CC BY
17
УДК 537.86:530.182
СИНХРОНИЗАЦИЯ ХИМЕРНЫХ СТРУКТУР В АНСАМБЛЯХ НЕЛОКАЛЬНО СВЯЗАННЫХ КУБИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
И. А. Холуянова, С. А. Богомолов, В. С. Анищенко
Холуянова Инна Александровна, магистрант кафедры радиофизики и нелинейной динамики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, kholuianova@gmail.com
Богомолов Сергей Алексеевич, магистрант кафедры радиофизики и нелинейной динамики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, bogomolov22@gmail.com
Анищенко Вадим Семенович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой радиофизики и нелинейной динамики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, wadim@info.sgu.ru
Исследуются явления взаимной и внешней синхронизации химерных структур в двух связанных ансамблях из дискретных отображений. Каждый из ансамблей представляет собой одномерное кольцо из нелокально связанных кубических отображений. Подбором параметров режим колебаний индивидуальных осцилляторов соответствовал хаотическому. С целью реализации отличающихся пространственно-временных структур в ансамблях, при отсутствии связи между ними, вводилась расстройка по параметрам нелинейности индивидуальных осцилляторов первого и второго ансамблей. Исследованы явления внешней и взаимной синхронизации химерных состояний при взаимодействии ансамблей. При внешней синхронизации рассматривались режимы однонаправленного воздействия элементов второго ансамбля на первый при условии, что реализующиеся структуры в ансамблях при отсутствии связи были различными. Взаимная синхронизация исследовалась при введении симметричной двухсторонней связи. Установлено явление как внешней, так и взаимной корреляции. Эффект синхронизации диагностировался вначале по сходству элементов в пространстве ансамблей. Для количественной диагностики идентичности синхронных структур проводился расчет коэффициентов взаимной корреляции между соответствующими осцилляторами первого и второго ансамблей. Аналогичным методом определялась и область синхронизации в пространстве параметров. Режимам синхронизации отвечало условие близости величины коэффициента корреляции к единице. Ключевые слова: ансамбль связанных осцилляторов, нелокальная связь, синхронизация, химеры, кубическое отображение.
СЮ!: 10.18500/1817-3020-2018-18-2-103-111
Введение
Исследования коллективной динамики сложных систем находятся в центре внимания многие годы. Установлено, что в ансамблях связанных нелинейных осцилляторов образуются регулярные и хаотические пространственно-временные структуры, наблюдаются эффекты синхронизации, пространственная перемежаемость и др. [1-11]. Сравнительно недавно были открыты так называемые «химерные структуры», для которых характерно сосуществование когерентных (синхронных) и некогерентных (асинхронных) кластеров с четко обозначенными границами в пространстве элементов ансамбля [12-14]. Химерные структуры реализуются в ансамблях, как правило, при условии нелокальной связи между элементами. При нелокальной связи каждый индивидуальный элемент ансамбля взаимодействует с конечным числом ближайших соседних элементов. Отметим, что исследования динамики ансамблей ранее проводились для условий локальной связи, когда каждый элемент взаимодействовал лишь с соседним. И для таких ансамблей во многих работах было установлено и исследовано явление синхронизации пространственно-временных структур [3].
В настоящей работе рассматривается динамика двух связанных ансамблей из хаотических отображений с нелокальной связью. Каждый из ансамблей реализует химерные структуры, и целью работы является анализ взаимной и внешней синхронизации химерных структур при вариации коэффициента связи между ансамблями.
Исследуемая модель
Рассмотрим динамику двух замкнутых в кольцо одномерных ансамблей из кубических отображений, связанных между собой по схеме, изображенной на рис. 1.
Поведение индивидуальных осцилляторов задается кубическим отображением, а каждый осциллятор с номером / (/ = 1, 2, ..., N связан с соответствующим осциллятором второго кольца коэффициентами связи у12 и у21 (см. рис. 1).
