CC BY
50
УДК 537.86 https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-6-91-112
Притяжение и отталкивание частот при синхронизации связанных активных ротаторов общим шумом
А. В. Долматова1'2, Д. С. Голдобин1'3, А. С. Пиковский4'5
1 Институт механики сплошных сред УрО РАН Россия, 614013 Пермь, ул. Акад. Королева, 1 2Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН Россия, 127051 Москва, Большой Каретный пер., 19, стр. 1 3Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990 Пермь, ул. Букирева, 15 4University of Potsdam Germany, 14476 Potsdam-Golm, Karl-Liebknecht-Str., 24/25 5Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Россия, 603950 Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] Автор для переписки Денис Сергеевич Голдобин, [email protected] Поступила в редакцию 18.09.2019, принята к публикации 24.10.2019, опубликована 2.12.2019
Тема и Цель. Работа посвящена описанию влияния общего шума на ансамбль связанных активных ротаторов. Известно, что общий шум всегда оказывает синхронизирующее влияние на описываемую систему, тогда как связь может быть как притягивающей (синхронизирующей), так и отталкивающей (десинхронизирующей). По этой причине особый интерес представляет ситуация, когда на динамику системы одновременно влияют и общий шум, и взаимная связь элементов. Цель работы состоит в построении теории, описывающей поведение ансамбля связанных активных ротаторов при воздействии на них общим шумом, и исследовании возможных состояний в такой системе. Методы. Для динамики активных ротаторов используется фазовое описание. Показано, что для построения корректного аналитического описания синхронизации активных ротаторов общим шумом оказывается обязательным переход к переменным действие-угол. В терминах этих переменных может быть строго выполнено осреднение уравнений динамики системы по быстро вращающимся новым угловым переменным, что позволяет проанализировать поведение системы. Результаты. Описан переход системы идентичных ротаторов от состояния полной синхронизации к состоянию частичной синхронизации, возникающей при некотором критическом значении коэффициента отталкивающей связи. Для ансамблей неидентичных ротаторов показано, что, хотя общий шум синхронизирует фазы ротаторов, захват частот при притягивающей связи становится неидеальным из-за вызванных шумом эпизодических взаимных проскальзываний фаз неидентичных элементов. При умеренной отталкивающей связи коллективная динамика системы неидентичных элементов становится еще более нетривиальной: за счет достаточно сильного общего шума в системе может быть достигнута высокая степень синхронизации, но захват фаз при этом сопровождается расхождением (взаимным отталкиванием) частот. Получен нетривиальный степенной закон, которому подчиняется расхождение частот. Обсуждение. Полученные результаты показывают, что эффекты, наблюдаемые в описываемой системе, схожи с эффектами, наблюдаемыми в системе связанных осцилляторов, описываемой моделью Курамото-Сакагучи, однако технически анализ системы активных ротаторов существенно сложнее. Аналитическая теория подтверждается результатами прямого численного моделирования.
Ключевые слова: синхронизация, стохастические процессы, расхождение частот, синхронизация общим шумом, активные ротаторы.
Образец цитирования: Долматова А.В., Голдобин Д.С., Пиковский А.С. Притяжение и отталкивание частот при синхронизации связанных активных ротаторов общим шумом//Известия вузов. ПНД. 2019. T. 27, № 6. С. 91-112. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-6-91-112
Финансовая поддержка. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 19-42-04120).
https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-6-91-112
Frequency entrainment and anti-entrainment of coupled active rotators synchronized by common noise
A. V. Dolmatova1'2, D. S. Goldobin1'3, A. S. Pikovsky4'5
1 Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Russia, 614013 Perm, Akad. Koroleva, 1 2Institute for Information Transmission Problems RAS, Russia, 127051 Moscow, Bolshoy Karetny per., 19, build. 1 3Perm State University, Russia, 614990 Perm, Bukireva, 15 4University of Potsdam, Germany, 14476 Potsdam-Golm, Karl-Liebknecht-Str., 24/25 5Nizhny Novgorod State University, Russia, 603950 Nizhny Novgorod, Gagarina, 23 E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] Correspondence should be addressed to Denis S. Goldobin, [email protected] Received 18.09.2019, accepted for publication 24.10.2019, published 2.12.2019
Topic and Aim. We study the effect of common noise on the ensemble of coupled active rotators. Such a noise always has a synchronizing effect on the system, whereas the coupling may be attracting (synchronizing) or repulsing (desynchronizing). For this reason, the case when both the common noise and the coupling simultaneously influence the dynamics of the system is of great interest. The paper aims are to construct a theory describing the behavior of the ensemble of coupled active rotators subject to common noise and to analyze all possible states in the system. Methods. Phase description is adopted for active rotators. We develop an analytical approach based on a transformation to approximate angle-action variables and averaging over fast rotations that allows to analyze the dynamics of the system. Results. For identical rotators, we describe a transition from full to partial synchrony at a critical value of repulsive coupling. For ensembles of non-identical rotators, we show that although the common noise synchronizes the phases of the rotators, the frequency locking becomes imperfect due to the fact that the noise causes episodic phase slips. For moderate repulsive coupling, even more nontrivial effect occurs: strong common noise can lead to a high degree of synchrony, where a juxtaposition of phase locking with frequency repulsion (anti-entrainment) is observed. We show that the frequency repulsion obeys a nontrivial power law. Discussion. Comparison of the results for the active rotators model with those for the Kuramoto-Sakaguchi system of coupled oscillators shows that the basic effects are similar in these setups. However, technically the analysis of the active rotators is more involved. The developed analytical theory is confirmed by the results of direct numerical simulation.
Key words: synchronization, stochastic processes, common noise, active rotators.
Reference: Dolmatova A.V., Goldobin D.S., Pikovsky A.S. Frequency entrainment and anti-entrainment of coupled active rotators synchronized by common noise. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 27, no. 6, pp. 91-112. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-6-91-112
Acknowledgements. The work has been financially supported by the Russian Science Foundation (Grant no. 19-42-04120).
Введение
Явление синхронизации в ансамблях осцилляторов играет важную роль во многих физических [1-5], биологических и инженерных системах (см., например, обзоры [6,7]). Существует три основных способа синхронизировать элементы ансамбля: (1) общим периодическим воздействием, (и) взаимной притягивающей связью и (ш) общим шумом. Степень синхронизации обычно описывается в терминах захвата фаз или притяжения частот. Если синхронизация осцилляторов обусловлена воздействием периодической силы, то их фазы оказываются полностью захвачены этой силой, а частоты сближаются. Второй механизм синхронизации в ансамбле связанных осцилляторов возможен при условии, что связь является притягивающей. В этом случае также наблюдается взаимный захват фаз и сближение частот. Примером системы со связью может служить известная модель Курамото [6,8], в которой осцилляторы взаимодействуют друг с другом через среднее поле. Если же связь является отталкивающей, фазы осцилляторов расходятся, и устанавливается состояние с нулевым средним полем. В этом случае осцилляторы не оказывают существенного влияния друг на друга, их фазы остаются независимыми, а наблюдаемые частоты соответствуют частотам собственных нелинейных автоколебаний. При синхронизации ансамбля
общим шумом [9, 10] фазы осцилляторов большую часть времени оказываются привязаны к некоторым значениям, случайно меняющимся во времени в соответствии с формой реализации сигнала шума, но их наблюдаемые частоты не смещаются, а остаются равными собственным частотам.
При одновременном действии связи и общего шума в системе могут проявляться более нетривиальные эффекты [11-16]. Если связь является притягивающей, то оба фактора приводят к захвату фаз осцилляторов, и в системе наблюдается притяжение частот, хоть и не идеальное их совпадение. Если же связь является отталкивающей, то два фактора начинают работать в разных направлениях: связь расталкивает фазы осцилляторов, а шум стягивает их друг к другу. В результате, при достаточно сильном шуме большую часть времени фазы осцилляторов остаются близки друг к другу, однако из-за действия отталкивающей связи наблюдается взаимное отталкивание частот: наблюдаемые частоты осцилляторов оказываются разбросаны сильнее, чем собственные частоты [14-16].
Целью настоящей работы является изучение динамики системы связанных активных ротаторов [17, 18], находящихся под воздействием общего шума. Существует множество работ, описывающих систему связанных активных ротаторов, в которой на каждый элемент действует индивидуальный независимый шум [19-23]. Известно, что наличие внутренних шумов всегда приводит к десинхронизации ансамбля. Общий шум, наоборот, способствует синхронизации осцилляторов [24-26].
