • If + m • к;

V q =L • iq + m • in;

V d =m • 'd + к • ^ + md ■ If;

3 . , .

V 3q =2 m • l, + L, • 1Щ ,

>

J

(4)

где L - собственная индуктивность фазы статорной обмотки, обусловленная потоком всех трех фаз; m - взаимная индуктивность между путевой структурой и экраном; Lэ - собственная индуктивность экрана;

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

Общетехнические и социальные проблемы

144

тэ^ -взаимная индуктивность между d-обмоткой экрана и системой возбуждения.

В уравнениях (3) неизвестными являются токи iq и id путевой структуры, ток Iy возбуждения (соленоида), токи id и i экрана и угол 0

между векторами ЭДС возбуждения и напряжения путевой структуры. Угол 0 определяет положение экипажа относительно бегущего поля путевой структуры и является той единственной пространственной координатой, о которой говорилось выше.

Допустим, что напряжения путевой структуры составляют симметричную систему прямой последовательности, поэтому

ud = -Um ■ sine; Uq = Um ■ cos9.

Параметры r и x = ©L имеют один и тот же порядок. Поэтому коэффициент затухания путевой структуры оказывается весьма существенным. Это даёт возможность при рассмотрении устойчивости системы пренебрегать переходными процессами в статорной обмотке.

Таким образом, при линеаризации системы (3) из первых двух уравнений этой системы будут исключены члены, представляющие

d Y d . d Y q. de Т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

производные: -----. ----. ---. Тогда, учитывая, что в невозмущенном

dt dt dt

состоянии токи в экране отсутствуют, получим:

r ■Aid ~W'L ■ Aiq ~w‘m ■ Ai,q + Um ' C0S e0 0.

r ■ Aiq +w ■ L ■ Aid +w ■ M ■ AIf +w ■ m ■ Aid + Um ■ sineo ■ Ae= 0;

2 M' Aid + Lf ' Af + mfd ' A=d 0

4 T dAid 3 dAi

гэ ■ Ai + L ----—+ -m---------

э эq э dt 2 dt

d

d AI

+ m

f

fd

dt

= 0:

d Ai 3 d Aiq

r ■ Ai + L -------—

э эq э dt 2

+-----m

dt

= 0;

m

— d2e 3 p

+ -■ — [M ■ (If 0 ■ Aiq +iq 0 ■ AIf ) +

p dt2 2 —

+m ('q0 ■ Ai,d -id0 ■ A= )] AFc“,

(5)

J

здесь невозмущённые значения переменных снабжены индексом 0, а возмущения - значком A.

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

Общетехнические и социальные проблемы

i

d 0

= 2 1 2 [(X ' C0S q0 - Г ■ Sin q0)' Um - X ' Em0,

r + X

i 0 = ~2~ 2 [(X ■ sin q0 + r ■ C0s q0 )■ Um - r ■ E

r + X

m 0

где x = roL; Em0 = wMIf 0 .

Обозначим путевую структуру, обмотку возбуждения и экран соответственно индексами 1, 2, 3. Тогда коэффициенты рассеяния системы из двух обмоток:

S12 = 1

S13 = 1

S23 1

3 д Л-2

—M

2

L ■ L

f

3 2

—m 2__

L ■ L

3

—m

2

fd

к ■ h

В связи с этим s23 = 0, т. е

Л

>

J

(6)

1 =

m

fd

L ^ Lf

(7)

тогда s= s13, т. е. при соблюдении условий (6) и (7) экранирование обмотки возбуждения является идеальным (AIf = 0), если гэ = 0. Покажем это. Если гэ = 0 и DIf = 0, то из четвертого уравнения системы (5) следует:

3

2

M + mfd 'А= °;

-m■Aid + L, ■&=, о.

Г

Отсюда имеем:

M

m ■ m

\

fd

L

Aid=°

2

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

Общетехнические и социальные проблемы

146

Так как Дь Ф 0, то

(

M -

m • m

fd

L

= 0.

(8)

э 0

Очевидно, что это равенство согласуется с уравнениями (6) и (7). В самом деле, определив из выражений (6) и (7) величины m и mfd и

подставив их в (8), получим тождество:

L

f

L

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

f

= 0

L v L

э V э

Таким образом, s23 = 0 является необходимым и достаточным

условием идеального экранирования обмотки возбуждения, если гэ = 0.

