Примеры решения задачи Коши для некоторых вариантов системы Франкля эллиптического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.9

Т.А. Шемякина

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ВАРИАНТОВ СИСТЕМЫ ФРАНКЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Математические модели многих физических процессов описываются системой Ф.И. Фран-кля, представляющей собой систему двух квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка:

ди( ху > - Р (х, УМ х, у)Мх, У)) -^ = 0;

ду ди(X, у)

дх

± 0(х, у, и( х, у), у(х, у))ду(х У) = 0,

(1)

дх ду

при этом Р(х, у,и(х, у),у(хуУ))у)р Р(Р> 0, (2(х,у,и(х,у),Ф(у))) >200 >(0 (Ро,д() — константы).

При определенных условиях такая система описывает стационарное безвихревое течение газа в дозвуковых, сверхзвуковых и трансзвуковых областях [1]. Известная система Коши — Римана является частным случаем системы Франкля. Частные варианты системы Франкля встречаются в теории переноса нейтронов, теории термоупругости и тому подобных.

Изучению условий разрешимости задачи Коши для эллиптических уравнений посвящена обширная литература. Впервые устойчивость плоской задачи Коши в классе ограниченных функций доказал Т. Карлеман [2]. Для линейных эллиптических уравнений задача Коши рассматривалась в работах М.М. Лаврентьева [3], Е.М. Ландиса [4]; в них получены условия существования классического решения в классе ограниченных функций. Однако для системы

Франкля, т. е. системы квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка в эллиптическом случае, задача Коши мало изучена. Кроме того, в большинстве случаев определение границ интервала разрешимости и нахождение решения в исходных переменных является трудноразрешимой задачей. В рамках метода дополнительного аргумента [5] в работах [6—9] удалось преодолеть эти трудности и определить условия локального существования ограниченного решения системы Франкля в эллиптическом случае.

Данная работа посвящена дальнейшему ис -следованию системы Франкля в эллиптическом случае — установлению требований к начальным условиям для разрешимости в явном виде задачи Коши.

Постановка задачи

Рассмотрим систему Франкля (1) двух квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка в эллиптическом случае [8, 9]:

ЭИ(*У) - РМх, у))= 0;

ду

дх

ди( х,у) + 0(у(х, у)) Э^ХЛ = о,

(2)

дх

ду

где Рх,у)) > Ро > 0, 0(у(х,у)) > ^ > 0, р0,у0 -константы.

Поставим для системы уравнений (2) задачу Коши:

u(x,0) = ф(х), v(x,0) = у(x).

(3)

Решение задачи (2), (3) будем исследовать в области

й = {(х,у): -~< х <+те, 0 < у < У, У > 0}.

Рассмотрим несколько вариантов системы Франкля. Но сначала исследуем пример Адама-ра методом дополнительного аргумента.

Задача 1 (пример Адамара)

Исследуем задачу Коши (2), (3) в следующем виде:

du(x, y) dv( x, y)

dy dx du(x, y) dv( x, y)

= 0;

= 0,

(4)

dy dx

w( x, 0) = u( x, 0) + iv(x, 0) = iy(x):

= -i-

.coskx

k

2

= Wo(x).

d y, s)

ds

dwx(x, y, s)

= i, n( x, y, y) = x; = 0, wl(x,y,0) = w0(n(x,y,0)).

ds

Интегрируя последнюю систему дифференциальных уравнений, получим:

r\(x, y, s) = x - i(y - s), r\(x, y, 0) = x - iy;

, пчч .cos k(x - iy)

wx(x, y, s) = Wo(n( x, y, 0)) = -i---

k2

= -i {exp(ikx + ky) + exp(-ikx - ky)} = sin kx ■ shky + . ( cos kx ■ chky

k2

k2

В соответствии с доказанными теоремами из работ [6—9], решением задачи Коши (4), (3) будут функции

u( x, y) = Re wj( x, y, s) 5=y =

v(x,y) = Imwx(x,y,s) s=y =-

sin kx ■ shky

T2 ;

cos kx■ shky

T2 ■

dx dy при P(v(x, y)) = 1; Q(v(x, y)) = 1.

Определим для системы дифференциальных уравнений (4) условия Коши (3), где начальные функции представляются в виде

/ ч п / ч coskx

Ф(x) = 0; x) =---у •

k 2

Сначала исходная задача (4), (3) сводится к характеристической форме для функции w(x, y) = u(x, y) + iv(x, y):

dw(x, y) + dw( x, y) = 0-

При данных начальных функциях решение будет существовать на любом ограниченном интервале по переменной х в области ^ , а при значениях х ^ те решение будет стремиться к бесконечности.

