CC BY
5ПРИМЕНЕНИЕ ЗОЛОТОГО ПРАВИЛА НРАВСТВЕННОСТИ К ОДНОЙ _МОДЕЛИ КОНКУРЕНТНОЙ ЭКОНОМИКИ
Жуковский Владислав Иосифович
доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный
университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва
Сачков Сергей Николаевич
кандидат физико-математических наук, Государственный гуманитарно-технологический
университет, г. Орехово-Зуево
Сачкова Елена Николаевна
кандидат физико-математических наук, доцент, Государственный гуманитарно-технологический
университет, г. Орехово-Зуево APPLICATION OF THE GOLDEN RULE OF MORAL TO THE COMPETITIVE ECONOMICS MODEL Vladislav Zhukovskiy, Doctor of Physics and Mathematics Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Moscow
Sergey Sachkov, PhD of Physics and Mathematics Sciences, State Humanitarian Technological University, Orekhovo-Zuevo
Elena Sachkova, PhD of Physics and Mathematics Sciences, Associate Professor, State Humanitarian Technological University, Orekhovo-Zuevo
АННОТАЦИЯ
Общепринятый подход к принятию решений в конфликтных ситуациях - использовать концепцию равновесия по Нэшу (РН), предложенную в 1949 г. американским математиком и экономистом Джоном Нэшем, через 45 лет за эту работу ему была присуждена Нобелевская премия. Профессор В.И. Жуковский с учениками в 1994 году формализовали новое понятие равновесия, названное равновесием по Бержу (РБ). В настоящей статье для модели конкурентной экономики (КЭ) - дуополии Бертрана - выявлены требования, при выполнении которых участники конфликта получают большие исходы, используя РБ, чем РН.
ABSTRACT
Nash equilibrium is a common optimality concept for decision making at conflicts. It was offered in 1949 by American mathematician John Forbes Nash and he was awarded Nobel prize in economics in 1994 for this achievement. A new optimality concept of Berge equilibrium first was formalized by professor Vladislav Zhukovskiy in 1994. In this paper for the mathematical model of Bertrand duopoly we obtain that under fulfillment of some conditions and in case players simultaneously choose Berge equilibrium strategies, then everyone receives a larger payoff than if they would choose Nash equilibrium strategies.
Ключевые слова: математическая теория игр; стратегии; равновесие по Нэшу; равновесие по Бержу.
Keywords: mathematical game theory; strategies; Nash equilibrium; Berge equilibrium.
1. Актуальность
В 1883 г. французский математик Жозеф Луи Франсуа Бертран (1822-1900) построил модель [1] ценовой конкуренции на олигопольном рынке, на котором фирмы конкурируют между собой, меняя цену продукции. Заметим, что такая модель не «блистала новизной», ибо ровно на 45 лет раньше тоже французский экономист, философ и математик Антуан Огюст Курно (18011877) в «Исследовании математических принципов теории богатства» в разделе 7 «О конкуренции производителей» [2] рассмотрел частный случай олигополии - дуополию (участвуют только два производителя). В ней уже математическая модель основывалась на том, что оба производителя выбирают объем поставляемой продукции, цена же варьируется в результате равновесия между спросом и предложением. Рыночная цена устанавливается на том же уровне, на котором покупателям будет предъявлен спрос на весь «выкинутый на рынок» товар. Однако Бертран основывался на более естественном поведении продавца, именно на выборе им цены, а не количества «выброшенного» на рынок товара, как у Курно.
Во всех таких задачах до сих пор решение бази-
ровалось на предложенном Джоном Форбсом Нэшем (1926-2015) - тогда аспирантом Принстонского университета, понятии равновесия [3], названного затем равновесием по Нэшу (РН). Оно определялось устойчивостью к отклонениям от него отдельного участника конфликта.
