CC BY
17
где seal (...) и vect (...) - обозначают скалярную и векторную части кватерниона соответственно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. I, II // Космические исследования. 1992. Т. 30, вып. 6. С. 759 - 770; 1993. Т. 31, вып. 3. С. 3 - 15.
2. Stiefel E.L., Scheifele G. Linear and Regular Celestial Mechanics. Berlin : Springer, 1971.
3. Сапунков Я.Г. Применение KS-переменных к задаче оптимального управления космическим аппаратом // Космические исследования. 1996. Т. 34, вып. 4. С. 428 - 433.
УДК 301.51.17.07.05
О. М. Сапункова
ПРИМЕР МГД-ТЕЧЕНИЯ С ДВУМЯ ХАРАКТЕРНЫМИ СКОРОСТЯМИ
1. Пусть две плоские струи идеальной плазмы с общей линией симметрии Ох движутся навстречу друг другу в магнитном поле, силовые линии которого параллельны линиям тока.
Считается, что движение установившееся, адиабатическое, внешнее электрическое поле отсутствует, энтропия постоянна во всём потоке. Для магнитного поля выполняется условие rot[v(l-s)] = 0, где v - вектор скорости плазмы,
s = s0(\-if (1)
- число Альвена,
50=11^0 , (2)
ц-магнитная проницаемость, к= Н/(pv) = const, Я - напряжённость магнитного поля, р - плотность, ро - плотность в точке остановки, т = (v/vraax)z, vmax-максимальная скорость, (3 = (у-1)"', у - показатель адиабаты.
Если so S 1, то рассматриваются дозвуковые струи, а при s0 > 1 рассматриваются струи с догиперкритическими скоростями.
Вдоль оси Ох слева направо движется струя плазмы, которая на бесконечности имеет ширину 2h\, скорость Vt, плотность pt, а справа налево движется струя плазмы с соответствующими значениями 2h2, V2, р2 на бесконечности. После соударения образуются две симметричные струи, направления которых в бесконечности составляют углы ±0О с осью Ох. Значение Э0 определяется из уравнения импульсов:
со59о=^-А. (3)
Й1+Й2
Линия раздела Ь, симметричная относительно оси Ох и проходящая через точку остановки О ( начало координат ), делит всё течение на две области и Б2.
Пусть давление во внешней среде постоянно и равно р. Обозначим через р', р</, »/, х7, Н* значения р, р0, V, г, 5, Н в области Ои а через р", р0", И" - те же значения в области £>2. При этом
•2 "2 V ' V •
х =-, X =-, (4)
2 У Ро 2 1 Ро
Г"1 Ро Г-1р0
где ро - давление в точке остановки.
Из уравнения адиабаты и интеграла Бернулли получаются следующие соотношения вдоль линии раздела Ь:
т/=х// , р/уа=р//у"2. (5)
Ро Ро
При удалении в бесконечность вдоль Ь эти соотношения переходят в равенства
, Т, = х2 , р,г,2=р2У22. (6)
Ро Ро
Если магнитная проницаемость р одинакова для обеих струй, то из формул (1) и (2) имеем для областей Ди02:
5/=*о/(1-т/)р, *о'-ц*12Ро', /=Ло//(1-х/?> ®0"= \лк22р0", (7) где К\, к2 - значения постоянной к в областях и 02. Если на линии раздела ток отсутствует, то при переходе через Ь касательная составляющая вектора Н непрерывна: Подставляя в это равенство выражение Н = /еру и ис-
пользуя (5), получим на Ь\
К\2Р(1= кг ро
откуда, согласно (7)
Зо'= = $0> 5/=5о(1-Т/)Р, /=5о(1-х")Р- (В)
2. В плоскости годографа х, 0, где 0 - угол наклона вектора скорости к оси Ох, часть течения, соответствующая значениям 0 > 0, представлена областью
О < х < X], 0 < 0 <71. (9)
Пусть ц/ - значение функции тока в области £>ь а ц/'- соответствующее значение в области £>2. Введём функцию у, определённую во всей области течения так, что
У=а'ч/, У=а"\|/, (Ю)
где а, а" - постоянные, определяемые из условий (5), (6),
¿={ух1У2)т, с1'={Уг1Ух)ш. (11)
Тогда задача сводится к нахождению в области (9) решения уравнения
2т(1 - я)
Эу|_т(2р + 1)-1 д\
ае2
(12)
911(1 - *)М[(1 -"ОС -5) + 2Рэт] 5т\ 2т(1 -т)р+1 при фаничных условиях:
\|/ = 0 при 0 < т < XI, 8 = 0, 0 = 71, - у = при т = т,, О<0<9о, (13)
V = Qгd при т = ть 0О < 0 < тс,
где
е^К.А.р./ро', <22= ^Лгрг/ра". Решение краевой задачи (12), (13) ищется методом Фурье. Оно имеет
вид
(14)
где
1
яп^и/гСг^УК,
а +(-1)"
а+тг&
СОБ И0л
(15)
функция Д^т) есть решение уравнения
(¡1
\2 Л
2 п/2(т)
_Л_
(1 - х)р_1 [(1 - т)(1 - лг) н- 2(35т]
1 -т(2р +1) ,л2 , ч ....
^ Т(1_Т)Р+. (1-^>Т^и/2(т). (16)
После перехода на физическую плоскость определяются границы обеих струй. Для левой струи имеем:
Я„ = 2 лл = 2
(17)
Для правой струи:
х=С1+(А1+А2)8т0о--£блСп, ^ = (18)
Здесь С\ - постоянная, а остальные коэффициенты определяются по формулам:
Ь„=[ь + (-1)"Й2 -(А, +А2)СО8И0о|^п/2(Х),
_ соз(и -1)0 соз(и + 1)0 Бт(л -1)0 зт(и + 1)0
и — ;— +-г,—> «и--;---~л—• (1у)
п-1 и + 1 п-1 и + 1
Функция Л„/2(т) определяется уравнением
т(1 - т)(1 - + (ЗтД„/2(т) + £[(1 - т)(1 -5) + 2(3ЭТ]Л2п/2(т) =
ах 2
= |[1-т(2Р + 1)](1-Я). (20)
ЛИТЕРАТУРА
1. Фалькович С.В., Сапункова О.М. Уравнение типа Чаплыгина в магнитной газодинамике //Изв. вузов. Сер. математика. 1969. Вып. 6. С.78 - 85.
УДК 533.6.011
Г. Д. Севостьянов
ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧЕРЕЗ ОКОЛОЗВУКОВОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
Уравнения Фальковича-Кармана для двумерных безвихревых околозвуковых течений идеального газа [1] (ю=0 и <а=1 соответственно для плоского и осесимметричного течений)
иих=у +СО-, чх=и (1)
У
на скачке уплотнения х = И(у) задают два условия [1]
ад-ы(2,
[«] [V]
где [/] - разность значений функции / на сторонах скачка. Для однопарамет-рических решений (и, V, х - функции у и параметра р\ приведём (1),
(2) к дивергентной форме
УС')Р = (/V),» С"Р = {хри\-и2
С. = — + хуу, С». = V + хуи (3)
и условиям на скачке
Гф) _ [С..] [С.]
«И* [хри]
В случае изопараметрического скачка (ф = 0 вдоль него) функции С*(р,у) и С,.(р,у) непрерывны всюду (и через скачок). Структурная функция Б(р, у) вводится [2] структурной формулой и = Б хр + х2, при этом х2 Б2 = С... - непрерывная всюду функция. Свойство непрерывности