Рассмотрим задачу Коши (4), (3) с другими начальными данными:

ехр{-кх)

Ф(х) = 0; х) = \ ;; хе[0,; к

тогда интегральная система уравнений примет следующий вид:

r\(x, y, s) = x - i(y - s), n(x, y, 0) = x - iy;

wx(x, y, s) = Wo(n(x, y,0)) = i

exp(-kx + iky)

exp(-kx )sin ky

~1г~

+i

exp(-kx )cos ky

Решением задачи Коши (4), (3) будут функ-

ции

Далее для нее, согласно методу дополнительного аргумента, запишем расширенную характеристическую систему:

u(x, y) = Re wx(x, y, s) 5=y =

v(x, y) = Im wj (x, y, s) 5=y =-

exp(-kx )sin ky

T2 ;

exp(-kx)cosky

~T2 '

при любом х е [0, , а при значениях переменной х ^ те это решение стремится к нулю.

Этот пример показывает, что полученное решение изучаемой системы дифференциальных уравнений выражается через начальные функции ф, у . Свойства решений и условия

существования зависят от условий, накладываемых на эти начальные функции.

Задача 2

Вариант задачи Коши (2), (3) представлен следующей системой дифференциальных уравнений:

Ъи(х, у) _ у _х( х, у) Э^ = 0;

дх

_Ь ч ду(х, у) + V (х, у)—= 0;

ду ди(х, у)

дх

ду

при этом

Р(У(х, у)) = V-1 > Ро > 0;

ди(х, у) дю( х, у)

ду дх

ди(х, у) дю( х, у)

дх

ду

= 0;

= 0;

(6)

(7)

и(х,0) = ф( х); ю(х,0) = ю0( х).

Задачу Коши (6), (7) приведем к характеристической форме для функции т(х, у) =

= и(х, у) + /ю(х, у):

дм>(х, у) + дм>(х, у) = ^

й п(х, у, 5)

ймх(х, у, 5)

= I, п( х, у, у) = х; = 0,

(2(у(х, у)) = V- > ро > 0;

(р0 - константа) с заданными начальными условиями Коши (3).

Преобразуем задачу (5), (3), сделав замену переменных:

ю(х,у) = 1пг(х,у); г(х,у) = ехр{юДх,у)}; ю(х,0) = 1п у( х,0) = 1п х) = ю0(х);

где

юЯ(х,у) = Яею(х,у), ю/(х,у) = 1тю(х,у);

тогда имеем следующую задачу относительно функций и(х, у), ю(х, у):

ы^х, у,0) = ^о(п( X, у,0)).

Последнюю систему дифференциальных (5) уравнений интегрируем и получаем:

п(х, у, s) = х -/(у - s), г\(х, у,0) = х - ¡у; м>!(х, у, s) = ^о(п(х, у,0)) = = w0(x - ¡у) = ф(х - /у) + /ю0 (х - ¡у).

Согласно результатам работ [6—9], решением задачи Коши (6), (7) будут функции:

и(х, у) = Яе м^ ( х, у,«) 15=у = мхЯ(х, у, у);

ю( х, у) = 1т м!1{х, у,«) 15=у = м!х1 (х, у, у).

Определим ^^(х, у, я), (х, у,я), если функции ф(х -1у), ю0 (х -1у) можно представить в виде

ф(х - /у) = ф^(х, у) + /ф/(х, у);

ю0 (х - /у) = 1п у(х - /у) = ю0Дх, у) + / ю0/(х, у). Тогда имеем:

wl(x, у, s) = ф(х - /у) + / ю0 (х - /у) = = [фЯ( х, у) -Юо/(х, у)] + + /[ф/(х, у) + ЮоЯ(х, у)]. Решением задачи Коши (6), (7) будут функ-

ции:

ду дх

м>(х, 0) = и(х, 0) + /ю(х, 0) = = ф(х) + /ю0 (х) = w0l (х).

и(х, у) = ф^(х, у)-ю0/(х, у);

( 'со()х, у) = ф/(х, у) + ю0Д(X, у). Вернемся к исходной функции у(х, у): у(х, у) = ехр{ю^(х, у)} = ехр{ф/(х, у) + ю0^(х, у)}. Решением задачи Коши (5), (3) будут функ-

ции

и(х, у) = Яе ф(х - ¡у) - 1т 1п у(х - /у);

Применяя метод дополнительного аргумента, запишем расширенную характеристическую систему:

х, у) = ехр{1тф(х - ¡у) + Яе1п у(х - ¡у)}.