Рис. 1. Схема двух связанных ансамблей, каждый из которых представляет
собой кольцо из нелокально связанных хаотических отображений Fig. 1. Scheme of two coupled ensembles, each representing a ring of nonlocally
coupled chaotic maps
Уравнения ансамблей запишем в виде
^+1=f (x)£ z ^ [ f (xj)-f (x Ж f ,
(i)
у! 1=* (у УОЯ Т ^ [ я (У)-я (У )УГ»О; ,
где х/ и у/ - вещественные переменные, ! - дискретное время, Р и Я- число соседей в первом и вто-
( ( Л 2 ^
ром кольцах, f (xt )= a1x'i -(xt)
exp
)=k y: -(: )3
exp
M" ^
B
(x)2
B
a12 - коэф-
фициенты нелокальной связи. Фиксируемый параметр В = 10. Функции = ( *( у!)-/(х!)) и =(/(х!)- *( у!)) описывают диффузионную связь между элементами колец. Количество
осцилляторов в ансамблях положим N = 1000. Число соседних осцилляторов слева и справа от /-го осциллятора в системах примем Р = Я = 250.
Система уравнений (1) решалась численно при периодических граничных условиях и задании начальных условий х и у (/ = 1, 2, ... , Щ, случайно распределенных по ансамблю в интервале [0,1].
Взаимная синхронизация
Для анализа эффекта взаимной синхронизации в уравнениях (1) введем симметричную связь между ансамблями, положив уп = у21 = у, и расстройку по управляющим параметрам а и а. Выберем значения а1 = 3.4, а1 = 0.55 и а2 = 3.5, а2 = 0.54. В этом случае в отсутствие связи в ансамблях реализуются различающиеся химерные структуры, показанные на рис. 2.
Рис. 2. Мгновенные профили амплитуд xi (а) иyi (б) в фиксированный момент времени t = t* в отсутствие связи у = 0.
Параметры: a1 = 3.4, а1 = 0.55 и a2 = 3.5, аг = 0.54
Fig. 2. Snapshots of amplitudes xi (a) andyi (b) at a fixed time t = t* without coupling у = 0. System parameters: a1 = 3.4,
al = 0.55 и a2 = 3.5, a2 = 0.54
x
Для изображения химерных структур используем метод расчета мгновенного профиля амплитуд элементов ансамблей хг и уг в фиксированный момент времени 1 = 1* [15-18].
Как видно из рис. 2, химерные структуры в ансамблях хг и уг различаются. Рассмотрим, что будет происходить с введением связи у > 0. Результаты представлены на рис. 3. Как следует из рис. 3, с ростом коэффициента связи у химерные структуры в ансамблях хг и уг сближаются и при
у = 0.2 практически полностью совпадают, свидетельствуя о синхронизации мгновенных профилей. Однако для вывода об эффекте взаимной синхронизации этих результатов недостаточно. Необходимо доказать, что осцилляторы хг и уг совершают синхронные колебания во времени и синхронизация реализуется в конечной области параметров. С целью обоснования выполнения указанных условий проводились расчеты коэф -фициентов взаимной корреляции Я. (2) [19].
ХгУг
Х, У,
а /a
Хг Уг
в /С
Хг Уг
100 200 300 400 500 WO 700 500 МО 1000
б/b
100 200 ЭОО 400 500 600 700 000 900 1000
г/d
Рис. 3. Эволюция мгновенных профилей в ансамблях x, (1) иy, (2) с увеличением коэффициента связи у. 0.016 (а),
0.034 (б), 0.106 (в), 0.2 (г)
Fig. 3. Evolution of snapshots in ensembles x, (1) andyi (2) with increasing the coupling coefficient y. 0.016 (a), 0.034 (b),
0.106 (c), and 0.2 (d)
Коэффициент взаимной корреляции я, вве дем следующим образом:
_ (x, (t) У, (t))
я =
С Ж yi С ))
(2)
где х(/) = х,.(/)-(х,.(/)), у (/) = у,.(/)-(у,.(/)) . Угловые скобки в уравнении (2) означают усреднение по времени. В случае, когда индивидуальные осцилляторы с номером г совершают синхронные во времени колебания, Я. будет равен
2
единице. В асинхронном режиме Я/ < 1. Результаты расчетов Я/ для режимов, показанных на рис. 3, представлены на рис. 4.
Как видно из рис. 4, коэффициент взаимной корреляции Я/ существенно меньше единицы в отсутствие синхронизации (рис. 4, а— в) и прак-
тически равен единице (0.99 < Я/ < 1) в режиме синхронизации химерных структур (рис. 4, г). Таким образом, результат, представленный на рис. 3, г, действительно характеризует эффект взаимной синхронизации химерных структур в системе (1) с точки зрения их идентичности.
R.
R.