Далее будем считать выполненными условия (6) и (7). Тогда характеристическое уравнение, соответствующее системе (3), можно привести к виду:

.3 , „ „2

а3 • p + а2 • p + а1 • p + a0 = 0. Входящие сюда коэффициенты

0 t т

а = m — • r • L

p

r2 + (x •s)2 r2 + x2 •s

s1= s:

a2 = m

(9)

(10)

(11)

p

ai =

3 p r- L- LU

21 (r2 + x2-s)(r2 + x2)

{(1-s) •(r2 +x •s) • Um +[(2- s-1) •r2 +(x •s)2 ] • Em

X

x cos 00 -

r Г

3 p

x

2

(2-s) • x 2 -s + r 2 _!• Em0 • Sin 00 } ;

r2 • L • U

(12)

a0 =-----

2 t (r + x • s)(r + x )

{(1 -s) • (x • sin 00 + r • cos 00)2 • Um +

(2 •: -1) • r2 + x2 •:

Em0 'C0S 00---

x

(2 - s) • x2 + r2 ] • Em0 • Sin 00} .(13)

2 Линеаризованные уравнения регулируемого ЛСД

Допустим, что фазные напряжения на выходе путевой структуры составляют:

иа = Um • cos(w • t + yU) + UD • sin(w • t + yU - 0 + Уд);

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

ОбЩетехнические и социальные проблемы

ua =Um • cos(w • t + yU -120) + UA • sin(w • t + yU -0 + yA -120); ua =Um • cos(w • t + yU +120) + UA • sin(w • t + yU -0 + yA +120).

Тогда в представлении (d, q) имеем:

Ud =-Um -sin 0 + U A 'cos Уа; l

Uq = Um •cos0 + UA-sinуд. J (14)

Здесь UA - напряжение, обеспечивающее регулирование системы. Это некоторая функция, отражающая закон регулирования. Так, возможны следующие представления:

Ud= Kq (0-0О) + K0 —;

dt

Ud= k, (i - i0)+k; , (15)

dt

где I - среднеквадратичный ток путевой структуры.

Рассмотрим устойчивость движения при регулировании напряжения путевой структуры по углу 0 и его производной. Как и в случае нерегулируемой системы, пренебрежём переходными процессами в цепи путевой структуры. Кроме того, будем считать выполненными условия (6) и (7).

С точки зрения линеаризованных уравнений регулируемая система отличается от нерегулируемой только конструкцией выражений для возмущения напряжения. В случае регулирования по углу 0 и его производной имеем следующие соотношения для возмущений напряжения:

Au= ( Um COs 0О + Kd ) - A0 + K

, d A0 dt

Kd = K0-cos Уа; Kd = K0 -cos Уа;

Duq (-Um • sin00 + Kq)• A0 + Kq ;

Kq = K0 sinУа; K = K0 sinУа.

(16)

(17)

Характеристическое уравнение, соответствующее уравнениям возмущенного движения, имеет тот же порядок, что и в случае нерегулируемой системы:

a3 • p3 + a2 • p2 + a1 • p + a0 = 0. (18)

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

Общетехнические и социальные проблемы

148

Здесь

a3 = m

о t r +(x-a)

~'r3 -L3 -

p

2 . 2 r + x - a

(19)

0 t 2 3 P

a2 = m — - гэ +---------

r-L-L-U

r2 + (x - a)2

x

p 2 t (r2 + x2-a)2(r2 + x2) 1L

-0 -a)-(r-K'M + x-K<,) ' Um •(x - sin 9o + r- cos 0,,) ]-К' о R2-a-1)-r2 + x2

x£mo + Ko- - (2-a)-x2 +r2 -Emo] + (1 -a)(x-a-KM-r-К[„

xL J

r- (2 - a-1)- x2 + r2 - Um - sin 90 - x- [(2- a-1)- r2 - x2 - a

xUm 'C0S 90 + 2- x-r 2 - Em 0 ]} i

-a x

)

x

(20)

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

Общетехнические и социальные проблемы

a

3 p

r • L • L • U

э э m

{ r2 + (x•s)2][(1 -s)• (x• sin0O + r• cos0O)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2 t (r2 + x2 • s)2 (r2 + x2)

Um [r •(cosqo — Kdо) + x(sin0o - Kqо)] + [(2•s-1) •r2 + x2 s

X

X

r Г

XEm 0 4COs 0O - Kd 0)-(2-S) x + r ^ Em 0 ’ (sin 0O - Kq 0) + (1 -s) X

xL J -1

2'

X

•U X

m

3 p

2 t

X

r2 L •U

э m

0)

[ x • s(cos 00 - Kd 0) - r (sin 00 - Kq 0) ]{r •[ (1 - 2 ^s) • x 2 - r r

X sin 00 + x •[(2 -s) • r2 + x2 •s • Um • cos 00 - 2 • x • r2 • Em0 ]}

{(1 -s) •(r • K'd 0 + x •K^ •(x •sin 00 + r •cos 00) •Um +

(2-s)• X2 + r2]• Em0, (21) {(1 - s) • (x • sin00 + r • cos00) • Um • [r(cos 00 - Kd0) +

(r2 + x2 • s)(r2 + x2)

(2 • s -1) • r2 + x2 • s

+Kd 0 •

E______K'

' ^0 ' Aq0 '

x

3 p

r2 •LU

э m

21 (r + x -s)(r + x ) r x

XEm0 • (cos00 - Kd0)} .