Равновесие по Нэшу оказалось настолько привлекательным в экономике, социологии, военном деле и во многих других областях человеческой деятельности, что прямо-таки «породило» (после 1994г.) звездопад Нобелевских премий по экономике, кстати, не прекращающийся до сих пор. Однако и «на солнце бывают пятна» - с нашей точки зрения, упомянутое требование устойчивости отвечает «эгоистическому характеру», ибо, согласно РН, каждый игрок стремится увеличить только свой собственный выигрыш, забывая об интересах остальных, и, в частности, забывая даже о Золотом правиле нравственности: «поступай по отношению к другому так, как ты хотел бы, чтобы он поступил по отношению к тебе». А ведь так диктует Новый Завет, Евангелие от Луки (6, 31): «И как хотите, чтобы с вами поступали люди, так и вы должны поступать с ними». Именно такой альтруистический подход проявляется в
равновесии по Бержу (РБ).
Понятие «равновесная по Бержу ситуация» возникло в России [4-6] в 1994 году в диссертации Константина Семеновича Вайсмана (тогда аспиранта Орехово-Зуевского педагогического института; он скоропостижно скончался, не дожив и до 36 лет). Само понятие появилось в процессе изучения книги Клода Бержа «Общая теория игр нескольких лиц» [7] (опубликована в 1957 г. в Париже, переведена на русский язык в 1961 г.) и «мозговой атаки» на достоинства и недостатки равновесной по Нэшу ситуации. РБ снимает «эгоистический характер» равновесия по Нэшу. Действительно, следуя своим стратегиям из равновесия по Бержу, игроки «забывают» о себе, о своих интересах и направляют свои усилия на увеличение выигрышей всех оставшихся игроков. Такой альтруистический подход свойственен родственным отношениям (конечно, в дружных и любящих семьях!), в религиозных сообществах, элементы такого альтруизма присутствуют при благотворительности, в спонсорской поддержке и вообще в отношениях между родными. Заметим, что применение равновесных по Бержу ситуаций заведомо исключает вооруженные столкновения, кровопролития и войны. Эта ситуация решает также проблему Такера в известной игре «дилемма заключенных».
Судьба монографии [7], к сожалению, незавидна. Её публикация вызвала к жизни резкую рецензию (известного в математической теории игр специалиста) Мартина Шубика [8], в которой указывалось (по нашему мнению справедливо), что в книге [7] «...никакого внимания не уделено приложению в экономике...» (но опять-таки, по нашему мнению, несправедливо) «... книга мало интересна экономистам...». Как раз последние слова и «подтолкнули» провести исследование [9] ситуаций равновесия по Бержу и по Нэшу в известной модели конкурентной олигополии Курно [2], там также выявлены случаи, когда одно из них доставляет всем выигрыши большие, чем другая. Такой же задаче, но уже для модели дуополии Бертрана с акцентом на РБ и посвящена предлагаемая читателю настоящая статья. В ней приведен сравнительный анализ применения равновесий по Бержу и Нэшу в зависимости от наибольшей цены поставляемого на рынок товара.
По ситуациям равновесия по Бержу уже появились обзоры [10; 11, с. 53-56]. Как показали эти обзоры, большинство упомянутых там публикаций посвящено свойствам равновесия по Бержу, особенностям, модификациям этого понятия, связям с равновесием по Нэшу. Представляется, что в зарождающейся теории равновесия по Бержу уже наступает этап становления строгой математической теории. На смену интенсивного накопления фактов приходит, вероятно, этап эволюционного развития и широкого приложения к практическим задачам. Нам представляется, что ко второму этапу относится настоящая статья и работы [12 - 16].
