Динамика системы двух нелинейно связанных маятников

Хрисанфова Светлана Олеговна; Кадина Елена Юрьевна; Губина Елена Васильевна; Коган Людмила Владимировна; Осипов Григорий Владимирович

Прикладные задачи

^^^^^^^^^^»нелинейной теории колебаний и вслн

УДК 621.391.01

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ДВУХ НЕЛИНЕЙНО СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

С. О. Хрисанфова, Е. Ю. Кадина, Е. В. Губина, Л. В. Коган, Г. В. Осипов

Институт информационных технологий, математики и механики, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Россия, 603950 Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23 E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

В работе исследовалась динамика двух упруго связанных между собой маятников одинаковой массы, находящихся под действием разных постоянно действующих внешних вращательных моментов. Исследование мотивировано многочисленными физическими и биологическими приложениями рассматриваемой модели. Такие системы входят в число базовых физических моделей и представляют широкий научный интерес. На сегодняшний день существует немало работ, изучающих маятниковые ансамбли более высокого порядка. Представляется важным подробно и полно изучить динамику системы двух маятников, нелинейно связанных друг с другом, как базу для понимания поведения более сложных ансамблей фазовых осцилляторов. При изучении динамики двух нелинейно связанных маятников наибольший интерес представляет рассмотрение режима синхронизации, являющегося одним из основных режимов, наблюдаемых при взаимодействии нескольких осцилляторов в природе. Также в работе описываются и другие режимы, характеризующие динамику системы. Цель исследования состоит в изучении динамики системы в зависимости от параметров. Рассмотрены периодический и квазипериодический режимы колебаний, синхронизация и режим отсутствия колебаний. В работе получены оригинальные результаты, касающиеся аналитической оценки границы области синхронизации в плоскости {d, а}, где d - сила связи между осцилляторами, а а - параметр синхронизации. Для получения вышеуказанной оценки были проведены элементы качественного анализа систем нелинейно связанных уравнений Адлера. Аналитическая оценка была подтверждена результатами прямого численного моделирования системы. В работе использовался метод Рунге-Кутты четвёртого порядка с контролем локальной погрешности. Были построены бифуркационные диаграммы в плоскости {yi, У2 } для различных значений параметра связи. Исследовано влияние параметров системы на существующие в ней режимы.

Ключевые слова: Синхронизация, осциллятор, нелинейная динамика. DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-3-4-20

Ссылка на статью: Хрисанфова С.О., Кадина Е.Ю., Губина Е.В., Коган Л.В., Осипов Г.В. Динамика системы двух нелинейно связанных маятников // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, № 3. С. 4-20.

Введение

Изучение динамики систем связанных маятников является важной задачей, имеющей множество практических приложений. Такие системы входят в число базовых физических моделей и представляют широкий научный интерес. На сегодняшний день существует немало работ, посвященных исследованию осцилляторов, связанных друг с другом разнообразно устроенными связями [1-9]. Следует отметить тот факт, что, кроме стандартного приложения маятниковых систем, в таком разделе физики, как механика, системы связанных осциллирующих элементов маятникового типа позволяют адекватно описывать процессы в электрических цепях, полупроводниковых структурах, в молекулярной биологии [10-12]. Они активно используются при изучении явления сверхпроводимости. К примеру, при теоретическом рассмотрении связанных джозефсоновских контактов [13-18] и гранулированных сверхпроводников [19]. Не меньшую важность представляет приложение результатов исследования динамики систем связанных осциллирующих объектов к объектам живых систем. Так, можно провести аналогию между движением маятников и вращательными колебаниями оснований молекул ДНК [12] при изучении так называемых открытых состояний [20-22], являющихся важным и необходимым элементом функционирования такой молекулы [23].

Представляется важным подробно и полно изучить динамику системы двух маятников, нелинейно связанных друг с другом, как базу для понимания поведения более сложных ансамблей фазовых осцилляторов, интерес к которым вызван большим количеством физических приложений, использующих, в том числе, модель Френкеля-Конторовой и ее модификации [11,24,25]. Рассмотрение цепочек взаимодействующих спинов в ферромагнетиках [26-28] и исследование процесса скручивания цепочек в полимерных кристаллах [29-31], к примеру, можно назвать в числе областей, использующих результаты, полученные в ходе изучения динамики маятниковых ансамблей. При изучении динамики двух нелинейно связанных маятников наибольший интерес представляет рассмотрение режима синхронизации, являющегося одним из основных режимов, наблюдаемых при взаимодействии нескольких осцилляторов в природе [10]. Поэтому в данной работе наше внимание будет уделяться рассмотрению синхронизации. Также будут освещены и другие режимы, характеризующие динамику системы.