Состояние каждого отдельного ротатора может быть описано углом его поворота ф
ф + B sin ф = Q . (1)
Здесь параметр Q - это крутящий момент, действующий на ротатор. Далее будут рассматриваться ротаторы, для которых |Q| > |B|, то есть свободные ротаторы вращаются с частотой \/Q2 — B2. В модели глобально связанных активных ротаторов, впервые описанной Шиномото и Курамо-то [17,18], предполагается, что связь в системе действует через среднее поле, определяемое как
КегФ = ^ :
фj = Qj — B sin ф^- + pR sin^ — ф^-) + o^(í), (2)
где индекс j определяет номер осциллятора в ансамбле, ^(í) - гауссов шум с (^(t)^(t')) = = 2S(í — í'). Неидентичность элементов в таком ансамбле определяется разностью крутящих моментов Qj, задающих, в свою очередь, собственную частоту ротаторов. Последнее слагаемое правой части уравнения (2) описывает общий белый шум [27]. Параметр p характеризует связь между элементами ансамбля: положительные значения p соответствуют притягивающей связи, а отрицательные - отталкивающей. В работе [28] исследована динамика пары активных ротаторов вида (2), но при адаптивной связи и неидентичном шуме. Можно заметить, что уравнение (1) может также описывать систему сверхпроводящих джозефсоновских контактов или тета-нейронов. Однако в таких системах связь имеет несколько другой вид [29-33], поэтому результаты настоящей работы не могут быть напрямую использованы для описания динамики таких систем.
Основным инструментом для изучения моделей, описываемых уравнением (2), является подход Отта-Антонсена [34-37], который позволяет написать замкнутую систему макроскопических уравнений для параметров порядка (R, Ф) (пример применения этого метода для модели Курамото-Сакагучи можно найти в [15]). Вывод соответствующих уравнений для описываемой системы приводится в разделе 1. Однако следует заметить, что углы фj не являются «истинными» фазами, так как скорость их изменения непостоянна, поэтому возникает необходимость переформулировать полученные макроскопические уравнения в терминах нового параметра порядка, более подходящего для дальнейшего анализа. В разделе 2 описаны статистические свойства нового параметра порядка. Для анализа используются как точные исходные уравнения, так и
уравнения, полученные с помощью осреднения по быстрому вращению. Показано, что параметр порядка не обращается в нуль даже при сильной отталкивающей связи. Это указывает на то, что общий шум способствует поддержанию частичной синхронизации. При слабой отталкивающей связи параметр порядка оказывается достаточно большим, то есть осцилляторы почти все время формируют кластер, и их состояния практически совпадают. Это явление может быть описано как захват фаз элементов ансамбля. В разделе 3 рассматриваются свойства частот осцилляторов. Показано, что при воздействии отталкивающей связи наблюдается расхождение частот, то есть разброс наблюдаемых частот становится больше, чем разброс собственных частот.
1. Основные уравнения
1.1. Формулировка в терминах коллективных переменных. Модель активных ротаторов ( ) может быть переписана в виде срj = Qj (t) + Im(H(t)e-Pj). Тогда для описания бесконечно большой популяции осцилляторов может быть использована теория Отта-Антонсена [34]. В этом случае можно записать уравнение для приближенного комплексного параметра порядка в подансамбле осцилляторов, имеющих небольшой разброс крутящих моментов, z(Q) = (егф)|о (для краткости в дальнейших записях аргумент функции будет опущен)
z = ¿(Q + o^(í))z + 2(Z - ZV) + |(1 - z2). (3)
Глобальное среднее поле Z = Еегф может быть представлено как среднее по распределению крутящих моментов значение параметра порядка Z = J g(Q) z dQ. Для распределения Лоренца со средним значением Qo и полушириной у, g(Q) = y/[n((Q — Qo)2 + у2)], данное интегрирование по верхней комплексной полуплоскости Q (в предположении аналитичности z(Q)) дает Z = z(Q0 + ¿y). Таким образом, замкнутое уравнение для глобального среднего поля Z имеет вид
Z = (¿Qo — y + ¿^(í))Z + IZ(1 — |Z|2) + |(1 — Z2). (4)
Можно отметить, что случай идентичных осцилляторов соответствует y = 0.
В действительных переменных полученное уравнение имеет вид
ц —
R = | R(1 — R2) — yR + — (1 — R2) cos Ф,
2 (5)
W4 — 1 + R2 Ф = Qo + o£(t) — ——-— sin Ф.
2R
При ц = y = 0 динамика системы консервативна: в этом случае R = —R (дН/дФ) и Ф = R (дH/dR), где функция H(R, Ф) = (Qo + o£(t))ln R — (—/2)(R-1 — R) sinФ.
Для удобства введем новый параметр порядка J = R2/(1 — R2). Тогда в терминах переменных (J, Ф) получаем следующие уравнения:
J = — 2yJ (1 + J) + — л/J (1 + J) cos Ф, (6)
Ф = Qo — — J + 1/2 = sin Ф + оШ). (7)
J1 + J) S( ) W
Новый параметр порядка J меняется в пределах 0 < J < те, при этом состоянию полной синхронности соответствует J ^ те. Дополним полученное уравнение динамикой разности
углов = ф — Ф между ротатором, имеющим собственный вращательный момент □ = По + ю, и средним полем:
fl
ю — р
J
1 + J
sin fl- B
sin^ + fl) —
J + 1/2
VJ (1 + J)
sin Ф
(8)
Для краткости индексы при fl опущены. Уравнения (6)-(8) образуют основную систему уравнений, которая будет проанализирована в последующих разделах.
1.2. Естественные переменные для описания состояний, близких к полной синхронизации. Тогда как параметры порядка R = |Z | и J являются естественными переменными для описания порядка в распределении углов ротаторов, аргумент комплексного среднего поля Ф не является «истинной» фазой колебаний, так как он вращается неравномерно. Неравномерность «наследуется» от угла ф: эта переменная также не может считаться «истинной» фазой, которая должна вращаться равномерно во времени. Неоднородность вращения приводит к ненулевым значениям параметра порядка R (или J) даже для совершенно не связанных популяций, на которые не действует никакая внешняя сила. Поэтому для дальнейшего анализа необходимо ввести новую фазовую переменную и, соответственно, «скорректировать» параметр порядка J.
Можно заметить, что при р = у = 0 уравнения ( )-( ) могут быть записаны в форме уравнений Гамильтона с гамильтонианом H(J, Ф) = (Q0 + o^(í))J — Вд/J(1 + J) sinФ. Такое преобразование приведет к переходу в новые переменные действие-угол. Однако полученные таким образом уравнения оказываются достаточно громоздкими и плохо интерпретируемыми. Поэтому для удобства выполним переход к переменным действие-угол для более простого гамильтониана = QoJ — BJ sin Ф, который является хорошим приближением H при малой амплитуде шума о ^ Qo и больших J (то есть для состояний, близких к идеальной синхронности).
Переход к новым переменным проще выполнить не в общем виде, а с использованием линейности по J. Для невозмущенной системы Ф = OH^/dJ = Qo — B sin Ф не зависит от переменной действия I (или J). Интегрирование данного уравнения динамики дает
Ф = v0 , Ф = 2 arctg
'1 — а Ф + п/2 -t;g-
1 + а
2
B
Q0
где Ф - новая угловая переменная, vo = \JQ2 — B2 - «истинная» частота активного ротатора с крутящим моментом Qo. Для последующих вычислений удобно использовать соотношения между Ф и Ф:
sin Ф . „ а — cos Ф (9)
cos Ф = \¡1 —
,2-
1 а cos Ф
sin Ф
1 а cos Ф
Интеграл движения I определяется скобками Пуассона {I, = 0, что дает
dI di
aJ cos Ф— + (1 — а sin Ф)^ф =0.
Интегрируя последнее уравнение, находим I = const ■ J(1 — a sin Ф) или, используя ( ) I = const ■ J(1 — а2)/(1 — аcosФ). Соответственно, выбираем в качестве переменной действия
J
I = - .
1 — a cos Ф
Согласно уравнениям (9)-(10), производные новых переменных (I, Ф) по времени
(10)
I
J — Ы sinФФ 1 а cos Ф
Ф
1
\/1—■
= (1 — а ^Ф) Ф.