2. Постановка задачи
Итак, пусть на рынке функционируют две фирмы, производящие один и тот же товар. Стратегией фирмы (игрока) пусть будет цена, назначаемая фирмой за товар. Таким образом, считаем, что каждая кгая фирма
объявляет свою цену р = сот( - 0 ^=1,2 После объявления цен всеми фирмами складывается ситуация (набор цен) - вектор р = (р,Рг) . Спрос на товар кгого
игрока (iе{! 2}), возникающий на рынке, предполагаем линейным отнОсительно объявленных цен, именно,
Qi (p) = q - Ад + 4p2 Q2(p) = q - kp2 + (1) Здесь q - некоторая постоянная, характеризующая
начальный спрос, коэффициент i = const > 0 указывает насколько снижается спрос на предлагаемый товар при повышении цены на единицу. В свою очередь,
коэффициент i = const> о показывает насколько увеличивается спрос при увеличении цены на единицу товара-заменителя. Если обозначить себестоимость единицы товара через c = const > 0, то прибыль i-той фирмы (далее называется функцией выигрыша игрока
i е{1,2}) будет
/1( p) = [q - li Pi +12 P2 ](Pi- c)
f2(P) = [ q - + l2Pi ] (P2 - c) (2)
Заметим, что покупатели обычно рассматривают
продукцию одинакового назначения разных фирм как разные товары. Поэтому будем считать, что на рынок каждая фирма выходит со своим товаром, причем все эти товары взаимозаменяемы.
В результате математическую модель определенного выше конкурентного взаимодействия между фирмами-продавцами можно представить упорядоченной тройкой
= ({u}, {р = (c, в]Ц,{f(P) Ц2) (3) В этой бескоалиционной игре двух лиц в нормальной форме обозначено через {1,2} - множество
порядковых номеров игроков; в = const > c - максимальная для игрока цена, установленная рынком (и совестью продавцов!), порой независимо от желания игрока; стратегией игрока i является выбранная им
цена p е(c,в], множество таких стратегий есть ; в складывающейся на рынке «ценовой политике» - ситуации p = (p ,p2) качество функционирования игрока оценивается его выигрышем f (p) - значением функции выигрыша f (p) в создавшейся ситуации
p = (p1, p2)е P = р х P2 , явный вид которой задан формулой (2).
Особенности игры Г:
во-первых, предполагается, что максимальная цена в и себестоимость для игроков одинаковы;
во-вторых, правилами ведения игры запрещена коалиция {1,2} (в этом проявляется, в частности, «бескоалиционный характер» игры);
в-третьих, цена p > c (- = 1,2), ибо, в противном случае, игроку появляется на рынке вряд ли целесообразно.
Перейдем к формализации двух видов равновесия (по Бержу и по Нэшу) для игры Г. Как уже упоминалось в аннотации, в 1949 г. двадцатиоднолетний американский математик и экономист Джон Форбс Нэш (19282015) - тогда аспирант Принстонского университета, а через 45 лет лауреат Нобелевской премии по экономике - предложил в [3] понятие «равновесия», которое для игры Г имеет следующий вид.
(ре, / (р) = /' )е р х М2 Определение 1. Пару V ' на-
зовем равновесием по Нэшу для игры Г, если
тР/ (Р'\\р>) = / (ре) (1 = !'2)
(4)
а ситуацию ре = (рВ рВ) , удовлетворяющую (4), - равновесной по Нэшу. 1
Здесь и далее используем общепринятое в теории
бескоалиционных игр обозначение () = (р р')
■ (р'\\р2 ) = {Р', Рг ) ■ Р = (Р1, Р2 ) , кроме того применяется также вектор / = ( / / )еК2.
Определение 2. Пару (рв /(рв) ?в)ер 2 назовем равновесием по Бержу\цл'я игры Г, если
/ (р||рВ )=/ {рв ) О=1,2)
тах /
реР
(5)
гд(|', / (р' )) = ( р', р2, /1 (р'), /2 (р')) ==рN
р' = (р', р') 2/1 - /2 ^ (. = 1,2)
а вектор равновесных по Нэшу выигрышей
/ (р') = ( /1 (р'), /2 (р')) будет
/(р) = - с)2 = /1 {( .
I 2/1 - /2 ) 0 = 1,2) (7)
Доказательство. Согласно явному виду / (р) из (2)
д2/. (р'\\Р, ) '
др2
имеем
2/2 < 0 . Получили строгую вог-
нутость /(р) по и тогда, например, тах/(р1,р2)
1
достигается на р1' , если
д/1( р1, р' )
удовлетворяющую (5), -
— в = / £ £ Л
а ситуацию р Vр 1,р2 /, равновесной по Бержу.
Как уже упоминалось, понятие «равновесие по Бер-жу» появилось в 1994 году в диссертации и публикациях [3-6] Константина Семеновича Вайсмана (тогда аспиранта В.И. Жуковского). Скоропостижная смерть К.С. Вайсмана в 1998 году надолго приостановила в России исследования концепции равновесия по Бер-жу. Однако это понятие вывезли на Запад алжирские ученики В.И. Жуковского Мухамед Раджеф и Мусса Ларбани. Такое определение вызвало у наших зарубежных коллег активный интерес (см. обзор [10], где упомянуто уже несколько десятков работ по концепции равновесия по Бержу). Обзоры [10-11] показали, что в математической теории равновесия по Бержу уже заканчивается этап накопления фактов, построения примеров, сравнения РБ с РН, поиски различных модификаций РБ. Наступает этап эволюционного развития, построения строгой математической теории, где требуется ответить, по крайней мере, на три вопроса:
1) каковы условия существования РБ?
2) как его построить?
3) как применять РБ в реальных практических задачах?
Ответы на первый и второй вопросы можно найти в [12], где установлен аналог теоремы Гликсберга (для РН): если в бескоалиционной игре N лиц функции выигрыша непрерывны, а множество стратегий игроков компактны, то существует ситуация равновесия по Бержу в смешанных стратегиях. Ответ на второй вопрос сводится [13, 15] к нахождению седловой точки гермейеровской свертки функций выигрыша, конструктивно строящейся по исходной бескоалиционной игре. Наконец, в [16] предложены математические основы РБ в игре при неопределенности.
3. Равновесие по Нэшу
Используя определение 1 и требование (4), получим:
Утверждение 1. При / < 2/ равновесие по Нэшу игры Г имеет вид
др1
аналогично
д/2 (р', р2)
др2
1 - 2/1 р1 + /2 р2 + /1с = 0
-1 + /2р' - 2/1 р2 + /1с = 0
(8)
Итак, для нахождения равновесной по Нэшу ситуации получаем систему из двух линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами
{-211р1 + /2 р2 = -(1 + /с),
/2р1 - 2/1 Р2 =-(1+11с). (9) Решением её будут
' ' 1 + /1С н р1 = р2 =- = р
1 2 2/1 - /2 Из (9) также следует равенство
1- /1 р' + /2 р2 = /1( рн - с) ■ откуда с помощью (2) получаем (7).
В заключении доказательства отметим, что естественно считать рн > с, ибо, в случае рн < с применение равновесия по Нэшу приведет к убыткам. 4. Равновесие по Бержу
Ранее мы предположили, что себестоимость и максимальная цена товара одинаковы для обоих игроков. Тогда, согласно (2), рассмотрим функции
// ] = [1 + Р (/ - / -с) = (/ - /1Р - с)2 + [1 + с(/ - / )](/? - с)
(10)
Утверждение 2. Если коэффициенты 11 и 12 в (3) удовлетворяют цепочке неравенств
/. > /2 > /. -—
12 1 с (11)
то равновесие по Бержу игры Г имеет вид
(рв; /(рв )) = (в, в' /1 (рв), /2 (рв )) =
1 + с(/1 -/2) 1 + сЦ -/2). [1 + с(/2 -/,)]' [1 + с(/2 -/1)]2 2(/1 - /2) ' 2(/1 - /2) ' 4(/1 - /2) ' 4(/1 - /2)
(12)
Доказательство. Из (11) следуют две импликации
>[д + с(/2 -/1) > 0]
[/1 > /г] ^ [/1 - /г > 0]
/2 > /1 -1 с
д2 / [в]
--2(/2 - /1) < 0
Для обеих функций /[р] получаем д(Р~с) , и поэтому /[р] строго вогнута по р-с, а график /[р] пе-
' в-с = - 1 + с(/12 - /1) > 0
/ — /
ресекает ось р-с в точках р-с=0 и 2 1
. Кроме того, максимум достигается в точке
с). = *+сц - А) > 0 (рис. 1). 2(1, - 1г)
Г, [в]
Найдем
Рисунок 1. График
Л [в]
при
1, > 12 > 1, -—
в = (в-с). + с = * + ^ - 12) > 0 Л (РВ ) = [* +4С(/2 - ))]2 > 0
2(1, - 12) 4(1, - /2)
Отсюда сразу получаем справедливость (12).
