О применении нейросетевых моделей в экологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Романова А.Г.1, Тархов Д.А.2, Шемякина Т.А.3

хООО «Евродорстрой», инженер , [email protected] 2Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, профессор,

[email protected]

3Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (СПбГПУ), доцент,

[email protected]

О применении нейросетевых моделей в экологии

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:

Нейросетевая модель, экология, прогнозирование, загрязнение окружающей среды.

АННОТАЦИЯ:

Предложен нейросетевой подход к прогнозированию в экологии. Применение нейросетевой методологии демонстрируется на двух модельных задачах.

Введение. Количество загрязняющих факторов, оказывающих неблагоприятное влияние на качество атмосферы и здоровье человека, растет с каждым днем. Для оценки этого влияния необходимо создать систему мониторинга на нескольких уровнях, каждому из которых соответствует свой набор математических моделей, описывающих распространение загрязнений и другие, важные для рассматриваемых задач величины, например скорость ветра, температуру воздуха и т.д. Данные модели обычно имеют вид или уравнений в частных производных с граничными и начальными условиями, или баз данных с результатами наблюдений. В реальной ситуации, обычно имеется информация обеих типов, причём часть её, например все или часть граничных и начальных условий могут быть неизвестны. При классическом подходе для того, чтобы учесть воздействие от соседних областей, а также от внешних условий, нужно пересылать большой массив информации.

Мы предлагаем строить и пересылать от информационной системы, соответствующей одной области в информационную систему, соответствующую другой области или другому уровню готовую нейросетевую модель [1-4]. При решении соответствующих задач полезным оказался метод дополнительного аргумента [6-8]. В работе предложенный подход иллюстрируется на тестовых задачах.

Предлагаемая иерархическая система мониторинга и прогнозирования состояния окружающей среды должна решать следующие задачи:

1) Более точный прогноз загрязнений окружающей среды с доступом к этим данным широким кругам населения.

2) Прогноз возможных экологических катастроф, путей их

предотвращения и минимизации их неблагоприятных последствий.

3) Выработка оптимальных способов управления состоянием окружающей среды на разных пространственных (локальный, региональный, глобальный) и временных (часы, сутки, времена года, десятилетия) масштабах и различными субъектами такого управления. При этом субъекты более высокого уровня могут управлять экологическим состоянием не только непосредственно (природоохранные мероприятия) но и опосредованно (изменение законодательной базы и стимулирование субъектов нижнего уровня).

4) Прогноз и минимизация последствий чрезвычайных ситуаций, создание системы автоматического оповещения населения, которое может подвергнуться риску различного уровня, своевременная эвакуация населения, для которого эта мера является оптимальной.

5) Объективная оценка ущерба окружающей среде и здоровью граждан и адекватное наказание виновникам такого ущерба.

В основу построения глобальных моделей загрязнения атмосферы заложен ряд принципов, в частности, для достаточно точного предсказательного моделирования необходимо рассматривать систему моделей. В такую систему входят модели циркуляции атмосферы. При моделировании климатической системы используется подход, связанных с аппроксимацией наиболее значимых физических процессов, участвующих в формировании климата, с дальнейшим уточнением такой модели (построения иерархии моделей). В данной работе рассмотрена только небольшая часть таких моделей и приведены основы нейросетевого подхода для работы с ними.

Одной из наиболее важных проблем, связанных с экологией, является прогнозирование распространения загрязнений в воздушной среде.

Традиционная математическая постановка и её недостатки.

Пусть в заданном регионе G с полной границей £ расположены п промышленных объектов, ежесекундно выбрасывающих Qi аэрозолей, г =1,2,...,п, состав которых будем считать одинаковым. В области G выделим т экологических зон Gk, к = 1,2,..., т, для которых заданы предельно допустимые концентрации выпавшего за интервал времени [0;Т] аэрозоля. Традиционная математическая постановка задачи [5] имеет вид уравнения диффузии для интенсивности и (х, у, z, г) аэрозольной субстанции:

ди , , , д ди Л * ^ „

— +&у(аи) + ои =—V — + + ч

д£ дг дг ¿^ (1)

с граничными условиями при условии:

г г ди ди

и = на 2, — = аи на 20, — = 0 на 2н .

