CC BY
7
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2000. N.2. С.17 18. © Омский государственный университет, 2000
УДК 512.54
ПРОБЛЕМА ВХОЖДЕНИЯ В РАЦИОНАЛЬНОЕ ПОДМНОЖЕСТВО СВОБОДНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ГРУПП
М.Ю. Недбай
Омский государственный университет, кафедра информационных систем 644077, Омск, пр. Мира,55-А 1
Получена 1 декабря 1999 г.
It is proved that the membership problem to a rational subset of a group is decidable in the free product of groups if and only if this problem is decidable in the factors.
1. Введение
Определение Пусть М - произвольный моноид. Определим класс рациональных подмножеств М как минимальный класс подмножеств, содержащий все конечные подмножества М и замкнутый относительно операций объединения, умножения и порождения подмо-ноида.
Определение 2. Конечный автомат над М -это конечный направленный граф Г с ребрами, на которых стоят метки из М и среди вершин выделены начальная и некоторое множество конечных.
Произведение всех меток ребер, составляющих некоторый путь тт в Г называется меткой пути 7г. Элемент гп Е М называется читаемым, автоматом Г, если существует путь с началом в начальной вершине Уо и концом в одной из конечных вершин с меткой т. Множество всех элементов, читаемых автоматом, Г, называется множеством, определяемым Г.
Утверждение 1. (См.[1]) Класс рациональных над М множеств совпадает с классом, множеств, определяемых автоматами над М.
Рассмотрим в качестве моноида М группу С. Как показано в работе [2], если рациональные множества образуют булеву алгебру в группе С и группе Я , то они образуют алгебру и в свободном произведении этих групп. Эта теорема дает повод предположить, что аналогичное утверждение верно и для проблемы вхождения, то есть,
1 e-mail: maxn©omsk.elektra.ru
если в группах С и Н разрешима проблема вхождения в рациональное подмножество, она разрешима и в их свободном произведении.
Для разрешимости проблемы вхождения достаточно показать, что рациональное множество и его дополнение рекурсивно перечислимы (то есть существует алгоритм, отвечающий "да", если элемент принадлежит множеству), или, что, как известно (См.[3]), эквивалентно, рациональное множество рекурсивно. Для доказательства утверждения о булевой алгебре рациональных множеств требуется более сильное утверждение, что дополнение к рациональному рационально. В приведенном ниже предложении широко используется схема доказательства основного результата работы [2], а построение множеств Аи ь,Ви;и полностью аналогично.
Автор доказал [4], что проблема вхождения в рациональные подмножества конечно порожденной абелевой группы алгоритмически разрешима, если эти подмножества задаются с помощью рациональных операций над конечными подмножествами. Разрешимость указанной проблемы при задании рациональных подмножеств конечно порожденной абелевой группы каноническим образом (см. [5]) в виде объединения смежных классов но свободным комму тативным подмоно-идам установлена в [6]. В то же время в свободной неабелевой нильпотентной группе достаточно большого ранга проблема вхождения в рациональные подмножества алгоритмически неразрешима [7].
Работа поддержана РФФИ (грант 98-01-00932).
2. Основной результат
Утверждение 0..1, Пусть группы С и Н та-
М.Ю.Недбаи
кие, что в них разрешима проблема вхождения в рациональное подмножество, тогда она разрешима и в их свободном произведении С * Н.
Доказательство. Нетрудно видеть, что предложение эквивалентно следующему утверждению: Пусть группы С т Н такие, что каждое рациональное множество - рекурсивно, тогда каждое рациональное множество в их свободном произведении рекурсивно. Далее будем доказывать предложение именно в этой формулировке. Пусть ДС С'*Н - рациональное множество. Покажем, что существует алгоритм, определяющий по любому элементу в £ С * Я , принадлежит он Я или нет. Пусть Г - автомат, допускающий Я. Можно считать, что все метки на ребрах Г лежат в Си//. Произведем далее построение, как в [2]. Пусть и,ь - вершины Г. Определим множества
- ^ и, V , ^ и /а •
Аи:у — { множество меток путей Г с началом в и и концом в V, которые лежат в С}
Ви у — { множество меток путей Г с началом выи концом в V, которые лежат в Я}
Как показано в [2], Аи<у (.£?«,„) - рационально в С (в Я). Рассмотрим все минимальные непустые пересечения р| (~)У , где
и
У _ Г А,,„ИЛИ
и
V Г {1}или
I с\{1} .
