CC BY
47
ПРОБЛЕМА ПРЕДСКАЗУЕМОСТИ ФОНДОВОГО РЫНКА
Д.1. Knill!, 1НД1Д1Т ф1Ш1-ИГШШЧВШ! 11|К
Предсказуемость поведения фондового рынка волнует как мелкого игрока, вложившего тысячу долларов в полдюжины ценных бумаг различных эмитентов, так и крупного институционального инвестора, оперирующего портфелем стоимостью в сотни миллионов долларов, диверсифицированного по сотне эмитентов. Под предсказуемостью понимается возможность: заранее "вычислять" неблагоприятное развитие событий и предпринять конкретные действия в рамках действующих на данный момент правил игры (законодательных актов, постановлений ФКЦБ и т.п.) с целью минимизировать потери инвестора.
Термином "вычислять" обозначается процедура получения информации о будущем поведении фондового рынка, исходя из каких-либо его наблюдаемых характеристик в прошлом и настоящем. В идеале, обладая полным набором таких характеристик, инвестор мог бы угадывать предстоящие потрясения на внешне спокойном в настоящий момент рынке по какой-либо определенной совокупности значений или изменений наблюдаемых характеристик - индикаторов рынка. Так, зная параметры орбит Земли и Луны, их массы и размеры, сведущий наблюдатель предскажет полное солнечное затмение в один из ясных погожих дней, когда ничто вокруг не предвещает такого катаклизма.
Что предлагается инвестору на сегодняшний день в качестве наблюдаемых характеристик-индикаторов фондового рынка? Это, в первую очередь, индексы курсов акций, вычисленные по различным методикам и по различным выборкам эмитентов (1).
Dow Jones Industrial Average (DJ I A) - промышленный индекс Доу-Джонса - сумма текущих цен акций 30 крупнейших американских корпораций, деленная на коэффициент 0,3309..., учитывающий многократное деление (сплит) акций эмитентами, входящими в выборку, происходящее с 1928 года. Достоинства: подбор высококлассных эмитентов (Boeing, Coca-Cola, General Electric, Intel, Microsoft и т.п.), простота подсчета, ежедневная публикация. Недостаток: слиш-
ком малая выборка эмитентов; слишком грубое усреднение - вклад эмитента не зависит от его капитализации.
Standard & Poor's Stock Index 500 (S&P 500) -сумма текущих цен акций 500 крунейших американских компаний (400 - промышленные фирмы, 20 - транспортные компании, 40 - компании электроэнергетики и транспортного хозяйства, 40 - финансовые компании), взвешенных с числом акций эмитента, находящихся в обращении. Достоинства: большой объем выборки эмитентов (репрезентативность), различные веса у различных эмитентов (объективность). Недостаток - ограниченность рынком США.
FT-SE 100 - сумма текущих цен акций 100 крупнейших компаний Великобритании (70% рыночной капитализации Великобритании), взвешенных с рыночной капитализацией эмитента. Достоинства: репрезентативность и объективность. Недостаток: ограниченность рынком Великобритании.
DAX-30 - сумма текущих цен акций 30 крупнейших компаний Германии, взвешенных с числом акций эмитента, находящихся в обращении. Немецкий аналог S&P 500. Достоинство: подбор высококлассных эмитентов. Недостатки: слишком малая выборка эмитентов, ограниченность рынком Германии.
Nikkei-225 - среднее арифметическое текущих цен акций 225 крупнейших компаний, котирующихся в 1-й секции Токийской фондовой биржи. Японский аналог DJ1A. Достоинства: простота подсчета, высококлассные эмитенты в подборке. Недостаток - слишком грубое усреднение, без взвешивания.
Интерфакс-РТС - сумма средневзвешенных по объему сделок цен акций, прошедших листинг РТС-1, взвешенных с рыночной капитализацией эмитента. Российский аналог FT-SE 100. Достоинства: рассчитывается каждые 30 минут, основной вклад дают российские "голубые фишки" - РАО ЕЭС, Лукойл, Мосэнерго, Сургутнефтегаз, Ростелеком. Недостаток - инерционность из-за малой ликвидности акций на российском фондовом рынке - при отсутствии сделок в каче-
Щ '¡ЯЛ • 1Л
стве цены акции берется предыдущая цена, возможно, зафиксированная недели назад.
В связи с процессами глобализации и интернационализации, происходящими в мировой экономике, наблюдается сильная положительная корреляция между фондовыми индексами: между DJIA и S&P 500 примерно 0,978; между DJIA и DAX-30 примерно 0,560; между DJLA и Nikkei-225 примерно 0,194. Другими словами, несмотря на разницу в выборке эмитентов и методике расчета, различные индексы изменяются практически синхронно.
Возможно ли, используя фондовые индексы, предсказать хотя бы самые значительные потрясения на рынке ценных бумаг? В работе (2), например, дается положительный ответ. Авторы рассмотрели поведение индексов DJIA, S&P 500, DAX-30, Nikkei-225 в течение 1997 года, исследовав разности между текущим значением индекса и его значением в предыдущий день и два дня назад (приращения соответственно с лагом 1 и 2). Оказалось, что в течение всего периода, а особенно к осени, значение приращений этих индексов было по преимуществу отрицательным. Также наблюдалась устойчивая тенденция к возрастанию стандартного отклонения приращений с лагом 1 (нарастание амплитуды колебаний). К концу октября 1997 года амплитуда колебаний превысила 3 о (в рамках предположения о нормальном распределении приращений вокруг среднего значения), что и служит, по мнению авторов, сигналом о наступающих потрясениях фондового рынка.
Независимо от (2), в работе (3) был предложен новый фондовый индекс BGM - "индекс с памятью", в конструкции которого изначально заложено вычисление приращений с лагом 1 и 2. Две первые буквы в названии индекса происходят от фамилий авторов, последняя буква "М" - от английского слова "memory" - "память".
"Идеальный" фондовый индекс должен не только адекватно отражать текущее состояние рынка, но и содержать информацию о его прошлых состояниях. Только тогда можно будет пытаться предсказать его будущее состояние, что и является одной из главных задач инвестора. Здесь уместна аналогия с разложением в ряд Тейлора: чем больше членов разложения некой (гладкой) функции нам известно, тем точнее мы сможем вычислить значение этой функции в нужной нам точке. Индекс BGM удовлетворяет такому критерию "идеальности". Для его рассмотрения введем следующие обозначения:
BGM(t) - значение индекса в момент времени t;
A, (t) - нормированная (безразмерная) котировка акции i-ro эмитента в момент времени t, определяется как полусумма средней цены
покупки и средней цены продажи акции в течение торгового дня, деленная на цену акции в некоторый начальный момент времени (январь 1998 года);
К, (t) - капитализация i-ro эмитента в момент времени t.
Определим Р, (t) - относительный вес i-ro эмитента в индексе - следующим образом: Р, <t) = К, (t) / I К, <t).
Здесь и далее суммирование ведется от 1 до N, где N - число эмитентов, включенных в расчет индикатора BGM, причем I Р, (t) = 1 - естественная нормировка относительных весов.
По определению, BGM (t) = I \1/2 (t) P,(t) , - известный из статистики "момент A,(t) порядка одна вторая". Степень 1/2 введена для сглаживания влияния на значение индикатора больших по величине котировок, то есть для равноправного вхождения акций эмитентов с высокими и невысокими котировками. Одновременно с BGM(t) - и это самое существенное в новом индексе - вычисляются следующие величины.
Аналог 1-й производной индекса: ABGM(t) = BGM(t) - BGM(t-l),
и аналог 2-й производной индекса: A2BGM(t) = A(ABGM(t)) = = BGM(t) + BGM(t-2) - BGM(t-l).
Знак (+) или (-) значений ABGM и A2BGM определяют динамику изменения индекса BGM (таблица).
Полное изображение индикатора, таким образом, отображает текущее значение и историю "на два шага назад" - приращений с лагом 1 и 2 - отсюда и название индикатора: "индикатор с памятью". Это отображение истории индикатора осуществляется с помощью пиктографического элемента (см. соответствующий рисунок из таблицы). Например, при текущем значении BGM, равного 100, и знаках приращений ABGM >0, A2BGM <0 , индекс записывается так: "BGM=100 разогрев замедляется".
Напомним, что вычисление моментов порядка п (где п может меняться от нуля до бесконечности, в нашем случае п=1/2) применяется в статистике (4) для выделения вкладов различных по величине слагаемых, составляющих сумму. Очевидно, что при п много больше 1 доминирующий вклад в сумму вносят большие по величине слагаемые, в то время как при п, стремящемся к нулю, все слагаемые в сумме практически эквивалентны и сумма вырождается в обычное нормировочное равенство. "Золотая середина" достигается при п=1/2, что и используется в конструкции индекса BGM.
В работе (3) в качестве примера использования индекса BGM на российском рынке ценных бумаг приведена динамика BGM за период с
Таблица
Знак ДВСМ-» Знак Д'ВвМ >0 -0 <0
>0 Разогрев ускоряется Переход от остывания к разогреву Остываю«4^-- замедляется
«0 разогреве Рынок стабилен ^Тереги --- остывании
<0 / Разогрев / замедляется Переход » от разогрева к. остыванию Остываю^ ускоряется
сентября 1997 года по март 1998 года с включением в расчет индекса акций шести крупнейших российских эмитентов: Газпрома, Лукойла, "Норильского никеля", Мосэнерго, РАО ЕЭС и Ростелекома.
К сожалению, все "предсказания" потрясений фондового рынка делаются задним числом, поэтому на сегодняшний день реально не имеется испытанного на практике индикатора поведения рынка. А значит, уместен вопрос о принципиальной возможности предсказания развития ситуации на фондовом рынке хотя бы на ближайшее (день, неделя) будущее или это в принципе невозможно и все усилия по поиску адекватного инструмента-индикатора тщетны? Вопрос этот не лишен смысла по следующей причине.
