CC BY
39
Прикладные задачи
нелинейной теории колеоании и волн
УДК 537.86, 001.891.57, 621.37
https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-3-33-60
Эффект расхождения частот в ансамблях автоколебательных систем с отталкивающей глобальной связью при синхронизации общим шумом
Д. С. Голдобин1'2, А. В. Долматова1
1
1 Институт механики сплошных сред УрО РАН Россия, 614013 Пермь, ул. Акад. Королева, 1 2Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990 Пермь, ул. Букирева, 15 E-mail: Denis.Goldobin@gmail.com, anastasiya.v.dolmatova@gmail.com Автор для переписки Голдобин Денис Сергеевич, Denis.Goldobin@gmail.com Поступила в редакцию 12.03.2019, принята к публикации 22.05.2019
2
1
Тема. Работа посвящена изучению взаимодействия двух принципиально различных механизмов синхронизации: связью и воздействием случайного, но идентичного для всех осцилляторов сигнала - общего шума. Особое внимание уделяется эффекту расхождения частот, возникающему при конкуренции этих механизмов. Цель. Построение универсальной теории, описывающей такое взаимодействие, для осцилляторов с гладким устойчивым предельным циклом общего вида при глобальной связи. Учитывается дополнительный осложняющий фактор - внутренний шум, индивидуальный для каждого осциллятора. Предполагается установить, насколько результаты, полученные ранее для систем типа Отта-Антонсена, отражают ситуацию общего положения. Метод. Для осцилляторов общего вида вводится фазовое описание. Для уравнения Фоккера-Планка, соответствующего стохастическим уравнениям динамики фаз, строго проводится процедура осреднения в пределе высоких частот колебаний (используется метод многих масштабов). Полученные уравнения позволяют аналитически определить условия синхронизации ансамблей идентичных осцилляторов, а для слабо неидентичных - найти средние частоты колебаний в квадратурах. Аналитические результаты проверяются прямым численным моделированием для больших, но конечных ансамблей осцилляторов ван дер Поля, Рэлея и ван дер Поля-Дюффинга, а также для системы нейроноподобных осцилляторов ФитцХью-Нагумо. Результаты. Для системы идентичных осцилляторов без внутреннего шума установлено, что достаточно сильный общий шум может синхронизировать ансамбль с отталкивающей глобальной связью, а также исследована динамика локализации распределения осцилляторов. Последняя явно свидетельствует о том, что в течение процесса перехода к состоянию полной синхронизации распределение осцилляторов имеет «тяжелые» степенные хвосты даже при сколь угодно сильной притягивающей глобальной связи - без общего шума признаков формирования таких хвостов не наблюдается. Для ансамбля осцилляторов с внутренним шумом установлено, что равновесное распределение разностей фаз всегда имеет «тяжелые» степенные хвосты, и определены параметры этих хвостов. Аналитически найдено асимптотическое поведение для средней частоты осциллятора как функции собственной частоты: в частности, получен эффект расхождения средних частот при синхронизации общим шумом и наличии отталкивающей глобальной связи. Приведены примеры применения построенной теории для осцилляторов ван дер Поля, Рэлея, ван дер Поля-Дюффинга и ФитцХью-Нагумо. Результаты прямого численного моделирования для больших конечных ансамблей этих осцилляторов согласуются с теорией. Обсуждение. Установлено, что сколь угодно слабый общий шум, с одной стороны, увеличивает устойчивость синхронного состояния, а с другой - всегда создает «тяжелые» степенные хвосты для распределения разностей фаз. Это свидетельствует о существенно перемежаемом характере синхронизации общим шумом - периоды синхронного поведения прерываются событиями скачка разности фаз - и согласуется с тем фактом, что при наличии общего шума становится невозможным точное совпадение средних частот колебаний неидентичных систем. Нетривиальным является тот эффект, что при отталкивающей глобальной связи достаточно сильный общий шум синхронизирует состояния осцилляторов, но их средние частоты при этом взаимно отталкиваются. Влияние индивидуального внутреннего шума на средние частоты оказывается эффективно эквивалентным влиянию неидеальности синхронизации.
Ключевые слова: Синхронизация, стохастические процессы, расхождение частот, синхронизация общим шумом.
Образец цитирования: Голдобин Д.С., Долматова А.В. Эффект расхождения частот в ансамблях автоколебательных систем с отталкивающей глобальной связью при синхронизации общим шумом//Известия вузов. ПНД. 2019. T. 27, № 3. С. 33-60. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-3-33-60
Финансовая поддержка. Работа поддержана Российским научным фондом (грант № 19-42-04120).
https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-3-33-60
Frequency repulsion in ensembles of general limit-cycle oscillators synchronized by common noise in the presence of global desynchronizing coupling
D. S. Goldobin1'2, A. V. Dolmatova
1 Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS 1, Akad. Koroleva Str., 614013 Perm, Russia 2 Perm State University 15, Bukireva Str., 614990 Perm, Russia E-mail: Denis.Goldobin@gmail.com, anastasiya.v.dolmatova@gmail.com Correspondence should be addressed to Goldobin Denis S., Denis.Goldobin@gmail.com Received 12.03.2019, accepted for publication 22.05.2019
Topic. We study the interaction of two fundamentally different synchronization mechanisms: by means of coupling and by means of the driving by a random signal, which is identical for all oscillators - common noise. Special attention is focused on the effect of frequency divergence arising from the competition between these mechanisms. Aim. The aim of the paper is to construct a universal theory describing such an interaction for a general class of smooth limit-cycle oscillators with a global coupling. The effect of intrinsic noise, which is individual for each oscillator, is also to be taken into account. We also plan to assess how the results obtained earlier for the systems of the Ott-Antonsen type reflect the situation in general case. Method. For a general class of oscillators, the phase description is introduced. For the Fokker-Planck equation, which corresponds to the stochastic equations of phase dynamics, a rigorous averaging procedure is performed in the limit of high oscillation frequency (the conventional multiple scale method is used). With the derived equations one can obtain the conditions for synchronization of ensembles of identical oscillators, and for weakly nonidentical oscillators, one can find the average oscillation frequencies in quadratures. Analytical results are verified by direct numerical simulations for large but finite ensembles of van der Pol, Rayleigh and van der Pol-Duffing oscillators, as well as for FitzHugh-Nagumo neuronlike oscillators. Results. For the case of identical oscillators without intrinsic noise, a sufficiently strong common noise synchronizes an ensemble with a repulsive global coupling, and the dynamics of localization of the oscillator distribution is investigated. The latter clearly indicates that during the transition to the state of perfect synchrony, the distribution of oscillators possesses «heavy» power-law tails, even with an arbitrary strong attracting global coupling - without common noise, such tails do not apper. For the case of oscillators with intrinsic noise, the equilibrium distribution of phase differences always possesses «heavy» power-law tails, and the parameters of these tails are determined. The asymptotic behavior for the average frequency of an oscillator as a function of the natural frequency is derived analytically; in particular, the effect of divergence of the average frequencies is reported to accompany the synchronization by common noise in the presence of a repulsive global coupling. Examples of the application of the constructed theory for van der Pol, Rayleigh, van der Pol-Duffing and FitzHugh-Nagumo oscillators are presented. The results of direct numerical simulation for large finite ensembles of these oscillators are consistent with the theory. Discussion. Arbitrary weak general noise, on the one hand, increases the stability of the synchronous state, and on the other hand, it always creates «heavy» power-law tails for the distribution of phase differences. This indicates a significantly intermittent character of synchronization by common noise -epoches of synchronous behavior are interrupted by the phase difference slips - and is consistent with the fact that in the presence of common noise, a perfect frequency locking becomes impossible. For a repulsive coupling, a nontrivial effect occurs: sufficiently strong common noise synchronizes the states of oscillators, but their average frequencies are mutually repelled. The effect of individual intrinsic noise on the average frequencies is effectively equivalent to the effect of synchrony imperfection.
Key words: Synchronization, stochastic processes, frequency repulsion, synchronization by common noise.
Reference: Goldobin D.S., Dolmatova A.V. Frequency repulsion in ensembles of general limit-cycle oscillators synchronized by common noise in the presence of global desynchronizing coupling. Izvestiya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 27, no. 3, pp. 33-60. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-3-33-60
Acknowledgements. The work has been supported by the Russian Science Foundation (grant no. 19-42-04120).
Введение
В последние несколько десятилетий важность эффекта синхронизации была широко освещена в физических, геофизических, биологических и социальных науках (см., например, [1]). Особый интерес представляют системы, в которых внутренняя динамика элементов достаточно проста, а сложность поведения возникает исключительно как коллективный эффект. С математической точки зрения, такая система представляет собой ансамбль осцилляторов, имеющих устойчивый предельный цикл и взаимодействующих между собой посредством слабой взаимной связи или воздействия общей силы. Известно, что состояния осцилляторов с предельным циклом, испытывающих слабое внешнее воздействие, могут быть полностью охарактеризованы их фазами, что позволяет описывать динамику такой системы в рамках фазового приближения [2-4]. В последнее время появился ряд работ, демонстрирующих практическое применение фазового приближения для автоколебаний в пространственно распределенных системах [5,6], а также для коллективных колебаний сетей связанных динамических элементов [7].
Для ансамблей идентичных осцилляторов с предельным циклом (то есть фазовых осцилляторов) можно выделить три принципиально различных механизма синхронизации: (1) глобальной связью, (2) общим периодическим воздействием и (3) общим шумом [8-13]. Различие этих механизмов наиболее ярко проявляется при рассмотрении динамики пары осцилляторов с близкими, но не идентичными собственными частотами (обсуждение взаимодействия механизмов синхронизации связью и общим периодическим воздействием с другой точки зрения можно найти, например, в [14]). Важным отличием механизма синхронизации общим шумом является то, что в этом случае не происходит захват частоты [15], который не только типичен для двух других механизмов, но и может быть использован в качестве критерия при определении состояния синхронизации. Состояния двух слабо отличающихся осцилляторов при наличии общего шума большую часть времени близки друг к другу, но время от времени в такой системе неизбежно происходят скачки разности фаз; более того, средние частоты осцилляторов не притягиваются друг к другу.