Замечание 1. Неравенства (11) выделяют в первой четверти плоскости , 12} заштрихованную на рис. 2 в «выколотый» отрезок
дорожку без «боковин» 12 = 1 и
и = 1, —
, упирающуюся
о, *
на оси .
о с
1 = 1 2 Н 4_
-*
-*>'
-у 1г = 1,
' с
Рисунок 2. Множество
1 = (1,, 12 )| 1, 12 < 1,
Из утверждения 2 получаем способ построения «хорошего» (см. следующее утверждение 3) равновесия по Бержу. Итак, если коэффициенты 1 (, = 1,2)
таковы, что точка 1 = (1, 1) «попадает» внутрь заштрихованной на рис. 2 дорожки (без границ), то равновесие по Бержу определяется максимальной ценой
в= * + с(1, - 12) > с
2(1! -12) , и оба игрока получат одинаковые
[* + с(1г -1,)]2
выигрыши 4(11-12) .
5. Преимущество равновесия по Бержу по сравнению с равновесием по Нэшу в дуополии Бертрана
Как известно, в любой бескоалиционной игре, и, конечно, в математической модели дуополии по Бертрану, игроки стремятся выбирать свои стратегии, чтобы
добиться максимально больших выигрышей для каждого участника конфликта. Пока ограничиваемся только двумя возможностями:
во-первых, следовать «эгоистической» концепции равновесия по Нэшу (РН);
во-вторых, применять «альтруистическую» концепцию равновесия по Бержу (РБ).
Мы исключаем концепцию активного равновесия и ее частные случаи - равновесие угроз и контругроз, то есть решаем вопрос только в рамках сравнения РН и РБ.
10. Здесь, как часто пропагандируется в теории бескоалиционных игр, большую роль может играть «психологический фактор». Если игрок - убежденный эгоист, заботится только о своих интересах, то ему «прямая дорога» применять свою стратегию из рав-
1
2
1
новесной по Нэшу ситуации (согласно утверждению 1). Если игрок - убежденный альтруист, то ему нужно использовать свою стратегию, диктуемую Золотым правилом, то есть следовать свой стратегии из равновесной по Бержу ситуации (утверждение 2).
20. В настоящей работе мы исключаем «психологический фактор» и предлагаем решать вопрос с точки зрения достижения больших выигрышей (в РН или в РБ). И, конечно, как энтузиастов РБ, нас, в первую очередь, интересуют случаи, когда в ситуации РБ все игроки получают большие выигрыши, чем в ситуации РН. Как уже упоминалось в настоящей статье, такой эффект впервые удалось обнаружить в известной игре «дилемма заключенных», где выигрыши обоих игроков в максимальной по Парето ситуации превосходят выигрыши в РН. Нетрудно проверить, что как раз в игре «дилемма заключенных» максимальная по Парето ситуация одновременно будет равновесной по Бержу (так как удовлетворяет требованиям (5)). Конечно гораздо больший интерес представляло бы обнаружить точно такой эффект в практических задачах. Сюда, несомненно, относится и модель дуополии Бертрана, стоящей с 1883 г. у истоков моделирования конкурентной экономики. Как раз акцентированию указанного эффекта для частного случая дуополии Бертрана и посвящен дальнейший материал настоящей статьи. Именно, имеет место
Утверждение 3. Пусть в игре Г коэффициенты
l = const > 0
/j > l2 > lj - — c
удовлетворяют ограничениям
Тогда в ситуации равновесия по Бержу оба игрока получают большие выигрыши, чем в ситуации равновесия по Нэшу, то есть
/ (Рв) > / (Р ) (, = 1,2) (13)
Доказательство. В первую очередь отметим цепочку импликаций 1А >12]^[211 >12]^[2А-12 > 0], и тогда, согласно утверждению 1, существует равнове-
(р ;/(р )), определенное в (6) и (7). На-
[1, > 12] ^ [1, - 12 > 0] и
и > / - -
сие по Нэшу
помним также две импликации
[* + с(12 -1,) > 0]
из начала доказательства предыдущего утверждения 2. Согласно ему в Г существует равновесие по Бержу, определенное в (12). Сравнивая (12) с (7), получим
/ (рв ) - / (р. ) =[* + с(12 - ^ _ [* + с(12 - = [* + с(12 - 4)]2 И > = 1,2).
