Синтез квазимодального управления для нелинейных дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

генерации и определения форм слов для языков, относящихся к различным группам и семьям языков:

- русский (восточно-славянская группа индоевропейской семьи языков);

- английский (германская группа индоевропейской семьи языков);

- немецкий (германская группа индоевропейской семьи языков);

- испанский (романская группа индоевропейской семьи языков);

- финский (прибалтийско-финская группа финно-угорской семьи языков).

Разработанная система может применяться при решении других актуальных

на сегодняшний день задач, таких как:

- машинный перевод;

- поиск и индексация информации в глобальных сетях;

- проверка орфографии и грамматики;

- обучение грамматике естественных языков.

Предполагается использование разработанной системы в автоматизированных обучающих системах для генерации заданий при обучении морфологии естественных языков [8].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мальковский М.Г. Диалог с системой искусственного интеллекта. - М. : Изд-во МГУ, 1985. - 214 с.

2. Белоногов Г.Г., Богатырев В.И. Автоматизированные информационные системы. / Под ред. К.В. Тараканова. - М.: Сов. радио, 1973. - 328 с.

3. Koskenniemi, K. (1983). Two-level Morphology: A General Computational Model for Word-form Recognition and Production. University of Helsinki, Department of General Linguistics, Publications No. 11.

4. Пруцков А.В. Информационно-справочный ресурс по словообразованию естественных языков // Информационные ресурсы России. - 2004. - № 6. - С. 2224.

5. Пруцков А.В. Морфологический анализ и синтез текстов посредством преобразований форм слов // Вестник РГРТА. Вып. 15 / Рязан. гос. радиотехн. акад. - Рязань, 2005. - С. 70-75.

6. Пруцков А.В. Алгоритмы генерации и определения форм слов // Математическое и программное обеспечение вычислительных систем: Межвуз. сб. науч. тр. / Под ред. А.Н. Пылькина. - Рязань: Рязан. гос. радиотехн. акад., 2005. - С. 56-61.

7. Пруцков А.В. Методы поиска решений в лингвистических автоматизированных обучающих системах // Научно-техническая информация. Серия 2. Информационные процессы и системы. - 2006. - №4. - С. 15-18.

8. Пруцков А.В. Автоматизация обучения словообразованию иностранных языков // Информатика и образование. - 2005. - № 5. - С. 117-119.

С.В. Василенко

СИНТЕЗ КВАЗИМОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Преобразование переменных состояния часто позволяет привести уравнения системы к простым каноническим формам, что значительно упрощает решение задач анализа и синтеза [1, 2]. Широкое применение получило преобразование,

предложенное Луенбергером для приведения уравнений линейных систем к канонической управляемой (КУФ) или наблюдаемой (КНФ) формам [1]. Аналогичное преобразование, как показано в работе [3], можно применять и в случае нелинейных систем.

Уравнения нелинейной одномерной дискретной системы в квазилинейной форме имеют вид

(1)

хк+1 = АЛ + ъкик > Ук = СкХк , к = 0Д,2, • • • ,

(2)

где % = х(кТ), Т - период квантования, Ак = А(хк), Ък = Ъ(хк), етк = ст (хк) -функциональные матрица и векторы, ик - скалярное управление, ук - управляемая переменная.

В случае нелинейных дискретных систем типа (1), (2) обычно используются два типа преобразований к каноническим формам. Это преобразования Крылова-Луенбергера по входу или по выходу. В общем случае преобразование переменных заключается в следующем. Предположим, существуют матрицы ^ = £(хк) , ограниченные и неособенные при всех к = 0,1,2,__Положим

Хк = ^к-1Хк , хк +1 = Зк~к +1, где хк - новый вектор переменных состояния.

Преобразованные уравнения системы (1), (2) определяются выражениями

ъ-+1 = Ак Ък + Ъкик,

где

Ук = скхк,

Ак = З^АкЗк-1, Ък = 8-1Ък , ~кТ = сТ$к-1.

Здесь З- - матрица, обратная к ^ , т.е. такая, что З-З = Е.

