CC BY
102
УДК 534.222.2 + 536.46 + 661.215.1 + 614.83
ПРИВЕДЕННАЯ МОДЕЛЬ ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ ДЕТОНАЦИОННОГО ГОРЕНИЯ МЕТАНА
REDUCED MODEL OF CHEMICAL KINETICS OF DETONATION COMBUSTION OF METHANE
П. А. Фомин - канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник ФГБУН «Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН»
А. В. Троцюк - канд. физ.-мат. наук старший научный сотрудник ФГБУН «Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН»
А. А. Васильев - д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий лабораторией ФГБУН «Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН»
P. A. Fomin - Cand. Sci. Sciences, Senior Researcher FGBUN "M.A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB of RAS"
A. V. Trotsyuk - Cand. Sci. Sciences senior researcher FGBUN "M.A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB of RAS"
A. A. Vasiliev - Dr. Sci. Sciences, Professor, Head of the Laboratory FGBUN "M.A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB of RAS"
Для моделирования химического превращения в метано-воздушных смесях вместо детальной кинетической схемы из более чем 2000 элементарных реакций применительно к шахтным взрывам предложена приведенная двухстадийная модель кинетики, позволяющая также учесть добавки паров воды и инертных разбавителей для оценки их влияния на подавление взрывных волн. Модель включает одно дифференциальное уравнение для расчета молярной массы газа после истечения периода индукции и явные алгебраические формулы для расчета теплового эффекта, внутренней энергии, теплоемкостей и показателя адиабаты смеси. Предложенная модель использована в численном двумерном расчете многофронтовой детонационной волны в метано-воздушных и метано-кислородных смесях. Результаты расчета параметров, структуры и размера детонационной ячейки (в стехиометрических метано-воздушной и метано-кислородной смесях он получился равным 34 ± 1 см и 0,30-0,35 см) хорошо соответствуют имеющимся экспериментальным данным.
For modeling of chemical transformation in the methane-air mixtures, instead of a detailed kinetic scheme of more than 2,000 elementary reactions in relation to mine explosions, the two-stage model of the kinetics, allowing also consider supplements of water vapor and inert diluents, to assess their impact on the suppression of blast waves is proposed. The model includes a single differential equation to calculate the molar mass of the gas after the induction period and the explicit algebraic formulas for calculating the thermal effect, the internal energy, heat capacity and adiabatic exponent of a mixture. The suggested model is used in numerical two- dimensional calculation of multifront detonation waves in methane-air and methane-oxygen mixtures. Results of calculation of parameters, structure and size of the detonation cell (stoichiometric methane-air and methane-oxygen mixtures it turned to 34 ± 1 cm and 0.300.35 cm) correspond well to the available experimental data.
Ключевые слова: ШАХТНЫЕ ВЗРЫВЫ, МЕТАН, ГОРЕНИЕ, ДЕТОНАЦИЯ, КИНЕТИКА, МОДЕЛИРОВАНИЕ
Key words: MINE EXPLOSIONS, METHANE, COMBUSTION, DETONATION, KINETICS, MODELING
П. А. Фомин pavel_fomin_new@ mail.ru
А. А. Васильев gasdet@hydro.nsc.ru
Введение
Теоретическое моделирование детонационных процессов в ме-тано-воздушных смесях является исключительно важным для решения проблем взрывобезопасности в шахтах и обеспечения безаварийной работы технических устройств различного назначения. В свою очередь, подобное моделирование невозможно без адекватного описания химических процессов и термодинамических параметров газа.
Для описания детонационного сгорания метановых смесей были разработаны детальные кинетические схемы, включающие более 2000 реакций с учетом возможности образования тяжелых углеводородов (см., например, [1, 2]). Их широкое применение в практике численных неодномерных расчетов волн горения и детонации сдерживается значительными затратами времени вычислений, обусловленными необходимостью расчета жестких систем уравнений химической кинети-
45
ки и нелинейных уравнений газовой динамики. Например, к настоящему моменту расчет многофронтовой ячеистой структуры детонационной волны (ДВ) с учетом детального механизма химической реакции проведен только для водород-но-кислородных смесей с инертными разбавителями [3, 4], для которых детальный механизм химического превращения относительно прост.
В этой связи в практике численного моделирования ячеистой структуры ДВ используются приведенные модели кинетики (см., например, [5, 6]). Существенным недостатком подобных моделей является их несогласованность со вторым началом термодинамики, невозможность учета сдвига химического равновесия, наличие подгоночных коэффициентов, предположения о постоянстве молярной массы, теплоемкости и показателя адиабаты газа в зоне реакции.
Таким образом, разработка физически обоснованной, простой, но высокоточной приведенной модели химической кинетики является необходимым шагом для численного моделирования параметров и структуры многофронтовой детонационной волны в метано-воздушных смесях.
Одна из физически обоснованных приведенных моделей кинетики предложена в работах [7-10]. Для краткости, в соответствии с фамилиями авторов, будем обозначать ее аббревиатурой НФЗ. Модель является двустадийной и включает период индукции и стадию тепловыделения. Полагается, что во время периода индукции молярная масса газа не меняется, а тепловыделение равно нулю. Модель для стадии энерговыделения включает одно обыкновенное дифференциальное уравнение для расчета молярной массы газа после периода индукции и явные алгебраические формулы для расчета термодинамических параметров смеси (внутренней энергии, теплоемкостей, показателя адиабаты) в зависимости от давления и температуры. Модель апробирована на водородно-воздушных смесях, в том числе с инертными разбавителями, а затем модернизирована для описания химического равновесия и в углеводородно-воздушных смесях, позволяя рассчитать молярную массу, внутреннюю энергию и показатель изоэнтропы смеси по явным алгебраическим формулам в зависимости от давления и температуры. Модель согласована со вторым началом термодинамики, обладает высокой точностью, а константы имеют четкий физический смысл.
Модель тестировалась при решении широкого круга научных и технических задач. Например, для моделирования ячеистой структуры
детонационных волн [11], газо-капельной детонации [12], установок по детонационно-газовому нанесению порошковых покрытий [13], пульсирующих детонационных двигателей [14], подавления газовой детонации облаками химически инертных частиц [15], детонационных процессов в пузырьковых средах [16].
В рамках настоящей работы модель НФЗ была модифицирована для описания химической реакции ДВ в метано-воздушных смесях. Возможности модифицированной модели будут продемонстрированы в данном Выпуске на расчете двумерной ячеистой структуры ДВ в стехио-метрических метано-кислородных и метано-воз-душных смесях.
Обозначения:
р, Р, Т, ц - плотность, давление, температура и молярная масса газа;
Я - универсальная газовая постоянная; ц , ц , ц - молярные массы газа в ато-
> а > шгп ' шак 1
марном, предельно диссоциированном и предельно рекомбинированном состояниях;
А и К+ - константы скорости диссоциации и рекомбинации обобщенных продуктов реакции;
& - эффективная температура возбуждения колебательных степеней свободы молекул;
Е - средняя энергия диссоциации обобщенных продуктов реакции;
и - полная удельная внутренняя энергия
газа;
и, , и, - термодинамическая и химиче-
тегт сп 1 "
ская части полной удельной внутренней энергии газа;
у - показатель адиабаты; цс, ц0, цн, цн, цАг - молярные массы атомов углерода, кислорода, водорода, азота и аргона; / - время; Б - скорость ДВ; С - скорость звука; и - скорость газа;
Су, СР - теплоемкости при постоянном объеме и давлении;
У - доля периода индукции; н - ширина канала;
Пк, Пу - продольный и поперечный размер ячеек расчетной сетки;
Ых, N - число ячеек расчетной сетки по продольной и поперечной координате;
Крот - расстояние от места инициирования до фронта ДВ;
а0 - поперечный размер детонационной ячейки;
°н2'^он^2о'^н^со^о2 - энергии диссоциации молекул Н2, 02, ОН, Н20, СН, СО и С02
46
на атомы;
Afi > ^(h > Аж - DН20' Av, > &снА
> Arc>> А_т>,
химические части внутренней энергии молекул
h2, o2, oh, h2o, n2, ch, co и co;
Индексы:
0 - начальное состояние; — зона периода индукции; * - окончание периода индукции; л - зона основного тепловыделения; сз - состояние Чепмена - Жуге; 10 - параметры в пике Неймана;
Краткое описание модели НФЗ Модель приведенной кинетики НФЗ, разработанная для водородно-кислородных смесей, является двухстадийной. Во время периода индукции
^=const,
а тепловой эффект равен нулю. В зоне тепловыделения молярная масса газа меняется в соответствии с уравнением и
= (1-
- ATV* (l-expi-0/Т))3'1 p(
(1)
Калорическое уравнение состояния газовой смеси
um = иЛет1(Т,ц) + и hm (И), (2)
' 4 /jf 2 M, ÜA
в/Т SUT ùxp(&/T)-\ fi
' ' )
(4)
Р Л™
позволяет рассчитать внутреннюю энергию газа в произвольный момент времени. Начало отсчета (У. выбрано при 0 K. В качестве начала от-
therm 1 1
счета uch выбрано предельно диссоциированное состояние (для H, o, и n2 химическая часть внутренней энергии полагается равной нулю).
Первый член в (1) соответствует реакциям рекомбинации, увеличивающим молярную массу газа. Второй - реакциям диссоциации, уменьшающим молярную массу. Реакции обмена молярную массу не меняют и, соответственно, в (1) не присутствуют.
Реакции рекомбинации заканчиваются, когда смесь достигает предельно рекомбини-рованного состояния (м =цта). Уменьшение молярной массы газа прекращается, когда смесь достигает предельно диссоциированного состояния (м = мтп). Таким образом, молярная масса газа может меняться от м . до м .
' mm ^ ' max
Полагается, что водородно-кислородная смесь содержит не более чем трехатомные химические компоненты: h2o, h2, o2, oh, o, h и n2.
Точные расчеты параметров ДВ Чепмена - Жуге (Ч. - Ж.) показывают, что концентрацией других компонент действительно можно пренебречь [17, 18]. Точными будем называть расчеты с использованием детальных уравнений химической кинетики (химического равновесия).
Тепловой эффект элементарных реакций рекомбинации полагается одинаковым и равным E. Действительно, энергии диссоциации молекул h2, o2 и oh на атомы и молекулы h2o на oh и h близки: 103 ккал/моль, 118 ккал/моль, 101 ккал/ моль и 118 ккал/моль [19].
В уравнении (1) принято во внимание, что энергии активации реакций рекомбинации в во-дородно-воздушных смесях близки к нулю. Поэтому первый член в (1) не содержит экспоненты. Учтено также, что скорости рекомбинации слабо отличаются друг от друга (соответствующая константа скорости обозначена K+).
Энергия активации во втором слагаемом (1) равна E, поскольку разница между энергиями активации реакций диссоциации и обратных к ним реакций рекомбинации равна тепловому эффекту.
Для заданного уравнения состояния скорости прямой и обратной реакций не могут быть произвольными, а должны коррелировать со вторым началом термодинамики. Поэтому температурная зависимость предэкспонента скорости диссоциации получена из условия, что соответствующий термодинамический потенциал газа в состоянии химического равновесия (при d^/dt = 0) имеет экстремум.
Формула (3) получена на основе анализа зависимости числа степеней свободы смеси от молярной массы и температуры. Точность формулы порядка одной степени свободы (rt/2ß).
В метаносодержащих смесях газ содержит более чем трехатомные молекулы, а тепловые эффекты элементарных реакций рекомбинации компонент заметно отличаются друг от друга. Поэтому для моделирования химической кинетики в метано-воздушных смесях модель НФЗ может быть использована только после соответствующей адаптации.
Модель НФЗ может быть использована и для описания химического равновесия. В этом случае необходимо положить в (1) d^/dt = 0. В результате получается уравнение химического равновесия, описывающее явную зависимость (квадратное уравнение) молярной массы смеси от плотности и температуры.
¿Î = /J {pj):
^ (1 - -^-fexpfEIRT)K^- - 1) = il-Vexpi-e/n)"
- . ■■■■■ (5)
научно-технический журнал № 2-2016
вестник 47
Из уравнения (5) и формул (2)-(4) получены явные алгебраические формулы для расчета термодинамических параметров газа. Например,
с¥ (г>Р)^Ут+и.^.с,,(г,Р)¡*сг
р Т/р-рт-
Т \-р1ц {1,
_ ч ЛЬР , р р „ Г
г .аг
Мт) , р Лр
л _ и^-чепрр
йр 0,*имиг (6)
Производные и , и, цр и цт легко получаются из (2)-(5). Формулы (6) справедливы и для химически нереагирующего газа (в этом случае
иц = Цр = Цт = 0).
Отметим, что уравнение (5) и формулы
(2)-(4), (6) могут быть использованы и для расчета химического равновесия в бедных и близких к стехиометрии углеводородно-воздушных (в том числе метано-воздушных) смесях. Для таких смесей в рамках модели полагается, что газовая смесь содержит не более чем трехатомные молекулы (Н20, Н2, 02, ОН, О, Н, Ы2, С02 и СО). Такое предположение основано на малости концентраций других компонент в продуктах реакции ДВ [17, 18]. Если положить, что начало отсчета химической части внутренней энергии соответствует предельно диссоциированному состоянию (химическая часть внутренней энергии Н, О, Ы2 и СО равна нулю), то все предположения модели НФЗ для углеводородно-воздушных смесей справедливы.
Модель НФЗ соответствует принципу Ле-Шателье. Например, из уравнения химического равновесия (5) и формул (2)-(4) следует, что увеличение (уменьшение) температуры ведет к дополнительной диссоциации (рекомбинации), уменьшению (увеличению) молярной массы газа и уменьшению (увеличению) теплового эффекта химической реакции.
Модель НФЗ обладает высокой точностью. Например, неточность вычисления термодинамических параметров газа по формулам (2)-(6), по сравнению с точными расчетами, составляет не более нескольких процентов.
Суммируя вышесказанное, можно заключить, что модель НФЗ обладает рядом существенных достоинств по сравнению с существующей практикой приближенного моделирования кинетики химических реакций при численных расчетах двумерной структуры ДВ:
- модель физически обоснована, все константы имеют четкий физический смысл, подгоночные коэффициенты отсутствуют;
- проста, ее использование в задачах численного моделирования многофронтовой структуры ДВ не приводит к непреодолимым затратам машинного времени;
- обладает высокой точностью;
- удовлетворяет второму началу термодинамики и принципу Ле-Шателье.
Приведенная модель кинетики детонационного горения метана.
Начальное состояние газовой смеси
Рассмотрим газовую смесь с начальным химическим составом
аСш,^ + а2Н2 + а}°2 + а^2 + а^г + арр
Без ограничения общности можно поло-
жить а
1.
Масса смеси М, суммарное число молекул N и начальная молярная масса газа равны:
М = т1цг+(т7+2а1+2ав)цн+(2а3+ав)ц0+2а4 цАг
¡-1
Ц0 = М/Ы,
где цс, цН, ц0, цм и цАг - молярные массы атомов С, Н, О, N и Аг.
Пусть п1, п2, п3, п, п5 - суммарное число атомов С, Н, О, N и Аг в рассматриваемой смеси:
п.=т.+2а.+2а,, 2 2 2 6
п,=2а,+а.,
3 3 6 '
п.=2а.,
4 4 '
Полагаем, что если суммарное число атомов кислорода больше либо равно суммарному числу атомов углерода в смеси (п3 > п1), то углерода (в газовой или твердой фазах) в химически равновесных продуктах реакции не образуется. В противном случае в продуктах реакции появляется углерод, суммарное число атомов которого равно разнице между суммарным числом атомов кислорода и углерода в смеси. В дальнейшем основное внимание уделим случаю п3 >
пг
В соответствии с НФЗ рассчитаем молярную массу смеси в атомарном, предельно диссоциированном и предельно рекомбинированном состояниях при п3 > п.
Химический состав газа и его молярная масса в предельно диссоциированном и атомарном состояниях имеют вид:
Л,СО + Й2н + (йэ - )0 + ^N2 + щАг,
гттци
м
и
й]С + п2И + п^О + п^М \ И^Аг,
м
Я, +■ П2 + «3 + »4 +
соответственно.
48
1
1
Если п< п<2п1 , то молярный состав газа в предельно рекомбинированном состоянии имеет вид:
(л3 - пх)С02 + (2«, - пъ)СО + у Н2+^И2+пьАг.
Если 2п1 <п3<2п1+п2/2, то молярный состав газа в предельно рекомбинированном состоянии имеет вид:
В обоих случаях, что соответствует условию п1 < п<2п1 +п2/2, молярная масса в предельно рекомбинированном состоянии равна:
__М_
тм Я[ + п2 / 2 + пл / 2 +
Если п3>2П1 + п2/ 2, то состав и молярная масса газа в предельно рекомбинированном состоянии имеют вид:
Л,С02 + ^Н20 + (у""," ^)02 +^-ЛГ2 + пъАг
и
¿'та* —
м
п214 + пъ12 + пА12 + п5
соответственно.
Рассмотрим метан в качестве углеводорода. Соответственно, начальный состав газа будет иметь вид:
СН4 + а2Н2 +а302 + а^2 + а А + аН2О ■
В соответствии со справочником [19] БН
= 106234 к а л/мол ь, Мк = 1179 73 к ал/моль, Кп Н =
101360 кал/моль, БН
219361 кал/моль, БС
кал/моль, кал/моль, кал/моль. Примем, как и в мод ели НФЗ, за начало отсчета химической части внутренней энергии предельно тиссоции-ровкнное соитоянии, то есто вистояние, в кото-рои химическае нто-
мов Н, О и молчкулСОи Ы2 равианув ю. о01"д^ химнчесвие части внниреннеи си е|нгии молекул Я^ <Уо, ЫН и Н20 члвны сысолеыслтоющйи энеу-г!нйгн дииыоцгацои сыолесулна атоиы^взятым н отичнтанеаыныы знаном. Химические часто лсыысретуйИ онергти молвкун СО2 с СН% |лле-ны: ИИСН4 =- (ИСН4 - Исе) = - 1И6ИТ8 кал/моло и ИИ4К2 е-\и4^0 -и4к)е-125753 кал/моль.
Принимая во внимание формулы (2) и (3), получим:
и =и,
и
и;
в'Т0 ЛЯТ0
Ма
Химический состав смеси известен. По-
этому
= Фен, + * А, + Фо2 + Фнго )!м ■
Период индукции
Заменим реальные многостадийные про-
цессы, проходящие во время периода индукции, некоторой брутто-реакцией, которую выберем на основании следующих общих соображений.
Примем во внимание, что рост температуры (и, соответственно, суммарное тепловыделение химических реакций) к моменту окончания периода индукции невелик. Поэтому брутто-реакцию выберем таким образом, чтобы ее тепловой эффект был много меньше максимально возможного теплового эффекта, соответствующего полной рекомбинации продуктов реакции с образованием молекул С02 и Н20. Отметим, что при выполнении этого условия тепловой эффект брутто-реакции будет много меньше и теплового эффекта в точке Чепмена - Жуге.
Учтем, далее, что во время периода индукции происходят химические реакции, связанные с появлением и ростом количества активных центров и развалом тяжелых молекул. В нашем случае тяжелыми молекулами являются молекулы метана. В этой связи будем полагать, что в течение периода индукции все молекулы метана разлагаются с образованием молекул СО. В продуктах брутто-реакции не будем учитывать атомы С, поскольку рассматриваемая смесь содержит более чем достаточное количество окислителя. Действительно, как будет показано ниже, приведенное выше условие о малости тепловыделения во время периода индукции (и, соответственно, предлагаемая модель кинетики) выполняется при а2 > 0.8, то есть смесь действительно содержит достаточное количество окислителя, чтобы пренебречь концентрацией атомовуглерода.
Обозначим параметры газа во время периода индукции верхним индексом «-». В соответствии с вышесказанным полагаем, что за время периода индукции все молекулы метана рано или поздно испытают химическое превра-щение,брутто-реакция которогоимеет вид:
СН4 + 02 — СО + ОН+ 1.5Н2, если а3 > 1, (7) СН4 + а}02 — СО +(2а3 - 1)ОН + (2.5 - а)Н2, если 1 > а3 > 0.5. (8)
Если в смеси изначально присутствуют молекулы Н20, Н2, N2, Аг, то полагаем, что они во время периода индукции химических превращений не претерпевают.
Рассчитаем тепловой эффект От в момент окончания периода индукции, соответствующего брутто-реакции (7). Сравним его с максимально возможным тепловым эффектом О химиче-
1 1 ^ так
ской реакции в смеси СН4 + а302. В соответствии с (7)а=-Фон +1 -Ьаи -Ь^)=101360 + +1.5 103264 -136328 -117973 = 1955 кал/маль.
49
0
При 1 < a3 <2 максимально возможный тепловой эффект в смеси CH4 + a3 O2 соответствует реакции
CH4 + a3O2 — CO2 + (2a} - 2)H2O +(4 - 2a)H2 и равен
<3„ш = [Deo, + (2а, - 2)DHi0 + (4 - 2a.,)DHr -" DCHj -a.AJ = -[DCOi -2DHrU + 4DH? - D^ + ьаД2бНд-2бН2 -D0)|= (-36241 i a3-114221) кал/моль.
Видно, что даже минимальное значение Q = 77980 кал/моль (при a, = 1) много больше
^ max 41 3 '
Q : Q/Q = 1955/77980 = 0.025.
^г т ^max
При 2 < a3 максимально возможный тепловой эффект в смеси CH4 + a3 O2 соответствует реакции
CH4 + a3O2 — CO2 + 2H2O + (a3 - 2)O2 и равен
О™ = -гёэр, + 2бНз0 + (а3-2)б0] - DCHj -- a3% | = -l Dca + 2DM O - 2D0, - J =
= 192201 кал/моль. (10)
Видно, что Q << Q .
т max
Рассмотрим случай 1 > a3 > 0.5. Тепловой эффект для реакции (8) равен:
Qr = -[(2а3 - l)DOH + (2.5 -a^)DH - DrH: - ;
= - [- DOH + 2.5 DH;
+ a,(2DUH - - D^ )] - (20472 - % ■ 18517) Максимально возможный тепловой эффект соответствует реакции
CH4 + a3O2 — (2a3 - 1)CO2 + (2 - 2a)CO + H2
В таблице 1 приведены величины Qmax и Qt при различных a3; видно, что для a3 > 0.8 Q < 0.11Q и условие того, что тепловыделение
т max
в зоне индукции существенно меньше максимально возможного тепловыделения, справедливо. Поэтому предлагаемая модель кинетики имеет смысл лишь для a3 > 0.8. Для 0.5 < a3 < 0.8 предположение модели о малости тепловыделе-
Таблица 1 - Результаты расчета величин Q
dch, +
ния в зоне индукции по сравнению с максимально возможным тепловыделением не выполняется.
Пусть ß - доля молекул метана, не претерпевших химическое превращение к некоторому моменту времени t. Величина ß монотонно убывает по мере движения смеси по зоне индукции: ß = 1 при t = 0, ß = 0 в момент окончания периода индукции. В соответствии с вышеизложенным химический состав газа в течение периода индукции испытывает следующее химическое превращение.
При a3 > 1
CH4 + a2H2 + a3O2 + aß2 + a,Ar + a6H2O ^ ^ ßCH4 + (1 -ß)CO + (1 -ß)(2a3 - 1)OH + {(1 -ß)(2.5 -
- a3) + a2}H2 + ßa3O2 + a^2 + a5Ar + aßß
Обозначим индексом «-» параметры газа во время периода индукции. Химическая часть внутренней энергии и молярная масса газа в
V* = [ßÖcH4 + а - ß)Dm + (1-5 -1.5ß + а2 )£>щ +
/2 = М /{2.5 -1.5/7+ я3 +аъ+аА+а5+а6).
При 1 > a3 > 0.5
CH4 + a2H2 + a3O2 + a^2 + a£r + aflfi -
- ßCH4 + (1 - ß)CO + (1 - ß)(2a3 - 1)OH +{(1 - ß)(2.5 -
- aj + a2}H2 + ßafi2 + a^2 + a^4r + afl2O ■
Химическая часть внутренней энергии и молярная масса газа при этом вычисляются по формулам:
Üch = [ßDCHi + (1 - ДОа, -1 )D0H + {(1 -
- ß){2.5 + ß2 }DHi + ßa,D(h + a6D3i0]lM, ji = M ! {аъ -1.5/? + 2.5 + a2 +a4+a5+ a6).
В обоих случаях внутренняя энергия и ее термодинамическая часть равны:
U = Uch + ^ therm '
U
г3.р 1Ч 3,м .. в/Т RT ^ = [-{— +1) + -(— " 1) m ,]— 4 р 2 /иа -1 М
Рассчитаем долю периода индукции Y по формуле:
где т. - период индукции при постоянных параме-и Qт для различных а3
a3 Q ,кал/моль Q, кал/моль
0.5 11213.5 11213.5
0.6 24566.8 9361.8
0.7 37920.1 7510.1
0.8 51273.4 5658.1
0.9 64626.7 3806.7
1 77980 1955
50
трах. В начале периода индукции ( = 0, У = 0. В момент окончания периода индукции t = т, Y = 1.