Особый интерес представляет вопрос о том, могут ли разные механизмы компенсировать друг друга, оказывая противоположное действие на систему. Например, может ли синхронизирующий общий шум конкурировать с десинхронизрующей глобальной связью. Взаимодействие связи и общего шума было впервые исследовано в работах [16, 17]. Развитие теории Отта-Антонсена [18] позволило взглянуть на эффект синхронизации в ансамблях осцилляторов с другой стороны и расширить понимание механизмов возникновения синхронных состояний [19-21]. В частности, был обнаружен и исследован неожиданный эффект: в присутствии отталкивающей связи достаточно сильный общий шум синхронизирует элементы ансамбля, при этом средние частоты осцилляторов в синхронизированном состоянии оказываются разбросаны сильнее, чем собственные частоты осцилляторов. Этот эффект особенно примечателен в связи с тем, что в ранних работах под синхронизацией понималось «явление взаимного притяжения частот» («phenomenon of the pulling together of frequencies») [22]. В данном же случае, наоборот, наблюдается синхронизация, приводящая к отталкиванию частот.
Стоит особо выделить системы фазовых осцилляторов следующего вида:
фj = rn(t) + Im(H(t)e-i^), (1)
где w(t) и H(t) могут зависеть от времени. Именно для таких систем были построены теории Ватанабэ-Строгаца и Отта-Антонсена [18,23-25]. Теория Отта-Антонсена позволяет написать уравнение для комплексного параметра порядка Z = (егф)
7 7 I H(t) H*(t) 2 (2)
Z = zrn(t) Z + —2---— Z . (2)
На основании этого уравнения можно получить математически строгое описание динамики параметра порядка при произвольной степени синхронности в системе, тогда как в случае осцилляторов общего вида аналитическое изучение коллективного поведения возможно только для состояний с высокой степенью синхронности (это будет показано в разделе 1). Именно поэтому ансамбли вида (1) представляют особый интерес: они дают возможность детально изучить процесс перехода от состояния полной синхронности до максимально асинхронных состояний.
Для систем Отта-Антонсена можно выделить два случая, в которых имеет место взаимодействие общего шума и связи.
(1) Ансамбль осцилляторов Курамото с мультипликативным общим шумом [19,20]
N
фj = Qj + N - Wj - в) + sin Wj ,
k=l
где N ^ то, ^ - коэффициент связи, в - фазовый сдвиг связи, ^(t) - нормированный общий шум, собственные частоты осцилляторов Qj равны или имеют лоренцево распределение. В этом случае Wj (t) = Qj, H(t) = ]\e-%<eZ — e%(t) (см. уравнение (1)).
(2) Ансамбль активных ротаторов с глобальной связью и аддитивным общим шумом [21]
N
Фj = Qj — B sin Wj + N sin(Wk — Wj) + e%(t).
k=l
Неравномерность вращения «фазы», описываемая слагаемым B sin Wj, является существенной, так как в противном случае общий шум не оказывает синхронизирующего влияния [11,12]. Этот случай соответствует Wj (t) = Qj + e"%(t) и H(t) = B + ]iZ.
В работах [19-21] описаны основные принципы взаимодействия двух механизмов синхронизации; в частности, показан эффект расхождения частот в синхронном состоянии. Тем не менее, существующее теоретическое описание ограничено довольно узким классом систем типа Отта-Антонсена, а в таких системах невозможно динамическое образование и перераспределение кластеров (распределение элементов между кластерами заморожено). Также наличие внутренних шумов в осцилляторах существенным образом нарушает свойства таких систем; лишь недавно в работах [26,27] был предложен новый подход, позволяющий разрешить эту проблему и построить теорию возмущений для систем типа Отта-Антонсена. Кроме того, существенным ограничением теории Отта-Антонсена является то, что она не допускает рассмотрение членов, содержащих гармоники более высоких порядков (например, пропорциональных sin 2wj).
В связи с этим, ансамбли осцилляторов с предельным циклом являются третьим важным случаем, допускающим полный всесторонний анализ коллективной динамики. Этот случай особенно интересен в связи с тем, что он применим для экспериментальных работ, изучающих системы, не описываемые уравнениями Отта-Антонсена [28].
В данной работе не рассматриваются эффекты десинхронизации, вызванные влиянием общего шума [8,9,15,29,30], так как они проявляются при, как минимум, умеренной интенсивности шума, а фазовое приближение применимо только при низком уровне шума. В рамках данной работы рассматривается синхронизация осцилляторов с предельным циклом, вызванная действием синхронизирующего общего шума и глобальной связи. Рассмотрено влияние внутренних шумов в элементах на динамику системы. Также описан эффект расхождения наблюдаемых частот осцилляторов с разными собственными частотами под действием десинхронизующей (отталкивающей) связи.
Статья организована следующим образом. В разделе 1 описана процедура построения фазового приближения для системы осцилляторов общего вида с предельным циклом при наличии
общего и внутреннего шумов и глобальной связи. Показана корректность фазового описания для систем, в которых важны амплитудные степени свободы. Из фазовых уравнений отдельных осцилляторов получены уравнения осредненной динамики в пределе высоких частот. В разделе 2 описаны условия возникновения синхронного состояния в ансамбле, а также характеристики нарушения идеальной синхронности под действием внутренних шумов, получено распределение отклонений фаз осцилляторов от среднего значения. В разделе 3 построена аналитическая теория для случая ансамбля неидентичных осцилляторов, получены законы асимптотического поведения для средней частоты осцилляторов в зависимости от расстройки собственной частоты, исследован эффект расхождения частот при отталкивающей связи. Аналитически полученные результаты проиллюстрированы результатами численного моделирования для ансамблей осцилляторов ван дер Поля, Рэлея, ван дер Поля-Дюффинга и ФитцХью-Нагумо. Полученные результаты обсуждаются в Заключении.
1. Основная модель ансамбля осцилляторов с предельным циклом общего вида
Рассмотрим ансамбль N идентичных осцилляторов общего вида под действием общего шума и глобальной связи
N
х, = Е(х,) + N Е Н(х,, хк) + еВ(х,) ◦ + оС(х-) ◦ ^(*) , (3)
к= 1
где х, описывает состояние ^'-го осциллятора, ] = 1, 2, ...,N; ^ - коэффициент связи; е и о -амплитуды общего и внутреннего шумов; и (^ - независимые сигналы с нормированным 8-коррелированным гауссовым шумом: (%) = ) = 0, (^(¿) ^(¿')) = 2б(^ — ¿'), (^(¿) ^(£')) = 0, Ю ^к(¿0) = 28,к8(£ — ¿'); символ «о» указывает на то, что уравнения рассматриваются в смысле Стратоновича. Под «глобальной связью» понимается связь, при которой все осцилляторы попарно взаимодействуют друг с другом одинаковым образом, описываемым слагаемым Н(х,, хк). Без потери общности, можно полагать, что связь между совпадающими элементами исчезает Н(х, х) = 0. Если это не так, то всегда можно избавиться от члена Н(х, х), переопределив Р(х) следующим образом: Р(х) ^ ^(х) — ^Н(х, х). Если в системе нет ни шума, ни глобальной связи, уравнения состояния осцилляторов допускают устойчивое периодическое решение х(0) (¿) = х + 2л/П), где □ - собственная частота осцилляторов. Это решение может быть параметризовано равномерно растущей со временем фазой ф: х(0)(ф) = х(0)(ф + 2п). Фаза может быть введена в конечной окрестности предельного цикла - бассейне его притяжения: ф = ф(х).
Динамика системы (3) при наличии слабого шума и слабой связи в ведущем порядке может быть описана в рамках фазового приближения [2-4]
N
ф, = й + N ^ ^(ф,, фк — ф,) + еВ(ф,) о + оС(ф,) о (I), (4)
к=1
где
В(ф). в) , с(ф). (|£ с)
\дх / х=х(0) (ф) \д х /х=х(0)(ф)
являются 2п-периодическими функциями, характеризующими чувствительность фазы к шуму.
(ц/^)Н(ф, ф) - увеличение скорости роста фазы осциллятора в состоянии х(0)(ф), вызванное связью с другим осциллятором в состоянии х(0) (ф + ф)
Н(ф, ■) =(^ ■ Н(х(0)(ф), х(0)(ф + ф)) .
\дх/ х=х(0)(ф) У /
Так как Н(х, х) = 0, то Н(ф, 0) = 0.
Заметим, что для 8-коррелированного шума вывод уравнения (4) не является строгим. Строгое рассмотрение [31,32] проводится в следующем разделе 1.1 и дает те же результаты, но с частотой сдвинутой на некоторую поправку порядка (е2 + о2), которая связана с наличием амплитудных степеней свободы. Эта поправка важна при рассмотрении средней частоты колебаний, так как она имеет тот же порядок малости, что и поправка, обусловленная шумовым слагаемым в уравнении (4). Тем не менее, уравнение (4) может быть рассмотрено как математически строгое, с поправкой на то, что □ - это не собственная, а сдвинутая частота осцилляторов.
1.1. Фазовое приближение с учетом амплитудных степеней свободы. Проведем вывод фазового приближения для системы, в которой время автокорреляции шума невелико по сравнению с временем релаксации возмущений вдоль амплитудных степеней свободы. В такой системе учет амплитудных степеней свободы при построении фазового описания является обязательным [32]. Для простоты будем рассматривать двумерные осцилляторы (то есть системы с одной амплитудной степенью свободы). Полученные результаты могут быть легко обобщены на случай многомерных систем.