Представим себе фондовый рынок как некую нелинейную динамическую (то есть изменяющуюся во времени) систему (5). Термин "нелинейная" употребляется здесь в том смысле, что малые изменения начальных условий приводят к большим (а иногда и к катастрофически большим) изменениям результата. Нелинейность фондового рынка ярко иллюстрирует рынок опционов: функция зависимости премий по опционам (особенно опционов без внутренней стоимости) от текущей стоимости базового актива часто выражается через квадратичную, кубическую или даже более высокую степенную функцию.
С другой стороны, нелинейные динамические системы хорошо изучены математиками (6), и было установлено, что в таких системах с числом степеней свободы больше 2 можно обнару-■
жить хаос и, следовательно, на достаточно больших вре-меных интервалах их поведение становится непредсказуемым: первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства экспоненциально быстро расходятся.
Яркий тому пример: трехмерное фазовое пространство в модели Лоренца для потоков воздуха в атмосфере Земли, описываемой системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка (система с отрицательной обратной связью). При некотором значении управляющего параметра, зависящего от плотности, вязкости, температуры и других характеристик воздушных потоков, в модели возникает "странный аттрактор" - бесконечное, притягивающее фазовые траектории, множество с очень сложной структурой, каждая точка которого условно означает какую-то определенную погоду в определенной точке Земли. Достаточно небольшого возмущения в начальных условиях, чтобы по прошествии конечного интервала времени мы оказались в совершенно другой точке странного аттрактора - следовательно, имея совершенно иную погоду.
Этот эффект Лоренц назвал "эффектом бабочки" - будущую погоду может изменить взмах крыльев бабочки. Вот почему так ненадежны предсказания синоптиков, каким бы огромным банком данных о настоящих и прошлых состояниях погоды они ни обладали: расчеты ведутся на компьютерах с определенной точностью, а повлиять на конечный результат может как раз неучтенный знак после запятой.
Итак, по-видимому, фондовый рынок адекватно описывается некоторой нелинейной динамической системой с отрицательной обратной связью, при некоторых значениях управляющего параметра, которая становится в принципе непредсказуемой на достаточно больших временах!
Отрицательную обратную связь реализует рынок производных ценных бумаг - опционов и фьючерсов: повышение котировок акций вызывает (нелинейный) рост премий по опционам и рост фьючерсных цен, оттягивая на себя все большую часть денежных средств инвесторов. Отношение денежных средств, вложенных в рынок деривативов к денежным средствам, вложенным
в базисные активы, и будет, вероятно, управляющим параметром такой нелинейной системы.
Если же окажется, что для описания фондового рынка достаточно двумерной модели, то здесь при изменении управляющего параметра реализуется не менее интересный сценарий. Например, в систему с кубичной нелинейностью возможна бифуркация Хопфа, когда асимптотическое поведение системы при плавном изменении управляющего параметра качественно меняется: от притяжения к стационарной точке (в фазовом пространстве) - к циклическому движению по окружности.
Применительно к фондовому рынку бифуркация Хопфа может означать переход от плавного роста (падения) фондового индекса к его периодическим колебаниям. Они будут новым устойчивым состоянием системы до тех пор пока значения управляющего параметра будут находиться в определенном интервале. Термин "устойчивый" означает, что при небольших отклонениях отданного состояния система будет вновь в него возвращаться.
В более сложных динамических системах возможна бесконечная серия бифуркаций устойчивых состояний системы при плавном изменении управляющего параметра, причем каждая новая бифуркация рождает 2-, 4- , 8-... -кратные циклы. Эти циклы будут сменять друг друга при все меньших и меньших приращениях управляющего параметра, а амплитуды этих циклов (в фазовом пространстве) будут уменьшаться в геометрической прогрессии. В 1978 году американский математик Фейгенбаум сделал замечательное открытие: для динамических систем с квадратичным отображением Пуанкаре (6) отношение
соседних интервалов изменения управляющего параметра между бифуркациями стремится к константе 5 = 4,669201..., а отношение амплитуд соседних циклов стремится к константе а = 2,502907...
Значение этого открытия огромно: теперь достаточно убедиться, что данная динамическая система обладает квадратичным отображением Пуанкаре (а это условие выполняется для очень большого класса известных в природе систем), чтобы количественно предсказывать поведение данной динамической системы в терминах наступления очередной бифуркации (катаклизм).
В итоге, реалистичная модель фондового рынка будет, скорее всего, представлять собой систему нелинейных дифференциальных уравнений с очень неустойчивыми решениями, причем асимптотические состояния такой системы главным образом будут определяться отношением денежных объемов рынка производных бумаг и рынка базисных активов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Килячков A.A., Чалдаева JI.A. "Рынок ценных бумаг и биржевое дело". - М.: Юристь, 2000.
2. Боровиков В.А., Онищенко М.А. // РЦБ, 1998, №7, с. 21.
3. Батунин А.В.,Жалнинский Б.А. // Банковское обозрение, 1998, № 11 - 12, с. 44.
4. Батунин A.B. // Успехи физических наук, 1995, т. 165, № 6, с. 645.
5. Батунин A.B. // Деловой партнер, 1997, № 12, с 21.
6. Шустер Г. "Детерминированный хаос". - М.: Мир, 1988