Отметим, что величина в влияет лишь на профили параметров волны в зоне индукции. А скорость волны, параметры потока в точке Чеп-мена - Жуге и зона основного тепловыделения от в не зависят. Поэтому при выполнении указанных выше условий на величину в конкретный вид формулы для ее вычисления влияет на профили параметров волны в зоне индукции лишь количественно, то есть в рамках нашей модели конкретный вид формулы для вычисления в принципиального значения не имеет. Кроме того, как правило, скорость химического превращения в конце периода индукции ускоряется. В этой связи представляется разумным выбрать такую формулу для вычисления в, чтобы она удовлетворяла указанным условиям, а скорость ее уменьшения росла по мере движения смеси в зоне индукции. Например, можно воспользоваться следующими формулами:
в = 1 - Yn, (9)
в = (еп- епУ)/(еп- 1), п > 1. Момент окончания периода индукции Обозначим индексом «*» параметры газа в момент окончания периода индукции. Как отмечено выше, при t = ^в = 0 и Y = 1. При а3 > 1 газ имеет состав СО + ОН + (1.5 +а)Н2 + (а3 - 1)О2 + а^2 + + а А + аНО .
Химическая часть внутренней энергии и молярная масса газа при этом равны:
= Фон + 0*5 + в2)»н2 + (щ -1 + аЛ2<л
/}* - М / (2.5 + а2 +Л4 + «б) ■ При 1 > а3 > 0.5 газ имеет состав: СО + (2а3 - 1)ОН + (2.5 - а3 + а)Н2 + а^2 + + а А + а6Н2О .
Химическая часть внутренней энергии и молярная масса газа при этом равны:
= [{2а, -1 )Ьон + (2.5 - Дз + а2)ЬН1 +
+ аА-¡го\Ш,
¿и=М /(2.5 +а2 + аъ +а4 +а5 + В обоих случаях величина и термодинамическая часть внутренней энергии равны:
= "сЬ + "Оягши
.44
гзхд
в I T*
уRT. 1 А '
Зона основного тепловыделения
Обозначим индексом «л» параметры газа в зоне основного тепловыделения (при t > т).
Молярная масса газа вычисляется путем интегрирования дифференциального уравнения
^ = «■ _ _А т (1 _е-**?* _ шт.
* * А— Ай>
Л
При г = г* р =
В соответствии с (2)—(4) внутренняя энергия, ее термодинамическая и химическая части равны:
Расчет констант приведенной модели кинетики
В соответствии с НФЗ для расчета константы Е рассмотрим переход смеси из состояния, соответствующего моменту окончания периода индукции (г = * в предельно рекомби-нированное состояние при нулевой температуре (а* и а. - соответствующие стехиометрические коэффициенты):
1X4 2X4-
I I
Тепловыделение при таком переходе равно:
Поэтому
Е = - '
IX ■ IX
I f
При выводе последней формулы использованы определения m* иm :
1 max
_ М_ _ М
М- ~ V4 ' /тля* — ;
5Х
IX
Для стехиометрической метано-воздуш-ной смеси Е = 112819.5 кал/моль.
Отметим, что в рамках предлагаемой модели кинетики разрывы в ц, и, иЛегт, исп и других термодинамических параметрах смеси отсутствуют.
Согласно модели НФЗ константа К+ одна и та же для всех водородно- и углеводородно-воз-душных смесей и равна 0.61015ст6/(то12^). Величину в рекомендуется брать равной 3000^3500 К. Для вычисления константы А достаточно вычислить молярную массу газа по детальным уравнениям химического равновесия при каком-либо давлении и температуре. Затем использованные величины давления и температуры и вычисленную величину молярной массы необходимо под-
51
ставить в уравнение химического равновесия (6) и найти константу А. Например, для подобного расчета можно использовать величины плотности, температуры и молярной массы в плоскости Чепмена - Жуге детонационной волны, рассчитанной с использованием детальных уравнений химического равновесия.
Для стехиометрической метано-воздуш-ной смеси плотность, температура и молярная масса химически равновесного газа в плоскости Чепмена - Жуге равны: р = 2.0510-3 г/см3, Т = 2780 К и ц = 27.18 г/моль [17]. Подставляя эти величины (совместно с в = 3500 К и соответствующими величинами Е, К+, цт.п и цта) в (5), получим А = 6.051015 см3/(мольсК3/4). В состоянии химического равновесия предлагаемая приведенная модель кинетики переходит в уравнения (2)-(4), (5), (6).
Расчет параметров волны Ч.-Ж. с использованием приведенной модели кинетики
Чтобы показать точность приведенной модели кинетики для описания химического равновесия, используем формулы (2)-(6) для расчета параметров волны Ч.-Ж. в стехиометрической метано-воздушной смеси при Р0 = 1 атм, Т0 = 298 К. Соответствующие системы уравнений для расчета параметров волны в плоскости Ч.-Ж. и за передним ударным фронтом приведены в [15]. Сравнение полученных результатов с результатами точного расчета [17] приведено в таблице 2. Видна высокая точность расчетов, выполненных с использованием приведенной модели кинетики.
Двумерный численный расчет много-
фронтовой ячеистой структуры детонационной волны в метано-воздушной смеси
Для демонстрации возможностей предложенной приведенной модели химической кинетики проведен численный расчет параметров и многофронтовой структуры ДВ в стехиометри-ческих метано-воздушной и метано-кислородной смесях при Р0 = 1 атм и Т0 = 298.15 К. Динамика сжимаемой смеси описывалась двумерными нестационарными уравнениями Эйлера [20]. Химические превращения рассчитывались по предложенной приведенной модели кинетики. Система уравнений замыкалась термическим уравнением состояния идеального газа.
