Научная статья на тему 'Вычисление подграфа максимальной псевдоплотности'

Вычисление подграфа максимальной псевдоплотности Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
60
8
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГРАФЫ / ДВУДОЛЬНЫЕ ГРАФЫ / НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПИСАНИЕ / ПАРОСОЧЕТАНИЕ / NP-ТРУДНЫЙ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Магомедов Абдулкарим Магомедович, Магомедов Тагир Абдулкаримович

В статье найден новый подход к эффективному вычислению подграфа с максимальной псевдоплотностью. Последняя принята как отношение |E| / |V|графа G=(V, E). Рассмотрено применение нового подхода для решения задачи о непрерывном расписании.I

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

n this paper a new approach to effective calculation of a subgraph with the maximal density has been found. A pseudodensity is defined as the |E|/|V| ratio of the G = (V,E)graph. The use for solving consecutive scheduling problem is considered.

Текст научной работы на тему «Вычисление подграфа максимальной псевдоплотности»

На основании проведенных исследований нами доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть функции P(x,y,u,v), Q(x, y, u, v) дважды непрерывно дифференцируемы по всем аргументам, P > p0 > 0, Q > q0 > 0, ф(х), y(x) е С(2)(^). Тогда задача Коши (1), (2) для системы Франкля в гиперболическом случае при 0 < y < Y* имеет единственное ограниченное, диф-ференцируемоерешение u(x, y), v(x,y) е е при этом функции u(x, y), v(x, y) определяются из системы интегральных уравнений (14).

СПИСОК J

1. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике [Текст] / Ф.И. Франкль. — М.: Наука, 1973. — 712 с.

2. Рождественский, Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике [Текст] / Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко. — М.: Наука, 1968. - 592 с.

3. Alekseenko, S.N. A basic scheme to investigate two first order quasi-linear partial differential equations [Текст] / S.N. Alekseenko // Analytical and Approximate Methods / H.-P. Blatt, R. Felix, L.G. Lelevkina, M. Sommer (Eds.) International Conference at the Kyr-gyz-Russian-Slavic University. Bishkek — Aachen: Shaker Verlag. — 2003. — P. 1 — 14.

4. Алексеенко, С.Н. Локальное существование ограниченного решения системы Франкля в гиперболическом случае [Текст] / С.Н. Алексеенко, Т.А. Шемякина, К.Г. Круц // Исследования по ин-тегро-дифференциальным уравнениям. — Бишкек: Илим, 2006. — Вып. 35. — С. 142—147.

5. Шемякина, Т.А. Построение расширенной характеристической системы для системы Франкля в гиперболическом случае [Текст] / Т.А. Шемякина // Труды Средне-Волжского матем. об-ва: докл. III Междунар. науч. школы. — Ульяновск, 2007. —Т. 9. — № 1. — С. 264—273.

Итак, полученные в данной работе результаты свидетельствуют об эффективности применения метода дополнительного аргумента к исследованию условий разрешимости и построению численных решений для систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Автор выражает благодарность ведущему научному сотруднику профессору А.П. Качалову из лаборатории математических проблем геофизики ПОМИ им. В.А. Сте-клова РАН за полезные дискуссии.

6. Шемякина, Т.А. Условия существования и дифференцируемости решения системы Франкля в гиперболическом случае [Текст] / Т.А. Шемякина// Журнал Средне-Волжского матем. об-ва. — 2011. — Т. 13.- № 2.- С. 127-131.

7. Шемякина, Т.А. Численное решение задачи Коши для системы Франкля на основе метода дополнительного аргумента [Текст] / Т.А. Шемякина // Матер. XVII Междунар. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'). -М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. - С. 669-672.

8. Алексеенко, С.Н. Построение расширенной характеристической системы уравнений для частного случая системы Франкля эллиптического типа [Текст] / С.Н. Алексеенко, Т.А. Шемякина // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2009. - №3 (83). - С. 73 -82.

9. Шемякина, Т.А. Примеры решения задачи Коши для некоторых вариантов системы Франкля эллиптического типа [Текст] / Т.А. Шемякина // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2011. - № 4 (134). -С. 191-197.

УДК 519.1

А.М. Магомедов, Т.А. Магомедов ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОДГРАФА МАКСИМАЛЬНОЙ ПСЕВДОПЛОТНОСТИ

Среди основных направлений исследований в теории графов паросочетания занимают одно из основных мест. Тесные связи теории

паросочетаний с задачами о раскрасках и назначениях с оптимизационными проблемами и задачами расписаний привлекают к ней много-

численных исследователей. При этом широко используются конструкции и подходы из теории NP-полных задач. Как известно, методы теории графов успешно используются для исследования задач расписаний (см., например, [1, 2]).

В данной работе паросочетания выступают в качестве связующего звена между задачей вычисления псевдоплотности графа и задачей о непрерывном расписании минимальной длительности.

В статье используются обозначения и определения, принятые в монографии [3].

Задача вычисления псевдоплотности графа

Максимум отношения числа ребер к числу вершин подграфа графа G обозначим через density(G). Наименьшее целое число, не меньшее, чем density(G), будем называть псевдоплотностью графа G и обозначать ps(G). В работе [4] построен алгоритм, который позволяет для графа G= (V, E) (|V| = n, |E| = /) вычислять density(G) за время

M(n,n + l)logn,

(1)

Такое построение справедливо в том и только в том случае, если ребро e¡ и вершина Vj инцидентны в графе G.

Пусть ) обозначает множество вершин, смежных в графе G1 с вершинами множества S с Х1. Тогда, очевидно,

ps(G) =

max-

\s\

* с xl\r1(S )|

где М(х, у) — время нахождения пропускной способности минимального разреза в сети с х вершинами и у ребрами.

Особенностью принятого в уже упомянутой работе [4] подхода является внимание лишь к мощностным характеристикам графа (п и I), в то время как индивидуальные особенности графа никак не влияют на качество алгоритма, и даже весьма простая структура графа не способствует улучшению приведенной оценки.

В следующем разделе изложен подход к вычислению ps(G), а точнее — к проверке неравенства ps(G) < р для заданного натурального р. В заключительном разделе показано применение предложенного подхода к проверке условий существования непрерывного расписания.

Сведение задачи к вычислению паросочетаний в двудольных графах

Для заданного графа

G= (V, Е), У= {VI, ..., vJ, Е = {ер ..., е}, (2)

построим двудольную интерпретацию графа Gx = (Хх, 71, Е1):

Х1 = {хР ...,х1}; 71 = {у^ .,Уп};

йв1 х = е X; (х, у3) е Ех.

Для целого положительного р определим граф

G(р) = (X((р), Е(р)) (3)

следующим образом: положим X(р) = Х1 и выполним замену каждой вершины у е^ и всех инцидентных ей в графе G1 ребер (хх,у), ..., (хк,у) на конструкцию из р новых вершин у1;..., ур е Y(р) ирк новых ребер:

Х,у)еЕ(р); } = 1,...,к; I = 1,..., р.

Множество вершин, смежных в графе G(р) с вершинами множества S с X(р), обозначим Г( ). Поскольку

то условия

\Г( p)(S )\= p\rx(S )\, |S|

< p

VS с X1

(4)

( р)

\ri(S )\

равносильны условиям

— < 1 VS с X , \г( p)(S )\ -

которые, согласно теореме Холла [1], являются условиями существования в графе (3) полного паросочетания множества X(p) с множеством Y(p). Таким образом, вычисление ps(G) сводится к определению в множестве {1, ..., n} наибольшего элемента p, для которого в графе (3) существует полное паросочета-ние множества X^) с множеством Y^). Применение дихотомии приведет к появлению в оценке сомножителя logn , аналогичного сомножителю в оценке (1).

Напомним, что вычисление максимального паросочетания в двудольном графе из k вершин

может быть выполнено за время O

5 Л

к2

[5].

Применение к задаче оптимизации расписания

Пусть исходные данные к расписанию обслуживания п требований в системе из I приборов заданы в виде графа (2). Если = (ук, ^), то обозначим щ = (у,к); семейство наборов юг-, / = 1,..., I, обозначим П . Каждый прибор i должен выполнить точно одну операцию с каждым из требований (необязательно различных) из набора щ. Предполагается, что длительность каждой операции равна единице, порядок выполнения операций произволен (условия предшествования отсутствуют); кроме того, запрещается одновременное обслуживание одним прибором более одного требования и одного требования - более чем одним прибором.

Задача о существовании непрерывного расписания, соответствующего исходным данным. Существует ли матрица TизI строк и А столбцов с элементами из множества {0,1, 2,..., п}, такая, что ненулевые элементы в каждом столбце матрицы попарно различны, в каждой i-й строке ненулевые элементы образуют набор щ и располагаются в соседних ячейках строки?

(Через А обозначена максимальная степень вершины в графе б).

И н т е р п р е т а ц и я . Если Т у = к , то при к > 0 прибор i в момент времени j выполняет операцию над требованием

при к = 0 прибор i в момент времени j не обслуживает ни одного требования.

При I > 2 и отсутствии ограничений на количество требований, предписанных отдельным приборам, в работе [6] доказана NP-полнота задачи о существовании непрерывного расписания (см. также [7]).

Приведем равносильную формулировку задачи в терминах реберной раскраски графов: требуется проверить возможность раскраски А цветами ребер двудольного представления Gl = (Е1) графа б так, чтобы

для каждой вершины х1 е X цвета инцидентных ребер отличались точно на единицу;

для каждой вершины у у е Yx все инцидентные ребра имели разные цвета.

Вопросы NP-полноты проблемы в общем виде рассмотрены в работе [8]. Для четных А непрерывное расписание всегда существует [9]. Мы рассматриваем случай, когда А нечетно, А = 2 р +1. Развернутый обзор по данному вопросу можно найти в работе [10].

