CC BY
8
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2001. №4. С. 19-20. © Омский государственный университет
УДК 512.54
О РАЦИОНАЛЬНОСТИ КОФИНИТНЫХ ПОДМНОЖЕСТВ
В ГРУППАХ
М.Ю. Недбай
Омский государственный университет, кафедра информационных систем 644077, Омск, пр.Мира, 55A1
Получена 7 сентября 2001 г.
It is proved that in every group with a string basis every cofinite subset is rational.
1. Введение2 . В работе будет доказано, что в группах с конечным нитевым базисом и единственностью записи по этому базису кофинитные подмножества рациональны. Замечено также, что рациональности кофинитных подмножеств конечно-определенной группы О, даже рациональности О\1, достаточно для разрешимости в О проблемы равенства.
Приведем основные определения (см.[1]).
Определение 3 Пусть М - произвольный моноид. Определим класс рациональных подмножеств М как минимальный класс подмножеств, содержащий все конечные подмножества М и замкнутый относительно объединения, умно-^^сения и порождения подмоноида.
Через К * обозначаем далее подмоноид, порожденный подмножеством К С М.
Определение 4 Конечный автомат над М -это конечный направленный граф Г с ребрами, на которых стоят метки из М и среди вершин выделены начальная вершина и некоторое множество конечных.
Произведение всех меток ребер, составляющих некоторый путь п в Г называется меткой пути п. Элемент т 6 М называется допустимым автоматом Г, если существует путь с началом в начальной вершине у0 и концом в одной из конечных вершин с меткой т. Множество всех элементов, допустимых Г, называется множеством, допустимым Г.
Известно (см.[1]), что любое рациональное в смысле определения (3) подмножество из М яв-
1 e-mail: maxn@omsk.elektra.ru
2Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01.01.00674)
ляется множеством всех элементов, допустимых некоторым автоматом Г над М , и наоборот.
Рациональные подмножества свободного моноида называются рациональными языками.
Определение 5 Пусть О - конечно-порожденная группа, Д - конечным алфавит, Д* - свободный моноид, X : Д* ^ О - сюръективный морфизм моноидов, Ь - некоторое рациональное подмножество Д* такое, что Х(Ь) = О. Тогда множество Я С О называется Ь -рациональным, если Х-1(Я) П Ь - рациональный, язык.
Следующее определение можно найти в [4].
Определение 6 Группа О обладает нитевым Z-базисом Ь1, Ь2,..., Ьп, если любой элемент д 6 О записывается в виде:
д = дГ1 д22 ■■■дПп,
где a¿ 6 Z(г = 1, 2, ■ ■ ■, п).
Далее мы будем ссылаться на следующий известный (см.[2]) результат:
Теорема 5 В абелевой конечно-порожденной группе рациональные множества образуют булеву алгебру.
2. Основные результаты. Пусть Д = {х1, х2,
■ ■■,хп}, Д* - свободный моноид на Д, Еп = Е(х1,х2, ■ ■ ■ ,хп) - свободная группа на Д, X : Д* ^ О - сюръекивный морфизм на группу О. Тогда существуют индуцированные сюръектив-ные морфизмы Х1 : Д* ^ Еп,Х2 : Еп ^ О, для которых X = Х1Х2. В работе [2] доказана следующая важная лемма :
Лемма 2 Пусть Я - рациональное подмножество группы О. Я - Ь - рационально для некоторого рационального языка Ь С Д* тогда и
20
М.Ю. Недбай.
только тогда, когда О\Я - рациональное множество в О.
Справедлив следующий аналог леммы (2) с заменой Д* на .
Лемма 3 Пусть Я - рациональное подмножество группы О. Я - Ь' - рационально для некоторого 'рационального подмножества Ь' С Еп тогда и только тогда, когда О\Я - рациональное множество в О.
Доказательство. Пусть Ь - рациональный язык в Д*, существующий для Я по лемме (2). То есть Л-1 (Я) П Ь - рациональный язык в Д*. Тогда Ь' = Л1(Ь) С _Рп - рациональное подмножество как образ рационального языка. Ясно, что Л-1 (Я) П Ь' = Л-1Л1(Я П Ь) - рациональное подмножество.
Обратное утверждение очевидно, так как рациональные подмножества в _Рп образуют булеву алгебру.
Идея следующего утверждения содержится в работе [3].
Предложение 5 Пусть О =< ж1; ж2,..., жп|г1; г2, • • •, гт > - конечно-определенная группа и множество О\{1} - рационально в О. Тогда в О разрешима проблема равенства.
Доказательство. Обозначим Я = {г^191 г^292 ... г 119к |е» = ±1>№ ^ ^п} - нормальное замыкание (Г1,Г2 ,...,гт).
Так как О\{1} и {1} рациональны, по лемме (3) существует рациональное подмножество
Ь'
С
для которого множество
Ь1 = Л- (О\{1}) П Ь' рационально. Меняя множество Ь', можно считать, что Л-1(1) П Ь' = 1. Рассмотрим автомат Г1, задающий множество Ь1. Перечислим все его допустимые пути: И1(ж),И2(ж),мз(ж),... . Перечислим элементы Я : «1 (ж), «2 (ж), «з (ж),..., а также элементы множества I = {и1(ж)Я, и2(ж)Я,...}.
Пусть теперь д 6 О - произвольный элемент. Зафиксируем некоторый его прообраз д' = Л-1(д) 6 -Рп. Будем параллельно выписывать элементы множеств I, Я и сравнивать их с д'.
Если д = 1 ,то д' будет перечислен среди эле-а
ментов из Я, если д = 1 ,то д' будет перечислен среди элементов I.
Таким образом, указан алгоритм, решающий проблему равенства в группе О .
Замечание 2 В предложении (5) конечное множество г1, г2,..., гт можно заменить на рекурсивно-перечислимое.
Замечание 3 Из предложения (5) нетрудно увидеть, что если О - конечно-определенная группа с неразрешимой проблемой равенства, то О\{1}
- не рационально.
Прежде чем приводить следующее предложение, опишем, каким образом строятся конечные автоматы для рационального множества, заданного схемой построения.
Замечание 4 Допустим, что рациональное множество задано схемой построения из конечных множеств с использованием рациональных операций - объединения, произведения и порождения подмоноида. Понятно, как строится автомат для конечного множества. Автоматы для объединения, произведения и порождения под-моноида получаются, как известно, следующим образом:
Пусть Я1 , Я2 - рациональные множества. Я1 - множество, допустимое некоторым автоматом Г1, Я2 - автоматом Г2 . Тогда:
- объединение: автомат Г, допускающий Я1и Я2, получается следующим образом: граф Г -это оба графа Г1 и Г2, у которых объединена начальная вершина. В качестве множества конечных вершин Г рассматриваются оба множества конечных вершин Г1 и Г2 .
- произведение: автомат Г , допускающий Я1 ■ Я2, получается следующим образом: граф Г
- это граф Г1 .к конечным вершинам которого присоединен Г2 ребрами с меткой е (пустое слово). В качестве множества конечных вершин Г рассматривается множество конечных вершин
Г2 .
- порождение подмоноида: автомат Г, допускающий (Я1)*, получается следующим образом: граф Г - это граф Г1, конечные вершины, которого присоединены к начальной вершине ребрами с меткой е. В качестве множества конечных вершин Г рассматривается множество конечных вершин Г1 .
Замечание 5 Относительно следующего предложения см. также [4].
Предложение 6 Пусть О - группа с ните-вым базисом относительно конечного подмножества порождающих В = {61; 62,... , 6п} и для каждого д 6 О представление в виде д = &11 Ь22 ... 6^ единственно. ¿(6») - рациональное подмножество в Z, К - конечное подмножество О. Тогда О\К - рациональное множество в О.
Доказательство. По условию для Уд 6 О : д =
61 б22 ...Ьг , где I» 6 ¿(6»). Построим автомат для О. Так как ¿(6») - рационально, то существует
О рациональности кофинитных подмножеств.
