О высоте рациональных подмножеств в группах Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2001. №4. С. 11-12.

© Омский государственный университет УДК 512.54

О ВЫСОТЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПОДМНОЖЕСТВ

В ГРУППАХ

М.Ю. Недбай

Омский государственный университет, кафедра информационных систем 644077, Омск, пр.Мира, 55A1

Получена 12 сентября 2001 г.

Let G be a group contained a free non-abelian subgroup. It is proved that for every n there is a rational subset R in G of height n.

1. Введение 2 . В работе будет доказано, что произвольная группа, содержащая свободную не-абелеву подгруппу, содержит рациональные подмножества любой наперед заданной высоты. Приведем основные определения (См.[1]).

Определение 1 Пусть M - произвольный моноид. Определим класс рациональных подмножеств M как минимальный класс подмножеств, содержащий все конечные подмножества M и замкнутый относительно объединения, умножения и порождения подмоноида.

Через K* обозначаем далее подмоноид, порожденный подмножеством K С M. Рациональные подмножества свободного моноида называются рациональными языками.

Следующее определение введено в [4].

Определение 2 Пусть G - конечно-порожденная группа. R С G - рациональное множество. Определим h - высоту R следующим образом: если R - конечное множество, то h = 0. R имеет высоту n, если R представимо в виде:

n

R = U 9iiKti9i2 ...K*aigiU+1, i= 1

где gij G G, Kij С G и Kij - рациональные множества высоты < n — 1 в G, и R не представимо в таком виде для Kij высоты < n — 1.

Также в [4] показано, что существование представления вида:

n

R = IJ giiKiigi2... Kiiigiii+i, i=1

1 e-mail: [email protected]

2Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01.01.00674)

эквивалентно существованию представления более частного вида:

п

я =илК1 • К2...кк

¿=1

где д; 6 О, с теми же условиями на Kij С О, что и выше.

Рассмотрим в качестве моноида М группу О. Далее нам понадобятся следующие результаты:

Теорема 1 (см.[2]). В абелевой конечно-порожденной группе рациональные множества образуют булеву алгебру.

Теорема 2 (см.[3]). Если рациональные множества образуют булеву алгебру в группах О, Н, то они образуют булеву алгебру в О * Н.

Теорема 3 (см.[2]). Пусть О - абелева группа. Тогда каждое рациональное множество Я С О представимо в виде Я = УП=1 , где -

свободный коммутативный моноид.

Теорема 4 (см.[5]). В свободном моноиде существуют рациональные множества любой высоты.

2. Основные результаты. Рассмотрим свободную группу Рк со свободными порождающими (Ж1,...,Ж^) и свободный моноид Мк С Рк с теми же свободными порождающими.

Предложение 1 Пусть Я - рациональное множество высоты п в Мк, тогда Я - рациональное множество высоты п в Рк .

12

М.Ю. Недбай.

Доказательство. Очевидно, К - рационально в и высота К меньше или равна п. Докажем, что высота К равна п в ^.

От противного. Пусть К имеет в высоту < п — 1. Тогда существует представление К в в виде:

вида к- , где к1,к2 € Мк и к1 - один и тот

же элемент для всех к € . Перепишем теперь равенство

R= ÜgiK* ...К^,

где д; € , K- С ^к и Kij - рациональные множества высоты < п — 2 .

Поскольку д; € К, то д; € Мк, то есть д; записывается как произведение только положительных степеней свободных порождающих.

В дальнейших рассуждениях, говоря об элементах группы ^к , мы считаем, что они записаны несократимыми словами (знак « = » ниже обозначает равенство слов, а запись а * Ь - несократимое произведение).