4(1-/2) 1 (21 - 4)2 4(1 - 4X21-4)2 4 '
Отсюда сразу приходим к справедливости (13). 6. Выводы
Как известно, в любой бескоалиционной игре, и, конечно, в математической модели дуополии по Бертрану, игроки стремятся выбирать свои стратегии, чтобы добиться максимально больших выигрышей для каждого участника конфликта. Пока ограничили их только двумя возможностями:
во-первых, следовать «эгоистической концепции равновесия по Нэшу (РН);
во-вторых, применять «альтруистическую» концепцию равновесия по Бержу (РБ).
Мы исключаем концепцию активного равновесия и ее частные случаи - равновесие угроз и контругроз, то есть решаем вопрос только в рамках сравнения РН и
РБ.
10. Здесь как часто пропагандируется в теории бескоалиционных игр, большую роль может играть «психологический фактор». Если игрок - убежденный эгоист, заботится только о своих интересах, то ему «прямая дорога» применять свою стратегию из равновесной по Нэшу ситуации (согласно утверждению 1). Если игрок - убежденный альтруист, то ему нужно использовать свою стратегию, диктуемую Золотым правилом, то есть следовать свой стратегии из равновесной по Бер-жу ситуации (утверждение 2).
20. В настоящей работе мы исключаем «психологический фактор» и предлагаем решать вопрос (утверждение 3) с точки зрения достижения больших выигрышей (в РН или в РБ).
Список литературы
1. Bertrand J. Book review of theori mathématique de la richessesociae and recherche sur les principles mathematiques de la theorie des richesses // Journal de Savants. 1883. V67. P.499-508.
2. Cournot A.A. Recherchers ur Principes Mathématiques de la Théorie de Richesses // Paris: L.Huchette, 1838.
3. Nash J.F. Equilibrium point in N-person games // Proc.Nat.Academ.Sci.USA. 1950. V.36. P.48-49.
4. Вайсман К.С. Равновесие по Бержу: Автореф. дис. ...канд. физ.-мат. наук // СПбГУ, 1995. 16с.
5. Вайсман К.С. Равновесие по Бержу (раздел 3.2 из книги Жуковского В.И. и Чикрия А.А. «Линейно-квадратичные дифференциальные игры» Киев: Наукова Думка, 1994. С.119-142).
6. Zhukovskiy V.l., Salukvadze M.E., Vaisman K.S. The Berge equilibrium: Preprint // Tbilisi: Institute of Control Systems, 1994, 28p.
7. Berge C. Théorie Générale des Jeux à n Personnes Games, Paris: Gauthier-Villars, 1957 (русский перевод: Общая теория игр нескольких лиц. М.: Физматгиз, 1961, 126с.)
8. Shubik M. Review of C.Berge «General theory of n-person games» // Econometrica. 1961. 29(4). P.821.
9. Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н., Горбатов А.С. Равновесие по Бержу в модели олигополии Курно // Вестник Удмуртского университета. Серия Математика, Механика, Компьютерные науки. 2015. Т.25, №2. С.147-156.
10. Colman A.M., T.W. Körner, O. Musy and T. Tazdaït. Mutual support in games: Some properties of Berge equilibria // Journal of Mathematical Psycology, Articlean Press. 2011. 55(2) P.1-10.
11. Мащенко С.О. Концепция равновесия по Нэшу и ее развитие // Журнал обчисловальной та прикладноi математики. 2012. №1. С.40-61.
12. Zhukovskiy Vladislav, Topchishvili Aleksander, Sachkov Sergey. Application of probability measures to the existence problem of Berge-Vaisman guaranteed equilibrium // Model Assisted Statistics and Applications. 2014. Vol.9, № 3. P. 223-239.
13. Zhukovskiy V.l., Sachkov S.N. Bilaciamento conflitti friendly // Italian Science Review. 2014. V. 18, № 9. P.169-179.
14. Жуковский В.И., Сачков С.Н. Об одном непривычном, но доброжелательном способе уравновешивания конфликтов // Международный независимый
институт Математики и Систем («М и С»). Ежемесячный научный журнал. 2014. №10. С.61-64.
15. Zhukovskiy V.I., Sachkov S.N., Gorbatov A.S. Mathematical model of the "Golden rule". // Science, Technology and Life - 2014. Proc. of the Internat. Scientific Conf. Czech Republic, Karlovy Vary, 27-78. December. 2014. P.16-23.
16. Жуковский В.И., Чикрий А.А., Солдатова Н.Г. Равновесие по Бержу в конфликтах при неопределенности // В сб-ке Всероссийского совещания по проблемам управления (электронный ресурс). М.: Издательство: Институт управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. С.8290-8302.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАСТИСТИЧЕСКОГО И ВЕРОЯТНОСТНОГО АНАЛИЗА _В ПОКЕРЕ (ТЕХАССКИЙ ХОЛДЕМ)
Моисеев Владимир Сергеевич
Студент 4 курса кафедры автоматизированных систем управления ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск
Ахметдинов Дмитрий Александрович
Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск
Мубаракшин Ахтиам Радикович
Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск
Прохоров Илья Борисович
Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск
Гребенщиков Павел Александрович
Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск THE USE OF STATISTICAL AND PROBALISTIC ANALYSIS OF POKER (TEXAS HOLD'EM) Moiseyev Vladimir Sergeevich, 4th year student of the Department of the automated control systems FSBEIHPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk
Ahmetdinov Dmitry Aleksandrovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk
Mubarakshin Akhtiam Radikovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk
Prokhorov Ilya Borisovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk
Grebenshchikov Pavel Aleksandrovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk АННОТАЦИЯ
В статье рассмотрены примеры использования математической составляющей покера, на примере применении имеющихся статистических данных. Рассмотрены примеры простейших расчётов встречающихся в ходе игры при принятии оптимальных решений. ABSTRACT
The article describes the examples of using mathematical component of poker, dealing with the example of the application of the available statistical data. It considers the examples of the simplest calculations occurring in the course of the game in making optimal decisions.
Ключевые слова: покер; анализ; вероятность; статистика; шансы банка; оптимальное решение. Keywords: poker; analysis; probability; statistics; odds; optimal solution.
Покер - интеллектуальный спорт или азартная игра? Не первый год ведутся дискуссии и споры относительно статуса покера. Одни убеждены, что покер это азартная игра, другие уверенно относят его к спорту. Покер содержит в себе очень много математических расчетов, примерами которых являются подсчёт вероятности получения определенной комбинации, вычисление шансов банка (для дальнейшего принятия выгодного решения), представление возможной комбинации у оппонента на основе имеющихся о нем
сведений, представленных в виде некоторых статистических показателей и так далее.
Вероятность раздачи пятикарточной комбинации вычисляется как частота появления каждой комбинации, полученной путем произвольного вытаскивания карт из колоды из 52 карт. Общее число комбинаций равно 2,598,960 (уникальных, то есть без учета различных перестановок мастей, комбинаций 7,462). Данное число можно получить, вычислив следующий биномиальный коэффициент:
