CC BY
54
Раздел I
Математические методы синтеза систем
А.Р. Гайдук, С.В. Василенко
ПРИВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ К ФОРМЕ КРЫЛОВА-ЛУЕНБЕРГЕРА
Преобразование переменных состояния часто позволяет привести уравнения системы к простым каноническим формам, что значительно упрощает решение задач анализа и синтеза [1, 2].
Широкое применение получило преобразование, предложенное Луенбергером для приведения уравнений линейных систем к канонической управляемой (КУФ) или наблюдаемой (КНФ) формам [1]. Если правые части уравнений нелинейной непрерывной системы дифференцируемы и управление входит в них линейно, то модель системы с одним входом и одним выходом можно представить [3] в квазилинейной форме
x = A(x)x + b(x)u(x) , (1)
y = cT(x)x, (2)
где A(x), b(x), cT(x)- функциональные матрица и векторы, u(x)-скалярное управление, y - управляемая переменная.
При определенных условиях эти уравнения можно привести к такому виду, когда матрица A и вектор b или c совпадают по форме с матрицей и вектором канонических управляемой или наблюдаемой форм систем с постоянными параметрами. Однако имеются и существенные отличия. Во-первых, в процессе приведения необходимо двукратное последовательное преобразование переменных состояния, так как элементы матрицы второго преобразования определяются по результатам первого преобразования. Причем преобразование к той или иной форме осуществляется по сути одними и теми же матрицами, только в различной последовательности. Во-вторых, что наиболее существенно, в общем случае коэффициенты канонических форм оказываются функциями переменных состояния и часто зависят от производных по времени переменных состояния системы. Это приводит к зависимости от производных найденного таким путем управления, и, следовательно, правых частей уравнений синтезируемой системы. Однако условия существования и устойчивости решений таких дифференциальных систем до сих пор неизвестны, что сужает область применения подобного подхода.
Покажем, что аналогичные преобразования можно провести и в случае нелинейных дискретных систем. Для большей ясности выкладок рассмотрим указанный переход на примере одномерной системы третьего порядка.
Уравнения нелинейной одномерной дискретной системы в квазилинейной форме [3] имеют вид
X
к +1
= Акхк + ькик,
кк
Ук = С1Хк , к = 0,12,...,
(3)
(4)
где хк = х(кТ) ; Т- период квантования; Лк = А(хк), Ък = Ъ(хк) , ек = с(хк) - функциональные матрица и векторы; ик - скалярное управление; ук - управляемая переменная.
Приведение системы уравнений (3), (4) к каноническим формам можно осуществить с помощью преобразования Крылова-Луенбергера по входу или по выходу.
Предположим, существуют матрицы 8к = Б(хк), ограниченные и неособенные при всех к = 0,1,2,____Положим
(6)
хк = 8к-іхк.
Хк+1 = 8 кХк+1
где хк - новый вектор переменных состояния.
В новых переменных состояния система (3), (4) описывается
уравнениями вида
~к+і = Акхк + , (7) Ук = ~кхк, (8)
где х х
Ак = 8к Ак8к-1 , Ь к = 8к Ьк , ~ к = Ск8к-1 . (9)
Здесь - матрица, обратная к 8к , т.е. такая, что 8-18к = Е .
Определение 1. Система уравнений (7), (8) имеет каноническую форму Крылова по входу, если
1 0 1 1 ~ 1 1 ?г 1
N 1 0 1 ?г ?Г *• II 0 , ск =
0 1 1 гч 1 1 0 1 1 ?г 1
0°)
Сх -
где = Х1(хк,хк_1,хк_2,хк_3) - некоторые нелинейные функции,
некоторые функции.
Определение 2. Система уравнений (7), (8) имеет каноническую форму Крылова по выходу, если
(11)
~ 0 1 0 ~
Ак = 0 0 1 , Ск =1 1 0 0], Ък = Ь2к
_-а0 — &1 -а2 _ Ь3к
к+2>Хк+1,Хк,Хк-1) - некоторые нелинейные функции, Ьік -
где ак =а(х,
некоторые функции.
Приведенные названия указанных канонических форм связаны с тем, что они получены с помощью преобразования Крылова-Луенбергера.
Причем в первом случае “каноническую форму” имеет вектор входа Ък, а во втором - вектор выхода ск .
В данной работе рассматривается задача построения матриц перехода к каноническим формам Крылова.
Приведение к канонической форме по входу. Обозначим Рк -матрицу перехода к канонической форме по входу.
Положим Рк = [Р1 Рк Рк ], где Рк - столбцы матрицы Рк , определяемые соотношениями
Рк = Ък.Р! = АкР-4. Р3 = АкРк2-4. (12)
где 4 . 4 - неизвестные пока составляющие.
Таким образом. для определения матрицы перехода достаточно найти эти составляющие.