Учитывая многозначность логарифмической функции в комплексной плоскости и

предполагая, что функцию х -гу) можно представить в виде

у(х - /» = уДх, у) + / (х, у),

решение задачи Коши (5), (3) можно записать в другом виде. Введем новые переменные:

р( х, у) = {уЯ 2 (х, у) + у/2 (х, у )}1/2;

а( х, у) = аг^

V

у! (х, у) уЯ(х, у)

У

тогда имеем:

у(х - у) = р(х, у)ехр{/а(х, у};

1п у (х - ¡у) = 1п р(х, у) + / а(х, у);

wl(x, у,s) = ф(х - /у) + /ю0 (х - /у) = = фДх, у) + / ф1 (х, у) + + /[1п р(х, у) + / а(х, у)] = = [ф^( х, у) - а(х, у)] + + /[ф/(х, у) + 1п р( х, у)].

Решение задачи Коши (6), (7) примет вид: и(х, у) = фДх, у) - а(х, у);

ю(X, у) = ф/(X, у) + 1п р(х, у).

Вернемся к исходной функции у(х, у): г>(х, у) = ехр{юДх, у)} = = ехр{ф/(х, у) + 1п р(х, у)};

у(х, у) = р( х, у )ехр{ф/(х, у)}.

Решением задачи Коши (5), (3) будут функ-

ции:

и(х, у) = Яе ф( х -1у) -

— аг^

1т у(х -1у) Яе у(х - ¡у)

Задача 3

Другой вариант задачи Коши (2), (3) представлен в следующем виде:

1 -

1 -

V (х, У) 2а0

V (X, У) 2а1

Эг( х, у)

дх ду( X, у)

= 0;

(8)

дУ

= 0.

при

Р (у(х, у)) = 0(у(х, у)) =

= V

-1

1—

2а

> Ро > 0;

о

А Ч X, у)

0 < 2/4 < й <1;

(р0, рь а0 , к = 0,25а0 — константы) с заданными начальными условиями Коши (3).

Преобразуем задачу (8), (3), сделав замену переменных:

ю(х, у) = 1п

у(х, у) 2а0

у(х, у) 2а0

2.

у(х, у) = {(Яе у( х - /у ))2 + +(1ту (х - /у))2 }1/2 ехр{1тф(х - /у)}.

Для существования решения задачи Коши (5), (3) на начальные функции ф(х), у(х) накладываем требование: они должны быть продолжены в комплексную плоскость, т. е. быть аналитическими, а функция у(х) > 0 .

= 1п(Ь) - (Ь)2;

л

ю(х,0) = 1п(ку(х)) - (ку(х)) =ю0(х), где у(х, у) — решение уравнения

1п [ку( х, у)] -[кл>(х, у)] = ю(х, у); (9)

тогда имеем задачу (6), (7) относительно функций и(X, у), ю(X, у) .

Функции и(х, у), ю(х, у) найдены в задаче

2:

и(х, у) = фЯ(х, у)-ю0/(х, у);

ю(х, у) = ф/(х, у) + щЯ( х, у), при условии, что начальные функции ф(х - /у), ю0(х -1у) можно представить в виде

ф(х - /у) = ф^(х, у) + /ф/(х, у);

ю0 (х -1у) = 1п [к у(х - 1у)] - [к у( х - 1у)] = = ю0Дх, у) + /ю0/(х, у).

2

V

2

Вернемся к функции у(х, у) — решению уравнения (9). Данное уравнение решается аналитически с помощью специальной функции — Ж-функции Ламберта [10, 11]. Напомним ее определение [11]:

Действительная Ж-функция Ламберта для действительного переменного г определяется как решение функционального уравнения:

Ж (г )ехр (Ж (г )) = г.

Другое определение: Ж-функция Ламберта есть функция, обратная к функции Ж = г ехр г.

Ж-функция Ламберта определена в интервале (-е, где принимает значения из интервала (-те, . Для отрицательных значений переменной г функция двузначная. Точка с координатой (-е-1) делит график функции на две ветви: верхнюю Ж0 (г), называемую основной, и нижнюю Ж-1(г), имеющую точку перегиба (-2е~2, - 2) и вертикальную асимптоту при значении г = 0 . В точке с координатами (-е_1, -1) обе ветви имеют вертикальную касательную.