а
а
Тогда точные уравнение для новых параметра порядка I и фазы Ф имеют вид
/ = (ц - 2у)/ - 2у(1 - a cos Ф)/2 + B
л/1 — а2 sin Ф 1 — а cos Ф
1
1 + 7 - 1 + J
+
1 — а-
г (а - cos Ф) I W1 +
4J (J + 1)
1
-Л s^o^(í), (12)
1
а
а
а
Ф =v»- Ä(а-cosФ) (f + 437+4 - 0 + VT-OS(1 -аcosФ)?(í)■ (13)
При переходе от углов вращения ротатора к фазам (ф ^ ф) будем использовать не собственные частоты Q, а среднее по ансамблю значение Qo. Тогда переход имеет вид в точности, как уравнения (9):
^-2 sin ф . а - cos ф
cos ф = у! - а2--, sin ф
1 — a cos ф 1 — a cos ф
А уравнение для осциллятора с крутящим моментом Q = Qq + ю принимает вид
(1 - а cos ■) ц . / J . . .
■ = Vo + ю vr-os + (1 - а cos ■VlTJsin($ - ф) +
+ (1 - a cos ф) £(t) ■
VI—a2'
Важно заметить, что новая переменная ф соответствует «истинной» фазе осциллятора при ю = 0: в отсутствие внешнего возмущения она равномерно растет со временем. При малой расстройке собственной частоты ю она близка к таковой.
Обозначив нормированное отклонение от среднего крутящего момента v = ю/\/1 — a2, получим следующее уравнение для разности фаз 6 = ф — Ф:
. Qoau АЛ)— 1)
6 = v( 1 — a cos(Ф + 6)) +-vv . J --- (a — cos Ф) +
V1 — a2
+
ц( a( sin(Ф + 6) - sin Ф) - sin б) г 11-1/2 ao / ^
V ' 1 1 + (cos Ф - cos^ + 6)) £(t).
1 - а2
1 а cos Ф
1
' + j
(14)
Уравнения (12)-(14) для i, Ф и 9 являются точными. При этом они имеют существенное преимущество перед исходными уравнениями (6)-(8) для описания состояний системы, близких к синхронности, когда i, J ^ 1. В этом случае многие слагаемые в уравнениях (12)-(14) исчезают и можно получить следующую систему уравнений:
i = (ц — 2y)i — 2y(1 — a cos Ф)i2 — o^(í), (15)
V1 — a2
Ф = vo + (1 — a cos Ф) £(t), (16)
1 — a2
ц( a( sin(Ф + 9) — sinФ) — sin 9)
9 = v( 1 — a cos(Ф + 9)) + ---+
1 a cos Ф
ao( cos Ф - cos(Ф + 6) + —-^=2--^(í) ■ (17)
1 - а2
Связь между уравнениями (15)-(17) является однонаправленной в том смысле, что переменная 9 зависит от динамики Ф, но не наоборот. Первые два уравнения полученной системы, (15) и (16), позволяют определить статистические свойства параметра порядка. Введение в рассмотрение уравнения (17) позволяет также описать статистику элементов в ансамбле.
Система стохастических дифференциальных уравнений (15)-(17) дает возможность записать уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности W(I, Ф, 9, t). Однако это уравнение не позволяет напрямую проанализировать динамику системы. Даже если ограничить рассмотрение только анализом поведения параметра порядка, необходимо учитывать зависимость плотности вероятности одновременно от двух переменных (I, Ф), что на практике не представляется возможным. Тем не менее в случае высокочастотных колебаний фаза Ф является быстро меняющейся переменной, поэтому уравнение Фоккера-Планка может быть осреднено по этой переменной. В результате осреднения остаются только переменные (I, 9). Более того, уравнения для этих двух переменных оказываются взаимно независимыми. Вывод осредненных стохастических уравнений приведен в следующем подразделе; сами же уравнения имеют вид:
I = (p — 2y)I — 2yI2 + o21 — o IZi(t), (18)
9 = v — (ц + o2) sin 9 + o sin 9Zi(t) — o(1 — cos 9)zq(í) , (19)
где введена нормированная амплитуда шума
ao
oo
v/2(1 — а2)
Осредненные уравнения содержат два эффективных независимых шума (¿) и
1.3. Осреднение по быстрым колебаниям. Уравнение Фоккера-Планка для эволюции плотности вероятностей Ш(I, Ф, 0,£) в системе стохастических дифференциальных уравнений (15)-(17) имеет вид
dW д
~Ж + дГ
(ц — 2y)I — 2у(1 — аcosФ)12] W j + дФ{voW} +
+ дё(
v(1 — а cos(Ф + 9)) +
ц (а ( sin(Ф + 9) — sin Ф) — sin 9 1 a cos Ф
W) — o2Q2W = 0, (20)
где оператор Q( ) определен как
д aI sin Ф д 1 — a cos Ф
Q(0 = — —о(0 Л—о (■) I +
dI
д Ф\ уТ—"
д_ + дё
vT—
cos Ф — cos(Ф + 9)) (■)
(21)
На основании написанного уравнения Фоккера-Планка можно провести строгую процедуру осреднения по быстрым вращениям фазы Ф в случае высоких собственных частот. Будем считать, что базовая частота колебаний Уо велика по сравнению с параметрами ц, у и о2 (все эти параметры имеют размерность обратного времени). Параметр В не обязательно должен быть мал, поэтому параметр а конечен. Для исчезающе малых ц/у0, у/у0 и о2/у0, распределение плотности вероятности Ш(I, Ф, 6, ¿) = (2п)-1 -ш(/, 9, ¿) однородно по Ф. Плотность вероятности
а
а
а
2
■ш(1, 6, ¿) описывается уравнением Фоккера-Планка (21), осредненным по Ф. Существует два эквивалентных метода осреднения по «быстрой» переменной: метод Крылова-Боголюбова [38,39] и метод многих масштабов [39]. Оба метода приводят к одинаковому результату. Применим метод многих масштабов к уравнению (21) (подробное описание этой процедуры может быть найдено в [14-16]):
dw(I,9,t) д_
dt
di
+ дё(
(р — 2y)I — 2yi2 +
а2 о2
2(1 — а2)
I
w(1,6,íH +
v +
а2 о2
2(1 — a2)
sin 9
w(I,9, t) > — o2Q2w — o2Q2w = 0
где среднее
2n
— ёФ Q2w(I, 9, t) = Q2w(I, 9, t) + Q2w(I, 9, t) 2л/
o
расщепилось на два оператора
v/2(1 — а2)
ddI (—i (■))+d9 (s- 9()
(22)
(23)
Q?2( •) =
а d
(1 — cos 9)( • )
(24)
л/2(1 — а2) д6
Уравнение (22) может рассматриваться как уравнение Фоккера-Планка для стохастической системы (18)-(19) с двумя независимыми нормированными гауссовыми белыми шумами Ш и Ш.
а
и
2. Статистические свойства параметра порядка
2.1. Идентичные осцилляторы - устойчивость синхронного состояния. Для начала, проанализируем динамику ансамбля связанных активных ротаторов с общим шумом в случае, когда ротаторы абсолютно идентичны, то есть у = 0. В этом случае уравнение для параметра порядка I (18) может быть переписано в виде
dt ln I = р + О2 — oZi(t). (25)
Осредняя полученное уравнение, находим показатель Ляпунова X = ((d/dt) ln I), определяющий экспоненциальный рост (или затухание) I:
X = р + о2 . (26)
Таким образом, ансамбль переходит в состояние синхронизации, I ^ те, при X > 0, то есть при действии притягивающей или слабой отталкивающей связи
р > рс = —o2 . (27)
Порог синхронизации может быть также определен без использования осреднения по быстрому вращению из анализа уравнений для естественных параметров порядка системы. В самом деле, рассмотрим предел J ^ те для у = 0 в уравнениях ( )-( )
-dln J = р + B cos Ф, (28)
Ф = Qo — B sin Ф + o£(t). (29)
Из уравнения (28) следует, что показатель Ляпунова, соответствующий росту J, может быть выражен в виде
X = ц + B(cos Ф) . (30)
С другой стороны, так как уравнение (29) не зависит от J, распределение Ф может быть получено из соответствующего уравнения Фоккера-Планка, написанного для плотности вероятности Ф. Стационарное решение этого уравнения имеет вид
v /-Ф+2Л
р(ф) = -vo2 ^ 2 ёФ1ви(Ф)-и(Ф1) ,
KV ! 2п(1 - e-2nQo)о2 уФ 1 '
где U(Ф) = (О0/о2)Ф + (B/о2) cos Ф, средняя частота v0 может быть найдена из условия нормировки JQ2n р(Ф) ёФ = 1. Таким образом,
f 2п /-Ф+2л
/ ёФ cos
(cos Ф) = -J+k-. (31)
/ ёФ / ёФ1еи(Ф)-и(Ф1) оФ
На рис. 1 приведено сравнение результатов вычислений этого выражения с оценочным значением (cos Ф) = o2/B = 0.5bo2/(q0 — B2), полученным из приближенной формулы (26), справедливой в области больших значений частот.
При X > 0 синхронное состояние R = 1, I = J = те является притягивающим: вне зависимости от начальных условий система стремится к состоянию синхронизации. На первый взгляд может показаться, что, согласно уравнению (25), при сильной отталкивающей связи (когда ц < —о2 и X < 0) параметр порядка I стремится к нулю. Однако необходимо помнить, что это уравнение получено в предположении больших значений I. Для состояний с малыми R, далеких от синхронности, необходимо рассматривать полную систему уравнений (5), из которой следует, что параметр порядка R никогда полностью не исчезает. Аналитическое изучение двумерной стохастической системы (5) (или (6), (7)) не представляется возможным, по причине чего эта система исследовалась путем прямого численного счета. Результаты счета представлены в следующем разделе.
<cos Ф>
0
Рис. 1. Сплошная поверхность - среднее значение (cos Ф), определяющее показатель Ляпунова для параметра порядка I (или J). Каркасная поверхность - асимптотическое поведение (cos Ф), описываемое уравнением ( !6)
Fig. 1. Filled surface: average value (cos Ф) determining the Lyapunov exponent for the order parameter I (or J). Wireframe: asymptotic behavior of (cos Ф) given by eq. (26)
2.2. Неидентичные осцилляторы. В ансамблях неидентичных осцилляторов (у > 0) состояние идеальной синхронизации оказывается невозможным, и параметр порядка колеблется в некотором конечном диапазоне для любых значений параметров системы. Тем не менее оказывается возможным построить аналитическое описание для осредненного стохастического уравнения (18) в состояниях, близких к состоянию полной синхронизации. Это уравнение может быть переписано в виде
^ 1ПI = X - 2у - 2у1 - а^(*). (32)
Для стохастически стационарного режима среднее значение производной по времени должно
быть равно нулю, что позволяет найти среднее значение параметра порядка I
(1) = ^ - (33>
На рис. 2 можно видеть хорошее соответствие между полученной формулой и результатом прямого численного моделирования для полной системы уравнений (5). На этом рисунке также представлен результат расчета (I) для системы идентичных осцилляторов у = 0, полученный прямым численным моделированием исходных стохастических уравнений.
Более того, стохастическое уравнение (18) позволяет записать уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности р(1):
I?+! К» - с+1>И -521(4 <' р>)=° •
Стационарное решение этого уравнения имеет вид
Р(/)= ,2 X ^ + 1
j
I о2 e °2
I) ^+1 + 1
</> 105
104 103 102 101 1
-0.2 -0.1 0 0.1 ц/о2
Рис. 2. Среднее по времени значение параметра порядка {I} для ансамбля неидентичных осцилляторов в зависимости от силы связи при й0 = 10, B = 2.5. Результаты прямого численного счета для уравнений (6), (7) представлены для у/а2 = 0 (окружности) и 10-6, 10-5, 10-4, 10-3, 10-2 (сплошные линии, сверху вниз); пунктирные линии -аналитическая оценка (33)
Fig. 2. Time-average value of order parameter {I} for ensemble of nonidentical oscillators versus the coupling strength for й0 = 10, B = 2.5. The results of ndirect umerical simulation of eqs. ( ), ( ) are plotted for у/а2 = 0 (circles) and 10-6, 10-5, 10-4, 10-3, 10-2 (solid lines, from top to bottom); dashed lines: analytical approximation ( 3)
где Г(-) - это Гамма-функция. Полученное выражение позволяет найти моменты более высоких порядков (/ш). Однако нужно иметь в виду, что эта формула не является точной для малых значений I, поэтому она не может быть использована для вычисления статистических характеристик I, для которых вклад малых значений является существенным, даже когда среднее значение (I) велико.
3. Динамика фаз в случае неидентичных осцилляторов
3.1. Взаимное притяжение и отталкивание частот. Рассмотрим одновременное воздействие общего шума и связи на индивидуальные средние частоты ротаторов (ф). В отсутствие связи (ц = 0) эти частоты равны собственным частотам ротаторов V— В2. При наличии связи фазы ротаторов могут как притягиваться друг к другу (при ц > 0), так и отталкиваться (при ц < 0). Общий шум, наоборот, всегда приводит к притяжению фаз, в результате чего в системе наблюдается ненулевой параметр порядка. Если связь между элементами притягивающая, то частоты осцилляторов притягиваются друг к другу, и их разброс становится меньше, чем в случае отсутствия связи. Если же связь между элементами отталкивающая, то разброс частот становится больше, и наблюдается отталкивание частот (см. рис. 3). Важно заметить, что этот эффект не проявляется без воздействия шума. При наличии отталкивающей связи без шума фазы осцилляторов распределены равномерно, поэтому среднее поле исчезает, и эффекта расталкивания не наблюдается.
На рис. 3 представлен результат моделирования притягивания и отталкивания частот в конечном, относительно малом ансамбле ротаторов. Взаимное отталкивание частот имеет место при всех отрицательных значениях ц, максимальное расхождение наблюдается вблизи
Рис. 3. a - Частоты элементов в ансамбле 41 активного ротатора с гауссовым распределением крутящих моментов Q в зависимости от силы связи ц. b - Среднее по времени значение параметра порядка (R). Параметры модели: Q0 = 10, B = 2.5, о2 = 0.5, стандартное отклонение распределения крутящих моментов 5 • 10-4
Fig. 3. a - Frequencies of elements in the ensamble of 41 active rotators with a Gaussian distribution of torques Q versus coupling strength ц. b - Time-average value of the order parameter (R). Model parameters: Q0 = 10, B = 2.5, о2 = 0.5, the standard deviation of torques: 5 • 10-4
-0.004 -
-0.008
-0.004
0.004
Рис. 4. Зависимость среднего по времени сдвига частоты осциллятора от расстройки собственной частоты при B = 2.5, йо = 10, о2 = 0.5, у = 5 • 10-4, ц = 0.02, 0.015, 0.01, 0.005, 0, -0.005, -0.01, -0.015 (снизу вверх в правой части графика). Результаты получены путем прямого численного счета уравнений ( )-(8)
Fig. 4. The average frequency shift versus the natural frequency mismatch of oscillators for B = 2.5, й0 = 10, о2 = 0.5, Y = 5 • 10-4, ц = 0.02, 0.015, 0.01, 0.005, 0, -0.005, -0.01, -0.015 (from bottom to top on the right-hand side of the plot). The results are obtained with direct numerical simulations of eqs. ( )-(8)
р = -0.022. Хотя следует помнить, что построенная аналитическая теория написана в предположении термодинамического предела бесконечно большого ансамбля. Для того чтобы проиллюстрировать явление расталкивания частот в этом пределе и сравнить с полученной теорией, было проведено численное моделирование системы, состоящей из уравнения (4) и нескольких уравнений (8) для ротаторов с разными значениями параметра крутящего момента ю. Зависимость наблюдаемых частот элементов ансамбля (8) от собственных частот л/(По + ю)2 - В2 приведена на рис. 4. Можно заметить, что в отсутствие связи (р = 0) наблюдаемые частоты полностью совпадают с собственными частотами, тогда как при наличии притягивающей р > 0 и отталкивающей р < 0 связи наблюдаются явления притяжения и отталкивания частот, соответственно.
Количественное описание обсуждаемого явления требует статистической оценки динамики разности фаз 6. Такой анализ возможен для состояний, близких к синхронности I ^ те, когда динамика 6 полностью описывается уравнением (19). Соответствующее уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности ш(6, ¿) имеет вид
fw(M) + д [(V - (ц + 52))w(6,i)] =
9 9 д д
L 96 Sin 6 96 Sin 6W(6' t) + 96 (! - COS 6) 96 (! - COS 6)*)
(34)
Рассмотрим стационарное решение полученного уравнения при некотором потоке вероятности д. Значение этого потока связано со средней частотой (6) = 2пд, поэтому стационарное решение уравнения (34) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
-П (6) = q = (v - ц sin 6) w(6) - 252((1 - cos 6) w(6)) .