Как показано в [3], если взять матрицу преобразования ^ = Рк, где

П-2

Ък АкЪк-1 АкАк-1Ък - 2 ••• Ак - ] )Ък -п+1

(3)

(4)

(5)

(6)

Рк =

і=о

(7)

то система уравнений (4), (5) принимает каноническую форму Крылова по входу, в которой матрицы и векторы имеют вид:

Ак =

"0 0 • 0 1 к 0 1 Т Г ст " с1к

1 0 • 0 -Ък 0 С Т с2к

’ ьк = ’ ~к =

0 0 • 1 Х(и-1)к 0 с т с(п-1) к

(8)

Здесь , Сгк - некоторые нелинейные функции, причем функции определяются выражениями [3]:

1, = -Р(,+1)к (П Ак-1 )Ък-п 1, 1 = 0 П -1.

1 = 0

Если же матрицу преобразования Бк определить как обратную к матрице

П-1

т;1 =

п-1

(етк)т (с[+1Лш)г (стк+2Ак+2Ак+1)т ... (с[+п-1ПА*+(п-Л)

}=1

(9)

то система уравнений (4), (5) принимает каноническую форму Крылова по выходу, в которой матрицы и векторы имеют вид:

Ак =

“ 0 1 0 " ~1к

0 0 0 , ~кт=[1 0 . • °], ~к = Ь2к

0 0 1 Ь(п-2)к

_-а0к -а1к . • -а(п-1)к _ Ь(п-1)к

(10)

Здесь ай, Ьік - некоторые нелинейные функции, причем функции ай

определяются выражениями [3]:

аік = Ск+(я-1)(П Ак+(п-])

) ті

і = 0, п -1.

)(П А

] =1

Преобразованные уравнения (4), (5), (8) и (4), (5), (10) имеют простую структуру. Однако они не являются ни канонической управляемой, ни канонической наблюдаемой формами, которые необходимы для построения управления по состоянию и наблюдателя состояния. Для получения этих форм необходимо провести второе преобразование.

Для перехода к КНФ сначала проводится преобразование уравнений (1), (2) к канонической форме по выходу (6), (9), а затем к полученным уравнениям применяется преобразование Крылова-Луенбергера по входу (6), (7). Для перехода к КУФ эти преобразования нужно выполнить в обратном порядке.

В данной работе рассматривается задача построения квазимодального управления изложенным выше методом преобразования. Необходимо построить управление

ик = ~КЛ, (11)

при котором матрица замкнутой системы имеет заданные собственные числа. Для решения этой задачи необходимо привести указанным выше способом уравнения системы к КУФ, затем найти управление в преобразованных переменных состояния и вернуться к исходным переменным. Покажем применение данной методики на примере синтеза квазимодального управления для асинхронного электропривода (АЭП) [4].

Упрощенная дискретная модель АЭП имеет следующий вид:

*■2 к+1

= X

*1 к+1 = *1 к + Т0Н*°*2 к >

2к - Т0аХ2 к + Т0аМх3 к ,

(12)

*3к+1 = *3к + ТоЧрХ°*1 к - Т0аР*1 к*2к - Т01*3к + Т0аМ

Ук = х1к =

(X + *2 к )

+ Т0 Вик >

где X! - угловая скорость вращения ротора, х2 - магнитный поток, х3 - ток

статора, и - напряжение статора, *° - установившееся значение магнитного потока.

Перейдем в уравнениях (12) к матричной квазилинейной форме

т

т

п

2

X

3к

а11 а12 1 о 1 0 1

хк+1 = 0 а22 а23 хк + 0

_а31(хк) 0 а33( хк )_ Ь

Ук = [1 0 0]хк,

(13)

где аХ1 = 1, а12 = Т0цх°, а22 = 1 - Т0а, а23 = Т0аМ, а31 (% ) = Т^х° _ ТаРх;

а33 = 1 - Т У + Т аМ-

V 6 = ГоР •

(Х + Х2 к )

В соответствии с предлагаемой методикой выполним преобразование Крылова-Луенбергера по входу. В этом случае, согласно (7), (13), матрица перехода

Рк = [Ьк АкЬк-1 АкАк-1Ьк-2 ] =

о о а12а2Ъь

0 а2ЪЬ (а22а23 + а23а33 (хА1 ))Ь . (14)