Полагая в (9) Sk-1 = Рк-1. а Sк = Рк. с учетом (12) получим
A = P^AA-i =
P
i
P
2k
P
3k
[APA AkP’-i Akp-i ]
P A P1 P A P2 P A P3
ik k k -i ik k k -i ik k k -i
P2kAkPk-1
P A P2
2k k k-1
P A P1 P A P2
3k k k-1 3k k k-1
P A P3
2k k k-1
P A P3
3k k k-1
(13)
где Рк- ¡-я строка матрицы Рк 1.
Так как мы считаем, что Рк - матрица перехода к канонической форме
по входу, то, согласно (10) и (13), должно выполняться следующее равенство:
P1kAkPk-1 P A P2 1 M^-k1 k-1 P A P3 1k k k-1 ~0 0 -X0
P2kAkPk-1 P A P2 1 2k k k-1 P A P3 1 2k k k-1 = 1 0 - %1
P3kAkPk-1 P A P2 3k k k-1 P A P3 1 3k si-k1 k-1 0 1 - X2 _
(14)
С другой стороны, произведение Рк1Рк с учетом (12) принимает следующий вид:
1 Р1 1 1 1Р ?г 1
р ~1р = 1 к 1 к Р2к А1 р2 р3 ]= Р2к
1 ?Г 1 1 А» Р3 1
А1 Ар-4 Ар-4]
'рр Р„(А„Рк-4) Р:,(А„Р;-4) РаР1 Р„(Ар-4) Р^Ар-4) Р„р ря(Ар-4) Р»(Ар-4)
= Е.
(15)
Отсюда следует равенство
Р Р1
1 п1 к
Р,к(АкР!-4,) Рк(АР-44) р,Р р„(аР-44) ря(а„р;-4) Р,Р Р^Ар -4,) Р3,(АкР, - 4,)
~1 0
= 0 1 0
0 0 1
(16)
Видно, что первые два столбца правой части равенства (14) совпадают со вторым и третьим столбцами правой части равенства (16). Следовательно, для обеспечения требуемого преобразования должны выполняться следующие равенства:
Акр-, = Ар - 4, АРр- = АР, - 4
к к
Р,
Р -1
к к
(17)
(18)
Отсюда получим
4 = Ак (Рк - р-,) , 4 = Ак (Рк2 - Рк3-:) ■
Подставим (18) в (12) с учетом того, что Рк = Ък. В результате получим
Рк = АкРк - Ак(Рк - Рк-1) = АкЪ к - АкЪ к + АкЪ к-1 = АкЪ к-1, (19)
р = Ар3 - А(р3 - р,-1) = АК-,- АЪк-1 + АЛ-А-2 = АЛ-А-2. (20)
С учетом выражений (18), (19) переходная матрица Рк при п = 3 примет вид
Рк [ АкЪк-1 АкАк-1Ък-2]
(21)
Теперь мы можем найти значения функций хк из (10). Сравнивая последние столбцы матриц в (14), получим, с учетом (21), равенства
Х0 = -Р1кАкРк-1 = -Р1кАкАк ’А -Ъ
к к-1 1к к к-1 к-2 к-3 1
3
Х1 = Р2кАкРк-1 = Р2кАкАк-1Ак-2Ък-3 ’ Х3 = -Р3кАкРк-1 = Р3кАкАк-1 Ак-2Ък-3 ■
На основании (9) с учетом (16) найдем
Ъ = р ~‘Ъ = р-‘р1 = ик 1 к ик 1 к 1 к
1 Ор к Р1 1 ' 1
Рк к ор = 0
1 р к р 1 1 0 1
(23)
Из выражений (22) и (23) видно, что если столбцы матрицы Рк
выбраны согласно (18), (19), то матрицы А , Ь в выражении (7) полностью
совпадают по форме с матрицами (10). Другими словами, найденная матрица Рк (21) и есть искомая матрица перехода к канонической форме
по входу при п = 3. Отметим, что матрица перехода и результат преобразования зависят здесь не от производных по времени переменных состояния, как в случае непрерывных систем, а от их предыдущих значений, что значительно упрощает синтез регулятора. Строго говоря, предыдущие значения являются здесь эквивалентом разностей
переменных состояния, т. е. физический смысл преобразования в
дискретном случае тот же, что и в непрерывном.
В общем случае выражения (21) и (22) примут вид
п-2
АкЬк-1 АкАк-1Ьк-2 ••• ( Ак - 1 )Ьк
1=0
Рк =
Ъ„
к-п+1
(24)
п-1
х = Р(і+1)к( Ак - 1 )Ък-п
1=0
(25)
Приведение к канонической форме по входу. Пусть Тк- матрица перехода к канонической форме по выходу. Положим,
V = Т
Т2к Т3к
где Тк - столбцы матрицы Тк1, определяемые
соотношениями
Т1к = сТ ; Т2к = Т1кАк - А ; Т3к = Т2к Ак - А , (26)
где , А3к - также неизвестные пока составляющие. Найдем их, действуя
аналогично предыдущему случаю.