Период индукции химической реакции рассчитывался по формуле, базирующейся на экспериментальных данных [21], которые рекомендованы в работах [18, 22] для использования в оценках величины размера детонационной ячейки по модели [23]:
где
- концентрация кислорода,
A. , = 6.010-14 мольс/см3, E , = 33200 кал/моль.
та ' та
При численном моделировании структуры детонационных волн применены аналогичные численные методы и подходы, что и в работах [11, 20]. Использован современный метод сквозного счета. Уравнения Эйлера решались численно с помощью конечнообъемных TVD (Total Variation Diminishing) схем [24], являющихся глубоким развитием классической схемы типа Годунова. Использована адаптивная подвижная
Таблица 2 - Данные параметров ДВ, рассчитанные по детальной и приближенной моделям
Параметры в плоскости Чепмена- Жуге
D, м/с TCJ K PJ а™ Pep г/см3 Up м/с ^ м/с VCJ г/ моль
Расчет с учетом предложенной приведенной модели кинетики горения метана 1809 2801 17.37 2.05110-3 809.3 999.7 27.13
Расчет с использованием детальных уравнений химического равновесия [17] 1801 2780 17.19 2.048 10-3 803.8 997.2 27.18
Параметры пика Неймана
Tw K Pw атм Pw г/см3 uw м/с
Расчет с учетом предложенной модели кинетики горения метана 1553 31.57 6.874 10-3 1510
Расчет с использованием детальных уравнений химического равновесия [17] 1531 31.33 6.913103 1506
Рисунок 1 - Структура фронта ДВ в стехиометрической метано-воздушной смеси в канале высотой Н=а0=33 см; х/гои(=1500 см. АА и ВВ - пара основных поперечных волн. Расчет на 512 сопроцессорах, общее число расчетных ячеек: N=4000, N =4000:(а) - поле нормализованной плотности; (Ь) - поле
температуры (К)
структурированная сетка с локальным сгущением в области высоких градиентов параметров течения. Для решения задачи Римана использован современный алгоритм - solver HLLC [25], адаптированный для случая химически активного газа с помощью «метода релаксации энергии» [26]. Численный код распараллелен с применением техники «domain decomposition».
В численных расчетах с учетом формулы (9) при n = 1 средняя скорость многофронтовой ДВ в стехиометрической метано-воздушной смеси получилась равной 1909 м/с (если n = 2, то D = 1914 м/с). Эта величина незначительно отличается от скорости ДВ, полученной в точном расчете параметров одномерной волны Ч.-Ж. (DCJ = 1801 м/с [1 ).
Детонационная волна в расчетах инициировалась у закрытого конца трубы. Параметры источника инициирования (его размер и энергия) были достаточны для инициирования самоподдерживающейся ДВ. Проблема нахождения минимальной критической энергии инициирования не рассматривалась. Расчеты производились с использованием 256 и 512 со-процессоров.
Использовался алгоритм определения размера детонационной ячейки, аналогичный работе [20]. Детонационная структура рассчитывалась при различной ширине канала H. Изменение H влияет на число основных поперечных волн, остающихся на фронте ДВ после ее выхода на самоподдерживающийся режим распространения. Максимальная величина H, соответ-
ствующая только двум основным поперечным волнам, полагается равной ширине детонационной ячейки. Получено, что размер детонационной ячейки в стехиометрической метано-кис-лородной смеси равен 33 ± 3 см. Эта величина находится в хорошем соответствии с имеющимися экспериментальными данными [18, 22, 2730]. Характерный результат расчета структуры ДВ представлен на рисунке 1. Размер ячейки в стехиометрической метано-кислородной смеси получился равным 0.30^0.35 см, что также хорошо соответствует эксперименту [18, 22, 27].
Заключение
Предложена приведенная двустадийная модель химической кинетики детонационного сгорания метана в кислороде и воздухе, применимая для широкого диапазона концентраций горючего в смеси. Модель физически обоснована. Все константы имеют четкий физический смысл, подгоночные параметры отсутствуют. Модель согласована со вторым началом термодинамики и принципом Ле-Шателье. Простота делает возможным ее использование в численных многомерных расчетах параметров и многофронтовой ячеистой структуры детонационных волн.
В рамках работы данная модель использована в численном моделировании детонационной волны в стехиометрических метано-воздуш-ных и метано-кислородных смесях. Результаты расчета параметров и структуры волны хорошо соответствуют эксперименту.
53
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вестбрук, С. К. Использование химической кинетики для расчета критических параметров газовой детонации / С. К. Вестбрук, П. А. Уртьев // Физика горения и взрыва. - 1983. - № 6, С. 65-76.
2. Warnatz, J. Combustion: physical and chemical fundamentals, modeling and simulation, experiments, pollutant formation ; with 14 tables / J. Warnatz, U. Maas, R. W. Dibble. - 3. ed. Einheitssacht.: Technische Verbrennung.
3. Oran, E. S. A numerical study of a two-dimensional H2-O2-Ar detonation using a detailed chemical reaction model / E. S. Oran, J. W. Weber, E. I. Stefaniw, M. H. Lefebvre, J. D. Anderson // Combustion and Flame, 1998. - Vol. 113, 147.
4. Shimizu, H. Study of detailed chemical reaction model on hydrogen-air detonation / H Shimizu, N. Tsuboi, A.K. Hayashi, - AIAA Paper: Aerospace Sciences Meeting and Exhibit.- 2001.- AIAA-2001-0478. -pp.1-9
5. Oran, E. S. Origins of the deflagration-to-detonation transition in gas-phase combustion / E. S. Oran, V. N. Gamezo // Combustion and Flame. - 2007. - Vol. 148. - I. 1-2. - Pp. 4-47.
6. Kessler, D. A. Simulations of flame acceleration and deflagration-to-detonation transitions in methaneair systems / D. A. Kessler, V. N. Gamezo, E. S. Oran // Combustion and Flame. - 2010. - Vol. 157. - I. 11.
- Pp. 2063-2077.
7. Николаев, Ю. А. Модель кинетики химических реакций при высоких температурах / Ю. А. Николаев // Физика горения и взрыва. - 1978. - Т. 14. - № 4. - С. 73-76.
8. Николаев, Ю.А. О расчете равновесных течений химически реагирующих газов / Ю. А.Николаев, П. А. Фомин // Физика горения и взрыва. -1982. - Т. 18. - № 1. - С. 66-72.
9. Николаев, Ю. А. Приближенное уравнение кинетики в гетерогенных системах типа газ - конденсированная фаза / Ю. А. Николаев, П. А. Фомин // Физика горения и взрыва. -1983. - Т. 19. - № 6. - С. 49-58.
10. Николаев, Ю. А. Согласование моделей химических реакций в газах со вторым началом термодинамики / Ю. А. Николаев, Д. В. Зак // Физика горения и взрыва. -1988. - Т. 24. - № 4. - С. 87-90.
11. Васильев, А. А. Экспериментальное исследование и численное моделирование расширяющейся многофронтовой детонационной волны / А. А. Васильев, А. В. Троцюк, // Физика горения и взрыва. - 2003. - Т. 39. - № 1. - С. 92-103.