2П d6 V
(35)
v
0
2
Уравнение ( ) позволяет вычислить w(0). С учетом условия нормировки JQ2n w(9)d6 = 1, по-
лучаем
(е)
4по2
',„ (1 - COS ^)Ц/(252) dM d^^-Л:, ^ exp
о е
(1 - cos е)!+ц/(252)
v / е ^
- 252 ctg2 - Ctg2
-1
(36)
Примечательной особенностью точного выражения для частот осцилляторов является его сингулярное поведение при малых отклонениях собственных частот V, получаемое в следующем подразделе.
3.2. Асимптотическое поведение разности частот при малой расстройке вращающих моментов (у/о2 ^ 0). При у/о2 ^ 0, уравнение (36) может быть упрощено. В самом деле, функция в аргументе экспоненты умножается на у/о2, поэтому при у/о2 ^ 0 значение экспоненты стремится к 1 во всех областях, где эта функция конечна. Когда же аргумент экспоненты стремится к пренебрегать этим множителем нельзя, но для вычисления его значения можно использовать приближенное выражение ctg(0/2) « 2/9 + 2/(9 — 2п). Таким образом,
(ё) 4по2
, (1 - cos ^)m ^ (1 -cos е) 1+m exp
v1
1
1
1
е е - 2п ^ ^ - 2n
1
(37)
где m = ц/(2о2). Рассмотрим отдельно два случая: m < -1/2 и m > -1/2, для которых интеграл может расходиться или сходиться вблизи точек единичных значений косинуса, если отбросить экспоненциальный множитель. В области, где интеграл без экспоненциального множителя сходится, этим множителем можно пренебречь. В области, где интеграл без экспоненциального множителя расходится, основной вклад в интеграл вносит небольшая окрестность точки расходимости, что существенно упрощает вычисление интеграла.
Для m < -1/2 (когда 1 + m < 1/2), можно выполнить подстановку (1 - cos ^)m ^ ^ 2-m/^-2m + 2-m/(^ - 2n)-2m и вычислить
2п 2п
(1 - cos ^)m
0е
(1 - cos е)1+т
v1
77 +
1
1
1
о2 vе е - 2п ^ ^ - 2п
2п
dе
2п
(^ - 2п)
2m
J (1 - cos е)т+1 J
о о
d^—-—— e о2(^-2п)
m
2-ту/л Г(-m - 1/2) ( v ^2m+1 r(-2m - 1)
Г(—m)
2m
2^яГ(-m - 1/2) Г(-2m - 1) /\2m+1 Г(-m) V252;
(38)
где учтено, что
/•2 л
/ (1 - cos е)^е = Jo
2га+1^лГ(п + 1/2) Г(п + 1)
v
Для m > -1/2 (когда 1 + m > 1/2), можно выполнить подстановку 1/(1 - cos 6)m+1 ^
2^+1 /62(m+1).
2п 2П
\m
I , (1 - COS
d6 / d^-7WTT- exp
' ^(1 - COS 6)1+m p
0 6
V 1 1 1 1
77 +
o2 V6 6 - 2n ■ф ^ - 2n
2п 2П
, 2ш+1 d6 Г
J Q2(m+iy e ^ ^ (1 - COS «
2m+1 ynr(m + 1/2) / v\ -2m-1 2„+1Г(2т + 1) =
Г(т + 1) \o2J K J
_ 2^лГ(т + 1/2)Г(2т + 1) / v \-2m-1 = Г(т + 1) V2G2)
Объединяя уравнения (38)-(39), из уравнения (37) получаем.
(39)
6 2^ПГ(|m + 1/2| + 1/2) о2 / v \ |2m+1| ( ) ~ Г(|т + 1 /21) Г(|2т + 1|) V^J
(40)
Уравнение (40) описывает асимптотическое поведение (при у/о2 ^ 1) для состояний близких к полной синхронизации I ^ те. На рис. 5 полученные аналитические законы сравниваются с результатами прямого численного моделирования.
-<d0/di>
10-2
1-1-1—Г-ГТПТ|-1-1—ГТТТТТ]-Г"!-1—г-гтптп -<d9/di>
' 10-2
10-3 Г
10-4 г-
10
10
10
10-3
10
10
10
-V
10-5
10-4
10-3
Рис. 5. Зависимость сдвига средней по времени частоты от расстройки собственной частоты осциллятора при B = 2.5, йо = 10, о2 = 0.5, ц = 0.015, 0.01, 0.005, 0, -0.005, -0.01, -0.015 (снизу вверх). Сплошные линии. результат прямого численного моделирования системы ( )-( ) при y = 5 • 10-4, круги. при y = 0; пунктирные линии. аналитическая формула (36); квадраты. асимптотический закон (40). Результаты построены для отрицательных (левый график) и для положительных (правый график) значений V
Fig. 5. The average frequency shift versus the natural frequency mismatch of oscillators for B = 2.5, й0 = 10, о2 = 0.5 and ц = 0.015, 0.01, 0.005, 0, -0.005, -0.01, -0.015 (from bottom to top). Solid lines. the results of direct numerical simulation of system ( )-( ) for y = 5 • 10-4; circles. eqs. ( )-( ) for y = 0; dashed lines. analytical formula ( ); squares. asymptotic law (40). The results are plotted for negative (left panel) and positive (right panel) values of v
V
3.3. Прямое численное моделирование. Выше аналитически показан эффект взаимного отталкивания частот в ансамбле осцилляторов с отталкивающей связью. На рис. 3-5 приведены результаты прямого численного моделирования поведения описываемых систем. Наблюдаемое на рис. 5 отклонение асимптотических законов от результатов численного моделирования обусловлено конечным значением параметра порядка I в прямом численном счете, тогда как аналитические выражения (36) и (40) были получены в приближении бесконечно большого I ^ то. Для результатов прямого численного моделирования (сплошные линии) можно наблюдать переход к линейным зависимостями при ю ^ 0. Вертикальные штрихпунктирные линии отмечают отклонения крутящих моментов от среднего ю = у и ю = 3.08у. При лоренцевом распределении крутящих моментов половина ротаторов имеет |ю| > у, и 20% - |ю| > 3.08у. Расположение этих линий показывает, что приближение I ^ то, используемое при выводе уравнений (36) и (40), которые не воспроизводят переход к линейной зависимости для ю ^ 0, достаточно хорошо соответствует существенной части элементов ансамбля.
3.4. Скачки разности фаз. Явление взаимного отталкивания частот, описанное выше, на первый взгляд может показаться парадоксальным, так как оно наблюдается в режимах, при которых происходит захват фаз, и параметр порядка оказывается достаточно велик. Это означает, что большую часть времени состояния элементов ансамбля практически совпадают. Если синхронизация происходит из-за наличия в системе притягивающей обратной связи, захват частот осцилляторов всегда сопровождается сближением их частот. Однако в случае синхронизации общим шумом это не так: для такого механизма синхронизации характерна независимость процессов захвата фаз и взаимного притяжения частот. Даже в отсутствие связи, общий шум может захватывать фазы осцилляторов, при этом их частоты будут оставаться равными собственным частотам. Этому случаю соответствует кривая с ц = 0 на рис. 4. На рис. 6 можно видеть, каким образом практически идеальная фазовая синхронизация может сосуществовать с конечным разбросом частот, при условии, что скачки фаз происходят достаточно быстро.
Качественная картина скачкообразной динамики разности фаз справедлива и для ненулевой связи при условии, что синхронизирующее действие общего шума сильнее, чем расталкивающее действие связи. В этом случае частота скачков может уменьшаться (для притягивающей связи) или возрастать (для отталкивающей связи). Это различие хорошо видно на рис. 6, на котором представлена динамика систем как с нулевой, так и с притягивающей и отталкивающей связью. Если отталкивающая связь слишком сильная, состояние синхронизации перестает быть притягивающим, и скачки разности фаз пропадают. Примечательно, что скачки наблюдаются (хотя существенно реже) и для
Рис. 6. Динамика разности углов ф^ (t) — ф1(£) самого быстрого и самого медленного ротаторов в том же ансамбле, что и на рис. 3. Для несвязанных ротаторов = 0; притягивающая связь: = 0.005; слабая отталкивающая связь: = —0.01; сильная отталкивающая связь: = —0.1. Только в последнем случае не наблюдается скачков фаз, во всех остальных случаях хорошо видны продолжительные области, в которых ф^ (t) — ф1(4) ~ 2пгп
Fig. 6. The dynamics of the angle differences ф^ (t) — ф^) between the most fast and most slow rotators in a population illustrated in Fig. 3. Uncoupled rotators: ^ = 0; attractive coupling: ^ = 0.005; weak repulsive coupling: ^ = —0.01; strong repulsive coupling: |j, = —0.1. Only in the latter case there are no phase slips, in all other cases one can clearly see long areas where ф^ (t) — ф^) ~ 2nm
сильной притягивающей связи. Таким образом, наличие общего шума делает невозможным полный захват частоты в ансамбле неидентичных ротаторов.