В общем случае уравнения (3) для осцилляторов с предельным циклом могут быть записаны в переменных амплитуды и фазы
N
ф] = Q + ^ Е Н(Ф. > Фк - Ф. > Г3 > Гк) + еВ(Ф] ,Г3 ) ° + оС(Ф] > т] ) ° ^ № > (5)
к=1
N
ц
т. = -Хт. + Р (ф. , Фк - Ф], г., Г к) + ев (ф. , т.) ° + о^(Ф., т.) ° ^ (¿) , (6)
к=1
где X - это показатель Ляпунова (возможность приведения уравнений к такому виду подробно объясняется в дополнительных материалах к работе [32]). Раскладывая в ряд по т функции
Н(ф, ф,т],тк) = Н00(ф, ■) + Ню(ф, ф)т] + Н01(ф, ф)тк + 0(т]Тк, т|, т|), В(ф, т) = #0(ф)+ +В1(ф)т + 0(т2)
и т.д., можно получить
N
ф ] = □ + [Н00(ф], фк - ф]) + т. Ню(ф], Фк - ф]) + тк Н01(ф], Фк - ф]) + •. •] + к=1
+ е[Я)(ф]) + т.В1(ф]) + • • • ] ° £(*) + о[С0(ф]) + т.С1(ф]) + • • • ] ° ^(*), (7)
N
т. = -Хт. + ц ]ТР00(Ф], фк - ф]) + ев0(ф]) ° + о^0(ф]) ° ^(¿) + • • • • (8)
к=1
Применяя стандартную процедуру фазового приближения для 8-коррелированного шума [31,32], находим поправки первого порядка
N
ф] ^ □ + Ц ^Н00(ф], фк - ф]) + е2в0(ф]) В1(ф]) + о2^0(ф]) С1(ф]) + к=1
N
к=1
+ еВ0(ф]) ° £(*) + оС0(ф]) ° ^(*) • (9)
Скорость роста фазы ф, теперь не только зависит от воздействия связи и двух шумовых слагаемых, но и имеет дополнительный детерминированный дрейф е25о(ф^) В^ф,-)+ +о2^о (ф,) ^(ф,'). Введем «истинную» фазу ф, которая должна равномерно расти со временем,
г- 2п
ф_ П = П + е2(5о(ф) #1(ф))ф + о2(^о(ф) С1(ф))ф , где (,..)ф _(2п)-1 / ...ёф.
о
Соотношение между ф и ф имеет следующий вид:
,ф __П*ёф_
Ф _ П + е25о(ф) В1(ф) + о2^о(ф) С1(ф) '
С точностью до ведущих поправок (х, е2 и о2, уравнение (9) может быть преобразовано к виду
N
ф,- - П + N Е Ноо(ф^, Фк - ф,) + е#о(ф^) о ад + оСо(ф,) о ^(*). (10)
к=1
Уравнения (4) и (10) идентичны с точностью до подстановки (П, ф,) о (□*, ф,), то есть уравнение (4) в общем случае верно с учетом соответствующей поправки собственной частоты.
1.2. Осреднение динамики ансамбля по периоду собственных колебаний осцилляторов. В случае неидеально идентичных частот осцилляторов система уравнений (4) в ведущем порядке принимает вид
N
ф, _ п, + ££ Н(ф,, фк - ф,) + еВ(ф,) о ад + ос(ф,) о ^(*), (11)
к=1
где П, - собственная частота ] -го осциллятора.
Для описания динамики ансамбля в состояниях, близких к синхронным, удобно ввести опорную фазу фо, определяемую уравнением
фо _ По + еВ(фо) о ад, (12)
где По - средняя собственная частота элементов ансамбля. Тогда расстройка фазы 9, _ ф, — фо подчиняется уравнению
N
9, _ Ю + N Е Н(фо + 9,, 9к — 9,) + е[В(фо + 9,) — В(фо)] о ад + оС(фо + 9,) о ^(*), (13) к=1
где _ П, — По - расстройка собственной частоты.
Из системы уравнений (12)-(13) может быть получено уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности ад(фо, 91,9N, ¿)
д д N д N
-Ж + дфо ) + ^ дё" ((ю + N £ н(фо + 9, 9к— 9^) — ,=1 3 к=1
N я я
2А5 д . „ ч д
е2^2«; — о2 ^ — ^(фо + 9,) ^ (С(фо + 9,)«;)) _ 0, ,=1 , ,
где
&(•) = ^ (В(Ф0)(-)) + Е ¿в" ([В(Ф0 + в]) -В(ф0)](-)) • ф ]=1 ]
Проинтегрировав уравнение Фоккера-Планка по всем в., за исключением ] = 1, можно получить для
ад(ф0, вг,^) = / dвl•••dвí-ldвí+l•••dвN Мф0, в1, •••, вN ,«) следующее уравнение:
N
где
+ ^(о^) + ^ (юг-г + У dвl•••dвí-ldвí+l•••dвNN Н(ф0 + вг, вк - вг)-) -
^ д / д \ - е2<3- о2 — (С(ф0 + вг) — (С(ф0 + вг)-г)) = 0,
^г(') = ^ (В(Ф0)(-^ + двТ ([В(Ф0 + вг) - В(ф0)](•)) •
дф0
В термодинамическом пределе N ^ то можно параметризовать каждый осциллятор расстройкой частоты ю вместо индекса 1 и перейти от суммирования к интегрированию. В этом случае уравнение Фоккера-Планка для -ю(ф0, вю, ¿) примет вид
+те 2п
д-ю д („ ) . д
+ д ф0
□0-Шю) + дв" ((™ + Ц / dюlg(юl^ dв (ф0, в) Н(ф0 + вю, в - вю^ -
-те 0
^ д / д \ - е2дЮ-„ - о2 — С(ф0 + вю) — (С(ф0 + вю)-^ =0, (14)
двю V двю /
В пределе высоких частот, когда 00 велико по сравнению с ц, е2, о2 и ю, можно прове-
где д(ю) - распределение собственных частот элементов ансамбля.
0
сти строгую процедуру осреднения по быстро вращающейся фазе ф0 с помощью метода многих масштабов [33] (подробные примеры применения подобной процедуры приведены в [19,20]). В таком случае имеем -ю(ф0, в, ¿) = ^ю(в, ¿) + 0(ц /00, е2/00, о2/00, ю/00), и уравнение эволюции для ^ю(в,£) приобретает вид
+те 2п
дЖю(в,*) , д
д«
+ |((ю + Ц У dюlдЮ^в^ю 1 (вх,«)Ь(в1 - в))ЖДв,^ -
- —((2е2[/(0) - /(в)] + о2)^ю(в,«^ = 0, (15)
д в2 где
/(в) = <В(ф + в) В(ф))ф, = <Н(ф, ф))ф•
Здесь введено условие нормировки <[С(ф)]2)ф = 1. Полученное уравнение можно записать в виде
д^ю + ^ ((ю + Ц ^ю) - ^ ((2е2[/(0) - /(в)] + о2)^) = 0 , (16)
д«
+те 2п
Я(-в)=^ dюдИ^в^в^) Ь(в1 - в)• (17)
— те
— те
Уравнение (16) является основным уравнением, с которым мы будем работать далее. Следует отметить, что Л,(0) = 0, и функция
при разложении в ряд Тейлора содержит только четные члены.
Уравнения (16)-(17) представляют собой полное замкнутое математическое описание системы, которое дает возможность для заданных функций Я(6) и f (9) найти Wm(0), что, в свою очередь, позволяет найти Я(9) из h(9) и g(w). К сожалению, эта задача может быть решена аналитически только для систем определенного вида (например, для фазового ансамбля типа Отта-Антонсена [17-21]). Однако при введении некоторых упрощающих допущений, позволяющих вычислить h(9) из h(9), задача может быть решена для более широкого круга систем. Для ансамблей с высокой степенью синхронизации естественно полагать Я(9) ~ h(9).
Эффективное уравнение Ланжевена для (16) имеет следующий вид:
9 = ю + цЙ(-9) + e2f (9) + £\¡2[f (0) - f (9)] о £(t) + oZ(í). (18)
Уравнения (16) и (18) могут быть сопоставлены аналогичным уравнениям для ансамблей Курамото и Курамото-Сакагучи с синусоидальным шумовым слагаемым (см. [19,20]), для которых h(9) = sin(9 + в) — sin в, В(ф) = sin ф и f (9) = 0.5 cos 9. Подстановка этих функций в уравнения (16) и (18) при o = 0 делает их полностью эквивалентными соответствующим уравнениям в работах [19,20] в пределе высокой степени синхронности
■ d V ■ '9 ■ в -2 д2
+ — ((ю -ц[sin(e + ß) - sinß])W«) - e2(1 - cose)W«) =0
dt дevv V- ^ rj/ de2
и
л г e2 sin e ^ . . cos e -1 ^ . .
e = ю - ц[ sin(e + ß) - sin ß] - — sin e + eО ^(t) + e-—— O £2(t),
2 у 2 у 2
где ^i(t) и ^2 (t) - независимые нормированные функции, ö-коррелированные гауссовы шумы. Демонстрация справедливости этого утверждения для уравнения (16) является чисто технической задачей. Для уравнения (18) нужно дополнительно иметь в виду, что два независимых гауссовых шума л/05 sin e о Si(t) + \ZÖ5( cos e - 1) о ^2(t), фигурирующих в работах [19,20], действуют как один шум, интенсивность которого является суммой интенсивностей независимых шумовых слагаемых, то есть им соответствует слагаемое [0.5 sin2 e + 0.5(cos e - 1)2]1/2 о ^(t) = = y/1 - cos e о ^(t). При рассмотрении состояний неидеальной синхронности можно заметить расхождения в уравнениях: это вызвано тем, что опорная фаза, используемая в настоящей работе, эквивалента фазе параметра порядка только при идеальной синхронности ансамбля.