В работе рассматривается система уравнений, описывающая динамику двух упруго связанных между собой математических маятников одинаковой массы, находящихся под действием разных внешних вращательных моментов

Г ф1 + Хф1 + в sin ф1 = yi + d sin^2 - Ф1),

[ Ф2 + А,ф2 + в ЙШ ф2 = У2 + й 8т(ф1 - Ф2).

Предполагается, что осцилляция маятников в поле силы тяжести происходит лишь в одной плоскости, перпендикулярной линии подвеса. Колебания маятников происходят в сильно вязкой среде (коэффициент затухания X ^ 1, то есть диссипация

1. Модель

(1)

сильна). Здесь ф1 и ф2 отвечают за фазы, 71, у2 € [—2, 2] и отражают действие вращательных моментов на каждый маятник, а й - величина связи между маятниками. Коэффициент в влияет на динамику каждого маятника в отдельности, внося асин-хронность в их вращения. Сделав замену времени Ь = т/А и вводя малый параметр

^ = 1 /А2, получим следующую систему уравнений: (

йЬ Йф2

= Vi ,

dt =

Ц-dt = Yi - в sin ф! - yi + dsin (Ф2 - Ф1),

Ц"dt2 = Y2 - в sin Ф2 - У2 + dsin^i - Ф2). Система медленных движений имеет следующий вид:

ф i = Vi, ф 2 = V2,

—f (Ф1, Vi) = Vi — Yi + ß sin Ф1 — d sin (Ф2 — Ф1) = 0, —f (Ф2, V2) = V2 — Y2 + ß sin Ф2 — d sin^i — Ф2) = 0.

(2)

(3)

Легко показать, что медленные движения являются устойчивыми по отношению к быстрым. Действительно, записывая систему быстрых движений

Ц"y- = Yl " в sinФ1 " У1 + dsin (Ф2 - ф0>

Ц"У2 = Y2 - в sin Ф2 - У2 + d мп(ф! - Ф2), _

dt (4)

ф1 = ф? = const, ,ф2 = Ф2 = const,

можно увидеть, что f' < 0. Таким образом, будем рассматривать лишь устойчивые, медленные, движения системы. Поскольку ф? 2 € [0; 2п], можно рассмотреть систему на торе T = 51 х 51

Ф1 = Yi — ß sin Ф1 + d sin^2 — Ф1), Ф2 = Y2 — ß sin Ф2 + d sin(фl — Ф2).

(5)

2. Динамика независимо колеблющихся маятников

При нулевой связи d каждое из уравнений системы легко сводится к классическому уравнению Адлера [32] при помощи замены времени t = t/|3 и введения нового параметра у = у/|3

ф = у — sin ф. (6)

Существует несколько режимов поведения решения в зависимости от у.

1. При у > 1 в системе может существовать периодический режим. Решение в этом случае записывается следующим образом:

ф(£) = 2arctan(1 (l + Vy2 — 1 tan (с +

2. При у = 1 появляется полуустойчивое состояние равновесия. В этом случае решением уравнения Адлера является функция ф^) = 2 arccot (2/(t + C) + 1).

3. При у < 1 наблюдается режим отсутствия осцилляций. В уравнении существует два состояния равновесия: устойчивое и неустойчивое, соответственно. Координаты этих состояний

ф1 = arcsin у, ф2 = п — arcsin у.

3. Режим синхронизации

Итак, в данной работе исследовалась система двух связанных фазовых осцилляторов (5). Наличие параметра в не позволяет ожидать постоянной разницы фаз при синхронизации маятников [33].

На рис. 1 показаны диаграммы различных режимов, наблюдаемых в системе. Так, существует область 5ц, где наблюдается синхронизация 1:1, то есть выполняется условие |ф1 * 1 — Ф2 * 1| < const. Также в зависимости от величины параметра в возникает различное число других областей синхронизации. В сравнительно небольших областях Snm наблюдается синхронизация n : m - |ф1 * m — ф2 * nl < const.

Рис. 1. Диаграммы различных режимов синхронизации при у2 = 1 и различных значениях в: а - 0.95; б - 0.80. Здесь: й - сила связи между маятниками; 5ц - область синхронизации 1: 1; Я„т - область синхронизации п:т

С увеличением ß область синхронизации 1: 1 уменьшается, в то время как появляется больше областей синхронизации n : m.

На рис. 1 видно, что область £ц является наибольшей областью синхронизации. К тому же, она представляется единственной областью синхронных движений, стабильно наблюдаемой на фазовых диаграммах при изменении ß. Крайне узкие области синхронизации n : m трудны для физической реализации. Прогнозирование поведения системы в таких режимах становится менее полезным. Таким образом, сосредоточимся в дальнейшем именно на синхронизации 1 : 1.