Заключение
В работе представлена теория синхронизации связанных активных ротаторов, подверженных воздействию общего шума. Показано, что в отличие от индивидуальных (внутренних) шумов, которые приводят к десинхронизации системы, общий шум всегда оказывает синхронизирующее действие и даже может преодолеть влияние отталкивающей глобальной связи. Были рассмотрены два случая: случай идентичных ротаторов и случай ротаторов с различающимися крутящими моментами. Было показано, что для идентичных ротаторов возможно состояние полной синхронизации, если коэффициент связи больше некоторого порогового значения (27). Ниже этого порога наблюдается частичная синхронизация с ненулевым флуктуирующим параметром порядка. В системе неидентичных ротаторов действие общего шума приводит к двум важным особенностям. При наличии в системе притягивающей связи общий шум хоть и допускает состояние синхронизации, но делает ее менее идеальной: абсолютный захват частот не происходит, разброс частот становится меньше, но все еще остается конечным (см. рис. 3). При наличии отталкивающей связи разнонаправленное воздействие связи и шума приводит к захвату фаз с одновременным расталкиванием частот: фазы ротаторов большую часть времени близки, но разброс наблюдаемых частот существенно превосходит разброс собственных частот. Этот эффект связан со скачкообразной природой фазовой динамики: разность фаз большую часть времени остается малой, но время от времени происходят скачки разности фаз на 2п. При этом частота скачков при отталкивающей связи существенно выше, чем при притягивающей связи.
Сравнение результатов модели активных ротаторов с моделью Курамото-Сакагучи для системы связанных осцилляторов [14, 15] показывает, что основные эффекты, наблюдаемые в этих двух моделях, похожи. Тем не менее, с технической точки зрения, анализ системы активных ротаторов оказывается гораздо сложнее. Для аналитического описания исследуемых эффектов необходимо дополнительное преобразование переменных.
В настоящей работе проведен анализ для случая передемпфированной системы, когда ротаторы могут быть описаны одномерной моделью (1). В этом случае шум любой интенсивности оказывает исключительно синхронизирующее воздействие, так как соответствующий показатель Ляпунова может принимать только отрицательные значения. Для системы ротаторов с инерцией это условие не выполняется, и сильный шум может приводить к положительным значениям показателя Ляпунова, то есть оказывать десинхронизирующее действие [9,10,44,45]. Такая постановка задачи может быть актуальна для электросетей со слегка несбалансированными генераторами. Общий шум может возникать, например, в сетях ветровых электрогенераторов вследствие крупномасштабных колебаний силы ветра.
Библиографический список
1. Benz S.P., Burroughs C.J.Coherent emission from two-dimensional Josephson junction arrays // Appl. Phys. Lett. 1991. Vol. 58. P. 2162-2164. doi: 10.1063/1.104993
2. Nixon M., Ronen E., Friesem A.A., Davidson N. Observing geometric frustration with thousands of coupled lasers // Phys. Rev. Lett. 2013. Vol. 110. 184102.
doi: 10.1103/PhysRevLett.110.184102
3. Kiss I., Zhai Yu., Hudson J.L. Emerging coherence in a population of chemical oscillators // Science. 2002. Vol. 296. P. 1676-1678. doi: 10.1126/science.1070757
4. Temirbayev A.A., Zhanabaev Z.Z., Tarasov S.B., Ponomarenko V.I., Rosenblum M. Experiments on oscillator ensembles with global nonlinear coupling // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85. 015204. doi: 10.1103/PhysRevE.85.015204
5. Temirbayev A.A., Nalibayev Y.D., Zhanabaev Z.Z., Ponomarenko V.I., Rosenblum M. Autonomous and forced dynamics of oscillator ensembles with global nonlinear coupling: An experimental study // Phys. Rev. E. 2013. Vol. 87. 062917.
doi: 10.1103/PhysRevE.87.062917
6. Acebron J.A., Bonilla L.L., Vicente C.J.P., Ritort F., Spigler R. The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena // Rev. Mod. Phys. 2005. Vol. 77. P. 137-185.
doi: 10.1103/RevModPhys.77.137
7. Pikovsky A., Rosenblum M. Dynamics of globally coupled oscillators: Progress and perspectives // Chaos. 2015. Vol. 25. 097616. doi: 10.1063/1.4922971
8. Kuramoto Y. Self-entrainment of a population of coupled non-linear oscillators // International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics. January 23-29, 1975, Kyoto University, Kyoto, Japan/ Ed. H. Araki. Springer Lecture Notes in Physics. No. 39. New York: Springer, 1975. P. 420-422.
9. Pikovskii A.S. Synchronization and stochastization of nonlinear oscillations by external noise // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. Vol. 3 / Ed. R.Z. Sagdeev. Chur: Harwood Academic, 1984. P. 1601-1604.
10. Пиковский А.С. Синхронизация и стохастизация ансамбля автогенераторов внешним шумом // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27, № 5. С. 576-581.
11. Garcia-Alvarez D., Bahraminasab A., Stefanovska A., McClintock P.V.E. Competition between noise and coupling in the induction of synchronisation // Europhys. Lett. 2009. Vol. 88. 30005. doi: 10.1209/0295-5075/88/30005
12. Nagai K.H., Kori H. Noise-induced synchronization of a large population of globally coupled nonidentical oscillators // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. 065202.
doi: 10.1103/PhysRevE.81.065202
13. Braun W., Pikovsky A., Matias M.A., Colet P. Global dynamics of oscillator populations under common noise // Europhys. Lett. 2012. Vol. 99. 20006.
doi: 10.1209/0295-5075/99/20006
14. Pimenova A.V., Goldobin D.S., Rosenblum M., Pikovsky A. Interplay of coupling and common noise at the transition to synchrony in oscillator populations // Sci. Rep. 2016. Vol. 6. 38518. doi: 10.1038/srep38518
15. Голдобин Д.С., Долматова А.В., Розенблюм М., Пиковский А. Синхронизация в ансамблях Курамото-Сакагучи при конкурирующем влияния общего шума и глобальной связи // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 6. C. 5-37.
doi: 10.18500/0869-6632-2017-25-6-5-37
16. Голдобин Д.С., Долматова А.В. Эффект расхождения частот в ансамблях автоколебательных систем с отталкивающей глобальной связью при синхронизации общим шумом // Известия вузов. ПНД. 2019. T. 27, № 3. С. 33-60.
doi: 10.18500/0869-6632-2019-27-3-33-60
17. Shinomoto S., Kuramoto Y. Phase transitions in active rotator systems // Prog. Theor. Phys. 1986. Vol. 75. P. 1105-1110. doi: 10.1143/PTP.75.1105
18. Sakaguchi H., Shinomoto S., Kuramoto Y. Phase transitions and their bifurcation analysis in a large population of active rotators with mean-field coupling // Prog. Theor. Phys. 1988. Vol. 79. P. 600-607. doi: 10.1143/PTP.79.600
19. Park S.H., Kim S. Noise-induced phase transitions in globally coupled active rotators // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53. P. 3425-3430. doi. 10.1103/PhysRevE.53.3425
20. Tessone C.J., Scire A., Toral R., Colet P. Theory of collective firing induced by noise or diversity in excitable media // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75. 016203.
doi. 10.1103/PhysRevE.75.016203
21. Zaks M.A., Neiman A.B., Feistel S., Schimansky-Geier L. Noise-controlled oscillations and their bifurcations in coupled phase oscillators // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68. 066206.
doi. 10.1103/PhysRevE.68.066206
22. Sonnenschein B., Zaks M., Neiman A., Schimansky-Geier L. Excitable elements controlled by noise and network structure // Eur. Phys. J.. Spec. Top. 2013. Vol. 222. P. 2517-2529. doi. 10.1140/epjst/e2013-02034-7
23. Ionita F., Meyer-Ortmanns H.Physical aging of classical oscillators // Phys. Rev. Lett. 2014. Vol. 112. 094101. doi. 10.1103/PhysRevLett.112.094101
24. Голдобин Д.С., Пиковский А.С. О синхронизации периодических автоколебаний общим шумом // Известия вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, №10-11. С. 1013-1019.
doi. 10.1007/s11141-005-0031-8
25. Goldobin D.S., Pikovsky A.S. Synchronization of self-sustained oscillators by common white noise // Phys. A. 2005. Vol. 351, № 1. P. 126-132. doi. 10.1016/j.physa.2004.12.014
26. Teramae J.N., Tanaka D. Robustness of the noise-induced phase synchronization in a general class of limit cycle oscillators // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. 204103.
doi. 10.1103/PhysRevLett.93.204103
27. Sakaguchi H.Synchronization in coupled phase oscillators // J. Korean Phys. Soc. 2008. Vol. 53. P. 1257-1264. doi. 10.3938/jkps.53.1257
28. Bacic I., YanchukS., Wolfrum M., Franovic I. Noise-induced switching in two adaptively coupled excitable systems // Eur. Phys. J.. Spec. Top. 2018. Vol. 227. P. 1077-1090.
doi. 10.1140/epjst/e2018-800084-6
29. Marvel S.A., Strogatz S.H.Invariant submanifold for series arrays of Josephson junctions // Chaos. 2009. Vol. 19. 013132. doi. 10.1063/1.3087132
30. Laing C.R. Derivation of a neural field model from a network of theta neurons // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 90. 010901. doi. 10.1103/PhysRevE.90.010901
31. O'Keeffe K.P., Strogatz S.H.Dynamics of a population of oscillatory and excitable elements // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 93. 062203. doi. 10.1103/PhysRevE.93.062203
32. Luke T.B., Barreto E., So P. Macroscopic complexity from an autonomous network of networks of theta neurons // Front. Comput. Neurosci. 2014. Vol. 8. 145.
doi. 10.3389/fncom.2014.00145
33. Montbrio E., Pazo D., Roxin A. Macroscopic description for networks of spiking neurons // Phys. Rev. X. 2015. Vol. 5. 021028. doi. 10.1103/PhysRevX.5.021028
34. OttE., Antonsen T.M. Low dimensional behavior of large systems of globally coupled oscillators // Chaos. 2008. Vol. 18. 037113. doi. 10.1063/1.2930766
35. Tyulkina I.V., Goldobin D.S., Klimenko L.S., Pikovsky A. Dynamics of noisy oscillator populations beyond the Ott-Antonsen ansatz // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 120. 264101.
doi. 10.1103/PhysRevLett.120.264101
36. Goldobin D.S., Tyulkina I.V., Klimenko L.S., Pikovsky A. Collective mode reductions for populations of coupled noisy oscillators // Chaos. 2018. Vol. 28. 101101.
doi. 10.1063/1.5053576
37. Голдобин Д.С., Тюлькина И.В., Клименко Л.С., Пиковский А. К описанию коллективной динамики в ансамблях реальных осцилляторов // Вестник Пермского университета. Физика. 2018. № 3 (41). С. 5-7. doi: 10.17072/1994-3598-2018-3-05-07
38. Stratonovich R.L. Topics in the Theory of Random Noise. New York: Gordon and Breach, 1967.
39. Найфэ А. Введение в методы возмущений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 535 с.
40. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance // J. Phys. A. 1981. Vol. 14. P. L453-L457. doi: 10.1088/0305-4470/14/11/006
41. Gang H., Ditzinger T., Ning C.Z., Haken H.Stochastic resonance without external periodic force //Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71. P. 807-810. doi: 10.1103/PhysRevLett.71.807
42. Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance // Rev. Mod. Phys. 1998. Vol. 70. P. 223-287. doi: 10.1103/RevModPhys.70.223
43. Pikovsky A.S., Kurths J.Coherence resonance in a noise-driven excitable system // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 775-778. doi: 10.1103/PhysRevLett.78.775
44. Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization and desynchronization of self-sustained oscillators by common noise // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. 045201.
doi: 10.1103/PhysRevE.71.045201
45. Goldobin D.S., Pikovsky A. Antireliability of noise-driven neurons // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. 061906. doi: 10.1103/PhysRevE.73.061906
References
1. Benz S.P., Burroughs C.J. Coherent emission from two-dimensional Josephson junction arrays. Appl. Phys. Lett., 1991, vol. 58, pp. 2162-2164. doi: 10.1063/1.104993
2. Nixon M., Ronen E., Friesem A.A., Davidson N. Observing geometric frustration with thousands of coupled lasers. Phys. Rev. Lett., 2013, vol. 110, 184102.
doi: 10.1103/PhysRevLett.110.184102
3. Kiss I., Zhai Yu., Hudson J.L. Emerging coherence in a population of chemical oscillators. Science, 2002, vol. 296, pp. 1676-1678. doi: 10.1126/science.1070757
4. Temirbayev A.A., Zhanabaev Z.Z., Tarasov S.B., Ponomarenko V.I., Rosenblum M. Experiments on oscillator ensembles with global nonlinear coupling. Phys. Rev. E, 2012, vol. 85, 015204. doi: 10.1103/PhysRevE.85.015204
5. Temirbayev A.A., Nalibayev Y.D., Zhanabaev Z.Z., Ponomarenko V.I., Rosenblum M. Autonomous and forced dynamics of oscillator ensembles with global nonlinear coupling: An experimental study. Phys. Rev. E, 2013, vol. 87, 062917.
doi: 10.1103/PhysRevE.87.062917
6. Acebron J.A., Bonilla L.L., Vicente C.J.P., Ritort F., Spigler R. The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena. Rev. Mod. Phys., 2005, vol. 77, pp. 137-185.
doi: 10.1103/RevModPhys.77.137
7. Pikovsky A., Rosenblum M. Dynamics of globally coupled oscillators: Progress and perspectives. Chaos, 2015, vol. 25, 097616. doi: 10.1063/1.4922971
8. Kuramoto Y. Self-entrainment of a population of coupled non-linear oscillators. In: H. Araki (ed.), Springer Lecture Notes in Physics, no. 39. New York: Springer, 1975, pp. 420-422.
9. Pikovskii A.S. Synchronization and stochastization of nonlinear oscillations by external noise. In: R.Z. Sagdeev (ed.), Nonlinear and Turbulent Processes in Physics, vol. 3, Chur: Harwood Academic, 1984, pp. 1601-1604.
10. Pikovskii A.S. Synchronization and stochastization of array of self-excited oscillators by external noise. Radiophys. Quantum Electron., 1984, vol. 27, pp. 390-395.
11. Garcia-Alvarez D., Bahraminasab A., Stefanovska A., McClintock P.V.E. Competition between noise and coupling in the induction of synchronisation. Europhys. Lett., 2009, vol. 88, 30005. doi: 10.1209/0295-5075/88/30005
12. Nagai K.H., Kori H. Noise-induced synchronization of a large population of globally coupled nonidentical oscillators. Phys. Rev. E, 2010, vol. 81, 065202.
doi: 10.1103/PhysRevE.81.065202
13. Braun W., Pikovsky A., Matias M.A., Colet P. Global dynamics of oscillator populations under common noise. Europhys. Lett., 2012, vol. 99, 20006.
doi: 10.1209/0295-5075/99/20006
14. Pimenova A.V., Goldobin D.S., Rosenblum M., Pikovsky A. Interplay of coupling and common noise at the transition to synchrony in oscillator populations. Sci. Rep., 2016, vol. 6, 38518. doi: 10.1038/srep38518
15. Goldobin D.S., Dolmatova A.V., Rosenblum M., Pikovsky A. Synchronization in Kuramoto-Sakaguchi ensembles with competing influence of common noise and global coupling. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2017, vol. 25, no. 6, pp. 5-37 (in Russian).
doi: 10.18500/0869-6632-2017-25-6-5-37
16. Goldobin D.S., Dolmatova A.V. Frequency repulsion in ensembles of general limit-cycle oscillators synchronized by common noise in the presence of global desynchronizing coupling. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 27, no. 3, pp. 33-60 (in Russian).