Так как g¿K¿j С К для каждого K¿j , то д;к € Мк для каждого к € K¿j, следовательно, либо к € Мк, либо к = к-1к2, где к-1 сокращается с концом элемента д; и состоит только из отрицательных степеней порождающих, так как д; € Мк. Считаем, что к 1 - максимальное слово с указанным свойством. В этом случае д;к = д^к1к-1к2 = д^к2 € Мк, следовательно, к2 состоит только из положительных степеней порождающих. Рассмотрим элементы д;кт € К, где т > 0:

д;кт = д;(к- = д^к- 1к2к1 1к2 ... к- %

= д^к2к-1к2 ... к-1к2.

Следовательно, элементы к-1 должны сокращаться с к2 , то есть к = к-1к2к1.

Поскольку длина д; конечна, то в каждом множестве K¿j существует некоторый элемент к^-, такой, что ка;- = к— * ка;-2 * kd¿jl, где - максимальное по длине отрицательное начало для всех элементов к € Kij. Но тогда, поскольку д;кdijк € Мк для Ук € Kij, имеем: к = д;к^^1 * к^2 * kdijlk:f1 * к2 * к1, а так как длина к^-д не меньше длины к1, то kdijl = кг к1. Перепишем теперь все элементы ^^^ с «коротким» (не равным к а—) началом следующим образом:

к — к- * к2 * к1 — к- к — кгк2к1 — ка;1кгк2к1.

Поскольку длина слова кг к2 не меньше длины слова кг и элемент

дгкка— — д;к-г-'1 кгк2к1к- к- каг-'2каг-'1 € Мк,

то кгк2к1 = к2ка;51. Таким образом получаем, что каждое множество ^^^ состоит из элементов

R= UлК ...к*гг

¿=1

с учетом полученного для Kj представления:

n

R = U gik011(Kil)*kO1k021(Ki'2)*kO2 . . .

k-l (K'iii) koi,,

где (Kj) = {k' | k0j1k'k0j G Kj}. Заметим, что слова в Kj теперь уже не являются несократимыми. Очевидно, что если длина kos не меньше длины kot для V s < t, то, сокращая, легко получим представление R в Ык. Допустим длина kos меньше длины kot для некоторых s, t таких, что s < t (для простоты считаем, что s = 1,t = 2). Пусть k' = k01:Lk2ko1 G Ki1;k'' = ko21k3ko2 G Ki2. Ясно, что g^'k'' G Ык. Имеем : gik'k'' = giko11k2ko1ko21k3ko2. Из приведенных выше рассуждений мы видим, что в Kj обязательно существует несократимый элемент (тот элемент, у которого было самое «длинное» отрицательное начало). Считаем, что это k''. Но тогда ko0 не сокращается с k3, следовательно, k—1 сокращается с gik2ko1 (где gi = gik-—1), поэтому ko2 = krko1. Тогда поступим, как и выше: перепишем все элементы Кц следующим образом: k' = ko11k2k1 = ko11k°1kr k2ko1 = ko21kr k2ko1. Но так как длина krk2 не меньше длины kr и gik'k" G Ык, то krk2ko1 = k2ko2. Таким образом, преставление R можно переписать в виде

R = 1Г=1 gi1(Kij f ...gi г, (Kii, fgiii+1 > где gj G

Mn, Kj G Ып, то есть R имеет высоту n — 1 в Mn. Противоречие.

Лемма 1 (см. [4]). Пусть H - подгруппа группы G. R - рациональное множество в H высоты n. Тогда R - рациональное множество в G высоты n.

Доказательство. Очевидно, что R - рационально в G . Понятно, что высота R в G не превосходит высоты R в H . Докажем, что высота R в G не меньше высоты R в H. Рассмотрим представление R в G :

R =Ü КАК, .-Кг,.

(1)

Поскольку д; € К, то д; € Н. Пусть к € ^^^, тогда Л = д;к € К С Н, следовательно, Л = д;к € Н. Так как к = д-1Л, Л € Н, д-1 € Н и Н - подгруппа, то к € Н и, значит, все ^^^ С Н. Таким образом, ф. (1) - представление К в Н.

n