CC BY
41
Было проведено моделирование приведенных схем в ППП OrCad. При использовании технологии с длиной канала 3 мкм, время задержки выходного сигнала относительно входного равно 1 - 4 нс. Величина кванта тока выбиралась в пределах 16 - 30 мкА. Потребляемый ток при напряжении питания 5В составил для инвертора около 20 -36 мкА, для сумматора 80 - 130 мкА, для Б-триггера 120 - 200мкА. Все устройства устойчиво работают при 5-кратном изменении напряжения питания.
Приведенные результаты выполненных авторами исследований дают основание утверждать, что линейная алгебра является математическим аппаратом логического синтеза цифровых структур, более мощным, чем булева алгебра, и в сочетании с достигнутым к настоящему времени уровню развития технологии позволяет создавать в рамках единого технологического цикла гибридные (аналогово-цифровые) системы с улучшенными техническими, технологическими и эксплуатационными характеристиками.
1. Н.И. Чернов. Линейная алгебра - альтернативный математический аппарат логического синтеза цифровых структур. Настоящий сборник.
2. Н.И. Чернов. Линейный синтез цифровых структур АСОиУ: Учебное пособие. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. - 118 с.
СИНТЕЗ ДИСКРЕТНОГО КВАЗИМОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Большинство энергетических объектов являются нелинейными, поэтому задача синтеза управлений для таких объектов имеет важное значение при решении проблем производства и передачи электрической энергии.
Хорошо известно, что задачу синтеза системы управления для линейных объектов можно довольно легко решить, если предварительно привести уравнения объекта к канонической управляемой форме (КУФ) [1, 2] и построить модальное управление. Аналогичное преобразование переменных состояния можно применять и в случае нелинейных систем, однако это сопряжено с некоторыми трудностями. Как показано в [3], переход к каноническим формам в этом случае осуществляется проще, если уравнения объекта являются дискретными. Когда получены дискретные уравнения нелинейного объекта в КУФ, для него, по аналогии с линейными системами, можно построить квазимодальное управление. Алгоритм построения подобного управления и является темой данной статьи.
Уравнения нелинейной одномерной управляемой дискретной системы в квазилинейной форме имеют вид
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
УДК 62.50
С.В. Василенко
**+1 = Ак*к + Ькик >
Ук = скхк > * = °,и,- >
(1)
(2)
где хк = х(кТ), Т - период квантования, Ак = А(хк), Ьк = Ь(хк), стк = ст (хк) -функциональные матрица и векторы, ик - скалярное управление, ук - управляемая переменная.
В случае нелинейных дискретных систем типа (1), (2) обычно используется два типа преобразований к каноническим формам. Это преобразования Крыло-ва—Луенбергера по входу или по выходу. В общем случае преобразование переменных заключается в следующем. Предположим, существуют матрицы Бк = Б(хк) ограниченные и неособенные при всех к = 0,1,2, к . Положим
(3)
хк = $к-1Хк ■
хк+1 = $кхк+1 ■
где хк - новый вектор переменных состояния.
Преобразованные уравнения системы (1), (2) определяются выражениями
~к+1 = Ак~к + ~кик ,
Ук = сКхк■-
где
Ак = Б- АкБк-1, Ьк = Бк\ , ~кТ = ск£к-1.
Здесь Б-1 - матрица обратная к Бк, т.е. такая, что Б-18к = Е .
Как показано в [3], если взять матрицу преобразования Бк = Рк , где
(4)
(5)
(6)
Рк =
( п-2 >
Кк ЛкКк-1 ЛкЛк-1Кк-2 ••• - к Л С Кк - п+1
V /=0 0
(7)
то система уравнений (4), (5) принимает каноническую форму Крылова по входу, в которой матрицы и векторы имеют вид:
(8)
"0 0 . 0 С0к "і" с1к
Лк = 1 0 . 0 -С1к N і 2 О 0 ■ ~к = г Аі ы ...
0 0. 1 - С( п-1)к 0 1 1 1
Здесь = С (хк, хк-1, хк-2, хк-3), ~к - некоторые нелинейные функции,
причем функции определяются выражениями [3]:
С п-1 \
П Ак-,
С =-Р(
(2+1) к
К
і = 0, п -1.