12. Николаев, Ю. А. Модель стационарной гетерогенной детонации в газокапельной среде / Ю. А. Николаев, П. А. Фомин // Физика горения и взрыва,. - 1984. - Т. 20. - № 4. - С. 97-105.
13. Gavrilenko, T. P. Acceleration of solid particles by gaseous detonation products / T. P. Gavrilenko, V. V. Grigoriev, S. A. Zhdan [et al.] // Combustion and Flame. - 1986. - Vol. 66. - I. 2. - Pp. 121-128.
14. Ждан, С. А. Величина реактивного импульса от взрыва газовой смеси в полуограниченном пространстве / С. А. Ждан, В. В. Митрофанов, А. И. Сычев // Физика горения и взрыва. - 1994. - Т. 30.
- № 5. - С. 90-97.
15. Fomin, P. A. Effect of chemically inert particles on thermodynamic characteristics and detonation of a combustible gas / P. A. Fomin, J.-R. Chen // Combustion Science and Technology. - 2009. - Vol. 181. - No. 8. - Pp. 1038-1064.
16. Fomin, P. A. Modeling of detonation processes in chemically active bubble systems at normal and elevated initial pressures / P. A. Fomin, K. S. Mitropetros, H. Hieronymus // Journal of Loss Prevention in the Process Industries. - 2003. - Vol. 16. - No. 4. - Pp. 323-331.
17. Николаев, Ю. А. Расчет равновесных течений в детонационных волнах в газах / Ю. А. Николаев, М. Е. Топчиян // Физика горения и взрыва. - 1977. - Т. 13. - № 3. - С. 393-404.
18. Vasil'ev, A. A. Detonation hazards of methane mixtures / A. A. Vasil'ev, A. I. Valishev, V. A. Vasil'ev, [et al.] // Archivum Combustionis. - 2000. - Vol. 20. - No. 3-4. - Pp. 31-48.
19. Термодинамические свойства индивидуальных веществ: Справочник: В 4 т. / Под ред. В. П. Глушко. Т. 2: В 2 кн: Л. В. Гурвич, И. В.Вейц, В. А. Медведев [и др.]. - М.: Изд-во АН СССР, 1962.
20. Троцюк, А. В. Численное моделирование структуры двумерной газовой детонации смеси Н2 - O2 - Аг / А. В. Троцюк // Физика горения и взрыва. - 1999. - Т. 35. № 5. - С. 93-103.
21. Soloukhin, R.I. Measurement methods and basic results of shock-tube experiments / R. I. Soloukhin // 7th International Symposium on Shock Tubes. - Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1969.
22. Васильев, А. А. О влиянии азота на параметры многофронтовой детонации / А. А. Васильев // Физика горения и взрыва. - 1998. - Т. 34. № 1. - С. 79-83.
23. Васильев, А. А. Модель ячейки многофронтовой газовой детонации / А. А. Васильев, Ю. А.
Николаев // Физика горения и взрыва. - 1976. - Т. 12. - № 5. - С. 744-753.
24. Yamamoto, S. Higher-order-accurate upwind schemes for solving the compressible Euler and Navier-Stokes equations / S. Yamamoto, H. Daiguji // Computers & Fluids, 1993. - Vol. 22. - I. 2/3. Pp. 259270.
25. Batten, P. Average-state Jacobians and implicit methods for compressible viscous and turbulent flows / P. Batten, M. A. Leschziner, U. C. Goldberg // Journal of Computational Physics. - 1997. - Vol. 137. -Pp. 38-78.
26. Coquel, F. Relaxation of energy and approximate Riemann Solvers for general pressure laws in fluid dynamics / F. Coquel, B. Perthame // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1998. - Vol. 35. - No. 6. - Pp. 2223-2249.
27. Nettleton, M. A. Gaseous Detonations: Their nature, effects and control / M. A. Nettleton. - Chapman and Hall, London, New York, 1987. - 276 p.
28. Bull, D. C. Detonation cell structure in fuel/air mixtures / D. C. Bull, J. E. Elsworth, P. J. Shuff // Combustion and Flame. - 1982. - Vol. 45. - Pp. 7-22.
29. Moen, I. O. Detonation length scales for fuel-air explosives / I. O. Moen, J. W. Funk, S. A. Ward [et al.] // Progress in Astronautics and Aeronautics. - 1984. - Vol. 94. - Pp. 55-79.
30. Knystautas, R. Measurements of cell size in hydrocarbon-air mixtures and prediction of critical tube diameter, critical initiation energy, and detonability limits / R. Knystautas, C. Guirao, J. H. Lee, A. Sulmistras // Progress in Astronautics and Aeronautics. - 1984. - Vol. 94. - Pp. 23-37.
REFERENCES
1. Vestbruk, S. K., & Urt'ev, P. A. (1983). Ispol'zovanie himicheskoj kinetiki dlja rascheta kriticheskih parametrov gazovoj detonacii [The use of chemical kinetics for the calculation of the critical parameters of the gas detonation]. Fizika Gorenija I Vzryva, (6), 65-76.
2. Warnatz, J., Maas, U., & Dibble, R. W. (n.d.). Combustion: Physical and chemical fundamentals, modeling and simulation, experiments, pollutant formation (3rd ed.). Einheitssacht.: Technische Verbrennung.
3. Oran, E. S., Weber, J. W., Stefaniw, E. I., Lefebvre, M. H., & Anderson, J. D. (1998). A Numerical Study of a Two-Dimensional H2-O2-Ar Detonation Using a Detailed Chemical Reaction Model. Combustion and Flame, 113(1-2), 147-163. doi:10.1016/s0010-2180(97)00218-6
4. Shimizu, H., Tsuboi, N., & Hayashi, A. K. (2001). Study of detailed chemical reaction model on hydrogen-air detonation. AIAA Paper: Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, (AIAA-2001-0478), 1-9. doi:10.2514/6.2001-478
5. Oran, E. S., & Gamezo, V. N. (2007). Origins of the deflagration-to-detonation transition in gas-phase combustion. Combustion and Flame, 148(1-2), 4-47. doi:10.1016/j.combustflame.2006.07.010
6. Kessler, D., Gamezo, V., & Oran, E. (2010). Simulations of flame acceleration and deflagration-to-detonation transitions in methane-air systems. Combustion and Flame, 157(11), 2063-2077. doi:10.1016/j. combustflame.2010.04.011
7. Nikolaev, J. A. (1978). Model' kinetiki himicheskih reakcij pri vysokih temperaturah [Model of kinetics of chemical reactions at high temperatures]. Fizika Gorenija I Vzryva, 14(4), 73-76.
8. Nikolaev, J. A., & Fomin, P. A. (1982). O raschete ravnovesnyh techenij himicheski reagirujushhih gazov [About computation of the equilibrium flows of chemically reacting gas]. Fizika Gorenija I Vzryva, 18(1), 66-72.
9. Nikolaev, J. A., & Fomin, P. A. (1983). Priblizhennoe uravnenie kinetiki v geterogennyh sistemah tipa gaz - kondensirovannaja faza [An approximate equation of kinetics in heterogeneous systems such as gas -condensed phase]. Fizika Gorenija I Vzryva, 19(6), 49-58.
10. Nikolaev, J. A., & Zak, D. V. (1988). Soglasovanie modelej himicheskih reakcij v gazah so vtorym nachalom termodinamiki [Coordination of models of chemical reactions in gases with the second law of thermodynamics]. Fizika Gorenija I Vzryva, 24(4), 87-90.
11. Vasil'ev, A. A., & Trocjuk, A. V. (2003). Jeksperimental'noe issledovanie i chislennoe modelirovanie rasshirjajushhejsja mnogofrontovoj detonacionnoj volny [Experimental study and numerical simulation of expanding the multi-detonation wave]. Fizika Gorenija I Vzryva, 39(1), 92-103.
12. Nikolaev, J. A., & Fomin, P. A. (1984). Model' stacionarnoj geterogennoj detonacii v gazokapel'noj srede [Model of stationary heterogeneous detonation in gas-drop environment]. Fizika Gorenija I Vzryva, 20(4), 97-105.
13. Gavrilenko, T., Grigoriev, V., Zhdan, S., Nikolaev, Y., Boiko, V., & Papyrin, A. (1986). Acceleration
научно-технический журнал № 2-2016
вестник
of solid particles by gaseous detonation products. Combustion and Flame, 66(2), 121-128. doi:10.1016/0010-2180(86)90084-2
14. Zhdan, S. A., Mitrofanov, V. V., & Sychev, A. I. (1994). Velichina reaktivnogo impul'sa ot vzryva gazovoj smesi v poluogranichennom prostranstve [The size of the jet pulse from the explosion of the gas mixture in the semi-infinite space]. Fizika Gorenija I Vzryva, 30(5), 90-97.
15. Fomin, P. A., & Chen, J. (2009). Effect of Chemically Inert Particles on Thermodynamic Characteristics and Detonation of a Combustible Gas. Combustion Science and Technology, 181(8), 10381064. doi:10.1080/00102200902908535
16. Fomin, P., Mitropetros, K., & Hieronymus, H. (2003). Modeling of detonation processes in chemically active bubble systems at normal and elevated initial pressures. Journal of Loss Prevention in the Process Industries, 16(4), 323-331. doi:10.1016/s0950-4230(03)00018-4
17. Nikolaev, J. A., & Topchijan, M. E. (1977). Raschet ravnovesnyh techenij v detonacionnyh volnah v gazah [Calculation of equilibrium flows in detonation waves in gases]. Fizika Gorenija I Vzryva, 13(3), 393-404.
18. Vasil'ev, A. A., Valishev, A. I., Vasil'ev, V. A., & Et al. (2000). Detonation hazards of methane mixtures. Archivum Combustionis, 20(3-4), 31-48.
19. Gurvich, L. V., Vejc, I. V., Medvedev, V. A., & Et al. (1962). Termodinamicheskie svojstva individual'nyh veshhestv: Spravochnik: V 4 t. [Thermodynamic properties of individual substances: Guide: In 4 v.] (V. P. Glushko, Ed.). Moscow: AN SSSR.
20. Trocjuk, A. V. (1999). Chislennoe modelirovanie struktury dvumernoj gazovoj detonacii smesi N2 - O2 - Ar [Numerical simulation of structure of the two-dimensional gas detonation of mixture of H2 - O2 -Ar]. Fizika Gorenija I Vzryva, 35(5), 93-103.
21. Soloukhin, R. I. (1969). Measurement methods and basic results of shock-tube experiments. 7th International Symposium on Shock Tubes, Novosibirsk: SO AN SSSR.
22. Vasil'ev, A. A. (1998). O vlijanii azota na parametry mnogofrontovoj detonacii [On the influence of nitrogen on the parameters of a multi-frontline detonation]. Fizika Gorenija I Vzryva, 34(1), 79-83.
23. Vasil'ev, A. A., & Nikolaev, J. A. (1976). Model' jachejki mnogofrontovoj gazovoj detonacii [Model of the cell of multi-front gas detonation]. Fizika Gorenija I Vzryva, 12(5), 744-753.
24. Yamamoto, S., & Daiguji, H. (1993). Higher-order-accurate upwind schemes for solving the compressible Euler and Navier-Stokes equations. Computers & Fluids, 22(2-3), 259-270. doi:10.1016/0045-7930(93)90058-h
25. Batten, P., Leschziner, M., & Goldberg, U. (1997). Average-State Jacobians and Implicit Methods for Compressible Viscous and Turbulent Flows. Journal of Computational Physics, 137(1), 38-78. doi:10.1006/ jcph.1997.5793
26. Coquel, F., & Perthame, B. (1998). Relaxation of Energy and Approximate Riemann Solvers for General Pressure Laws in Fluid Dynamics. SIAM Journal on Numerical Analysis SIAM J. Numer. Anal., 35(6), 2223-2249. doi:10.1137/s0036142997318528
27. Nettleton, M. A. (1987). Gaseous detonations: Their nature, effects, and control. London: Chapman and Hall.
28. Bull, D., Elsworth, J., Shuff, P., & Metcalfe, E. (1982). Detonation cell structures in fuel/air mixtures. Combustion and Flame, 45, 7-22. doi:10.1016/0010-2180(82)90028-1.
29. Moen, I. O., Funk, J. W., Ward, S. A., & Et al. (1984). Detonation length scales for fuel-air explosives. Progress in Astronautics and Aeronautics, 94, 55-79.
30. Knystautas, R., Guirao, C., Lee, J. H., & Sulmistras, A. (1984). Measurements of cell size in hydrocarbon-air mixtures and prediction of critical tube diameter, critical initiation energy, and detonability limits. Progress in Astronautics and Aeronautics, 94, 23-37.
56