Оценим границы области этой синхронизации. Поскольку ненулевой коэффициент ß не позволяет получить стабильную разность фаз при синхронизации, воспользуемся критерием ограниченности разности фаз константой: |( | = = |1 * ф1 — 1 * ф2| < const. Введём параметр синхронизации а, |0| < а. Данный параметр должен быть сравнительно небольшим (в работе считаем его не превышающим полрадиана), что представляется довольно естественным. Запишем разность двух уравнений системы (5)

ф>2 — ф>1 = Y2 — Yi — ß(sin ф2 — sin ф!) — 2d sin(ф2 — ф1). (7)

Обозначая 0 = ф2 — ф1, Л = Y2 — Yi, получим

0 = Л — 2ß sin 0 cos ф2 + ф1 — 4d sin 0 cos 0, (8)

1 2 2 2 2' w

или

0 = Л — 2 sin 00 ^ß cos ф2 + ф1 + 2d cos . (9)

Поскольку рассматривается оценка границ синхронизации, полагаем (0 = 0. Получим

0, ф2 + ф1 0ч

Л — 2sin^(ß cos v2 2 v 1 + 2d cos-) =0,

Л R ф2 + ф1 , 0

= ß cos----+ 2d cos —,

2sin(0/2) 2 2

(10) (11)

cos — = —-, .--- cos-. (12)

2 4d sin(©/2) 2d 2 v '

Так как \ cos(©/2)\ < 1, то необходимо, чтобы выполнялось условие

и Л ß ф2 + ф1

Д 4 sin(0/2) 2 cos 2

< 1. (13)

Считая коэффициент d положительным, получим следующее неравенство:

—d — ß cos ф2+ф1 < d. (14)

- 4 sin(0/2) 2 2 v '

Тогда имеем

1 ß Л

d > +

2 4 sin(0/2):

, ß Л

d > - -

(15)

2 4 sin(0/2)

Рис. 2. Зависимость от параметра синхронизации а минимального значения параметра связи dcr, необходимого для установления синхронизации для различных значений параметра ß: 1 -1.0, 2 - 0.5, 3 - 0 и Yi,2: a - yi = 1.75, у2 = 1.0; б - yi = 1.75, у2 = 1.60. Здесь S - область синхронизации

Неравенства (15) должны выполняться при любой расстройке фаз в пределах указанного диапазона |0| < а, определяемого параметром синхронизации. Соответственно они должны выполняться и при наибольшей расстройке |0| = а

d > ß + |А| > 2 + 4 sin(a/2)'

(16)

Таким образом, в плоскости (а, д) можно нарисовать оценку границы синхронизации (рис. 2) для различных значений параметров в и А. В области 5, то есть выше кривой

d = М + А

d 2 + 4sin(a/2)'

(17)

осцилляторы гарантированно находятся в синхронном режиме с параметром синхронизации а. Можно проследить, как меняется оценка этой границы в зависимости от параметра р. Такое сравнение проиллюстрировано кривыми 1-3. Заметим, что чем более точную синхронизацию осцилляторов необходимо получить, тем большее значение параметра связи д требуется для этого. Это представляется довольно естественным. Проанализируем зависимость величины области синхронизации 5 от параметра р. Увеличение р приводит к большей асинхронности поведения отдельных элементов системы. Таким образом, площадь области синхронизации уменьшается при увеличении параметра р. Зависимость величины области синхронизации от А будет рассмотрена позднее.

Для подтверждения полученных закономерностей было проведено прямое численное интегрирование системы при различных значениях параметров у1,2 и д. Сравнение результатов, полученных численно и аналитически, показано на рис. 3. Численная граница

Рис. 3. Зависимость от параметра синхронизации а минимального значения параметра связи йсг, необходимого для установления синхронизации при |ф1 - фа| < а, р = 1.0: 1 - ух = 1.75, у2 = 1.0; 2 - ух = 1.75, уа = 1.15; 3 - ух = 1.75, уа = 1.30; 4 - ух = 1.75, уа = 1.45; 5 - ух = 1.75, уа = 1.60. Сплошные линии - численные результаты, пунктирные линии - аналитическая оценка (17)

области синхронизации получена путём нахождения минимального значения а, |ф1 — ф2| < а для точек пространства параметров у1>2, d, удовлетворяющих критерию синхронизации |фi — ф21 < const. В расчётах использовался эквивалентный критерий (ф1)/(ф2) = 1. Аналитическая оценка довольно точно аппроксимирует границу области синхронизации, полученную в результате численных экспериментов. Наибольшую точность оценка достигает при небольших значениях параметра синхронизации а. Наблюдается увеличение разницы между аналитическими и численными результатами при уменьшении величины А = yi — у2. Это происходит вследствие того, что при получении аналитического приближения границы области синхронизации S оценки проводились по наихудшему случаю. Однако небольшая разница между вращательными моментами благоприятствует синхронизации. Поэтому, реальная граница области S в этом случае оказывается ниже прогнозируемой.

Для более полного и подробного изучения области синхронизации были построены бифуркационные диаграммы данной системы в плоскости (yi, у2) при различных значениях параметра связи d (рис. 4). В областях Ds происходят вращательные движения по обеим переменным. Эти области соответствуют синхронизации, а фазовый портрет системы в этом случае представлен на рис. 5, г. На рис. 4 видно, что увеличение связи d между маятниками приводит к расширению ряда областей, в том числе и области синхронизации. Влияние параметра связи на другие области бифуркационной диаграммы будет рассмотрено ниже.

Рис. 4. Бифуркационные диаграммы при в = 1.0 для различных значений й: 0.3 (а), 0.6 (б), 1.1 (в). В области Е6 существуют 6 равновесий: устойчивый узел, 3 седла, 2 неустойчивых узла. В Е4 -4 равновесия: устойчивый узел, 2 седла, 1 неустойчивый узел. В Е2 - 2 равновесия: устойчивый узел, седло, неустойчивый узел. В Ба - периодические вращательные движения по обеим переменным. В Пч - квазипериодические режимы. В Вр -периодические вращательные движения по одной из переменных: по фх в областях ниже прямой VI = 72, а по ф2 - выше

3.1. Другие режимы активности, наблюдаемые в системе

3.1.1. Квазипериодические режимы. С областями синхронизации на бифуркационных диаграммах в плоскости (yi, непосредственно граничат области Dq (см. рис. 4), где наблюдаются квазипериодические режимы. Типичный фазовый портрет показан на рис. 5, е. Следует отметить, что внутри этих областей существуют небольшие подобласти, где происходит синхронизация n: m. Однако они крайне малы и не рассматривались в данной работе подробно.

3.1.2. Периодические движения. В системе наблюдаются вращательные периодические движения разных типов. В областях Ds (см. рис. 4) происходят вращательные движения по обеим переменным, соответствующие синхронизации. В областях Dp бифуркационных диаграмм происходит вращательное периодическое движение лишь по одной переменной. Соответствующий фазовый портрет представлен на рис. 5, д. Для областей Dp, находящихся выше оси симметрии yi = у2, вращательное периодическое движение соответствует вращениям по переменной Ф1; в областях Dp, находящихся ниже оси симметрии yi = у2, происходит вращательное периодическое движение по переменной ф2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3.1.3. Режим отсутствия колебаний. Основную часть бифуркационных диаграмм занимают области Ei, i € {2, 4, 6}, соответствующие режиму отсутствия осцилляций. Данный режим наблюдается в системе довольно часто, поэтому представляется важным рассмотреть эти области подробнее. Для этого была сделана замена временной переменной t = t/|3 и введены новые параметры yi^/P. Полученная система имеет следующий вид:

ф1 = у1 — sin ф1 + d(sin ф2 cos ф1 — sin ф1 cos ф2),

(18)

ф2 = у2 — sin ф2 + d(sin ф1 cos ф2 — sin ф2 cos ф1).

Запишем систему уравнений, из которой находятся координаты состояний равновесия,

у1 — sin ф1 + d(sin ф2 cos ф1 — sin ф1 cos ф2) = 0,

(19)

у2 — sin ф2 + d(sin ф1 cos ф2 — sin ф2 cos ф1) = 0.

Приведем значения собственных чисел, соответствующих возможным состояниям равновесия,

D = 4d2cos^2 — ф1)2 + (cos ф1 — cos ф2)2,

1 Л /ж* cos ф1 + cos ф2 VD

Х1,2 = —d cos(ф2 — ф1)--^-2 ± —, (20)

здесь D - дискриминант характеристического уравнения системы (19)). Заметим, что дискриминант D не может быть отрицательным. Значит, если в системе (18) существует состояние равновесия, и суть собственные числа, соответствующие

ему, то А,1;2 € И.е . Таким образом, состояний равновесия типа фокус не может быть в данной системе.

Проведём в (19) стандартную тригонометрическую замену переменных

1ап(ф1/2) = ж1, 1ап(ф2/2) = х2, ф1, ф2 € [—л/2, п/2], получим

' 2х1 ( 2х2 1 — х1 ( 2х1 1 — х2 1 + х12 1 + х22 1 + х12 1 + х12 1 + х22

2х2 2х2 1 — х2 , 2х1 1 — х2

У2 — --2 — и---1 + и--2--2"

1 + х2 1 + х21 + х2 1 + х21 + х2

Эквивалентная система имеет следующий вид:

{у1(1 + х?)(1 + х2) — 2х1(1 + х2) + 2(1х2{1 — х\) — 2(1х1{1 — х2) = 0,

(22)

у2(1 + х?)(1 + х2) — 2х2(1 + х?) — 2(х2(1 — х?) + 2(х1(1 — х2) = 0.