В уравнениях (20)-(22) обозначены:

+x • (sin 00 -Kq0)]-r [(2-s) • x2 + r2] • Em0 • (sm00- K^,)+[(2 • s-l) • r2 + x2 • s_

X

K K K'

k — /v d. K —____i. • k ' — /v d • к ' — q

Ad0 _ TT ■> Aq0 _ U 5 Ad0 ~ TT 5 Aq0 _

m

(22) k :

U_

U

U_

3 Критерии устойчивости и некоторые оценки

В соответствии с уравнениями (9) и (18) имеем следующие критерии Гурвица:

D0 — a0 > 0; D1 — a1 > 0; D2

a1 a0

a3 a2

> °; D3 —

a1 a0 0

a3 a2 a1

0 0 a3

> 0

Отсюда для нерегулируемой системы с учетом выражений (10)—(13) получим:

(1 -s) • (x•sin00 + r •cos00)2 U — (2-s) • x2 + r‘

x

E0 •sin00 +

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

Общетехнические и социальные проблемы

150

+

(2-а-1)-г2 + х2 а

- E0 - cos 0О > 0;

(23)

(1 - а)(г2 + х2 - а) -U + (2 -а -1) -г2 + (х - а)2

E0 - cos 0О

(2 -а) - х2а + г2

- E0 - sin 0О > 0;

х

х - а - cos 00 - г - sin 00 > 0;

(24)

(25)

(2 - а) -г2 + х2 - а

- U - cos 00 - г (2 - а -1) - х2 - а + г2

х1-

-2-г2 -E0 > 0.

- U - sin 00 -

(26)

Если система регулируемая и регулирование производится только по углу 0, так что в выражениях (20) и (21) K'do = K'qo = 0, то критерии устойчивости получаются следующее:

(1 -а)-(х-sin00 + г-cos00)-U[г-(cos00 -Kd0) + х-(sin00

г

---X

х

X

E0X

(2-а)-х + г -E0-(sin00 -Kq0) + (2-а-1)-г + х -а

X(cos 00- Kd 0) > 0; (27)

(1 -а) - U -{(cos 00 - Kd 0) (г2 + х2 - а) - cos 00 + (1 -а) - г - х - sin 0О] +

+(sin 00 - Kq 0) - (г2 + х2 - а) - sin 00 - (1 -а) - г - х - cos 00 ]} +

+E

(cos 00 - Kd0 )(2 а - 1) -г2 + (х -а)2

-U X

г

x cos 00---

х

(2-а)-х2 -а + г2 (sin00-Kq0)

> 0

х -а- (cos 00 - Kd 0) - г - (sin 00 - Kq 0) > 0

(2 - а) - г2 + х2 - а

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

U- cos 0 —

(2 - а -1) - х2 + г2

U - sin 0f

х

- 2 - г2 - E > 0.

(28)

(29)

(30)

Исследуем приведённые критерии устойчивости. Для этого пренебрежём сначала активным сопротивлением путевой структуры. Тогда из неравенств (23)-(30) следует:

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

Общетехнические и социальные проблемы

для нерегулируемой системы

(1 - s) • U • sin2 0О + s • E0 • cos 0O > 0; (23а)

(1 - s) • U + s • E0 • cos 0O > 0; (24а)

cos 0O > 0; (25а)

для регулируемой системы (Kd0,Kqo Ф 0,Kq= 0),

(1 -s) • U • sin00 • (sin00 - Kq0) + E0 - s- (cos00 - Kd0) > 0; (26а)

(1 -s) •U •(1 - Kq0 •sin00 - Kd0 •cos 00) + E0 • s •(cos 00 - Kd > 0; d

cos 00 - Kd0 > 0; (28a)

cos 00 > 0. (29a)

Обычно напряжение U путевой структуры ЭДС E0 возбуждения -величины одного порядка, а коэффициент рассеяния о меньше единицы. Поэтому из условий (23а) и (25а) наиболее сильным является (25а). Это означает, что устойчивость нерегулируемой системы при r = 0 определяется условием (25а). Таким образом, критический угол 0°,

который представляет границу области устойчивости, равен

p

2

Если

r Ф 0, то из (23)-(26) следует, что 00 < —. Расчётные исследования

2

показали, что происходит уменьшение области устойчивости, причем это уменьшение тем значительнее, чем больше г. Указанное отрицательное влияние активного сопротивления r на устойчивость системы связано, по-видимому, с явлением самораскачивания. На устойчивость системы оказывает влияние коэффициент о. При низких коэффициентах о происходит существенное расширение области неустойчивости. Следовательно, можно считать, что линейный синхронный двигатель из-за больших полей рассеяния (большой воздушный зазор) будет более устойчив, чем обычная синхронная машина.