О 100 2DO 300 400 500 600 700 200 ООО 1000
IM № Ш 1И StD Ш) 744 дао 900 1000
а /a
б/b
R,
R
г/d
Рис. 4. Коэффициент взаимной корреляции Rp рассчитанный для режимов, показанных на рис. 3: у = 0.016 (а),
у = 0.034 (б), у = 0.106 (в), у = 0.2 (г). Параметры ансамблей: а1 = 3.4, al = 0.55 и a2 = 3.5, a2 = 0.54 Fig. 4. Cross-correlation coefficient Ri calculated for the regimes shown in fig. 3 for у = 0.016 (а), у = 0.034 (b), у = 0.106 (c), у = 0.2 (d). Ensembles' parameters: a1 = 3.4, a1 = 0.55 and a2 = 3.5, a2 = 0.54
Покажем, что идентичность химерных структур сохраняется в конечной области значений коэффициента связи у между ансамблями. С этой целью были рассчитаны коэффициенты взаимной корреляции для осцилляторов с номером / первого и второго ансамблей, входящих в химерный кластер (100 < / < 650). В качестве примера на рис. 5 представлены
результаты расчетов Я/ для осцилляторов химерной структуры с номером / = 425. Как видно из графика, приведенного на рис. 5, в заштрихованной области 0.13 < у < 0.46 коэффициент взаимной корреляции Я/ ~ 1.0 (/ = 425). Итак, можно утверждать, что эффект взаимной синхронизации химерных структур имеет место.
Я
0.5
т
О 0 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
У
Рис. 5. Область взаимной синхронизации мгновенных профилей в системе (1) для осциллятора i = 425. Параметры ансамблей: a1 = 3.4, о1 = 0.55 и a2 = 3.5, о2 = 0.54 Fig. 5. Mutual synchronization region of snapshots in the system (1) for the oscillator i = 425. The parameters of the ensembles: a1 = 3.4, a1 = 0.55 and a2 = 3.5, a2 = 0.54
Внешняя синхронизация
С целью исследования эффекта внешней синхронизации в уравнениях (1) рассмотрим случай однонаправленной связи, положив у12= 0, у21 = у > 0. В этом случае осцилляторы ансамбля у! будут воздействовать на соответствующие осцилляторы ансамбля х. (см. рис. 1) однона-правленно. Введем расстройку по параметрам ансамблей х! и у'., положив а1= 3.3, а1 = 0.51 и а2 = 3.5, а2 = 0.54. Значения других параметров выберем, как и в предыдущем случае: N = 1000, Р = Я =250.
В силу расстройки по параметрам в ансамблях х. и у! в отсутствие связи у = 0 реализуются отличающиеся структуры, показанные на рис. 6.
Структура рис. 6, а отвечает режиму пространственно-временного хаоса в ансамбле х/, а в ансамбле у/ реализуется режим амплитудной и фазовой химер (см. рис. 6, б) [18].
С введением связи у > 0 ансамбль у/ будет воздействовать на ансамбль х/ и с ростом у реализуется эффект внешней (или вынужденной) синхронизации. Результаты представлены на рис. 7.
a/a
^flfflk - [к к
Ч11К 1 : ч
О too 200 ЭОО 400 500 COO 700 800 9М 1000 б/b
Рис. 6. Мгновенные профили амплитуд xt (а) и у', (б) в отсутствие связи у = 0 Fig. 6. Snapshots of amplitudes xt (a) and yt (b) without coupling у = 0
x
Хг Уг
^—
V.
100 200 300 4Ш 500
700 300 900 1000 i
а/a
Хг Уг
Хг У,
Хг У,
б/b
900 1000
в/с г/,
Рис. 7. Мгновенные профили при воздействии осцилляторов ансамбля у'. (2) на осцилляторы ансамбля х. (1) для различных значений параметра у: 0.08 (а), 0.15 (б), 0.24 (в), 0,4 (г). Параметры ансамблей: а1 = 3.3, ах = 0.51 и
a2 = 3.5, аг = 0.54
Fig. 7. Snapshots under the impact of the ensemble oscillators y'. (2) on the ensemble oscillators x\ (1) for different values of y: 0.08 (a), 0.15 (b), 0.24 (c), and 0.4 (d). Ensembles' parameters: a1 = 3.3, a1 = 0.51 and a2 = 3.5, a2 = 0.54
Как видно из рис. 7, при у = 0.4 мгновенные профили хг и уг практически совпадают. Расчет коэффициента взаимной корреляции (рис. 8) подтверждает режим внешней синхронизации. Величина Яг в синхронном режиме Яг ~ 0.99, т.е. близка к единице, в то время как при отсутствии синхронизации Яг существенно меньше единицы.
С целью показать, что в случае внешней синхронизации область синхронизации также характеризуется конечным интервалом значений коэффициента связи у, проводились расчеты коэффициента взаимной корреляции Яг, аналогичные представленным на рис. 4. Расчеты показали, что коэффициент взаимной корреляции Яг остается практически равным единице в конечной области изменения коэффициента
Я,
Рис. 8. Коэффициент взаимной корреляции Я, в режиме
внешней синхронизации (см. рис. 6, г) Fig. 8. Cross-correlation coefficient Я, for the external synchronization regime (fig. 6, d)
связи 0.39 < у < 0.79 для кластера синхронной химерной структуры 90 < i < 950, представленной на рис. 7, г.
Выводы
В работе методами численного эксперимента получены результаты, убедительно свидетельствующие о реализации эффектов взаимной и внешней синхронизации химерных структур в двух связанных ансамблях кубических отображений с нелокальными связями. Путем расчета коэффициента взаимной корреляции Ri (2) подтверждена идентичность синхронных химерных структур и наличие конечной области синхронизации при вариации коэффициента связи между взаимодействующими ансамблями.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 3.8616.2017/8.9).
Список литературы
1. Afraimovich V. S., Nekorkin V. I., Osipov G. V., Shal-feev V D. Stability, Structures and Chaos in Nonlinear Synchronization Networks. Singapore, World Scientific, 1995. 260 с.
2. Nekorkin V. I., Velarde M. G. Synergetic phenomena in active lattices. Berlin ; Heidelberg : Springer, 2002. 357 с. DOI: 10.1007/978-3-642-56053-8
3. Osipov G. V. Synchronization in Oscillatory Networks. Berlin ; Heidelberg : Springer, 2007. 370 с.
4. Pikovsky A., Rosenblum M. G., Kurths J. Synchronization : A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge : Cambridge University Press, 2001. 412 с.
5. Nekorkin V. I., Makarov V. A. Spatial chaos in a chain of coupled bistable oscillators // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74. P. 4819-4822.
6. Nekorkin V. I., Kazantsev V. B., Velarde M. G. Mutual synchronization of two lattices of bistable elements // Phys. Lett. A. 1997. Vol. 236. P. 505-512.
7. Nekorkin V. I., Voronin M. L., Velarde M. G. Clusters in an ensemble of globally coupled bistable oscillators // Eur. Phys. J. B. 1999. Vol. 9, № 3. P. 533-543.
8. Belykh V. N., Belykh I. V., Hasler M. Hierarchy and
stability of partially synchronous oscillations of diffusively coupled dynamical systems // Phys. Rev.E. 2000. Vol. 62, iss. 5. P. 6332-6345. DOI: 10.1103/Phys-RevE.62.6332
9. Belykh V. N., Belykh I. V., Mosekilde E. Cluster synchronization modes in an ensemble of coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63, iss. 3. P. 036216. DOI: 10.1103/PhysRevE.63.036216
10. Akopov A., Astakhov V., Vadivasova T., Shabunin A., Kapitaniak T. Frequency synchronization of clusters in coupled extended systems // Phys. Lett. A. 2005. Vol. 334. P. 169-172.
11. Pecora L. M., Sorrentino F., Hagerstrom A. M. Cluster synchronization, and isolated desynchronization in complex networks with symmetries // Nature Commun. 2014. Vol. 5. P. 4079. DOI: 10.1038/ncomms5079
12. Kuramoto Y., Battogtokh D. Coexistence of coherence and incoherence in nonlocally coupled phase oscillators // Noninear Phenomena of Complex Systems. 2002. Vol. 5, № 4. P. 380-385.
13. Abrams D. M., Strogatz S. H. Chimera states for coupled oscillators // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93, iss. 17. P. 174102. DOI: 10.1103/PhysRevLett.93.174102
14. Panaggio M. J., Abrams D. M. Chimera states : coexistence of coherence and incoherence in networks of coupled oscillators // Nonlinearity. 2015. Vol. 28. P. R67-R87. DOI: 10.1088/0951-7715/28/3/R67
15. Wolfrum M., Omel'chenko O. E. Chimera states are chaotic transients // Phys. Rev. E. 2011. Vol. 84, iss. 1. P. 015201. DOI: 10.1103/physreve.84.015201
16. Omelchenko I., Maistrenko Y., Hövel P., Schöll E. Loss of coherence in dynamical networks : spatial chaos and chimera states // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 106, iss. 23. P. 234102. DOI: 10.1103/PhysRevLett.106.234102
17. Omelchenko I., Riemenschneider B., Hövel P., Maistrenko Y., Schöll E. Transition from spatial coherence to incoherence in coupled chaotic systems // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85, iss. 2. P. 026212. DOI: 10.1103/ PhysRevE.85.026212
18. Bogomolov S. A., Slepnev A. V., Strelkova G. I., SchöllE., Anishchenko V. S. Mechanisms of appearance of amplitude and phase chimera states in ensembles of nonlocally coupled chaotic systems // Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simul. 2017. Vol. 43. P. 25-36. DOI: 10.1016/j.cnsns.2016.06.024
19. Vadivasova T. E., Strelkova G. I., Bogomolov S. A., Anishchenko V. S. Correlation analysis of the coherence-incoherence transition in a ring of nonlocally coupled logistic maps // Chaos. 2016. Vol. 26. P. 093108. DOI: 10.1063/1.4962647
Образец для цитирования:
Холуянова И. А., Богомолов С. А., Анищенко В. С. Синхронизация химерных структур в ансамблях нелокально связанных кубических отображений // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Физика. 2018. Т. 18, вып. 2. С. 103-111. БО!: 10.18500/1817-3020-2018-18-2-103-111.
Synchronization of Chimera States in Ensembles of Nonlocally Coupled Cubic Maps
I. A. Kholuianova, S. A. Bogomolov, V. S. Anishchenko
Inna A. Kholuianova, ORCID 0000-0002-6469-8810, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya Str., Saratov, 410012, Russia, kholuianova@gmail.com
Sergey A. Bogomolov, ORCID 0000-0001-8084-3232, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya Str., Saratov, 410012, Russia, bogomolov22@gmail.com
Vadim S. Anishchenko, ORCID 0000-0003-2255-1498, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya Str., Saratov, 410012, Russia, wadim@ info.sgu.ru
Background and Objectives: Effects of mutual and external synchronization of chimera states are studied in two coupled ensembles of discrete maps. Each of the ensembles is a one-dimensional ring of nonlocally coupled cubic maps in the chaotic oscillation mode. In order to create differences in the dynamics of the ensembles when there is no coupling between them, a mismatch is introduced in the parameters of the individual oscillators of the first and second rings. Effects of external and mutual synchronization of chimera states are explored in detail. Materials and Methods: The effect of synchronization of spatio-temporal structures in two coupled ensembles of discrete nonlinear oscillators is studied numerically. The identity of synchronous structures and synchronization regions was quantified by of calculating the cross-correlation coefficient between the corresponding oscillators of interconnected ensembles. Results: The effects of mutual and external synchronization of chimera structures have been established and confirmed by snapshots of the amplitude of oscillations, by calculations of the cross-correlation coefficient between the respective elements of the ensembles and by plotting the synchronization regions on the coupling parameter. Conclusions: The paper presents the numerical results which show that the realization of the effects of mutual and external synchronization of chimera states can be realized in two nonlocally coupled ensembles of cubic maps. The identity of synchronous chimera states and the presence of a finite region of synchronization in the variation of the coupling coefficient between the interacting ensembles are confirmed.
Key words: ensemble of coupled oscillators, nonlocal coupling, synchronization, chimera state, cubic map.
Acknowledgements: This work was supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project no. 3.8616.2017/8.9).
References
1. Afraimovich V. S., Nekorkin V. I., Osipov G. V., Shal-feev V. D. Stability, Structures and Chaos in Nonlinear Synchronization Networks. Singapore, World Scientific, 1995. 260 p.
2. Nekorkin V. I., Velarde M. G. Synergetic phenomena in active lattices. Berlin, Heidelberg, Springer, 2002. 357 p. DOI: 10.1007/978-3-642-56053-8
3. Osipov G. V. Synchronization in Oscillatory Networks. Berlin, Heidelberg, Springer, 2007. 370 p.
4. Pikovsky A., Rosenblum M. G., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge, Cambridge University Press, 2001. 412 p.
5. Nekorkin V. I., Makarov V. A. Spatial chaos in a chain of coupled bistable oscillators. Phys. Rev. Lett., 1995, vol. 74, pp. 4819-4822.
6. Nekorkin V. I., Kazantsev V. B., Velarde M. G. Mutual synchronization of two lattices of bistable elements. Phys. Lett. A, 1997, vol. 236, pp. 505-512.
7. Nekorkin V. I., Voronin M. L., Velarde M. G. Clusters in an ensemble of globally coupled bistable oscillators. Eur. Phys. J. B., 1999, vol. 9, no. 3, pp. 533-543.
8. Belykh V. N., Belykh I. V., Hasler M. Hierarchy and stability of partially synchronous oscillations of diffusively coupled dynamical systems. Phys. Rev. E., 2000, vol. 62, iss. 5, pp. 6332-6345. DOI: 10.1103/PhysRevE. 62.6332
9. Belykh V. N., Belykh I. V., Mosekilde E. Cluster synchronization modes in an ensemble of coupled chaotic oscillators. Phys. Rev. E. 2001, vol. 63, iss. 3, pp. 036216. DOI: 10.1103/PhysRevE.63.036216
10. Akopov A., Astakhov V., Vadivasova T., Shabunin A., Kapitaniak T. Frequency synchronization of clusters in coupled extended systems. Phys. Lett. A, 2005, vol. 334, pp. 169-172.
11. Pecora L. M., Sorrentino F., Hagerstrom A. M. Cluster synchronization, and isolated desynchronization in complex networks with symmetries. Nature Commun. 2014, vol. 5, pp. 4079. DOI: 10.1038/ncomms 5079
12. Kuramoto Y., Battogtokh D. Coexistence of coherence and incoherence in nonlocally coupled phase oscillators. Noninear Phenomena of Complex Systems, 2002, vol. 5, no. 4, pp. 380-385.
13. Abrams D. M., Strogatz S. H. Chimera states for coupled oscillators. Phys. Rev. Lett., 2004, vol. 93, iss. 17, pp. 174102. DOI: 10.1103/PhysRevLett.93.174102
14. Panaggio M. J., Abrams D. M. Chimera states: coexistence of coherence and incoherence in networks of coupled oscillators. Nonlinearity, 2015, vol. 28, pp. R67-R87. DOI: 10.1088/0951-7715/28/3/R67
15. Wolfrum M., Omel'chenko O. E. Chimera states are chaotic transients. Phys. Rev. E., 2011, vol. 84, iss. 1, pp. 015201. DOI: 10.1103/physreve.84.015201
16. Omelchenko I., Maistrenko Y., Hövel P., Schöll E. Loss of coherence in dynamical networks: spatial chaos and chimera states. Phys. Rev. Lett., 2011, vol. 106, iss. 23, pp. 234102. DOI: 10.1103/PhysRevLett. 106.234102
17. Omelchenko I., Riemenschneider B., Hövel P., Mais-trenko Y., Schöll E. Transition from spatial coherence to incoherence in coupled chaotic systems. Phys. Rev. E, 2012, vol. 85, iss. 2, pp. 026212. DOI: 10.1103/ PhysRevE.85.026212
18. Bogomolov S. A., Slepnev A. V., Strelkova G. I., Schöll E., Anishchenko V. S. Mechanisms of appearance of amplitude and phase chimera states in ensem-
bles of nonlocally coupled chaotic systems. Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simul., 2017, vol. 43, pp. 25-36. DOI: 10.1016/j.cnsns.2016.06.024 19. Vadivasova T. E., Strelkova G. I., Bogomolov S. A., Ani-shchenko V. S. Correlation analysis of the coherence-incoherence transition in a ring of nonlocally coupled logistic maps. Chaos, 2016, vol. 26, pp. 093108. DOI: 10.1063/1.4962647
Cite this article as:
Kholuianova I. A., Bogomolov S. A., Anishchenko V. S. Synchronization of Chimera States in Ensembles of Nonlocally Coupled Cubic Maps. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Physics, 2018, vol. 18, iss. 2, pp. 103-111 (in Russian). DOI: 10.18500/1817-3020-2018-18-2-103-111.