V1=0 0
Если же матрицу преобразования Бк определить как обратную к матрице
С )Т (стк+іЛк+і)Т (€Тк+2Лк+2Лк+1)Т
У
( п-1
Ск+п-1 Лк+(п-/)
V /=1 0
(9)
то система уравнений (4), (5) принимает каноническую форму Крылова по выходу, в которой матрицы и векторы имеют вид
Аи -
" 0 1 0 " ~1к
0 0 0 , ~кт-[1 0 • . 0] ,~ ] ьк - Ь2к
0 0 1 Ь(п-2)к
-а0к -а1к • • - а(п-1)к Ь(п-1)к
(10)
Здесь аік - аі (хк+2, хк+1, хк, хк_1), Ьік - некоторые нелинейные функции, причем функции аік определяются выражениями [3]:
а --с
к+(п-1)
П А
л
к+(п - і)
V і-1 0
і+1 к-1 ■
і - 0, п -1.
Однако они не являются ни канонической управляемой формой, которая необходим для синтеза управления, ни канонической наблюдаемой формой. Для получения этих форм необходимо провести второе преобразование.
Для перехода к КУФ сначала проводится преобразование уравнений (1), (2) к канонической форме по входу (6), (7), а затем к полученным уравнениям применяется преобразование Крылова—Луенбергера по выходу (6), (9). Для перехода к КНФ эти преобразования нужно выполнить в обратном порядке.
В данной работе рассматривается задача построения методом преобразования модального управления. Искомое управление имеет вид
ик =-Ккхк , ( 11)
при этом матрица замкнутой системы должна иметь заданные собственные числа. Для решения этой задачи необходимо указанным выше способом привести уравнения системы к КУФ. Затем найти управление в преобразованных переменных состояния и вернуться к исходным переменным. Покажем применение данной методики на примере синтеза квазимодального управления для асинхронного электропривода (АЭП).
Упрощенная дискретная модель АЭП имеет вид [4]:
х1к+1 = х\к + Тотх° х2 к,
^2 к+1
х2к - Т0ах2к + Т0аМх3к ■
(12)
х3к+1 - х3к + Т(Лрх°х1к - Т0аЬх1кх2к - Т0Їх3к + Т0аМ
(х 0 + х2 к )
+ Т0 Вик :
У к - х1к ,
где х1 - угловая скорость вращения ротора, х2 - магнитный поток, х3 - ток статора, и - напряжение статора, х° - установившееся значение магнитного потока, причём |х2к | < х°, х° > 0 .
Перейдем к матричной квазилинейной форме (1, 2):
(13)
ап а12 0 " "0"
хк+1 - 0 а22 а23 хк + 0
_а31(хк) 0 1 3 3 а3 Ь
Ук
- [1 0 0]х
и
к
к
где ап = 1, а12 = Г0тх0, а22 = 1 - Ті« , а23 = Т0аМ , а31(хк) = Т0^„х0 - Т0а/3х2 к,
3 к
«33 = 1 -70/ + Т0аМ—— , Ь = 70^.
Х2 к
В соответствие с предлагаемой методикой выполним преобразование Кры лова—Луенбергера по входу. В этом случае, согласно (7), (13), матрица перехода
Рк =\Ьк АкЬк-1 АкАк-1Ьк-2 ] =
О О «12 «23Ь
О «23 Ь (а22«23 + «23«33 (Хк-1))Ь
Ь «33 (Хк )Ь «33 (Хк )«33 (Хк-1 )Ь
При этом матрица Рк 1 будет иметь вид
«33 (Хк )«22 - «33 (Хк ) 1
Ь
(14)
Р- =
Ьа23 а12 а22 + а33( Хк-1) а23Ьа12
а23Ьа12
а23Ь
1
а23Ь
0
(15)
В соответствии с формулами (6), (14), (15) система (13) в новых переменных описывается уравнениями:
и+1
= Рк 1 АкРк-1хк + Рк -Ькик----
"0 0 с0к т
1 0 -С1к хк + 0
0 1 - Х2к _ 0
(16)
Л
= [0 0
12 23 к
й]х
где
Сок =-(«33(Хк )«22«11 + «31 (Хк )«12 «23 ),
/1к = «11 «22 + «11 «33 (Хк-1) + «33 (Хк-1 )«22 ,
С2к =-(«11 + «22 + «33 (Хк-2 )) .
Далее применим преобразование (6), (9). Для этого сначала найдем матрицу перехода Тк. Согласно (16), (9), матрицы Тк- и Тк определяются выражениями:
Т-1 = Тк -
"0 0 1 " с1(к+1) С2( к+2) 1"
0 1 - с2(к+1) , Тк = с2(к+1) 1 0
1 - С2(к + 2) - с1(к+1) + с2(к+2)с2(к+1) 1 0 0
(17)
с учетом выражений (17) и сік
" 0 1 0 " "0"
Хк+1 = 0 0 1 хк + 0
1 1 & -а1к -а2к _ 1
(18)
где
у = [С0 0 0]хк ,
а0к =-(а11а22а33 (Хк ) + а12 а23 а31 (Хк )):
и
к
и
к
а1к = а11 «22 + «11 a33 (Хк ) + a22 a33 (Хк ) =
а
2к
= -(а11 + «22 + а33(хк ));
С0 = а12а23Ь .