Рассмотрим теперь условия (26а)-(29а). Прежде всего заметим, что коэффициенты регулирования Kd0, Kq0 должны быть отрицательными.

при r = 0 и Kd0,Kq0 < 0, как это следует из (26а)-(29а), устойчивость системы определяется условием (29а). Следовательно, имеем такой же

критический угол 0

<

0

p

2

что и в случае нерегулируемой системы. При

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

Общетехнические и социальные проблемы

152

r Ф 0 критический угол, в общем, уменьшается. Это особенно сильно

X

проявляется при больших значениях r (— < 2). Расчёты показали, что

r

регулирование только по углу 0 без его производных не даёт желаемого эффекта, скорее напротив, области устойчивости уменьшаются. Правда, могут быть исключения. Так, при относительно низких коэффициентах о рассеяния и значительных коэффициентах K0 регулирования возможно расширение области устойчивости по сравнению со случаем нерегулируемой системы.

Чтобы выяснить роль производных по углу 0 в устойчивости системы, рассмотрим критерии устойчивости при регулировании напряжения путевой структуры по углу 0 и его первой производной. Полагая в (18)-

(21) r = 0, придадим этим критериям следующий вид:

(1 -s) • U - sin0о • (sin0о - Kqо) + E0 s- (cos0o - Kdo) > 0; (30)

L -

(1 - s) - U • (1 - Kq0 - sinq0 - Kd0 - cos00) + E0 - s - (cos00 - Kd0)

r

s

(1 -s) - U - Kq 0 - sin 00 + E« -s-Kd

d 0

> 0:

(31)

Зл/2р L . L - U

t

X

[(1 - s) - U(-Kd0 cos 00 - Kq0 - sin 00) - E0 - s - Kd'

X

X

L, [(1 - s) - U - (1 - Kq0- sm 00 - Kd0- cos 0(,) + E,- s- (cos 00 - KM) -

- s [(1 - s) - U - Kq0 - sin 00 + E(, - s - Kd0 ]} W2 s ’

m°--r2 {L_t -(1 -s)- U

P

X

X cos 00- (cos 00 - Kd 0) - r^[ (1

s

s) - U - Kq 0

sin 00 + E0

s

Kd 0 ]}> 0.(32)

В неравенствах (30)-(32) положим Kd0 = Kq0 = 0. Кроме того,

коэффициенты Kdo, K^o при производной угла будем считать отрицательными. При этих условиях, как это видно из соотношений (30)-

(32), возможна устойчивая работа системы при углах 0, больших Критический угол 00 удовлетворяет соотношению:

P

(1 - s) - U - sin2 00 + s - E0 - cos 00 = 0,

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

Общетехнические и социальные проблемы

что следует из (30) при Kd0 = Kq0 = 0. То обстоятельство, что

критический угол 0° непосредственно не зависит от коэффициентов

K'do, K'qo, не должно служить поводом для смущения. Дело в том, что при

регулировании по производной угла критерий (29), которым определялась устойчивость системы в условиях регулирования по углу без его производной, теряет прежнюю роль, вследствие чего наиболее сильным становится критерий (30). Заметим, что соотношения (28), (29) и соответствующее им обоим условие (32) следуют из одного и того же критерия Гурвица D2 > 0. (Для рассматриваемой системы критерии D2 > 0

p

и D3 > 0 равносильны.) Таким образом, устойчивость системы при 0 < —

обусловлена исключительно регулированием напряжения путевой структуры по первой производной угла 0. Как указывалось ранее, пропорциональное регулирование по углу 0 не приводит, в общем, к расширению области устойчивости.

Заключение

1. Регулирование напряжения по углу 0 приводит к уменьшению области устойчивости. Но в случае малых потоков рассеяния и больших коэффициентов регулирования возможно расширение области устойчивости по сравнению со случаем нерегулируемой системы.

d 0

2. При регулировании напряжения статорной обмотки по -------

dt

p

критический угол становится больше —.

УДК 625.144.5

В. М. Лафта, А. М. Соколов

АНАЛИЗ ПРОЧНОСТИ ПУТЕВЫХ МАШИН С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ УСЛОВИЙ ИХ ЭКСПЛУАТАЦИИ

Статья посвящена вопросам, связанным с развитием методов анализа прочности путевых машин, условия эксплуатации которых недостаточно

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/2

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.