Перепишем уравнение (9) в виде

1п (кг(х, у)) + 1пехр{-(£у(х, у ))2} = ю(х, у);

0,51п[(Ь(х,у))2 ехр{-2(Ь(х,у))2}] = ю(х,у);

{-2(Ь )2}ехр{-2(Ь)2} = -2ехр(2ю).

Введем обозначения

г :=-2ехр{2ю( х, у)};

Ж (г) :=-2(Щ х, у ))2 и получим функциональное уравнение Ж (г )ехр{Ж (г)} = г.

Решением последнего уравнения будет Ж-функция Ламберта:

[-2(Ь( х, у ))2] = Ж {-2 ехр [2ю(х, у)]};

-0,5а-2у2 (х, у) = Ж {-2 ехр [2ю( х, у)]},

у(х, у) = ^-2а0Ж {-2ехр[2ю(х, у)]}

1/2

и(х, у) = Яе ф(х - ¡у) -

л

— 1т[1п кх - ¡у) - (кх - ¡у)) ];

у(х, у) = [-2а$Ж |-2ехр[2ф/ + 2ю0Л(х, у)]}] = [-2а2Ж(-2ехр{21ш ф(х - ¡у) + + 2 Яе(1п ку(х - ¡у) - к V (х - ¡у))})]1/2 По условию задачи имеем:

А У) , 0 < < р < 1;

1/2

21/2<

>0

т. е. справедливо неравенство

0 < -Ж(-2ехр{2ю(х,у)}) < р < 1.

В этом случае областью определения Ж-функции Ламберта будет интервал, для которого выполняются соотношения:

-2ехр{2ю( х, у)} е (-е _1,0);

- ехр{1п2 + 2ю(х, у)} е (-е_1,0), откуда следует, что

1п2 + 2ю(х, у) < -1;

-те < ю(Х у) < -0,5(1 + 1п 2). А поскольку мы получили, что ю(х, у) = ф/(X, у) + (О0Я( X, у), условия на начальные функции имеют вид

-те < 1т ф(х - ¡у) + Яе[1п ку(х - ¡у) -

-(к х - ¡у )2] <-0,5(1 + 1п2).

Аналогично задаче 2, решение задачи Коши (8), (3) можно записать в другом виде, учитывая обозначения переменных р(х, у), а(х, у) и

тригонометрические соотношения

8т2а(х, у) =

2 Яе у (х - ¡у) • 1т у (х - ¡у)

2 ' Р2(х, у)

со8 2а(х, у) =

тогда имеем:

2 2 (Яе - ¡у))2 - (1т - у))2 ;

2 ' Р2(х,у)

Решением задачи Коши (8), (3) будут функции:

у(х - ¡у) = р(х, у)ехр{/а(х, у};

ю0 ( х - iy ) = ln[k у(х - iy)] - [k у(х - iy)] =

9 9

= lnkp(x,y) + ia(x,y)-k p (х,y)exp{2ia(x,y)} =

9 9

= ln kp(x, y) + ia(x, y) - k p (x, y)(cos2a +

9 9

+ isin2a) = [lnkp-kp cos2a] +

9 9

+ i[a-k p sin2a]. w1 (x, y, s) = ф(х - iy) + iю0 (x - iy) =

9 9

= Ф^(Х y) + i ф/(x, y) + /{[ln к p- к p cos 2a] +

9 9

+ i[a-к p sin2a]} =

9 9

= [ф^(x, y) -a(x, y) + к p (x, y)sin 2 a] +

9 9

+ /[ф/(x, y) + ln кp(x, y) - к p (x, y)cos 2a]. Решение задачи Коши (6), (7) примет вид:

9 9

u( x, y) = фЯ(х, y) - a( x, y) + к 2p2 (x, y) sin 2a =

= Re ф(х - iy) - arctg

Im у(х - iy) Re у(х - iy)

+ 2k Re у(х - iy) ■ Im у(х - iy);

ю(х, у) = ф/(х, у) + 1п кр(х, у) - к2р2 (х, у) ео8 2а =

= 1т ф(х - ¡у) + 0,51п[Яе2 у(х - ¡у) +

+ 1т2 у(х - ¡у)] - 1п к - к2[(Яе у(х - ¡у))2 -

-(1т у(х - ¡у))2].