21
автомат в;, задающий 6(Ь;) , на ребрах которого стоит метка 1, операция - «+». Таким образом, автомат Г для О имеет вид Г = В1-В2 -В'3 ■■ . . Вп, где автомат В' получен из автомата Bi заменой единицы на ребрах на элемент Ьi и операции «+» на операцию « ■» группы О. Пусть К = {к1,к2, ■ ■ ■ ,кт} - конечное подмножество О, то есть
к1 = Ь!11 Ь212 ■■■Ь^, к2 = Ь121 Ь222 ■ ■■Ь1^", к3 = Ь131 Ь232 ■■■ЬЬ"
hk
i-^m 1 Z-. ^m °1 °2
Рассмотрим n конечных подмножеств Z:
P1 = {'li, I21, ■ ■ ■ , lmi}, P2 = {112, I22, ■ ■ ■ , lm2}, Ps = {113, hs, ■ ■ ■, lms},
Pn
{hn, hn,
i 1"mn}
из т элементов каждое. Поскольку Z - абелева группа, то по теореме (1)
¿(Ьi)\{Zj•i},¿(Ьi)\{Zli,Z2i},■■■,5(Ьi)\Pi
- рациональные множества. Следовательно, существуют автоматы, задающие эти множества. Рассмотрим автомат У1 вида:
У1 = л^ц) ■ В2 ■ В3 ■ ...вп и
Л11 ■ (А2(112) ■ В3 ■ ...ВП и Л12 ■ (Аз(11з) ■ В4 ■ ...Вп и Л13 ■ (......и Л
где ) - автомат, полученный из автомата за-
дающего множество 6(Ь^\{Цк} заменой единицы на ребрах на элемент Ьi и операции «+» на операцию «■ » группы О. Автоматы Лц получены аналогичной процедурой из автоматов для множеств {1ц }. Автоматы В' описаны выше. Нетрудно видеть, что У1 задает множество О\{к1}. Рассмотрим теперь «ветку» Л^п) ■ В2 ■ В3 ■ ■ ■ ■ В'п автомата V и заменим ее следующей:
л^шЫ ■ В2 ■ В3 ■ ...В'п и
Л21 ■ (Л2(к2,122) ■ В3 ■ ■■■В'п и Л22 ■ (Л3(113,
123) ■ В4 ■ ■ ■ ■ ВП и Л23 ■ (. ■ ■
■ ■ ■ и Л2п-1Лп(11п, 12п) ,
где л;(Ц1ъ1 ,Ц2к2) - автомат, полученный из автомата задающего множество ¿(ь;)\{1ц1ъ1 ,Ц2к2} описанной выше процедурой. Тогда полученный автомат задает множество О\{к1,к2}. Продолжая этот процесс, получим автомат для
О\{к1,к2,...,кт}.
Предложение 7 Пусть О - группа такая, что О = Я1Я2 ... Ят , Яi - рациональные множества и для УК; С Я;, | Ki |< те : Яi\Ki - рационально и для каждого д 6 О существует единственное представление вида д = г1г2 ■ ■ .гт Тогда для УК С О, | К |< те : О\К - рациональное множество.
Доказательство. Строим автомат Г для О : Г = Я1 ■ Я2 ■ ■ ■ ■ Ят. Процессом, аналогичным описанному в предложении (6), получаем автомат для О\К.
Предложение 8 О - группа. Н < О, | О : Н ^
те. Н обладает свойством рациональной кофи-нитности. Тогда О обладает свойством рациональной кофинитности.
Доказательство. Для Уд 6 О имеем д = (г = 1, 2,... ,к). Далее аналогично предложению (6).
Благодарность. Автор благодарит своего научного руководителя - профессора В.А. Ро-манькова - за постановку задачи и помощь в работе.
[1] Oilman R.H. Formal Languages and Infinite Groups//DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. P.27-51.
[2] Баженова Г.А. О рациональных множествах в конечно-порожденных нильпотентных группах: Препринт № 23. Омск: ОмГУ, 1999. 15 с.
[3] Roman'kov V.A. On the occurence problem for ratonal subsets of a group // Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Омск: ОмГУ, 1999. С. 235-242.
[4] Нечайкин А.В. О решении уравнений над абеле-выми группами: Дипломная работа. ОмГУ, 1999.
n