Эти пересечения попарно не пересекаются и рекурсивны в С, причем каждое АП:у есть объединение некоторых таких пересечений. Пусть ао, ах, а-2, ■ .., ап - список всех таких пересечений (без повторений). Аналогично строим 60, Ь\, 62,..., Ьт ■ Любой элемент из С * Я можно представить в виде дхИх ...</(/г;, где gi Е С и дг ф I (г ф 1), е Я, ф I ^ ф I), причем д{ Е агк для некоторого г^, а 6 Ь1к для некоторого ^ (см.[2]). Рассмотрим алфавит Е = {о-,,. .., ап, ¡Зх,. .., (Зт) . Определим новый автомат Г] над К* следующим образом: множество вершин совпадает с множеством вершин Г. Для каждой пары вершин (ы,г): если -4«,!' = и а'. то соединяем их ребром с меткой
г"е/
для Уг £ /\{0} и ребром с меткой е, если О Е I (е - пустое слово), аналогично для Ви у . То есть мы построили автомат, аналогичный Г, в котором вместо множеств а,; стоят буквы а,-. Пусть Г1 задает множество Ь. Рассмотрим теперь множество Я' = С Р\Ь, где С = { множество слов вида: где аг1 и могут быть
опущены } (аналог редуцированного представления элементов из С * Я). Нетрудно видеть, что
С - рационально. Поскольку £* - свободный моноид, то R' - рационально, и по утверждению (1) существует детерминированный автомат Г', задающий Я'. По определению Г', из каждой его вершины выходит не более одного ребра с меткой аг или f3j . Добавив не конечную вершину (Fail state) к автомату Г' и некоторое количество ребер, можно добиться, чтобы из каждой вершины выходило в точности одно ребро с меткой ai или /3j (г — 1, п, j — 1, т). Рассмотрим теперь произвольный элемент д Е G * Я . Как сказано выше, 9 ~ 9■ • ■9ihi, где gi £ aik для некоторого гк и hj Е bjk для некоторого jk ■ Будем теперь "читать" элемент д автоматом Г' следующим образом. Берем "букву" дх. Из начальной вершины выходят ребра со всеми метками а; (которым соответствуют рекурсивные множества аг). Поскольку все ai - рекурсивны, попарно не пересекаются, то существует i т.ч. дх Е ai. Переходим по этому ребру («¿) в следующую вершину и "читаем" "букву" hx и т.д. Если вершина, в которой мы остановимся, является конечной в Г', то д Е Я, иначе д Е (G * H)\R. Таким образом, Я - рекурсивно.
Автор благодарит своего научного руководителя - профессора В.А. Романькова - за постановку задачи и помощь в работе.
[1] Oilman R.H. Formal Languages and Infinite Groups//DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. P. 27-51.
[2] Баженова Г.А. Замкнутость одного класса групп относительно свободного произведения // Препринт №21. Омск: ОмГАУ, 1999. 5 с.
[3] Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, 1986. 368 с.
[4] Недбай М.Ю. Проблема вхождения в рациональные подмножества конечно порожденных абелевых групп // Вестник Омского университета. №3. 1999.
[5] Баженова Г.А. О рациональных множествах в конечно порожденных нильпотентных группах // Алгебра и логика (принято к печати).
[6] Нечайкин А.В. О решении уравнений над абеле-выми группами. Дипломная работа. ОмГУ, 1999.
[7] Roinan'kov V.A. On the occurence problem for rational subsets of a group // Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Омск: Ом-ГУ, 1999. С. 235-242.