Ь а3з( Хк )Ь азз( Хк ^( Хк Ч)Ь

При этом матрица Рк 1 будет иметь вид

а33(Хк )а2

Р- =

Ьа23а12 а22 + а33( Хк-1)

а23Ьа12 1

а33(Хк ) 1

Ь О

О

а23Ь

а23Ь

О

(15)

а236а12

В соответствии с формулами (6), (14), (15) система (13) в новых переменных описывается уравнениями:

~к+1 = Рк АкРк- 1~к + Рк ЬА —

1 О 0 - Хок Т

1 0 -І1к ~к + 0

1 О 1 Х2к _ 1 О і

(16)

Ук

= [0 о а12а23Ь]х

Где Хок = -(а33(Хк)а22а11 + а31(хк)а12а23) , Ьк = °11°22 + «11«33(хк-1) + a33(xk-1)a22, %2к = -(а11 + а22 + а33(Хк-2)) •

Далее применим преобразование (6), (9). Для этого сначала найдем матрицу перехода Тк . Согласно (16), (9), матрицы Т— и Тк определяются выражениями:

"о 0 1 ' Х1(к+1) Х2(к +2) 1"

0 1 -Х2(к+1) , Тк = Х2(к+1) 1 0

1 -Х2(к + 2) -Хі(к+1) +Х2(к+2)Х2(к+1) 1 0 0

(17)

С учетом выражений (17) и ^ из уравнений (16) получим

и

к

и

к

к

' 0 1 0 ' "0"

хк+1— 0 0 1 хк + 0

_—а0к 1 к 1 к 1 1

У — [с0 0 °К,

(18)

где

а

= -(«11«22«33(Хк ) + а12а23а31(Хк )) ,

0к

а1к — а11а22 + а11й33(хк ) + а22а33(хк ) >

а

2к

— (ап + а22 + а33(хк ))

С0 — а12а23Ь •

Уравнения (18) очевидно имеют каноническую управляемую форму.

Для полученной системы (18) синтезируем квазимодальное управление. Закон управления будет иметь вид

К — ККомпк + Ке1В, (19)

где Кк - вектор коэффициентов управления, Ккомп к - вектор компенсирующий нелинейности системы, Ке; - вектор коэффициентов квазимодального управления.

С учетом (17) получим К

—[—

а,

0к

- а1к - а

2к

]•

(20)

Вектор модального управления в преобразованных переменных имеет вид

Кещ — [50 5! 52 ], (21)

где 5 - коэффициенты желаемого характеристического полинома системы. При управлении (11) уравнения (19)-(21) замкнутой системы будут иметь вид:

' 0 1 0 '

0 0 1 X • (22)

-50 -51 52 _

Примем желаемые корни замкнутой дискретной системы (22) ^ — 0,1, — 0,2, — 0,3 , и с учетом (19) получим закон управления

ик — [-а0к - 0006 -а1к + °-11 -а2к - 0б]хк • (23) Таким образом, задав желаемые коэффициенты 5г в (21) и совершив обратное преобразование переменных в выражении (23), получим искомый закон квазимодального управления асинхронным электроприводом (12) в виде

ик — —КкРк-1Тк-1Хк • (24) Моделирование синтезированной системы проводилось с помощью МАТЬАВ Изменения переменных состояния х (^) и х2 (^) при х1 (0) —10 и х2 (0) — 6 приведены на рис. 1.

и

к

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

а

0'-----------------------------

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

б

Рис.1. Изменения переменных состояния: а - хг(0 ;б - х2(t)

Видно, что с течением времени переменные состояния в замкнутой системе стремятся к установившимся значениям. Это говорит о том, что управление найдено верно.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. Красовского А.А. -М. : Наука. 1987.

2. Подчукаев В.А. Аналитические методы теории автоматического управления.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

3. Гайдук А.Р., Василенко С.В. Приведение нелинейных дискретных систем к форме Крылова-Луенбергера. / Известия ТРТУ. Тематический выпуск «Актуальные проблемы производства и потребления электроэнергии». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005. №11(55). С. 5-11.

4. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.