Для решения данной системы уравнений, запишем результант полиномиальных выражений, стоящих в левых частях. Результант есть многочлен от коэффициентов двух полиномов, равный нулю в том и только в том случае, когда у этих полиномов имеется общий корень. Приравнивая результант к нулю и решая это уравнение относительно переменной х2, можно найти решения системы (22)

(У2 + ((У1 + У2))2 — 4(1 + ()(У2 + ((У1 + У2))х2 +

+ (4 + 3у2 + 3(2(У1 + У2)2 + 2((4 + У1У2 + у2))х2 — — 8(У2 + (2(У1 + У2))х2 + (4 + 3у2 + 3(2(У1 + У2)2 — — 2((4 + У1У2 + у2))х4 — 4(—1 + ()(—У2+

+ ((У1 + У2))х2 + (У2 — ((У1 + У2))2х2 = 0. (23)

Обобщающие диаграммы по исследованию состояний равновесия системы (18) в зависимости от параметра связи ( представлены на рис. 4. Рассмотрим диаграмму с наибольшим числом областей (рис. 4, б). Состояния равновесия существуют во всех областях Е. В областях О их нет. В области Еб существует шесть состояний равновесия: глобально устойчивый узел, три седла и два неустойчивых узла (рис. 5, а). При переходе в область Е4 (рис. 5, б) вместо неустойчивых узлов и одного из сёдел остаётся неустойчивое состояние равновесия типа узел и остаётся четыре состояния равновесия. При переходе в область Е2 (рис. 5, в), где существует лишь два равновесия - устойчивый узел и седло, слияние седла и неустойчивого узла рождает неустойчивое периодическое движение. При выходе из области Е2 равновесия сливаются через седлоузловую бифуркацию, образуя устойчивое движение.

= 0,

0.

(21)

Рис. 5. Фазовые портреты системы (18) при й = 0.6 и ух>2 из различных областей пространства параметров: a - Е6, б - Е4, в - Е2, г - д - Бр, е - Пч

Исследуем аналитически границу, отделяющую область Е2 от областей без состояний равновесия. Рассмотрим случай 71 = 72 = у. Координаты состояния равновесия находятся из уравнения

8Ш ф1 + 8Ш ф2 = 2у.

(24)

Рассмотрим симметричный случай, когда система полностью симметрична относительно фаз. В этом случае решение будет лежать на прямой ф1 = ф2 = ф, а собственные числа характеристического уравнения системы имеют вид

^1)2 = —д — сов ф ± д.

Легко видеть, что при у > 0 существует лишь один симметричный случай, когда состояния равновесия одно. Это происходит на внешней границе области Е2 в точке У1 = у2 = 1 при этом ф = п/2. Одно из собственных чисел, соответствующих данному состоянию равновесия, нулевое, другое - отрицательное. Таким образом, состояние равновесия, найденное нами аналитически, действительно образовалось путём седлоузловой бифуркации из седла и устойчивого узла, что подтверждает численные результаты.

Остановимся более подробно на влиянии параметра связи ( на области бифуркационных диаграмм на рис. 4. При увеличении связи между элементами системы область Е2 заметно расширяется. Таким образом, при сильной связи ( режим отсутствия колебаний становится превалирующим в системе. В то же время область Е4 заметно уменьшается. Появившаяся область Еб не достигает больших размеров по сравнению с доминирующей Е2. Это означает, что относительно непростое поведение системы при переходе в единственное устойчивое равновесное состояние наблюдается всё реже по мере увеличения параметра связи ( .

Заключение

В рамках данного исследования была рассмотрена система уравнений, описывающая динамику двух упруго связанных между собой математических маятников одинаковой массы в сильно вязкой среде, находящихся под действием внешнего вращательного момента.

• Исследовано влияние параметров системы на существующие в ней режимы активности. Так, возрастание параметра в, вносящего асинхронность во вращения маятников, приводит, с одной стороны, к уменьшению области синхронизации 1: 1 (основной области синхронизации), а с другой - к появлению большого количества полос в плоскости (А, (), в которых наблюдается синхронизация п: т.

• Получена аналитическая оценка границы основной области синхронизации в плоскости ((, а), где а - параметр синхронизации, ограничивающий разность фаз осцилляторов.

• Кроме непосредственного вывода об уменьшении области синхронизации при увеличении в, было отмечено расширение этой области при меньшем расхождении вращательных моментов, действующих на маятники. При помощи прямого численного моделирования была показана адекватность аналитической оценки.

• Построены бифуркационные диаграммы системы в плоскости (у1, У2) для различных значений параметра связи ( . Таким образом, была получена зависимость областей, в которых наблюдаются квазипериодический, периодический режимы и режим отсутствия осцилляций, от действия вращательных моментов на каждый из маятников и величины связи между ними.

Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-12-00811).

Библиографический список

1. Матросов В.В. Динамика двух фазоуправляемых генераторов с малоинерционными цепями управления, связанных через нелинейный элемент // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15, № 3. С. 15.

2. Bhansali P., Roychowdhury J.Gen-Adler: The generalized Adler's equation for injection locking analysis in oscillators // Proceedings of the Design Automation Conference. 2009. P. 522-527.

3. Perlikowski P., Yanchuk S., Popovych O.V., Tass P.A. Periodic patterns in a ring of delay-coupled oscillators // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, № 3. P. 036208. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.82.036208

4. Maistrenko Y., Penkovsky B., Rosenblum M.Solitary state at the edge of synchrony in ensembles with attractive and repulsive interactions // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 89, № 6. P. 060901. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.89.060901

5. Burylko O., Kazanovich Y., BorisyukR. Bifurcation study of phase oscillator systems with attractive and repulsive interaction // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 90, № 2. P. 022911. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.90.022911

6. Xie J., Knobloch E., Kao Hsien-Ching. Multicluster and traveling chimera states in nonlocal phase-coupled oscillators // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 90, № 2. P. 022919. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.90.022919

7. Смирнов Л.А., Крюков А.К., Кадина Е.Ю., Губина Е.В., Осипов Г.В. Вращательная динамика системы из двух связанных маятников // Проблемы прочности и пластичности. 2015. Т. 77, № 4. С. 425.

8. Khibnik A.I., Braimanc Y., Kennedyd T.A.B., Wiesenfeldd K. Phase model analysis of two lasers with injected field // Physica D. 1998. Vol. 111, № 1-4. P. 295-310.

9. Guckenheimer J., Khibnik A. Torus maps from weak coupling of strong resonances / In book: «Methods of qualitative theory of differential equations and related topics» // American Mathematical Society. 2000. P. 205-218.

10. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J.Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences / Series «The Cambridge nonlinear science series». Cambridge: Cambridge University Press, 2001. 411 p.

11. Braun O., Kivshar Yu.S. The Frenkel-Kontorova Model: Concepts, Methods and Applications. Berlin: Springer, 2004. P. 491.

12. Yakushevich L.V. Nonlinear Physics of DNA. Wiley-VCH, 2004. P. 207.

13. Leeman C., Lereh P., Racine G.A., Martinoli P. Vortex dynamics and phase transitions in a two-dimensional array of Josephson junctions // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56, № 12. P. 1291-1294.

14. Ryu S., Yu W., Stroud D. Dynamics of an underdamped Josephson-junction ladders // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53, № 3. P. 2190-2195.

15. Kim B.J., Kim S., Lee S.J. Defect motions and smearing of Shapiro steps in Josephson-junction ladders under magnetic frustration // Phys. Rev. B. 1995. Vol. 51, № 13. P. 8462-8466.

16. Kim J., Choe W.G., Kim S., Lee H.J. Dynamics of Josephson junction ladders // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 49, № 1. P. 459-464.

17. Denniston C., Tang C. Phases of Josephson junction ladders // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, № 21. P. 3930-3933.

18. Qjan M., Weng J.-Z. Transitions in two sinusoidally coupled Josephson junction rotators // Annals of Physics. 2008. Vol. 323. P. 1956-1962.

19. Fishman R.S., Stroud D. Role of long-range Coulomb interactions in granular super conductors // Phys. Rev. B. 1988. Vol. 38, № 1. P. 290-296.

20. Yakushevich L.V., Gapa S., Awrejcewicz /.Mechanical analog of the DNA base pair oscillations // Dynamical Systems. Theory and Applications. 2009. P. 879-886.

21. Якушевич Л.В. Биомеханика ДНК: Вращательные колебания оснований // Ком-пъютерные исследования и моделирование. 2011. Т. 3, № 3. С. 319-328.

22. Аврейцевич Я., Млынарска С., Якушевич Л. О нелинейных колебаниях пар оснований ДНК // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77, № 4. P. 392-400.

23. Krueger A., Protozanova E., Frank-Kamenetskii M. Sequence-dependent basepair opening in DNA double helix // Biophys. J. 2006. Vol. 90. P. 3091-3099.

24. Takeno S., Peyrard M. Nonlinear modes in coupled rotator models // Physica D.

1996. Vol. 92. P. 140-163.

25. Zhang F. Kink shape modes and resonant dynamics in sine-lattices // Physica D.

1997. Vol. 110. P. 51-61.

26. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems // J. Phys. C. Solid State Phys. 1973. Vol. 6. P. 181-1203.