doi: 10.18500/0869-6632-2019-27-3-33-60
17. Shinomoto S., Kuramoto Y. Phase transitions in active rotator systems. Prog. Theor. Phys., 1986, vol. 75, pp. 1105-1110. doi: 10.1143/PTP.75.1105
18. Sakaguchi H., Shinomoto S., Kuramoto Y. Phase transitions and their bifurcation analysis in a large population of active rotators with mean-field coupling. Prog. Theor. Phys., 1988, vol. 79, pp. 600-607. doi: 10.1143/PTP.79.600
19. Park S.H., Kim S. Noise-induced phase transitions in globally coupled active rotators. Phys. Rev. E, 1996, vol. 53, pp. 3425-3430. doi: 10.1103/PhysRevE.53.3425
20. Tessone C.J., Scire A., Toral R., Colet P. Theory of collective firing induced by noise or diversity in excitable media. Phys. Rev. E, 2007, vol. 75, 016203.
doi: 10.1103/PhysRevE.75.016203
21. Zaks M.A., Neiman A.B., Feistel S., Schimansky-Geier L. Noise-controlled oscillations and their bifurcations in coupled phase oscillators. Phys. Rev. E, 2003, vol. 68, 066206.
doi: 10.1103/PhysRevE.68.066206
22. Sonnenschein B., Zaks M., Neiman A., Schimansky-Geier L. Excitable elements controlled by noise and network structure. Eur. Phys. J.: Spec. Top., 2013, vol. 222, pp. 2517-2529. doi: 10.1140/epjst/e2013-02034-7
23. Ionita F., Meyer-Ortmanns H. Physical aging of classical oscillators. Phys. Rev. Lett., 2014, vol. 112, 094101. doi: 10.1103/PhysRevLett.112.094101
24. Goldobin D.S., Pikovsky A.S. Synchronization of periodic self-oscillations by common noise. Radiophys. Quantum Electron., 2004, vol. 47, no. 10-11, pp. 910-915.
doi: 10.1007/s11141-005-0031-8
25. Goldobin D.S., Pikovsky A.S. Synchronization of self-sustained oscillators by common white noise. Phys. A, 2005, vol. 351, no. 1, pp. 126-132. doi: 10.1016/j.physa.2004.12.014
26. Teramae J.N., Tanaka D. Robustness of the noise-induced phase synchronization in a general class of limit cycle oscillators. Phys. Rev. Lett., 2004, vol. 93, 204103.
doi: 10.1103/PhysRevLett.93.204103
27. Sakaguchi H. Synchronization in coupled phase oscillators. J. Korean Phys. Soc., 2008, vol. 53, pp. 1257-1264. doi: 10.3938/jkps.53.1257
28. Bacic I., Yanchuk S., Wolfrum M., Franovic I. Noise-induced switching in two adaptively coupled excitable systems. Eur. Phys. J.: Spec. Top., 2018, vol. 227, pp. 1077-1090.
doi: 10.1140/epjst/e2018-800084-6
29. Marvel S.A., Strogatz S.H. Invariant submanifold for series arrays of Josephson junctions. Chaos, 2009, vol. 19, 013132. doi: 10.1063/1.3087132
30. Laing C.R. Derivation of a neural field model from a network of theta neurons. Phys. Rev. E, 2014, vol. 90, 010901. doi: 10.1103/PhysRevE.90.010901
31. O'Keeffe K.P., Strogatz S.H. Dynamics of a population of oscillatory and excitable elements. Phys. Rev. E, 2016, vol. 93, 062203. doi: 10.1103/PhysRevE.93.062203
32. Luke T.B., Barreto E., So P. Macroscopic complexity from an autonomous network of networks of theta neurons. Front. Comput. Neurosci., 2014, vol. 8, 145.
doi: 10.3389/fncom.2014.00145
33. Montbrio E., Pazo D., Roxin A. Macroscopic description for networks of spiking neurons. Phys. Rev. X, 2015, vol. 5, 021028. doi: 10.1103/PhysRevX.5.021028
34. Ott E., Antonsen T.M. Low dimensional behavior of large systems of globally coupled oscillators. Chaos, 2008, vol. 18, 037113. doi: 10.1063/1.2930766
35. Tyulkina I.V., Goldobin D.S., Klimenko L.S., Pikovsky A. Dynamics of noisy oscillator populations beyond the Ott-Antonsen ansatz. Phys. Rev. Lett., 2006, vol. 120, 264101.
doi: 10.1103/PhysRevLett.120.264101
36. Goldobin D.S., Tyulkina I.V., Klimenko L.S., Pikovsky A. Collective mode reductions for populations of coupled noisy oscillators. Chaos, 2018, vol. 28, 101101.
doi: 10.1063/1.5053576
37. Goldobin D.S., Tyulkina I.V., Klimenko L.S., Pikovskii A. Towards the description of collective dynamics in ensembles of real oscillators. Bulletin of Perm University. Physics, 2018, no. 3 (41), pp. 5-7 (in Russian). doi: 10.17072/1994-3598-2018-3-05-07
38. Stratonovich R.L. Topics in the Theory of Random Noise. New York: Gordon and Breach, 1967.
39. Nayfeh A.H. Introduction to Perturbation Techniques. New York, John Wiley & Sons, 1981, 519 p. doi: 10.1002/zamm.19810611224
40. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance. J. Phys. A, 1981, vol. 14, pp. L453-L457. doi: 10.1088/0305-4470/14/11/006
41. Gang H., Ditzinger T., Ning C.Z., Haken H. Stochastic resonance without external periodic force. Phys. Rev. Lett., 1993, vol. 71, pp. 807-810. doi: 10.1103/PhysRevLett.71.807
42. Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance. Rev. Mod. Phys., 1998, vol. 70, pp. 223-287. doi: 10.1103/RevModPhys.70.223
43. Pikovsky A.S., Kurths J. Coherence resonance in a noise-driven excitable system. Phys. Rev. Lett., 1997, vol. 78, pp. 775-778. doi: 10.1103/PhysRevLett.78.775
44. Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization and desynchronization of self-sustained oscillators by common noise. Phys. Rev. E, 2005, vol. 71, 045201. doi: 10.1103/PhysRevE.71.045201
45. Goldobin D.S., Pikovsky A. Antireliability of noise-driven neurons. Phys. Rev. E, 2006, vol. 73, 061906. doi: 10.1103/PhysRevE.73.061906
Долматова Анастасия Владимировна - родилась в Перми (1990), окончила физический факультет Пермского государственного университета (2012). Защитила диссертацию на соискание ученой степеней кандидата физико-математических наук по специальности «Механика жидкости, газа и плазмы» (ИМСС УрО РАН, Пермь, 2016). Работает в Институте механики сплошных сред УрО РАН (Пермь) и Институте проблем передачи информации РАН (Москва). Область научных интересов - механика жидкости и газа, статистическая физика, моделирование геофизических процессов. Автор 23 научных статей по указанным выше направлениям.
Россия, 614013 Пермь, ул. Акад. Королева, 1 Институт механики сплошных сред УрО РАН Россия, 127051 Москва, Большой Каретный пер., 19, стр. 1 Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН E-mail: [email protected]
Голдобин Денис Сергеевич - родился в Перми (1981), окончил физический факультет Пермского государственного университета (2004). В 2007 году защитил диссертации на соискание ученой степеней кандидата физико-математических наук по специальности «Механика жидкости, газа и плазмы» (ПермГУ) и Dr. rer. nat. по теоретической физике (Университет Потсдама, Германия). Работал в университетах Потсдама, Лестера и Перми и Институте механики сплошных сред УрО РАН (Пермь). Область научных интересов - вибрационные эффекты в гидродинамике, тепловая конвекция, статистическая физика, нелинейная динамика, моделирование геофизических процессов. Автор более 60 научных статей по указанным выше направлениям.
Россия, 614013 Пермь, ул. Акад. Королева, 1 Институт механики сплошных сред УрО РАН, Россия, 614990 Пермь, ул. Букирева, 15
Пермский государственный национальный исследовательский университет E-mail: [email protected]
Пиковский Аркадий Самуилович - родился в Горьком (1956), окончил Горьковский государственный университет (1977). После окончания работал в Институте прикладной физики АН, затем в университетах Вупперталя и Потсдама. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (ГГУ, 1982). Область научных интересов - нелинейная динамика, статистическая физика и теория хаоса.
Germany, 14476 Potsdam-Golm, Karl-Liebknecht-Str., 24/25 University of Potsdam
Россия, 603950 Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского E-mail: [email protected]