Подставив (26) в (9), получим
Ак = Тк АкТк-1 =
т,
1к
Т-
2к
Т
3к
Т1кАкТк-1 Т2кАкТк-1 Т3кАкТк-1
Т А Т2
1к к к-1
Т А Т2
2к к кТ А Т2
3к к к -1
Т А Т3
к к кТ А Т3
2к к к-1
Т А Т3
3к к к-1
(27)
где Ткг-1 - /-я строка матрицы Тк-1.
Так как мы считаем, что Тк - матрица перехода к канонической форме
по входу, то, согласно (11) и (27), должно выполняться следующее равенство:
(28)
T1kAkTk_1 т а т2 11 к к к_ 1 Т А Т3 1к к к _1 ' 0 1 0 "
T2kAkTk_ 1 Т А Т2 1 2^И к_1 Т А Т3 2к к к _1 = 0 0 1
Т3кАкТк_1 Т А Т2 3к к к _1 Т А Т3 3к к к _1 __а0 _ а1 а 2 _
-1
Произведение Тк_1Тк-1равно:
Т ~1Т
1 к _1 к _1
Т
1 к _1
Т
2 к _1
Т
3 к _1
[т1 Т2 Т3 ]
к _1 1 к _1 1 к _11
Т Т1 Т ГГ2 Т т'3
11к_11к_1 11к_11к_1 11к_11к_1
Т 'Т'1 Т Т2 Т Т'3
12 к-11 к _1 12 к _11к _1 12к_11к_1
Т Т'1 Т Т2 Т Т3
1 3 к-11 к _1 13 к _11к _1 13 к _11к _1
= Е.
(29)
Из (29) следует равенство
Т 1 к Т1 -11 к _1 ч 1 к Т1 Т Т3 1 к _1 к _1 ~1 0 0
Т 2к Т1 А1 к _1 Т Т2 1 2 к _1 к _1 Т Т3 1 2 к _1 к _1 = 0 1 0
Т 3к Т1 -1 к _1 Т Т2 3 к _1 к _1 Т Т3 3 к _1 к _1 0 0 1
(30)
Видно, что первые две строки правой части равенства (28) совпадают со второй и третьей строками правой части равенства (30). Следовательно, для обеспечения требуемого преобразования должны выполняться следующие равенства:
1 1 А
2к _1 1к к ’
Сместившись на один шаг вправо, получим
1 1 А
2к 1 к+1 к+1
Подставив (26) в (32), получим
Т1кАк Отсюда получим
Т1кАк А = 11к+1Ак+1 ■■
1 1 А
3 к к+1 к+1
Т2кАк А = Т2к+1Ак+1 ■
А = Т1кАк Т1к+1Ак+1 '
А = Т2кАк Т2к+1Ак+1 ■ Подставим (34) в (26), с учетом того, что Т1к = етк ,
Т2к = Т1кАк _ А = СкАк _ СкАк + Ск+1Ак+1 = Ск+1Ак+1 Т3к = Т2кА _А = с'т+,Л,
2к к
Ск+1Ак+1Ак Ск+1Ак+1Ак + Ск+2Ак+2Ак+1
= ст А А
~ к+2 к+2 к+1 •
С учетом (35), (36) матрица Тк 1 примет вид
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
т- =
г1 А
ик+1^к+1
г1+ А + А
(37)
к+2 к+2 к +1
Подставив (37) в (28), мы найдем значения функций а{
а - -гт А А АТ1 ■
“О _ к+2 к+2 к+1 к к-1 >
а = -гт А А АТ2 ■
Ы1 к+2 к+2 к+1 к к-1 ’
а = -гт А А АТ3
2 к+2 к+2 к+1 к к-1
В общем случае выражения (37) и (38) имеют вид
гт А
к+1 к+1
(38)
Т-1 =
гт А А
ик +2 к+2 к +1
п-1
- П А
г'к+п-1±± к+( п-]) І=1
(39)
аа = -г
т
к+( п-1)
(П А
к+(п-І)
)Тк
І+1 к-1 ■
(40)
І=1
Таким образом, из (26) видно, что Тк - матрица являющаяся обратной к матрице (37), есть искомая матрица перехода к канонической форме по входу при п — 3. При этом необходимо отметить, что выражения (38), а следовательно и преобразованная каноническая модель нелинейной динамической системы, зависят от будущих значений переменных состояния.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А.Красовского. -М.: Наука, 1987.
2. Подчукаев В.А. Аналитические методы теории автоматического управления. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
3. Гайдук А.Р. Полиномиальный синтез нелинейных систем управления // АиТ. 2003.-№10: С. 144-148.
4. Краснощеченко В. И., Крищенко А. П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза.-М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,2005.
т
г
к
т
Г
к
т
Л.Ж. Шугунов, Куповых Г.В.
МЕТОД РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЛАГОВ В АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ МЕТЕОПАРАМЕТРОВ