Определим условия нормировки для h(e) и f (e) (и, следовательно, В(ф)). Эти условия можно задать выбором масштабов для ц и e, соответственно. Из уравнения (18) видно, что глобальная связь при малых отклонениях e (вблизи полной синхронизации) существенным образом определяется функцией h(e). В связи с этим естественно выбрать следующее условие нормировки:
lim Ш = 1.
в^о e
Далее в тексте будет показано, что важной характеристикой восприимчивости фазы к интенсивности шума В(ф) является интегральная величина ([В'(ф)]2)ф. Поскольку традиционно в работах
по исследуемой проблеме принимается В(ф) = sin ф, целесообразно для удобства сопоставления с более ранними работами [19,20] использовать следующее условие нормировки:
1 fi2
([в'(ф)]2)ф = - или f(0) - f(в) = -4 + о(е4).
2. Ансамбли идентичных осцилляторов
2.1. Случай без внутреннего шума. Для осцилляторов с одинаковыми собственными частотами (ю = 0) без внутреннего шума возможно состояние полной синхронизации, и основной интерес представляет изучение свойств устойчивости такого состояния. В отличие от систем Отта-Антонсена, для динамики параметра порядка в которых может быть получена конечномерная система уравнений, и, соответственно, переход к полной синхронизации может быть описан в терминах параметра порядка, для осцилляторов общего вида выбор количественной характеристики степени синхронности не так однозначен. В настоящей работе будут рассмотрены две характеристики устойчивости: (1) показатель Ляпунова для осциллятора, отклоняющегося от синхронного кластера, и (2) динамика функции плотности вероятности W(G,t) вблизи состояния полной синхронизации.
Для осциллятора, инфинитезимально отклоняющегося от синхронного кластера, имеем Я(6) = h(G), |0| ^ 1. Тогда уравнение Ланжевена (18) при ю = о = 0 дает
G = -(хб - е2([В'(ф)]2)фе + е[([В'(ф)]2)ф] 1/26 о £(t), (19)
откуда
d ^2 X ^ <dd lnG) = - х - е2([В'(ф)]2)ф = -х - £- . (20)
Состояние полной синхронизации является притягивающим при X < 0, то есть при воздействии как притягивающей, так и небольшой отталкивающей связи.
Рассмотрим динамику W(G) вблизи состояния полной синхронизации. Из уравнений (16) и(17) следует
д д f2 д2
dtW - хде(GW >- у де2 с2 W = °- (21)
Если распределение W(G) является четным, можно умножить уравнение (21) на Gn и проинтегрировать от 0 до
dd<|G|n) + nх<|G|n) - e2<|G|n) = 0 ,
или
ddt ln<|G|n) = n (- х - (1 - n)y) = n (x + nf) . (22)
Уравнение (22) описывает процесс локализации (или делокализации) распределения со временем. Важно заметить, что сходимость интеграла <|G|n) требует, чтобы W(G) убывала при больших G не медленнее, чем 1/G1+n+E, где е > 0. Для n ^ +0 этот интеграл сходится для любого распределения, которое может быть нормировано (то есть не является S-функцией). В этом случае условием «схлопывания» распределения является X < 0. Различные скорости и условия затухания <|G|n) для n > 0 отражают свойства локализации распределения W(G) по G. Полученное распределение всегда имеет «тяжелые» степенные хвосты, что находит свое отражение в свойствах сходимости интеграла / W(G) |G |ndG и условиях его затухания со временем.
2.2. Случай наличия внутреннего шума. При о = 0 уравнения (16) и (17) дают
£> - 4 ) - (нГ + о2) >) =0- <23>
Ограничим рассмотрение ситуацией о ^ е, так как в противном случае состояние ансамбля будет всегда далеко от синхронности. Стационарное решение уравнения (23) имеет вид
^<в) = т2П(1±тЦ о Л + ^ у('+га), (24)
^/2лГ( 2 + т) о\ 2о2 )
где
ц
т = •
е2
Распределение (24) является локализованным при произвольной малой амплитуде внутреннего шума о; оно может быть нормировано только при условии т > -1/2, что соответствует X < 0.
При т = 0 уравнение (24) переходит в распределение Лоренца, которое было получено для случая системы без связи в работе [15].
3. Ансамбль осцилляторов с малой расстройкой частот
3.1. Аналитическая теория. Найдем поток плотности вероятности для стационарного распределения. Для этого проинтегрируем уравнение (16)
д = (ю + ц Й(-в)) > - дв ((2е2[/(0) - /(в)] + о2) >ю) , (25)
где константа интегрирования д является потоком плотности вероятности. Тогда расстройка средней частоты <в) = 2пд. Формальное решение уравнения (25) имеет вид
е+2я / Ф \
+ 14. е*р( - ю + Ц^» ^
„ ч . 2е2[/(0) - /(в)] + о2 у
^ = - / (в)] + ' + \ 1 • (26)
«"(У"*2е2[/(0) - /№] + о^ - 1
Поток вероятности д может быть найден из условия нормировки >ю (в) dв = 1. Уравнение (26) может быть представлено в более информативном виде, если заметить, что при о ^ е основной вклад в интеграл по д вносит интервал малых д, при которых знаменатель мал. Для этого интервала можно ввести подстановку
цй(-д) = т(2е2[/(0) - /(д)] + о2)' + цй^-д),
где
цЯ(-д) ц
т = Пш - = —
д->0 (2е2[/(0) - /(д)]+ о2)' е2'
разложение функции Йге8(-д) в ряд Тейлора начинается со слагаемого, пропорционального д2
(то есть становится не малым только тогда, когда подынтегральная функция уже существенным образом «подавляется» знаменателем), и, более того, для систем, в которых f (Ф) ~ cos Ф и Л,(Ф) ~ — sinФ (см., например, [19,20]), вклад ^res(d) исчезает. Тогда уравнение (26) можно записать в виде
9+2п /У \
q + (2-2[f (0) — f (У)] + o2)-m ех/ — f dd Ю + ^es(—ф) \
q J dy (2-2[f (0) — f (9)] + o2)1-m e ^ J d 2-2[f (0) — f (Ф)] + o2^
W„(9) = —9---9-, (27)
( /J« Ю + ^^res(—Ф) \ 1
exp(/d* 2-2[f (0) — /(«)] + oy — 1 4 0 7
/ /" Ю + ■^res(—ф) ^
(9) ex4/ 2-2[f (0) "/(»)] + o^ — 1
2П = 2п 9+2п / У
í d9+dy (0) — f (У)]+ QT ex^ — í d^ ю + ф)
(28)
(2-2[f (0) — f (9)]+ o2 )1-m \ J 2-2[f (0) — f (Ф)] + o2
Далее в этом подразделе будут выведены асимптотические законы для зависимости (0) от ю, описываемой уравнением (28).
Для уравнения (28) при о ^ е можно выделить две характерные области зависимости ((3) от ю. Сначала рассмотрим область, где ю не мала по сравнению с и окрестность
0 = 0 вносит основной вклад в интеграл Ф, так как в этом случае знаменатель подынтегральной функции мал. Пренебрегая о и используя те же приближения, что и в Приложении B работы [21], можно получить
. л/яГ(|ш + 21 + 1 )е2 / ю \ |2-+1| (29)
^ ' ~ Г(|т + Ю Г(|2т + 1|) ' 1 ;
Здесь Г( ) - это Гамма-функция.
Рассмотрим теперь окрестность ю = 0. В этой окрестности вкладом члена в интеграл по Ф пренебрегать нельзя. При ю ^ о2 можно ввести малую поправку в уравнение (25) в виде Ж = Жо + Ж + ..., д = 51 + ..., где д„ ~ юп;
0 = цЙ(-0)Жо - (2е2[/(0) - /(0)] + о2)Жо) , (30)
д1 = юЖо + цй(-в)^1 - (2е2[/(0) - /(0)] + о2)^) . (31)
Ненормированное решение уравнения (30) имеет вид
^ ^гез(-Ф)ёФ
exp
Wo(9) = ч Jo 2-2[f(Q) — f(9)l + °2
0 2 1-m
(2е2 [/(0) - /(0)] + о2
где интеграл в показателе экспоненты конечен, так как подынтегральная функция конечна на
и
всем интервале интегрирования. Эрмитово-сопряженная задача для (30) и ее решение имеют
вид
д
0 = цЯ(-в)>0+ + (2е2[/(0) - /(в)] + о2) дв>0+
>0+(в) =
ехр -
ц Ягез(-д) dд
10 2е2 [/(0) - /(в)] + о2
(2е2[/(0) - /(в)]+ о;
2\ т
Умножая уравнение (31) на >+ и интегрируя по в, получаем
<в) И 2пд1 = ,+." . ю •
(32)
Таким образом, для ю ^ 0 степенной закон зависимости (29) сменяется линейной зависимостью.
При о ^ е выражение для коэффициента пропорциональности этой зависимости может быть упрощено, что позволяет увидеть некоторые его свойства в явном виде. Так, при о ^ е
<>0+>0)в
сл/2
ое
<>0+)в
т 2
<>0)в
'0 /(0) - /(д)
(2е2)т \ [/(0) - /(в)]т [Л 1 + ет/гвв г(т - 2) 2 ео2т-1 Г(т) '
1 + в-т/ге8 Г(2 - т) 2 ео1-2т Г(1 - т) '
1
/0 /(0) - /(д)
(2е2)
2А1-т
[/(0) - / (в)]
1—т
т< 2'
т> 2'
т< 2
т > -2
где = -
-ЙГев(-д) dд
2 Л /(0) - /(д)
. Таким образом,
<в)
' 2т+2п3/2 / е \ 2т Г(1 - т) 1 + е-т/гев иу Г( 1 - т)
т [в -^(-д)^
/е 2 Л /(0) - /(д) \ \ [/(0) - /(в)]т
23-тп3/2 , о\2m-2 Г(т) 1 + ет1гвв и У Г(т - 1)
-ю,
т " 2
-^(-д) dд /0 / (0) - / (д)
[/(0) - /(в)]
1-т
1
т< 2
ю, т > -
(33)
1
е
в
1
2
е
в
1
е
Уравнение (33) может быть представлено в виде
(9) « C(т) (£)
О\ |2т-1|-1
ш,
где явно указано, что коэффициент C зависит только от отношения m = ^/е2. Точный вид этой зависимости определяется свойствами конкретной системы. Заметим, что для систем с малым hres (то есть для осцилляторов, близких к гармоническим) интеграл Jres ^ 0 и выражения (33) могут быть упрощены
(9)
2m+1 п3/2
([/(0) - / (в)]-
22-m П3/2
£ \ 2т Г(1 - m) о) Г(2 - m)
1
([/(0) - /(в)]—1 )вв (£)
2т-2
Г(т) Г(т - 2)
ш,
т <
1
т> 2
В следующем разделе проведено сопоставление полученных аналитических выражений (28) и асимптотических законов (29) и (32) с результатами прямого численного моделирования для нескольких типичных систем.
3.2. Сопоставление теории и результатов численного моделирования. На рис. 1 проиллюстрировано влияние глобальной связи на ансамбль конечного числа нелинейных осцилляторов при наличии общего шума. Можно заметить, что в этом случае захват частот становится невозможным при притягивающей связи конечной силы (рис. 1, Ь), тогда как в отсутствие шума при достаточно сильной связи частоты становятся одинаковыми (рис. 1, а). Общий шум оказывает синхронизирующее влияние на систему, поэтому параметр порядка Я = (|Ж-1 ^^ может быть достаточно большим даже при наличии несильной отрицательной связи. Следует заметить, что синхронизация состояний осцилляторов (которая может происходить также при умеренной отталкивающей связи) не обязательно влечет за собой сближение средних частот.
Рис. 1. Ансамбль 201 осциллятора ван дер Поля с глобальной связью (34): a - в отсутствие общего шума и b - при амплитуде общего шума Г = 0.2. Параметры: а = 0.5, амплитуда внутреннего шума ГГ = 10-5. Частоты линейных колебаний wj имеют гауссово распределение со средним значением йо = 1. Отклонение средней частоты индивидуального осциллятора от средней по ансамблю частоты построено для 9 случайно выбранных осцилляторов. Параметр порядка R = (|N-1 Y^j |)t изображен штриховой линией
Fig. 1. Ensemble of 201 van der Pol oscillators with global coupling (34): a - without common noise, b - with common noise of strength Г = 0.2. Parameters: а = 0.5, intrinsic noise strength a = 10-5. Linear oscillation frequencies Wj obey Gaussian distribution with mean value Wо = 1. The deviation of the average frequency of an individual oscillator from the ensemble-mean frequency is plotted for 9 arbitrary chosen oscillators. The order parameter R = (|N-1 j |)t is plotted as a dashed line
)
2
в
Напротив, при отрицательной связи частоты оказываются разбросаны сильнее, чем в случае отсутствия связи (см. рис. 1, Ь). Однако в случае, когда общего шума нет, влияние отрицательной связи на средние частоты почти исчезает, так как в слагаемом, описывающем глобальную связь, среднее поле становится почти нулевым (некоторые небольшие ненулевые значения К появляются из-за того, что рассматривается система конечного размера - в термодинамическом же пределе N ^ то среднее поле К ^ 0).
Для примера рассмотрим несколько типичных осцилляторов.
(а) Ансамбль осцилляторов ван дер Поля
~ N
Х = У? > У? = а(1 - 4х2)У? - ? + N Е(Ус - У?) + + (34)
где а - бифуркационный параметр (чем больше а, тем сильнее выражена ангармоничность осцилляторов). Здесь и далее знак тильда над коэффициентами означает, что они не являются нормированными, как коэффициенты в уравнениях фазового приближения; параметр й также может отличаться от циклической частоты нелинейных колебаний.
(б) Ансамбль осцилляторов Рэлея
4 ~ N
= У? > у? = а(1 - 4У2)У? - й2Х + Е(У* - У?) + + (35)
й=1
Осциллятор Рэлея при дифференцировании уравнений по времени переходит в осциллятор ван дер Поля; следовательно для этих систем восприимчивость фазы к глобальной связи должна быть идентична. Сопоставление результатов вычисления этой восприимчивости для осцилляторов ван дер Поля и Рэлея может служить тестом точности используемых алгоритмов численного нахождения характеристик фазового приближения. Вместе с тем, влияние внутреннего и общего шума на фазовую динамику систем (34) и (35) различно, поскольку при интегрировании системы (34) по времени она переходит в систему (35) с точностью до замены переменных (ж?, у?) ^ (Х?, у?). Однако шумы становятся не 8-коррелированными, а интегралами по времени от таковых, то есть винеровскими процессами.
(в) Ансамбль осцилляторов ван дер Поля-Дюффинга
~ N
Х = У?> У? = а(1 - 4х2)У? - й2ж7 - + ^ Е^ - У?) + + (4)> (36)
где параметр Ь задает неизохронность осцилляторов: чем больше Ь, тем более неизохронны колебания с различной амплитудой.
(г) Ансамбль систем ФитцХью-Нагумо [34,35]
~ N
^ = V? - и|/3 - ад? + Тех? + (^ - V?)+ ЗД + (*), г? = 0.12(и? +0.7 - 0.8г?),
й=1
(37)
где V? - напряжение на мембране нейрона, г? - переменная линейного восстановления, ТеХ? - внешний стимул.
На рис. 2 показано явление притяжения (или отталкивания) частот в таких системах при наличии притягивающей или отталкивающей глобальной связи.
с d
Рис. 2. Расстройка средней частоты (9} в зависимости от расстройки собственной частоты ю для большого ансамбля осцилляторов с общим и внутренним шумами (прямое численное моделирование): a - осцилляторы ван дер Поля (34) для а = 1 и ^ = 0.021, 0.014, 0.007, 0, -0.007, -0.014 (см. снизу вверх по правой стороне графика), другие параметры см. на рис. 8, a; b - осцилляторы Рэлея (35) для тех же значений параметров а и другие параметры см. на рис. 8, b; c - осцилляторы ван дер Поля-Дюффинга (36) для а = b =1 и ^ = 0.0135, 0.009, 0.0045, 0, -0.0045, -0.009, другие параметры см. на рис. 9; d - система ФитцХью-Нагумо (37) для ^ = 0.006, 0.003, 0, -0.003, -0.006, другие параметры см. на рис. 10
Fig. 2. The average frequency shift (9} as a function of the natural frequency mismatch ю for a large ensemble of oscillators subject to common and intrinsic noises (results of direct numerical simulations): a - van der Pol oscillators (34) for а = 1, ^ = 0.021, 0.014, 0.007, 0, -0.007, -0.014 (see from bottom to top on the graphic right hand side), the others parameters are as in Fig. 8, a; b - Rayleigh oscillators (35) for the same parameters а = 1, the others parameters are as in Fig. 8, b; c -van der Pol-Duffing oscillators (36) for а = b = 1, ^ = 0.0135, 0.009, 0.0045, 0, -0.0045, -0.009, the others parameters are as in Fig. 9; d - FitzHugh-Nagumo systems (37) for ^ = 0.006, 0.003, 0, -0.003, -0.006; the others parameters are as in Fig. 10
Рис. 3-6 иллюстрируют свойства фазовой модели, рассчитанные для систем (34)-(37). Вычисления проводились с использованием модифицированной версии программы для пакета аналитических вычислений Maple 6, предоставленной в сопроводительных материалах к работе [36]. Для осцилляторов ван дер Поля и Рэлея расчетная восприимчивость фазовой динамики к глобальной связи совпадает с точностью примерно 10-4: на рис. 3, d, e и рис. 4, d, e кривые визуально неотличимы.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0/2л 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 9/2и
ко)—■—г
0.5-
Рис. 3. Характеристики фазового приближения для осциллятора ван дер Поля (34) для а = 1: a - предельный цикл; b - кривая фазового отклика (восприимчивость фазы к шуму) В(ф); c - функция f (6), определяющая синхронизирующее действие шума (см. уравнения (18), (25) или (28)) (здесь окружностями отмечено гармоническое приближение f (6)); d, e - восприимчивость фазы h(6) к слагаемому связи в случае (jx/N) k(xk — xj) и (j/N) k(Vk — Vj)> соответственно (здесь окружностями и квадратами представлены, соответственно, гармоническое приближение и приближение Отта-Антонсена для функции h(6)); f - остаточная часть h(6) для случаев у- и x-связи (сплошная и штриховая линии, соответственно)
Fig. 3. Phase reduction properties of van der Pol oscillator (34) for а = 1: a - limit cycle orbit; b - phase resetting curve В(ф) (susceptibility of the phase to noise); c - function f (6) determining the synchronizing action of noise (see eqs. (18), (25) or (28)) (the harmonic approximation of f (6) is plotted with the circles); d,e - the susceptibility h(6) of the phase to the coupling term for the cases of (jГ/Nk (xk — Xj) and (jГ/Nk (Vk — Vj) terms in y, respectively (the circles and the squares represent the harmonic and Ott-Antonsen approximations of h(6), respectively); f - the residual part of h(6) for the cases of the y- and x-coupling are plotted with solid and dashed lines, respectively
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 ф/2я
0.8 0/2я 0.0 d
-0.5-
0.6 0.8 0/2я
0.0 0.2
0.6 0.8 9/2я
Рис. 4. Характеристики фазового приближения для осциллятора Рэлея (35) с а = 1. Описание приведено в подписи к рис. 3
Fig. 4. Phase reduction properties of Rayleigh oscillator (36) with а =1. For description see caption to Fig. 3
На рис. 7 представлены результаты прямого численного моделирования для ансамбля осцилляторов (34). Прямое численное моделирование в этом и последующих случаях проведено для ансамбля из 81 осциллятора. Известно, что конечность ансамбля существенно сказывается на динамике не только отдельных элементов, но и параметров порядка (см., например, [37,38]). Поскольку целью данного прямого численного моделирования является проверка корректности аналитической теории, строящейся в термодинамическом пределе больших ансамблей, актуален вопрос, является ли ансамбль 81 осциллятора достаточно большим? Здесь важны два момента. Во-первых, конечность ансамбля со случайным набором частот с заданным распределением приводит к существенной флуктуации реализующегося распределения. Для различных ансамблей с похожей реализацией распределения частот макроскопическая динамика оказывается существенно схожей [37]. В связи с чем, генерируя регулярный набор частот с заданным распределением, то есть, устраняя случайную компоненту флуктуации распределения частот, можно существенно уменьшить влияние дискретности набора. Во-вторых, теория справедлива для ситуаций с высокой степенью синхронности ансамбля, когда неидеальность синхронности в численном счете проявляет себя как малая поправка к динамике системы. Корректировка такой поправки из-за
/
Рис. 5. Характеристики фазового приближения для осциллятора ван дер Поля-Дюффинга (36) с a = b = 1. Описание приведено в подписи к рис. 3
Fig. 5. Phase reduction properties of van der Pol-Duffing oscillator (36) with a = b =1. For description see caption to Fig. 3
конечности ансамбля оказывается несущественной для ансамбля из 81 осциллятора. Детальное исследование влияния конечности ансамбля остается за рамками настоящей работы.
Можно видеть, что результаты прямого численного моделирования хорошо согласуются с построенной аналитической теорией (пунктирные линии). Кроме того, можно наблюдать согласие полученных результатов со степенным законом (29) при больших ш и с линейным законом (32) при малых ш.
На представленных графиках можно заметить регулярный сдвиг между аналитическими и численными результатами при ш ^ 0. Для того чтобы понять природу этого сдвига, обратимся к результатам, полученным для ансамблей Курамото и Курамото-Сакагучи [19,20], для которых возможно учитывать неидеальность синхронизации строгим образом. Для случаев идеальной синхронизации при ш ^ 0 наблюдается только степенной закон (29) (этот закон был аналитически получен в Приложении B работы [21]). Переход к линейной зависимости наблюдается при очень малых ш исключительно как результат неидеальности синхронизации. В настоящей работе эффекты, связанные с неидеальностью синхронизации, не могут быть введены в рассмот-
b
e
Рис. 6. Характеристики фазового приближения для системы ФитцХью-Нагумо (37): a - режим устойчивых периодических колебаний; b,c - см. подпись к рис. 3; d - восприимчивость фазы h(6) к глобальной связи (квадраты соответствуют приближению Отта-Антонсена); e - остаточная часть h(6)
Fig. 6. Phase reduction properties of FitzHugh-Nagumo model (37): a - the regime of stable periodic oscillations; b, c - see caption to Fig. 3; d - susceptibility h(8) of the phase to the coupling term (the squares show its Ott-Antonsen approximation); e - the residual part of h(8)
рение достаточно простым способом. С другой стороны, в настоящей работе может быть учтено влияние внутреннего шума. Такое рассмотрение является корректным с точки зрения иерархии малости параметров - что может быть видно из самой процедуры вывода основных уравнений, начиная с уравнения (11). Однако оно не может быть расширено за пределы ведущего порядка теории возмущений, так как в слагаемом связи отклонение параметра порядка от 1 считается пренебрежимо малым. Математически это предположение о высокой степени синхронности ансамбля выражается приближением h(6) = h(6). В рассмотрении настоящей работы влияние внутреннего шума (в общем виде) в итоге проявляется в слагаемом с о2 в уравнении (25), тогда как в работах [19,20] слагаемое точно того же вида появляется вследствие неидеальности синхронизации. Таким образом, некоторый фиксированный уровень аддитивного внутреннего шума может имитировать влияние неидеальности синхронизации. Действительно, при интенсивности шума До2 = 0.28 ■ 10-4 аналитические результаты (жирная линия на рис. 7) практически полностью соответствуют результатам прямого численного моделирования.
10"5 10"4 ю-'
Рис. 7. Притяжение (отталкивание) частот в большом ансамбле глобально связанных осцилляторов ван дер Поля (34), подверженных воздействию общего шума амплитуды е = 0.1 и внутреннего шума амплитуды а = 0.005. Параметр нелинейности а = 0.5; собственные частоты линейных колебаний юj имеют гауссово распределение со средним ю0 = 1 и стандартным отклонением 10-4; коэффициент связи а = 0.014, 0.007, 0, -0.007 (см. снизу вверх по левой стороне графика). Окружности - результаты прямого численного моделирования; штриховые линии - аналитическая теория (28) с характеристиками фазового приближения, подобными приведенным на рис. 3-6; сплошные линии -теория (28), скорректированная дополнительным эффективным внутренним шумом интенсивности Да2 = 2.8 • 10-5 для учета влияния неидеальной синхронности ансамбля; пунктирные линии - степенной закон (6} о: rn2m+1 для m = 0.44, 0.22, -0.22 (см. снизу вверх), что соответствует уравнению (29). Другие характеристики фазового приближения, подобные приведенным на рис. 3-6: |л/ю = 0.4853..., е2/е2 = 1.082..., а2/а2 = 0.5254...
Fig. 7. Frequency entrainment (anti-entrainment) for a large ensemble of the globally coupled van der Pol oscillators (34) subject to common white Gaussian noise of strength Ю =0.1 and intrinsic noise of strength а = 0.005. The nonlinearity parameter а = 0.5; the natural frequencies of linear oscillations c5j are distributed according to the Gaussian with the mean value ю0 = 1 and standard deviation 10-4; from bottom to top the coupling coefficient а = 0.014, 0.007, 0, -0.007. Circles - the results of numerical simulation; dashed lines - the results of the analytical theory (28) with the phase reduction characteristics similar to those shown in Figs. 3-6; solid lines - the results of the theory (28) corrected by an additional effective intrinsic noise of intensity Да2 = 2.8 • 10-5 in order to resemble the effect of imperfect synchrony of the population; the dotted lines - the power law (6} ж rn2m+1 for m = 0.44, 0.22, -0.22 (see from bottom to top), which is suggested by Eq. (29). The others phase reduction characteristics similar to those presented in Figs. 3-6: |л/а = 0.4853..., е2/Ю = 1.082..., а2/а2 = 0.5254...
На рис. 7-10 видно, что результаты построенной аналитической теории с функциями f (6) и h(6), представленными на рис. 3-6, хорошо согласуются с результатами прямого численного моделирования для сильно нелинейных осцилляторов ван дер Поля, Рэлея и ван дер Поля-Дюффинга и систем ФитцХью-Нагумо (уравнения (34), (35), (36) и (37), соответственно).
Особо следует разобрать графики (c)-(e) на рис. 3-5. Для осцилляторов, близких к гармоническим, можно записать
~ N
Xj + Xj + N(Xj, Xj) = (Xk — Xj) + + ~Zj(t)>
k=l
где N (xj ,Xj) означает малое нелинейное слагаемое. Это уравнение соответствует уравнениям типа Курамото при h = sin 6 (или h = 1 — cos 6 для случая реактивной связи) и f = 0.5 cos 6. Для более широкого класса осцилляторов, допускающих применение подхода Отта-Антонсена, имеем h = sin(0 + в) — sin в и f = 0.5 cos 0. На рис. 3-5 (см. фрагменты (с) и (d)) видно,
a b
Рис. 8. Притяжение (тталкивание) частот (см. рис. 7) для: a - осцилляторов ван дер Поля (34) и b - осцилляторов Рэлея (35); параметры а = 1, ! = 0.021, 0.014, 0.007, 0, -0.007, -0.014 (см. снизу вверх по левой стороне графика). По сравнению с рис. 7, для воспроизведения влияния неидеальной синхронности ансамбля требуется более слабый дополнительный эффективный внутренний шум Да2: 1.5 • 10-5 (a) и 10 5 (b). Другие характеристики фазового приближения, представленные на рис. 3 и 4: a - а/! = 0.4456..., е2/а2 = 1.287..., а2 /а2 = 0.5800...; b - а/! = 0.4466..., е2/!2 = 2.183..., а2/а2 = 0.5560...
Fig. 8. Frequency entrainment (anti-entrainment) as in Fig. 7 for: a - van der Pol oscillators (35); b - Rayleigh oscillators (35); а = 1, а = 0.021, 0.014, 0.007, 0, -0.007, -0.014. Compared to Fig. 7, a weaker additional effective intrinsic noise is needed to resemble the effect of the imperfectness of the population synchrony: Да2 = 1.5 • 10-5 (a) and 10-5 (b). The others phase reduction characteristics presented in Fig. 3 and 4: a - а/! = 0.4466..., е /а2 = 2.183..., а2/а2 = 0.5560...;
b - а/! = 0.4466..., е2/!2 = 2.183..., а2/а2 = 0.5560...
Рис. 9. Притяжение (отталкивание) частот (см. рис. 7) для осцилляторов ван дер Поля-Дюффинга (36) для а = b = 1 и а = 0.0135, 0.009, 0.0045, 0, -0.0045, -0.009 (см. снизу вверх по левой стороне графика). Здесь Да2 = 1.4 • 10-5 (прочие параметры см. рис. 7). Из характеристик фазового приближения, представленных на рис. 5: а/! = 0.4658..., е2/! = 0.8806..., а2/а2 = 0.4050...
Fig. 9. Frequency entrainment (anti-entrainment) as in Fig. 7 for van der Pol-Duffing oscillators (36) for а = b =1 and аа = 0.0135, 0.009, 0.0045, 0, -0.0045, -0.009 (see from bottom to top on the graphic left hand side). Here Да2 = 0.14 • 10-4, all other parameters are the same as in Fig. 7. From the phase reduction characteristics presented
in Fig. 5, one finds а/а
а2/а2 = 0.4050...
0.4658..., е2/!2 = 0.8806...,
Рис. 10. Притяжение (отталкивание) частот, как на рис. 7, для систем ФитцХью-Нагумо (37) в режиме периодических автоколебаний. Здесь еТ = 0.05, а = 0.001, Jext,j имеют гауссово распределение со средним /ext,o = 0.5 и стандартным отклонением 0.5 • 10-6, ¡1 = 0.006, 0.003, 0, -0.003 (см. снизу вверх по левой стороне графика), -0.006 и Аа2 = 10-6. Из характеристик фазового приближения, представленных на рис. 6: а/а = 0.3101..., е2/? = 4.730..., а2/а2 = 0.4881...
Fig. 10. Frequency entrainment/anti-entrainment as in Fig. 7 for FitzHugh-Nagumo systems (37) in the regime of periodic spiking. Here e = 0.05, а = 0.001, Jext,j is distributed according to the Gaussian distribution with the mean value /ext,0 = 0.5 and standard deviation 0.5 • 10-6, а = 0.006, 0.003, 0, -0.003, - 0.006 (see from bottom to top on the graphic left hand side), and Аа2 = 10-6. From the phase reduction characteristics presented in Fig. 6, one finds а/а = 0.3101..., е /е2 = 4.730..., а2/а2 = 0.4881...
что f и h для существенно нелинейных осцилляторов близки к их гармоническим приближениям (помечено кружочками) и практически неотличимы от приближения Отта-Антонсена (помечено квадратами), даже если форма В(ф) далека от синусоидальной. Так как эффект притяжения (отталкивания) частот полностью определяется видом функций f(9) и h(9), можно предположить, что результаты для осцилляторов ван дер Поля, Рэлея и ван дер Поля-Дюффинга должны быть аналогичны результатам, полученным для систем, к которым применим подход Отта-Антонсена [19-21]. Таким образом, результаты, полученные ранее с помощью подхода Отта-Антонсена, оказываются даже более значимыми, чем можно было изначально ожидать, так как, с одной стороны, они позволяют строго описать роль неидеальности синхронности, а с другой стороны, являются эквивалентными результатам для систем, для которых этот подход неприменим.
Для сильно нелинейных систем ФитцХью-Нагумо функции f (9) и h(9) оказываются достаточно далеки от синусоидального приближения (рис. 6, c, d), поэтому нет оснований заведомо ожидать, что результаты будут близки к результатам, полученным для систем типа Отта-Антонсена. Тем не менее аналитическая теория, основанная на фазовом приближении, дает достаточно точные результаты (рис. 10), и эти результаты качественно похожи на результаты для других нелинейных осцилляторов.
Заключение
В настоящей работе построена аналитическая теория совместного влияния общего шума и глобальной связи на процессы синхронизации в ансамблях осцилляторов с гладким предельным циклом общего вида. Теория является математически строгой для высоко синхронных состояний; она учитывает возможную неидентичность осцилляторов, а также влияние внутренних шумов. Теория развита в рамках фазового приближения, построенного с учетом амплитудных степеней свободы.
Получено условие синхронизации ансамбля идентичных осцилляторов при отрицательной связи а. Показано, что плотность вероятности отклонений фаз осцилляторов 9, вызванных наличием внутренних шумов, всегда имеет «тяжелые» хвосты a: 1/|9|2(1+m), где m = а/е2 и е - амплитуда общего шума. Если амплитуда общего шума е стремится к нулю, показатель m стремится к бесконечности, но закон все еще носит степенной характер. Тем не менее при е = 0
расстройки фаз 6 при слабом шуме имеют гауссово распределение. Таким образом, наличие общего шума качественно меняет статистические свойства фазовых отклонений в состояниях высокой степени синхронности.
Для ансамблей слабо неидентичных осцилляторов были получены законы асимптотического поведения для средних частот (0) как функций собственных частот ю. Были выделены две области, для которых могут быть получены асимптотические законы: (1) при умеренно малых ю имеем (6) a ю|2т+11 и (2) при ю ^ 0 имеем (6) « c(m) ю. Полученный закон для первой области при притягивающей связи (^ > 0) означает сильное взаимное притяжение средних частот осцилляторов: наклон зависимости ((6)(ю) стремится к 0 при малых ю. В области линейной зависимости коэффициент c(m) < 1, то есть для различных осцилляторов в ансамбле средние частоты отличаются слабее, чем их собственные частоты. Для отталкивающей связи (^ < 0) при умеренно малых ю полученная зависимость соответствует сильному расхождению средних частот: наклон зависимости ((6)(ю) стремится к вертикали при малых ю. В области линейной зависимости коэффициент c(m) > 1, то есть средние частоты осцилляторов диспергированы сильнее, чем собственные.
Сравнивая уравнение (25) с аналогичным уравнением в работах [19,20], можно заметить, что интенсивность внутреннего шума о2 влияет на средние частоты ((6) точно таким же образом, как неидеальность синхронизации, вызванная разбросом частот в системах типа Отта-Антонсена.
В построенной теории используется кривая фазового отклика В(ф) и восприимчивость фазы к глобальной связи h(6), которые могут быть вычислены для любых осцилляторов с устойчивым предельным циклом. Для примера приведены результаты вычислений для нелинейных осцилляторов ван дер Поля, Рэлея, ван дер Поля-Дюффинга, а также для систем ФитцХью-Нагумо в режиме периодической генерации импульсов (см. рис. 3-6). Результаты аналитической теории хорошо согласуются с результатами прямого численного моделирования (см. рис. 7-10).
Библиографический список
1. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М: Техносфера, 2003. 496 с.
2. Winfree A.T. Biological rhythms and the behavior of populations of coupled oscillators // J. Theoret. Biol. 1967. Vol. 16. P. 15-42.
3. Kuramoto Y Self-entrainment of a population of coupled non-linear oscillators // International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics. January 23-29, 1975, Kyoto University, Kyoto, Japan. Ed. H. Araki. Springer Lecture Notes in Physics. No. 39. New York: Springer, 1975. P. 420-422.
4. Kuramoto Y Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. New York: Dover, 2003.
5. Kawamura Y., Shirasaka Sh., Yanagita T., Nakao H. Optimizing mutual synchronization of rhythmic spatiotemporal patterns in reaction-diffusion systems // Phys. Rev. E. 2017. Vol. 96. 012224.
6. Taira K., Nakao H. Phase-response analysis of synchronization for periodic flows // J. Fluid Mech. 2018. Vol. 846. R2. https://doi.org/10.1017/jfm.2018.327
7. Nakao H., Yasui Sh., Ota M., Arai K., Kawamura Y. Phase reduction and synchronization of a network of coupled dynamical elements exhibiting collective oscillations // Chaos. 2018. Vol. 28. 045103.
8. Pikovskii A.S. Synchronization and stochastization of nonlinear oscillations by external noise //
Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. Vol. 3. Ed. Sagdeev R.Z. Chur: Harwood Academic, 1984. P. 1601-1604.
9. Пиковский А.С. Синхронизация и стохастизация ансамбля автогенераторов внешним шумом // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27, № 5. С. 576-581.
10. Ritt /.Evaluation of entrainment of a nonlinear neural oscillator to white noise // Phys. Rev. E.
2003. Vol. 68. 041915.
11. Teramae J.N., Tanaka D. Robustness of the noise-induced phase synchronization in a general class of limit cycle oscillators // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. 204103.
12. Голдобин Д.С., Пиковский А.С. О синхронизации периодических автоколебаний общим шумом // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, № 10-11. С. 1013-1019.
13. Pakdaman K., Mestivier D. Noise induced synchronization in a neuronal oscillator // Phys. D.
2004. Vol. 192. P. 123-137.
14. Snyder J., Zlotnik A., Hagberg A. Stability of entrainment of a continuum of coupled oscillators // Chaos. 2017. Vol. 27. 103108.
15. Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization and desynchronization of self-sustained oscillators by common noise // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. 045201.
16. Garcia-Alvarez D., Bahraminasab A., Stefanovska A., McClintock P.V.E. Competition between noise and coupling in the induction of synchronisation // Europhys. Lett. 2009. Vol. 88. 30005.
17. Nagai K.H., Kori H. Noise-induced synchronization of a large population of globally coupled nonidentical oscillators // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. 065202.
18. OttE., Antonsen T.M. Low dimensional behavior of large systems of globally coupled oscillators // Chaos. 2008. Vol. 18. 037113.
19. Pimenova A.V., Goldobin D.S., Rosenblum M., Pikovsky A. Interplay of coupling and common noise at the transition to synchrony in oscillator populations // Sci. Rep. 2016. Vol. 6. 38518.
20. Голдобин Д.С., Долматова А.В., Розенблюм М., Пиковский А. Синхронизация в ансамблях Курамото-Сакагучи при конкурирующем влияния общего шума и глобальной связи // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 6. C. 5-37.
21. Dolmatova A.V., Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization of coupled active rotators by common noise // Phys. Rev. E. 2017. Vol. 96. 062204.
22. Wiener N.Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine. 2nd ed. Cambridge: MIT Press, 1965.
23. Watanabe S., Strogat S.H.Constant of motion for superconducting Josephson arrays // Phys. D. 1994. Vol. 74. P. 197-253.
24. Pikovsky A., Rosenblum M. Partially integrable dynamics of hierarchical populations of coupled oscillators // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. 264103.
25. Marvel S.A., Mirollo R.E., Strogatz S.H. Identical phase oscillators with global sinusoidal coupling evolve by Mobius group action // Chaos. 2009. Vol. 19. 043104.
26. Tyulkina I.V., Goldobin D.S., Klimenko L.S., Pikovsky A. Dynamics of noisy oscillator populations beyond the Ott-Antonsen ansatz // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 120. 264101.
27. Goldobin D.S., Tyulkina I.V., Klimenko L.S., Pikovsky A. Collective mode reductions for populations of coupled noisy oscillators // Chaos. 2018. Vol. 28. 101101.
28. Totz J.F., Rode J., Tinsley M.R., Showalter K., Engel H. Spiral wave chimera states in large populations of coupled chemical oscillators // Nature Physics. 2018. Vol. 14. P. 282-285.
29. Goldobin D.S., Pikovsky A. Antireliability of noise-driven neurons // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. 061906.
30. Wieczorek S. Stochastic bifurcation in noise-driven lasers and Hopf oscillators // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79. 036209.
31. Yoshimura K., Arai K. Phase reduction of stochastic limit cycle oscillators // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. 154101.
32. Goldobin D.S., Teramae J.N., Nakao H., Ermentrout G.B. Dynamics of limit-cycle oscillator subject to general noise // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 105. 154101.
33. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic Structures. Amsterdam: North-Holland, 1978.
34. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophys. J. 1961. Vol. 1. P. 445-466.
35. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proc. IRE. 1962. Vol. 50. P. 2061-2070.
36. Goldobin D.S. Anharmonic resonances with recursive delay feedback // Phys. Lett. A. 2011. Vol. 375. P. 3410-3214.
37. Peter F., Pikovsky A. Transition to collective oscillations in finite Kuramoto ensembles // Phys. Rev. E. 2018. Vol. 97. 032310.
38. Пиковский А., Долматова А.В., Голдобин Д.С. Корреляции состояний несинхронизованных осцилляторов в ансамбле Курамото с шумом в среднем поле // Изв. вузов. Радиофизика. 2018. Т. 61, № 8-9. С. 754-763.
References
1. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization. A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. 432 p.
2. Winfree A.T. Biological rhythms and the behavior of populations of coupled oscillators. J. Theoret. Biol., 1967, vol. 16, pp. 15-42.
3. Kuramoto Y. Self-entrainment of a population of coupled non-linear oscillators. In: H. Araki (ed.) International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics, Springer Lecture Notes in Physics, no. 39. New York: Springer, 1975, pp. 420-422.
4. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. New York: Dover, 2003.
5. Kawamura Y., Shirasaka Sh., Yanagita T., Nakao H. Optimizing mutual synchronization of rhythmic spatiotemporal patterns in reaction-diffusion systems. Phys. Rev. E., 2017, vol. 96, 012224.
6. Taira K., Nakao H. Phase-response analysis of synchronization for periodic flows. J. Fluid Mech., 2018, vol. 846, R2.
7. Nakao H., Yasui Sh., Ota M., Arai K., Kawamura Y. Phase reduction and synchronization of a network of coupled dynamical elements exhibiting collective oscillations. Chaos, 2018, vol. 28, 045103.
8. Pikovskii A.S. Synchronization and stochastization of nonlinear oscillations by external noise. In: R.Z. Sagdeev (ed.), Nonlinear and Turbulent Processes in Physics, vol. 3, Chur: Harwood Academic, 1984, pp. 1601-1604.
9. Pikovskii A.S. Synchronization and stochastization of array of self-excited oscillators by external noise. Radiophys. Quantum Electron., 1984, vol. 27, pp. 390-395.
10. Ritt J. Evaluation of entrainment of a nonlinear neural oscillator to white noise. Phys. Rev. E, 2003, vol. 68. 041915.
11. Teramae J.N., Tanaka D. Robustness of the noise-induced phase synchronization in a general class of limit cycle oscillators. Phys. Rev. Lett., 2004, vol. 93, 204103.
12. Goldobin D.S., Pikovsky A.S. Synchronization of periodic self-oscillations by common noise. Radiophys. Quantum Electron., 2004, vol. 47, pp. 910-915.
13. Pakdaman K., Mestivier D. Noise induced synchronization in a neuronal oscillator. Phys. D, 2004, vol. 192, pp. 123-137.
14. Snyder J., Zlotnik A., Hagberg A. Stability of entrainment of a continuum of coupled oscillators. Chaos, 2017, vol. 27, 103108.
15. Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization and desynchronization of self-sustained oscillators by common noise. Phys. Rev. E, 2005, vol. 71, 045201.
16. Garcia-Alvarez D., Bahraminasab A., Stefanovska A., McClintock P.V.E. Competition between noise and coupling in the induction of synchronisation. Europhys. Lett., 2009, vol. 88, 30005.
17. Nagai K.H., Kori H. Noise-induced synchronization of a large population of globally coupled nonidentical oscillators. Phys. Rev. E, 2010, vol. 81, 065202.
18. Ott E., Antonsen T.M. Low dimensional behavior of large systems of globally coupled oscillators. Chaos, 2008, vol. 18, 037113.
19. Pimenova A.V., Goldobin D.S., Rosenblum M., Pikovsky A. Interplay of coupling and common noise at the transition to synchrony in oscillator populations. Sci. Rep., 2016, vol. 6, 38518.
20. Goldobin D.S., Dolmatova A.V., Rosenblum M., Pikovsky A. Synchronization in Kuramoto-Sakaguchi ensembles with competing influence of common noise and global coupling. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2017, vol. 25, no. 6, pp. 5-37 (in Russian).
21. Dolmatova A.V., Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization of coupled active rotators by common noise. Phys. Rev. E, 2017, vol. 96, 062204.
22. Wiener N. Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine. 2nd ed. Cambridge: MIT Press, 1965.
23. Watanabe S., Strogatz S.H. Constant of motion for superconducting Josephson arrays. Phys. D, 1994, vol. 74, pp. 197-253.
24. Pikovsky A., Rosenblum M. Partially integrable dynamics of hierarchical populations of coupled oscillators. Phys. Rev. Lett., 2008, vol. 101, 264103.
25. Marvel S.A., Mirollo R.E., Strogatz S.H. Identical phase oscillators with global sinusoidal coupling evolve by Möbius group action. Chaos, 2009, vol. 19, 043104.
26. Tyulkina I.V., Goldobin D.S., Klimenko L.S., Pikovsky A. Dynamics of noisy oscillator populations beyond the Ott-Antonsen ansatz. Phys. Rev. Lett., 2006, vol. 120, 264101.
27. Goldobin D.S., Tyulkina I.V., Klimenko L.S., Pikovsky A. Collective mode reductions for populations of coupled noisy oscillators. Chaos, 2018, vol. 28, 101101.
28. Totz J.F., Rode J., Tinsley M.R., Showalter K., Engel H. Spiral wave chimera states in large populations of coupled chemical oscillators. Nature Physics, 2018, vol. 14, pp. 282-285.
29. Goldobin D.S., Pikovsky A. Antireliability of noise-driven neurons. Phys. Rev. E, 2006, vol. 73, 061906.
30. Wieczorek S. Stochastic bifurcation in noise-driven lasers and Hopf oscillators. Phys. Rev. E, 2009, vol. 79, 036209.
31. Yoshimura K., Arai K. Phase reduction of stochastic limit cycle oscillators. Phys. Rev. Lett., 2008, vol. 101, 154101.
32. Goldobin D.S., Teramae J.N., Nakao H., Ermentrout G.B. Dynamics of limit-cycle oscillator subject to general noise. Phys. Rev. Lett., 2010, vol. 105, 154101.
33. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic Structures. Amsterdam: North-Holland, 1978.
34. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophys. J., 1961, vol. 1, pp. 445-466.
35. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc. IRE, 1962, vol. 50, pp. 2061-2070.
36. Goldobin D.S. Anharmonic resonances with recursive delay feedback. Phys. Lett. A, 2011, vol. 375, pp. 3410-3214.
37. Peter F., Pikovsky A. Transition to collective oscillations in finite Kuramoto ensembles. Phys. Rev. E, 2018, vol. 97, 032310.
38. Pikovsky A., Dolmatova A.V., Goldobin D.S. Correlations of states of non-entrained oscillators in Kuramoto ensemble with noise in the mean field. Radiophys. Quantum Electron., 2019, vol. 61, no. 8-9, pp. 672-680.
Голдобин Денис Сергеевич - родился в Перми (1981), окончил физический факультет Пермского государственного университета (2004). Защитил диссертации на соискание ученой степеней кандидата физико-математических наук по специальности «Механика жидкости, газа и плазмы» (2007, ПермГУ) и Dr. rer. nat. по теоретической физике (Университет Потсдама, Германия). Работал в университетах Потсдама, Лестера и Перми и Институте механики сплошных сред УрО РАН (Пермь). Область научных интересов - вибрационные эффекты в гидродинамике, тепловая конвекция, статистическая физика, нелинейная динамика, моделирование геофизических процессов. Автор более 60 научных статей по указанным выше направлениям.
Россия, 614013 Пермь, ул. Акад. Королева, 1 Институт механики сплошных сред УрО РАН Россия, 614990 Пермь, ул. Букирева, 15
Пермский государственный национальный исследовательский университет E-mail: Denis.Goldobin@gmail.com
Долматова (Пименова) Анастасия Владимировна - родилась в Перми (1990), окончила физический факультет Пермского государственного университета (2012). Защитила диссертацию на соискание ученой степеней кандидата физико-математических наук по специальности «Механика жидкости, газа и плазмы» (2016, ИМСС УрО РАН, Пермь). Работает в Институте механики сплошных сред УрО РАН (Пермь). Область научных интересов - механика жидкости и газа, статистическая физика, моделирование геофизических процессов. Автор 20 научных статей по указанным выше направлениям.
Россия, 614013 Пермь, ул. Акад. Королева, 1 Институт механики сплошных сред УрО РАН E-mail: anastasiya.v.dolmatova@gmail.com