27. Antoni M., Ruffo S. Clustering and relaxation in Hamiltonian long-range dynamics // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52, № 3. P. 2361-2374.

28. WangX.Y., Taylor P.L. Devil's staircase, critical thickness, and propagating fingers in antiferroelectric liquid crystals // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76, № 4. P. 640-643.

29. Fillaux F., Carlile C./.Inelastic-neutron-scattering study of methyl tunneling and the quantum sine-Gordon breather in isotopic mixtures of 4-methyl-pyridine at low temperature // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 42, № 10. P. 5990-6006.

30. Zhang F., Collins M.A., Kivshar Yu.S. Kinks and conformational defects in nonlinear chains // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51, № 4. P. 3774.

31. Fillaux F., Carlile C.J., Kearley G.J.Inelastic-neutron-scattering study at low temperature of the quantum sine-Gordon breather in 4-methyl-pyridine with partially deuterated methyl groups // Phys. Rev. B. 1991. Vol. 44, № 22. P. 12280-12293.

32. Adler R. A study of locking phenomena in oscillators // Proceedings of the IRE. 1946. Vol. 34, № 6. P. 351-357.

33. Osipov G., Kurths J., Zhou Ch. Synchronization in Oscillatory Networks. Berlin: Springer, 2007.

Поступила в редакцию 14.04.2016 После доработки 17.05.2016

THE DYNAMICS OF TWO NONLINEARLY COUPLED OSCILLATORS

S. Khrisanfova, E. Kadina, E. Gubina, L. Kogan, G. Osipov

Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod - National Research University Prospect Gagarina, 23, 603950 Nizhny Novgorod, Russia E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

In this paper the dynamics of two elastically coupled pendulums is studied. The pendulums oscillate under the influence of external rotational moments, their masses are considered to be equal. The current work is motivated by multiple applications in physics and biology that the model has. Due to the fact that most of the previous studies focused on similar systems of higher order, we believe that the current research can serve as a basis for understanding the functioning of more complex oscillatory ensembles. It is, therefore, vital to provide a complete study of the system dynamics for different parameter values. Throughout the study different regimes of the system activity are examined. Thus, non-oscillatory mode, synchronization, periodic and quasi-periodic regimes are discussed in the paper. Synchronization is often considered to be one of the most important forms of interaction between oscillatory elements of various nature. For this reason the synchronization domain is thoroughly investigated in this paper. The main results of the current research are as follow. An analytical approximation of the synchronization domain border is obtained in (d, a) parameter plane. Here d denotes the coupling strength, whereas a is the synchronization parameter. By means of numerical integration methods the approximation is also shown to be accurate. In order to provide better understanding of the regimes that exist in the system for various parameter values, bifurcation diagrams for several values of the coupling parameter in (yi, 72) plane are drawn.

Keywords: Coupled pendulums, nonlinear coupling, synchronization.

DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-3-4-20

Paper reference: Khrisanfova S., Kadina E., Gubina E., Kogan L., Osipov G. The dynamics of the two nonlinearly coupled oscillators // Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 24, № 3. P. 4-20.

References

1. Matrosov V.V. Dynamics of two phase locked loop system coupled through the phase discriminator // Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2007. Vol. 15, № 3. P. 15 (in Russian).

2. Bhansali P., Roychowdhury J.Gen-Adler: The generalized Adler's equation for injection locking analysis in oscillators // Proceedings of the Design Automation Conference. 2009. P. 522-527.

3. Perlikowski P., Yanchuk S., Popovych O.V., Tass P.A. Periodic patterns in a ring of delay-coupled oscillators // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, № 3. P. 036208. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.82.036208

4. Maistrenko Y., Penkovsky B., Rosenblum M.Solitary state at the edge of synchrony in ensembles with attractive and repulsive interactions // Phys. Rev. E. 2014.Vol. 89, № 6. P. 060901. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.89.060901

5. Burylko O., Kazanovich Y., BorisyukR. Bifurcation study of phase oscillator systems with attractive and repulsive interaction // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 90, № 2. P. 022911. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.90.022911

6. Xie J., Knobloch E., Kao Hsien-Ching. Multicluster and traveling chimera states in nonlocal phase-coupled oscillators // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 90, № 2. P. 022919. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.90.022919

7. Smirnov L.A., Kryukov A.K., Kadina E.Yu., Gubina E.V., Osipov G.V. Rotational dynamics in a pair of coupled // J. The Problems of Strength and Plasticity. 2015. Vol. 77, № 4. P. 425 (in Russian).

8. Khibnik A.I., Braimanc Y., Kennedyd T.A.B., Wiesenfeldd K. Phase model analysis of two lasers with injected field // Physica D. 1998. Vol. 111, № 1-4. P. 295-310.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

9. Guckenheimer J., Khibnik A. Torus maps from weak coupling of strong resonances / In book: «Methods of Qualitative Theory of Differential Equations and Related Topics» // American Mathematical Society. 2000. P. 205-218.

10. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths / Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences / Series «The Cambridge nonlinear science series». Cambridge: Cambridge University Press, 2001. 411 p.

11. Braun O., Kivshar Yu.S. The Frenkel-Kontorova Model: Concepts, Methods, and Applications. Berlin: Springer, 2004. P. 491.

12. Yakushevich L.V. Nonlinear Physics of DNA. Wiley-VCH, 2004. P. 207.

13. Leeman C., Lereh P., Racine G.A., Martinoli P. Vortex dynamics and phase transitions in a two-dimensional array of Josephson junctions // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56, № 12. P. 1291-1294.

14. Ryu S., Yu W., Stroud D. Dynamics of an underdamped Josephson junction ladders // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53, № 3. P. 2190-2195.

15. Kim B.J., Kim S., Lee S.J.Defect motions and smearing of Shapiro steps in Josephson junction ladders under magnetic frustration // Phys. Rev. B. 1995.Vol. 51, № 13. P. 8462-8466.

16. Kim J., Choe W.G., Kim S., Lee H.J.Dynamics of Josephson junction ladders // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 49, № 1. P. 459-464.

17. Denniston C., Tang C. Phases of Josephson junction ladders // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, № 21. P. 3930-3933.

18. Qjan M., Weng J.-Z. Transitions in two sinusoidally coupled Josephson junction rotators // Annals of Physics. 2008. Vol. 323. P. 1956-1962.

19. Fishman R.S., Stroud D. Role of long-range Coulomb interactions in granular super conductors // Phys. Rev. B. 1988. Vol. 38, № 1. P. 290-296.

20. Yakushevich L.V., Gapa S., Awrejcewicz J.Mechanical analog of the DNA base pair oscillations // Dynamical Systems. Theory and Applications. 2009. P. 879-886.

21. Yakushevich L.V. Biomechanics of DNA: Rotational oscillations of bases // J. Computer Research and Modeling. 2011. Vol. 3, № 3. P. 319 (in Russian).

22. Awrejcewicz J., Mlynarska S., Yakushevich L.V. Non-linear oscillations of DNA base pairs // J. Appl. Math. Mech. 2013. Vol. 77, № 4. P. 392 (in Russian).

23. Krueger A., Protozanova E., Frank-Kamenetskii M. Sequence-dependent basepair opening in DNA double helix // Biophys. J. 2006. Vol. 90. P. 3091-3099.

24. Takeno S., Peyrard MNonlinear modes in coupled rotator models // Physica D.

1996. Vol. 92. P. 140-163.

25. Zhang F. Kink shape modes and resonant dynamics in sine-lattices // Physica D.

1997. Vol. 110. P. 51-61.

26. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems // J. Phys. C. Solid State Phys. 1973. Vol. 6. P. 1181-1203.

27. Antoni M., Ruffo S. Clustering and relaxation in Hamiltonian long-range dynamics // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52, № 3. P. 2361-2374.

28. WangX.Y., Taylor P.L. Devil's staircase, critical thickness, and propagating fingers in antiferroelectric liquid crystals // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76, № 4. P. 640-643.

29. Fillaux F., Carlile C.J. Inelastic-neutron-scattering study of methyl tunneling and the quantum sine-Gordon breather in isotopic mixtures of 4-methyl-pyridine at low temperature // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 42, №10. P. 5990-6006.

30. Zhang F., Collins M.A., Kivshar Yu.S. Kinks and conformational defects in nonlinear chains // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51, № 4. P. 3774.

31. Fillaux F., Carlile C.J., Kearley G.J. Inelastic-neutron-scattering study at low temperature of the quantum sine-Gordon breather in 4-methyl-pyridine with partially deuterated methyl groups // Phys. Rev. B. 1991. Vol. 44, № 22. P. 12280-12293.

32. Adler R. A study of locking phenomena in oscillators // Proceedings of the IRE. 1946. Vol. 34, № 6. P. 351-357.

33. Osipov G., Kurths J., Zhou Ch. Synchronization in Oscillatory Networks. Berlin: Springer, 2007.

Хрисанфова Светлана Олеговна - родилась в Нижнем Новгороде (1993). В 2014 году получила диплом бакалавра прикладной математики и информатики в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского. С 2014 года проходит обучение в магистратуре по специальности «Прикладная математика и информатика» в Институте информационных технологий, математики и механики ННГУ. Выполняет исследования по проекту «Фазовая динамика осцилляторных сред». Полученные результаты были представлены на Всероссийских и Международных конференциях, опубликовано 4 тезиса.