Вернемся к функции у(х, у) — решению уравнения (9):

х, у) = \-2a2w (-2 ехр{2ю(х, у })}1/2.

Решением задачи Коши (8), (3) будут функции:

и( х, у) = Яе ф(х - iy) - аг^1т ^(х—1у1 +

Яе у(х - iy)

+ 2к Яе у(х - iy ) ■ 1т у(х - у);

х, у) = [-2а^(-2к2 [уЯ2 (х - у) + + у1 (х - iy)] ■ ехр{2ф/(х - у) -- 2к2 [уЯ2(х - iy) + у12(х - iy)] })]1/2.

Для существования решения задачи Коши (8), (3) накладываем требование на начальные функции ф(х), у(х), аналогичные требованию для существования решения задачи Коши (5), (3); эти функции должны быть продолжены в комплексную плоскость, то есть быть аналитическими, а функция у(х) > 0 .

Итак, в данной работе рассмотрены примеры, где получено точное аналитическое решение задачи Коши для эллиптических систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Решение представлено в явном виде и в исходных переменных, а также точно через начальные данные определены границы интервала разрешимости.

В рамках метода дополнительного аргумента удалось выявить качественные эффекты и свойства решений, определить условия существования классического решения. В частности, представление решения задачи с помощью функции Ламберта указало на условия, где возникают сложности в исследовании проблемы и перехода системы уравнений от эллиптического к гиперболическому виду.

Приведенные примеры важны для качественного исследования и численного тестирования более сложных систем уравнений. Сами примеры могут использоваться как тестовые для исследования алгоритмов численных решений прикладных задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. франкль, ф.И. Избранные труды по газовой динамике [Текст] / Ф.И. Франкль. — М.: Наука, 1973. - 712 с.

2. Carleman, T. Les fonctions quasi analytiques [Текст] / T. Carleman. — Paris: Gauthier-Villars, 1926. — 132 с

3. Ландис, Е.м. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических и параболических уравнений [Текст] / Е.М. Ландис // Успехи математических наук. — 1959. — т. XIV. — Вып. 1. — № 85. — C. 21—86.

4. Лаврентьев, м.м. О задаче Коши для уравнения Лапласа [Текст] / М.М Лаврентьев // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1956. - № 20. - С. 819-842.

5. Alekseenko, S.N. A basic scheme to investigate two first order quasi-linear partial differential equations [Текст] / S.N. Alekseenko // Analytical and Approximate Methods / H.-P. Blatt, R. Felix, L.G. Lelevkina, M. Sommer (Eds.) Intern. Conf. at the Kyrgyz-Russian-Slavic University. Bishkek - Aachen: Shaker Verlag, 2003. -P. 1-14.

6. Алексеенко, С.Н. Локальное существование ограниченного решения системы Франкля в эллиптическом случае [Текст] / С.Н. Алексеенко, Т.А. Шемякина, В.С. Чезганов // Исслед. по интегро-дифф. уравнениям. — Бишкек: Илим, 2006. — Вып. 35. — С. 148-152.

7. Алексеенко, С.Н. Построение расширенной характеристической системы для системы Франкля в эллиптическом случае [Текст] / С.Н. Алексеенко, Т.А. Шемякина, В.Б. Балакирева // Труды Средне-волжского матем. об-ва: докл. III Междунар. науч. школы. Ульяновск, 2007. -Т. 9. - № 1. - С. 53-61.

8. Алексеенко, С.Н. Построение расширенной характеристической системы для идеального газа в эллиптическом случае [Текст] / С.Н. Алексеенко,

Т. А. Шемякина // Журнал Средневолжского математического общества. — 2009. — Т. 11. — № 2. — С. 57—60.

9. Алексеенко, С.Н. Построение расширенной характеристической системы уравнений для частного случая системы Франкля эллиптического типа [Текст] / С.Н. Алексеенко, Т.А. Шемякина // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2009. — № 3 (83). — С. 73 — 82.

10. Corless, R.M. On the Lambert W function [Текст] / R.M. Corless, G.H. Gönnet, D.E.J. Hare [et al.] //Adv. Comput. Math. - 1996. -Vol. 5. - P. 329-359.

11. Дубинов, А.Е. Ж-функция Ламберта и ее применение в математических задачах физики [Текст] / А.Е. Дубинов, И.Д. Дубинова, С.К. Сайков. - Саров: РФЯЦ- ВНИИЭФ, 2006. -169 с.