Для непрерывного расписания введем следующие обозначения: N (П') - количество различных чисел в наборах из подсемейства П ' с П; П' - подсемейство, образованное в П ' наборами, один из элементов каждого из которых расположен в столбце с номером 2г; [ = 1,..., р . Легко видеть, что

| П ' |< р тах | П' |< pN(П ').

I=1,..., р

Другими словами, для существования непрерывного расписания необходимо выполнение условий

|П'|

p Vn 'сП.

(5)

N (П ')

Эти условия равносильны условиям (4). Таким образом, мы показали, что проверка условий (5) сводится к вычислению ps(G). Кроме того, условия (5) являются и достаточными для существования непрерывного расписания; случай р = 2 рассмотрен в работе [11], а случай произвольного натурального р - в работе [12].

Итак, в работе рассмотрено применение нового подхода к эффективному вычислению подграфа с максимальной псевдоплотностью для решения задачи о непрерывном расписании.

Работа выполнена при финансовой поддержке средствами Технического задания № 1.1923.2011 1949.2011.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Even, S. On the complexity of timetable and integral multi-commodity flow problems [Text] / S. Even, A. Itali, A. Shamir // SIAM J. on Comp. — 1976. — Vol. 5. — No. 4. — P. 691—703.

2. Магомедов, А.М. Расслоение множества ребер двудольного графа [Текст] /А.М. Магомедов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2010. — № 4 (109). — С. 150 —155.

3. Свами, М. Графы, сети и алгоритмы [Текст] / М. Свами, К. Тхуласираман. — М.: Мир, 1984. — 454 с.

4. Goldberg, A.V. Finding a maximum density subgraph [Текст] / A.V. Goldberg / / Technical Report Identifier: CSD—84—171. — 12 p.

5. Hopcroft, J.E. An nA5/2 algorithm for maximum matching in bipartite graphs [Текст] / J.E. Hopcroft, R.M. Karp // SIAM J. Comput. — 1973. — Vol. 2. — P. 225—231.

6. Танаев, В.С. Теория расписаний. Многостадийные системы [Текст] / В.С. Танаев, Ю.Н. Сотсков, В.А. Струсевич. - М.: Наука, 1989. - 328 с.

7. Магомедов, А.М. Непрерывное расписание для специализированных процессоров без отношения предшествования [Текст] / А.М. Магомедов // Вестник Московского энергетического института. — 2009. — № 5. — С. 14—17.

8. Визинг, В.Г. Жесткая раскраска инциденторов неориентированного мультиграфа [Текст] / В.Г. Визинг // Дискретный анализ и исследование операций. — 2005. — Сер. 1. — Т. 12. — № 3 — С. 48—53.

9. Магомедов, A.M. Уплотнение расписания с директивным сроком, кратным количеству занятий каждого преподавателя [Текст] / А.М. Магоме-

дов // Математические заметки. — 2009. — № 1.-C. 65-72.

10. Визинг, В.Г. Задача раскраски инциденторов мультиграфа [Текст] / В.Г. Визинг, А.В. Пяткин // Матер. Рос. конф. «Дискретный анализ и исследование операций». Новосибирск, 28 июня — 2 июля 2004 г. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2004. — C. 6—11.

11. Магомедов, А.М. Условия существования непрерывных расписаний длительности пять [Текст] / А.М. Магомедов, А.А. Сапоженко // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2010. — Т. 34. — № 1. — С. 39—44.

12. Магомедов, A.M. Условия существования непрерывных расписаний [Текст]: автореф. дис. ... д-ра ф.-м.н. / А.М. Магомедов // М.: ВЦ РАН. — 2011. — 30 с.

УДК 531 (07)

М.Р. Петриченко

РАСЩЕПЛЯЮЩИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение предельных задач для обыкновенных уравнений с помощью рядов известно как метод разложения по параметру. В задачах с физико-механическим содержанием роль параметра играет какой-либо масштаб предельной задачи. Важную роль играют предположение о малости (о порядке малости) параметра разложения, определение радиуса сходимости по параметру функционального ряда, а также метод (аналитического) продолжения решения за пределы круга сходимости. Первое предположение использует, как правило, физическую интуицию исследователя. Определение радиуса сходимости ряда по параметру связано с изучением предельных значений коэффициентов-функций разложения. Наибольший интерес для приложений представляет продолжение решения. Изучение сходимости разложений по малому параметру и техника вычисления периодических решений га-мильтоновых систем с параметром по Пуанкаре

приводится в известном курсе К.Л. Зигеля (см.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

[1], с. 169—185). О решениях, представляемых рядами, в исторической ретроспективе подробно написано в главе XVI известного учебника

[2]. Принципиально новый подход к проблеме продолжения решений предложен С. Каплуном. Теорема продолжения Каплуна утверждает следующее [3]: пусть/(х; е) — функция, заданная на множестве Е, D/) = Е, и такая, что

Тогда

f (х, е) — 0, Vx еЕ.

£—^+0

3 Ее, mes(E£AE) <с(е) — 0

£—+0 е.

/(х, е) ^ 0, Ух еЕе.

Иначе говоря, в теореме Каплуна речь идет о продолжении функции на более широкое множество без увеличения нормы. Согласно

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.