дz дz

При этом а - скорость воздушного потока; А - оператор Лапласа по

переменным (х, У,; - коэффициент, описывающий скорость распадения (поглощения) аэрозоля; М и п - коэффициенты горизонтальный и вертикальный диффузии; (X У, X, Уi, ) - дельтаобразная функция, которая локализована в малой окрестности * - ого предприятия. Цилиндрическая область G с полной границей ^ = ХиХ оиХ н , где боковая поверхность цилиндра X - граница рассматриваемого региона, X о -подстилающая поверхность, X н - верхняя граница рассматриваемой области.

В реальных ситуациях трудно определить саму границу региона и условия на ней. Обычно, вместо них, наряду с дифференциальными уравнениями, задана дополнительная информация, например, в виде приближенно известных данных наблюдений (измерений и с помощью датчиков, размещённых в некотором наборе точек G). В работах [1-4] нейросетевые модели позволили объединить разнородную информацию об экологической системе.

Рассмотрим две модельные задачи, являющиеся частными случаями модели (1).

Модельная задача 1. Восстановление начального загрязнения.

Начальное распределение концентрации вредного вещества в момент времени t = 0 восстанавливается по её конечному распределению при t = Т, причём конечная концентрация отличается от начальной на несколько

порядков. Надо найти функцию "С*^).* е[0Л],г удовлетворяющую

уравнению: = ихх, и условиям:

и(х-Г)=/(х),хе(0Л), н(0;г)=0,ге[0;7*], ы(1;г) =0,£ е[0;Т].

Начальная функция <р( х) = и( х,0) неизвестна и подлежит восстановлению.

Решение задачи будем находить в виде нейросетевого приближения:

Предполагается, что мы знаем начальное условие в одной точке. Подбор весов осуществлялся через минимизацию функционала ошибки, который в данной задаче имеет вид:

X

и{х,£) = Х1^

-а. ) -Ь [х-х К?-? )-1Цг-г)

!-1

(2)

■. 2

(3)

Л (»■) = Х-! Л - и** )!

*

- слагаемое, отвечающее дифференциальному

уравнению;

- слагаемое, отвечающее граничным условиям;

¿-1 - слагаемое, отвечающее «экспериментально

полученным» значениям концентрации в конечный момент времени; 5Ъ,8Л > 0 - «штрафные» множители.

Здесь в слагаемых и JЪ (м) используются периодически

перегенерируемые пробные точки {(<Х)} = - в области О, {(0, г;.),(1, г;.)} ^ = -

на частях границы.

Приведём результаты вычислений для случая N = 200, NЪ = 50, Nd = 50, экспериментальные данные задаются с ошибкой, которая является случайной величиной, распределённой равномерно на интервале [-0.01, 0.01], число попыток добавить нейрон 10, число нейронов 11.

Рис. 1. Восстановление начальных условий

Из полученных результатов видно, что ошибка восстановления немного превосходит ошибку задания исходных данных. Увеличение числа нейронов до 50 позволяет уменьшить ошибку в несколько раз.

Модельная задача 2. Восстановление источника загрязнений на границе области.

Рассматривается плоская задача восстановления источника

й О = [(х,у): хе (-оэ,га),у е[0,Y],Y > 0]

загрязнении на границе области ia > ^ L > J- , внутри

которой искомая функция удовлетворяет уравнению Лапласа Du = 0.

Эта задача является частным случаем системы Франкля, представляющей собой систему двух квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка:

\dyu(x,y)-P{x,y,u(x,y),v(x,y))d^v{x,y) = О,

[Э^(х,у) ±Q(x,у,и(х,у), v(x,y))dyv(x,у) = О, при этом P(X, У, u(х, y), v(x, y)) > Po > 0, Q(x, y, u(x, y), v(x, y)) > q0 > 0, p0, q0 - const.

Система Франкля относится к системе смешанного типа. В работе продолжено исследование системы Франкля в эллиптическом случае [6-8]:

|~дуы{х,у)- Р(х,и (х, у), V(х, уУ) dxv(х,у) = О,

(4J

Поставим для системы уравнений (4) задачу Коши:

и( х,0) = ф( х), v( х,0) = у( х). (5)

Рассмотрим модельный пример, когда: р(Нх, У)) = 1, х, У)) =1, то есть система (4) эквивалентна уравнению: Ли = 0. Задача (4), (5) решается методом дополнительного аргумента. Сначала задача сводится к характеристической форме для функции х,У) = и(х,У) + ™(х,У):

yW( х, У) + ¡д xW( х, У) = 0, х,0) = %(х) + *$( х) = М!0( х).

Для последней системы уравнений построим расширенную характеристическую систему:

х, У, я)

ds

dwl( х, У, я)

= ¡, ((х, У, У) = х, = 0, Wl (х, У,0) = Wо (((х, У,0)).

ds

Интегрируя последнюю систему дифференциальных уравнений, получим решение:

((х, У, я) = х - ¡(У - я), ((х, У,0) = х - ¡у,

wl (х, У, я) = Wо (((х, У ,0)) = Wо( х - ¡У) = %(х - ¡У) + ¡$( х - ¡У).

В соответствии с работами [6-8], решением исходной задачи будут функции:

и(х, У) = Re w1 (х, у, у) = Re [у(х - ¡у) + ¡у(х - ¡у)], v(х, у) = 1т w1 (х, У, У) = 1т [у(х - ¡у) + ¡у(х - ¡у)]. Представим начальные функции в виде нейросетевых разложений:

1ГГ/-Л _ ^

= X -"-ГГ. М = ^

Тогда решение (6) будет иметь вид:

и(х ск[а:к + (х-ак)2-у2]_2&ку(х-Ьк)_

—1 [^ + (х-ак)2-у2]2+4у2(х-ак)2 [ Д + 0-\)2 -у2]2 + 4у2 (х-дк)2

В тестовой задаче решение в области ^ = {(хУ): х0(-1,1),у 0[°,1]} восстанавливалось по дискретному набору значений точек - «измерений». В случае кусочно-постоянных граничных условий при У =0, этот набор сформирован по известному аналитическому решению задачи, моделирующему действие постоянного источника загрязнений, мощность которого подлежит оценке. Результаты вычислений представлены на следующем рисунке 2.

Из рисунка видно, что положение и мощность источника загрязнений удаётся оценить достаточно точно.

Заключение. Предлагаемый нейросетевой подход к построению иерархической системы мониторинга и прогнозирования состояния окружающей среды позволит дать более точный прогноз загрязнений окружающей среды, прогноз возможных экологических катастроф, путей их предотвращения и минимизации их неблагоприятных последствий, обеспечить выработку оптимальных способов управления состоянием окружающей среды на разных пространственных и временных масштабах и различными субъектами такого управления, дать объективную оценку ущерба окружающей среде и здоровью граждан и адекватное наказание виновникам такого ущерба.

Литература

1. Романова А.Г., Тархов Д.А., Шемякина Т.А. Нейросетевое моделирование в обратных задачах экологического мониторинга // Материалы XVIII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2013), Алушта. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2013. - С. 228 - 231.

2. Romanova A.G., Tarhov D.A., Shemyakina T.A. Neural Network Modeling Application to Ecologic Problems // Nonlinear Phenomenology Advances, Book of Abstracts: International Seminar. Edited by VI. Antonov & D.W. Serov, - St. Petersburg: Publishing Hous of SPbSTU, 2013. - P. 39.

3. Тархов Д.А., Васильев А.Н., Идрисова Д.И. Нейросетевое моделирование системы мониторинга загрязнений атмосферы и обеспечение безопасных условий труда в строительстве // Научно-технические ведомости СПбГПУ Наука и образование. - 2012. -№2-1(147). - С.266-272.

4. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Нейросетевое моделирование. Принципы. Алгоритмы. Приложения. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2009. - 528с.

5. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - М.: Наука, 1982 - 320 с.

6. Алексеенко С.Н., Шемякина Т.А., Чезганов В.С. Локальное существование ограниченного решения системы Франкля в эллиптическом случае // Исследования по интегро -дифференциальным уравнениям. - Бишкек: Илим, 2006. - Вып. 35. - С. 148-152.

7. Алексеенко С.Н., Шемякина Т.А. Построение расширенной характеристической системы уравнений для частного случая системы Франкля эллиптического типа // Научно-технические ведомости СПбГПУ Физико-математические науки. - 2009. - №3 (83). - С. 7382.

8. Шемякина Т.А. Примеры решения задачи Коши для некоторых вариантов системы Франкля эллиптического типа // Научно-технические ведомости СПбГПУ Физико-математические науки. -2011. - №4 (134)- С. 191-197.