Уравнения (18), очевидно имеют каноническую управляемую форму [1].
Для полученной системы (18) синтезируем модальное управление. Закон управления будет иметь вид
(19)
ик = -Ккхк ■.
К = К + К
к ~ комп к мод >
комп к
вектор компенсирующим
где Кк - вектор коэффициентов управления, К нелинейности системы, Кмод - вектор коэффициентов модального управления.
С учетом (18) получим
К
=ь
'0к
Чк
-а2к ] .
(20)
Вектор модального управления в преобразованных переменных имеет вид
К мод =1о 1 12 ] , (2 1)
где 1 - коэффициенты желаемого характеристического полинома системы. При управлении (11), (19)-(21) уравнения замкнутой системы будут иметь вид
о 1 о ] Го"
о о 1 Хк +0gk. (22)
—1 —1 — 1 1 Примем желаемые корни замкнутой дискретной системы г1 = о,1,
2 2 = о,2, 23 = о,3, и с учетом (19) получим закон управления для системы в КУФ:
Г 1 (23)
4+1
= [-аок- 0,006 -а1к +0,11 -а2к- 0,6к.
Таким образом, задав желаемые коэффициенты 1 в (19) и совершив обратное преобразование переменных, получим закон для модального управления нелинейной дискретной системой
Ч =— ВД-Л-1 Хк . (24)
Подставив в (23) численные значения коэффициентов и учтя (24) получим искомый закон модального управления системой (11).
Моделирование синтезированной системы проводилось с помощью пакета прикладных программ МЛТЬЛБ. Свободное движение переменных состояния X! (), Х2 () приведено на рис.1.
6 5 4 3 2 1 0
0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1
Рис.1. Свободное движение переменных состояния хх(), Х2(0
к
Как показали исследования, разработанный метод позволяет достаточно легко синтезировать закон управления для широкого класса нелинейных дискретных систем, что особенно важно, так как в области энергетики большинство систем являются нелинейными, а управление в основном осуществляется с помощью цифровой вычислительной техники.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. Красовского А.А.
- М.: Наука, 1987.
2. Подчукаев В.А. Аналитические методы теории автоматического управления. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2оо2.
3. Гайдук А.Р., Василенко С.В. Приведение нелинейных дискретных систем к форме Крылова - Луенбергера. Известия ТРТУ. Тематический выпуск «Актуальные проблемы производства и потребления электроэнергии». — Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2оо5. №11(55).
- С.5-11.
4. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2оо5.
УДК 621.31.002.5
М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭНЕРГОСИСТЕМЫ ПО ДИСКРЕТНЫМ ДАННЫМ СИСТЕМЫ МОНИТОРИНГА ПАРАМЕТРОВ РЕЖИМА
Введение. Начавшееся в 2005 г. создание системы мониторинга переходных режимов (СМПР) - Wide Area Measurement System (WAMS) в энергообъединении стран СНГ и Балтии (ЕЭС/ОЭС) продиктовано объективной необходимостью Системного оператора Единой энергосистемы в источнике информации, позволяющем сформировать точное представление о динамическом поведении энергосистемы при технологических нарушениях и авариях [0]. Технология векторного измерения параметров на основе синхрофазоров - Phasor Measurement Units (PMU) позволяет эффективно дополнить существующую в ЕЭС/ОЭС распределенную систему измерений (SCADA). Появление такой технологии предоставляет возможность устранить недостаток информации о протекании электромеханических переходных процессов, которая очень важна для адекватного анализа динамических свойств энергосистемы. Поэтому при создании первой очереди СМПР задачи верификации динамической модели ЕЭС/ОЭС, идентификации математической модели ЕЭС/ОЭС и мониторинга низкочастотных колебаний в ЕЭС/ОЭС стоят на первом месте при изучении динамики энергообъединения [2, 3].
Таким образом, на сегодняшний день актуальной является научнотехническая задача: по данным СМПР сделать вывод о функционировании энергосистемы в соответствии с ее математической моделью, т.е. идентифицировать модель с реально существующей (функционирующей) системой.
В наиболее широкой постановке проблемы идентификации предполагается наличие случайных факторов, при которых точные измерения невозможны. В более простой постановке идентификация энергосистемы сводится к определению элементов матриц A и B в уравнении динамики:
