Равновесие по Бержу в олигополии Бертрана при учете импорта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.978.2 MSC2010:91A20:91A80

РАВНОВЕСИЕ ПО БЕРЖУ В ОЛИГОПОЛИИ БЕРТРАНА ПРИ

УЧЕТЕ ИМПОРТА

© А. С. Горбатов, В. И. Жуковский

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова факультет вычислительной математики и кибернетики Ленинские горы, 1, Москва, 119234, Российская Федерация e-mail: gorbatovanton@gmail.com, zhkvlad@yandex.ru

Berge equilibrium in Bertrand oligopoly with import.

Gorbatov A. S., Zhukovskiy V. I.

Abstract. In recent years, there is an active formation of the mathematical theory of Berge equilibrium, proposed in 1994, by Russian mathematician, K.S. Vaisman (who died in 1998, did not live up to 36 years). However, the use of this balance is not beyond the scope of matrix games of two persons. This article, apparently for the first time, breaks this tradition. The article by using dynamic programming shows explicit form of strongly guaranteed Berge equilibrium in the mathematical model taking into account the Bertrand oligopoly under uncertainty (imports suddenly appeared on the market).

Considering in 1836 the interaction processes between companies, Cournot suggested that an oligopoly only determine the amount of product, the price is formed as a result of the balance between supply and demand. The market price is set at a level at which buyers will be present demand for all the goods on the market. However, a more natural behavior seller is the direct appointment of the prices (« Price — Value, plus a reasonable sum for the wear and tear of conscience in demanding it.», says American writer Ambrose Bierce (1842-1914)). This is the approach suggested by Joseph Bertrand in published in 1883. In this his model the companies set the price for their goods themselves, the volume of the goods offered by them are formed so as to completely satisfy caused demand at given prices.

In the presented article for controlled model of Bertrand oligopoly the explicit form of guaranteed Berge equilibrium is found by the dynamic programming method.

Key words: non-cooperative game, Bertrand oligopoly, dynamic programming, Berge equilibrium, uncertainty.

Введение

Рассматривая в 1836 году процессы взаимодействия компаний, Курно [1] предполагал, что олигополии определяют только объем выпускаемой продукции, цена же формируется в результате равновесия между спросом и предложением. Рыночная

цена устанавливается на том уровне, на котором покупателями будет предъявлен спрос на весь «выкинутый на рынок» товар. Однако более естественным поведением продавца является прямое назначение цены («Цена — стоимость плюс разумное вознаграждение за угрызения совести при назначении цены», иронизирует американский писатель Абрам Бирс (1842-1914)). Именно такой подход предложил Жозеф Бертран в опубликованной в 1883 году статье [2]. В исследованной Бертраном модели фирмы сами устанавливают цену на производимый ими товар, объемы же предлагаемого ими товара формируются так, чтобы полностью удовлетворить возникший при данных ценах спрос.

1. Математическая модель

Заметим, что покупатели обычно рассматривают продукты одинакового назначения разных фирм как разные товары. Поэтому логично считать, что на рынок каждая из фирм выходит со своим товаром, причем все эти товары взаимозаменяемы. Так производителя двух марок совершенно идентичного по составу яблочного сока (иногда даже разлитого из одного и того же концентрата в одном и том же цехе, но для разных продавцов и под разными марками) могут позиционировать свои товары не только как различные, но даже ориентированные на разные группы покупателей.

Предполагаем, что на рынке сбыта функционируют две фирмы 1 и 2, производящие взаимозаменяемый товар. Фирма 1 назначает цену p\, а фирма 2 — цену p2. После объявления цен на рынке складывается спрос (предполагаем наличие линейной зависимости спроса от объявленных цен). Для первой фирмы спрос описывается следующим образом

Qi(pi,p2) = q - I1P1 + k(p2 + у),

для второй

Q2 (pi, P2) = q - I1P2 +I2 (pi + y).

Здесь q - начальный спрос, /1 > 0 — коэффициент эластичности, который указывает насколько уменьшается спрос на предлагаемый товар при возрастании его цены на единицу, l2 > 0 — коэффициент эластичности, показывающий насколько изменится спрос при увеличении на единицу цены товара, y > 0 — цена единицы аналогичного импортного товара, назначаемая независимо от действий продавцов (у играет в дальнейшем «роль» неопределенности).

Пусть себестоимость единицы товара есть с. Тогда функции, оценивающие прибыль соответственно первой и второй фирм, можно представить следующим образом

Л(Р1 ,Р2,У) = [д - ¿1Р1 + Ь(Р2 + У)](Р1 - с)

/г(Р1 ,Р2,У) = - ^2 + ¿2(Р1 + У)](Р2 - с). Отметим, что функция выигрыша /1(р1,р2,у) строго вогнута по р (г = 1, 2), т.к. = — 2/1 < 0. Вследствие этого достаточные условия существования р*, максимизирующей / (р1, р2, у) по р, сводятся к выполнению условий

д/1(Р1,Р2,У)

др1

д/2(Р1,Р2,У)

= д — 2/1р + /2(^2 + у) + 11 с = 0,

р1

= д — 2/1р2 + /2(^1 + у) + /1с = 0.

р*2

др2

Тогда первая фирма получит наибольшую прибыль, если, зная цены р2 и у, назначит цену своего товара равной

* д + /2 / . Л

= +2/1(Р2 + У).

Аналогично для второй фирмы

Р* = а + /(Р1 + у). Здесь и в дальнейшем используем постоянные

д + /1с ^ , /2 ^ п

а = ^]Г > 0, 1 =2/1 > 0.

Будем далее учитывать существование временного лага. Считаем его равным одному периоду. Пусть щ - управляющее воздействие г-ой фирмы, при этом — —сумма, затрачиваемая г-ой фирмой (г = 1, 2) в момент времени £ = к, например, на рекламу, на модернизацию процесса производства, внедрение новых технологий, различные меры поощрения и (или) наказания производителя. Обозначим управляющее воздействие неопределенности г = /у. Тогда рассматриваемая управляемая система взаимодействия фирм и импортера можно представить в разностном виде

Р1(к + 1) = а + /р2(к) + *#] + а^к] + (1 — в КМ,

р2(к + 1) = а + /р1(к)+ г[к] + (1 — а)щ1[к] + ви2[к] (к = 0,1, 2,...), (1) ,Рг(0)= Р0(г = 1, 2),

где р0 — начальные цены (г = 1, 2); г [к] = /у [к] — реализация неопределенности в момент времени £ = к, постоянные а, в € [0,1]. Первая фирма часть своих средств

««¿[к] направляет в собственное производство, а оставшуюся часть (1 — а)и1[к] — в производство конкурента. Аналогичным образом поступает вторая фирма. Введем обозначения

p(k + 1) = а + Lp(k) + ez[k] + Mu[k], p(0) = p0 = (p0,p2) (k = 0,1, 2,...). (2)

Далее предполагаем в системе (1) (или (2)) наличие только одного шага, т.е. к = 0. Каждую фирму назовем игроком. Стратегию (правило действия) ¿-ой фирмы [/¿(к) в момент времени к = 0 отождествляем (согласно подходу теории дифференциальных позиционных игр) со скалярной функцией «¿(к,р), зависящей только от позиции (к,р1,Р2) = (к,р), реализовавшейся и момент времени £ = к. Такое соответствие далее представляется [/¿(к) ^ «¿(к,р).

Множество стратегий [/¿(к) обозначим символом Ц;(к) (г = 1,2). Тогда стратегией игрока г в определенной далее бескоалиционной однопериодной игре будет

Перейдем к неопределенностям. Предполагая информационную дискриминацию фирм, неопределенность Z(к) в момент £ = к будем отождествлять со скалярной функцией г(к,р, и), т.е. Z(к) ^ г(к,р, и) = г(к,р1,р2, м1, и2). Далее используем множество ^(0) = ^(0)}. Тогда сама неопределенность будет Z = Z(0) € ^ = ^(0).

С возрастанием времени к от 0 до 1 развертывание игры во времени происходит следующим образом. Пусть игроки не объединяются в коалицию, причем каждый г- -ый (г = 1, 2) из них сам выбирает свою стратегию и € т.е. формирует скалярную функцию «¿(0,1, 2) > 0 (при р1 > 0, р2 > 0). Выбор стратегий [/¿(0) € Ц^(0) игрок г осуществляет, руководствуясь стремлением к возможному увеличению своего выигрыша — значения своей функции выигрыша /¿(и, Z, р0), р0 = (р?,р°), явный вид которой будет приведен ниже. В ходе игры реализуются конкретные значения стратегий игроков «¿[0] = «¿(0,р(0)) (г =1, 2) и одновременно с ними значения неопределенности г[0] = г(0, (0),и[0]). Из (2) при к = 0 находим значение фазового вектора

а = (а, а),р = (р1,р2), е = (1,1), и = (м1, м2). Систему (1) представим следующим образом

2. ОДНОШАГОВАЯ БЕСКОАЛИЦИОННАЯ ИГРА

U = Ui(0) е U = Ui(0) (i = 1,2).

p(1) = (1(1),p2(1)):

p(1) = а + Lp(0) + ez[0] + Mu[0].

(3)

образующие дискретную траекторию системы (2) при использовании игроками стратегий [/¿(к) — «¿(0,р), Щ Е Ц (г = 1,2) и реализующейся неопределенности Z(к) — г(0,р, щ); во-вторых, реализации

примененных игроками стратегий Щ Е Ц (г =1, 2); в-третьих, реализацию неопределенности г[0] = г(0,р(0),щ[0]).

С помощью (3), (4) и г[0] построим критерий (функцию выигрыша) игрока г (г = 1, 2), значение которой (выигрыш) оценивает качество функционирования этого игрока. При этом будем учитывать следующие три обстоятельства:

во-первых, каждая г-ая фирма (г = 1, 2) ориентирована на уменьшение назначаемой ею цены, что, в конечном счете, можно свести к уменьшению р2 (1) (или максимизации —р2 (1));

во-вторых, обе фирмы стремятся затратить возможно меньше своих ресурсов и ресурсов партнера, что соответствует требованию максимизации — ^[0] — ^[0];

в-третьих, следуя принципу гарантированного результата по Ю.Б. Гермейеру, игрок г (г = 1, 2) должен рассчитывать на «максимальное противодействие» неопределенности; для учета этого требования введем в функцию выигрыша слагаемое

образует одношаговую бескоалиционную позиционную линейно-квадратичную игру двух лиц при неопределенности. В ней £ — (2) означает, что управляемая система £ описывается системой разностных уравнений (2), а /¿(и, ^,р°) — (5) — функция выигрыша г-го игрока, которая имеет вид (5).

Определение 1. Пару (ив, /в[р°]) € Ц х К2 назовем сильно гарантированным равновесием по Бержу игры Г, если

щг[0] = щг(0,р1(0),р2(0)) (г =1, 2)

(5)

Г =< {1, 2}, £ - (2), {Цг}г_1,2, &, {/¿(и, £,р°) - (5)}г=1,2 >

1) существуют неопределенности Z(i) е, Z (i = 1, 2) такие, что

min Ji(U,Z,p0) = Ji(U,Z(i),p0) = Ji[U,p0] (i = 1, 2)

Z G, Z

2) UB = (Uj8, UP) е U — единственная ситуация равновесия по Бержу в игре гаран-

при VU е U;

'B ,U2

тии

< {1, 2}, Е, {Ui}i=1,2, {Ji[U1,U2,p0]}i=1,2 >,

т.е. UB определяется двумя равенствами

max JJUf, U2,p0] = J1[UB,p0] = JB[p0], u2gu2 1

max J2[U1, Up,p0] = J2[UB,p0] = JBB[p0]; UiGUi 2 2

3) вектор JB[p0] = (JB[p0], J2B[p0]).

3. Алгоритм построения сильно гарантированного равновесия по

Бержу (СГРБ)

Здесь используем модификацию метода динамического программирования Бел-ламана и результаты из [4, §3.4]. Дело в том, что ситуация равновесия по Бержу становится равновесной по Нэшу в игре двух (только!) лиц, если игроки обменялись своими функциями выигрыша. Этим фактом и теоремой 3.4.1 из [4, с. 241] воспользуемся, предложив следующий порядок нахождения СГРБ.

Прежде всего, строим две (i = 1, 2) функции

Wi(k,p,u,z,K(fc)(p(k + 1) = а + Lp + ez + Mm)) =

i (6)

= -u2 - w| + 2z2 + V(fc+1)(а + Lp + ez + Mm) (k = 1, 0).

Этап 1. При k =1 вводятся две скалярные функции

V(1)(p) = -p2 (i =1, 2).

Этап 2. При k = 0 сначала находим для Vp е R+ = {p = (p1,p2)|pi > 0}, и е R2 функции z(i)(1,p, u) (i = 1, 2), используя равенства

min{-u2 — u2 + 2z2 — [а + /p2 + z + au1 + (1 — в )u2 ]2} =

z

= Idem{z ^ z(1)(0,p,u1 ,u2)} = W1[0,p,u1,u2],

(7)

min{—u2 — u2 + 2z2 — [а + /p1 + z + (1 — a)u1 + ви2 ]2} =

z

= Idem{z ^ z(2)(0,p,u1 ,u2)} = W2[0,p,u1,u2].

Затем нужно построить функции Vi(0)[p] и uf(ü,p) (i = 1, 2) согласно условиям

V(0)[p] = max Wi[0,p,uf (ü,p),u2] = Idem{u2 ^ uf(ü,p)}, (8)

U2

V2(0)[p] = max W2[0,p,ui,uf (ü,p)] = Idem{ui ^ uf (ü,p)} (9)

U1

Vp G R+ и убедиться, что пара (uf (ü,p),uf (ü,p)) единственна.

Этап 3. Найти пару (UB, Jf [p0]), где ситуация Uf = (Uf, U2B), Uf - uf (ü,p) и Jf [p0] = V(0)[p0] (i =1, 2).

Тогда пара (Uf, Jf [p0] = (Jf [p0], Jf [p0])) G U x U x R2 образует сильно гарантированное равновесие по Бержу игры Г.

4. Построение явного вида СГРБ игры Г Утверждение 1. Если в игре Г постоянные

а = , / = ^, (а,в) Е {а,в|а > 0,в > 0,а + в < 1},

2/1 2/1

то при любом выборе начальных цен р° = (р°,р2) явный вид сильно гарантированного равновесия по Бержу (ив, /в[р°]) будет,

во-первых, сама равновесная по Бержу ситуация

Ub = (Uf ,U2b), Ub - Ai(pi,p2) ^ ^

А

Vp = (pi,p2) G R+ (i = 1, 2)

где постоянная

A

2(1 - в)а 2 + 2(1 - в)2 2 + 7(1 - а)2 2(1 - а)в

49

-4+-^(1-а)(1-в)(а+в-1)-7[(1-а)2+(1-в )2],

10)

а линейные по ценам р1 и р2 скалярные функции Дг(р1,р2) имеют вид

49

А1(р1,р2) = 7(1 — а)(а + /р1) + —(1 — а)(1 — в )[(1 — в )(а + /р1) — в (а + /р2>],

49

А2(р1,р2) = 7(1 — в )(а + / р2) + -4(1 — а)(1 — в )[(1 — а)(а + /р2) — а(а + ¿рх)]. во-вторых, равновесные по Бержу гарантии

/в [р°] = (/в [ив ,р°],/2в [ив ,р°]) = (У1(°)[р°], ^У]),

Vi(0)[p0] = -[uf (ü,p0)]2 - [uf (ü,p0)]2 - -[а + Zp0 + auf (ü,p0) + (1 - в)uf (ü,p0)]2

V2(0)[p0] = -[uf (ü,p0)]2 - [uf (ü,p0)]2 - 4[а + lp° + (1 - a)uf (ü,p0) + euf (ü,p0)]2,

4 -

11)

u?(0,/) = ^!^ = 1' 2)-

Доказательство. Следуем схеме, описанной в предыдущем разделе. Этап 1. (к = 1) Строим две скалярные функции

V(1)(p) = -p2 (i =1, 2).

Этап 2. (k = 0) Равенства (7) реализуются при z = z(i)(i,p,u), если для Vu,p G R2

min W(0)(z) = WFi(0)(z(i)(0,p,M)) (i = 1, 2),

12)

где

WW1(0)(z) = 2z2 - [a + /p2 + z + au + (1 - в)u2]2, WW1(0)(z) = 2z2 - [a + /p1 + z + (1 - a)u1 + ßu2]2.

В свою очередь, (12) имеет место, если ÖWWl0)(z)

dz

dWW2(0)(z)

dz

z(1)(0,p,u)

z(2)(0,p,u)

= 4z(1)(0,p, u) - 2[a + Zp2 + z(1)(0,p, u) + au + (1 - ß)u] = 0

4z(1)(0,p, u) - 2[a + /p2 + z(2)(0,p, u) + (1 - a)u1 + ß)u2] = 0

Vp G R+, u G R2. Отсюда получаем

z(1)(0,p, u) = -[a + /p2 + au1 + (1 - ß)u2],

1

:i3)

z( )(0,p,u) = ^[a + Zp1 + (1 - a)u1 + ß)u2].

Следует отметить, что при построении г(г)(0,р, и) (г = 1, 2) использованы неравенства

d 2W10)(z)

dz2

2 > 0,

д 2WW2(0)(z)

dz2

z(1)(0,p,u)

После подстановки (13) в (8), (9) получаем V(0)[p] = max Wi(0,p,u,z(1)(0,p,u), V1(1) (p) = -p1(1))

2 > 0.

z(2)(0,p,u)

U2

7r

= max{-[u?(0,p)]2 - u2 - -[a + lp2 + au?(0,p) + (1 - ß)u2]2]} = /dem{u2 ^ u?(0,p)},

U2

V2(0)[p] = max W2(0,p,u,z(2)(0,p,u), V2(1)(p) = -p|(1))

ui

7

= max{-u1 - [u?(0,p)]2 — [a + lp2 + (1 - a)u1(0,p) + ß)u?]2]} = Idem{u1 ^ u?(0,p)},

ui

4

Эти равенства реализуются, если

дщ

7

«В (°,р)

дЖ^М

5щ1

= —2ив (0,р) — 2(1 — в )[а + /р2 + айв (0,р) + (1 — в )ЩГ (0,р)] = 0,

^ —2 — 2(1 — в)2 < 0.

7

= —2^в (0,р) — (1 — в )[а + /р1 + (1 — а)Щ* (0,р) + в«! (0,р)] = 0,

«В (°,р)

2

д 2Ж2(°)[щ] ди1

7

—2 — ^(1 — а)2 < 0.

Приведенные строгие неравенства имеют место, ибо постоянные а, в Е [0,1]. Полученные же выше равенства образуют систему из двух линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно щв(0,р) (г = 1, 2):

7 7 7

-(1 — в )а«в (0,р) + [2 + 2 (1 — в )>в (0,р) = — 2(1 — в)(а + Ы,

7 7 7

[2 + ^(1 — а)2]«в (0,р) + 2(1 — а)в^в (0,р) = — ¿(1 — а)(а + /р1).

Определитель этой системы

'14)

А

2 (1 — в )а 2 + 2 (1 — в )2 2 + 7 (1 — а)2 2 (1 — а)в

49

= —4+—(1—а)(1—в)(а+в —1) —7[(1—а)2+(1—в )2].

(15)

Заметим, что А < —4 при а + в < 1, а, в Е [0,1]. Следовательно при указанных значениях постоянных а и в система (14) имеет единственное решение

(ив(0,р),«в(0,р)) (т.к. А = 0).

Найдем А1(р1,р2) и А2(рьр2), где

а1(р1,р2 )

А2(р1,р2)

— 7 (1 — в )(а + /р2) 2 + 7 (1 — в )2

— 2(1 — а)(а + /р1) 7 (1 — а)в

7 (1 — в )а — 7 (1 — в )(а + /р2) 2 + 7 (1 — а)2 — 2 (1 — а)(а + /р^

Получим

49

А1(р1,р2) = 7(1 — а)(а + /р1) + -^(1 — а)(1 — в )[(1 — в )(а + /р1) — в(а + Ы],

49

А2(р1,р2) = 7(1 — в)(а + / р2) + 4(1 — а)(1 — в )[(1 — а)(а + /р2) — а(а + /р1)].

16)

Тогда решение системы (14) при V(a, ß) G {а, ß|а > 0, в > 0, а + ß < 1} и Vp G R+ имеет вид:

В,п \ ^1(P1,P2) В,п Ч A2(P1,P2) Щ (0,Р1,Р2) = -Д-,М2 (0,Р1 ,Р2) = -Д-, (17)

где явный вид Д, Д^ (i =1, 2) задан соответственно в (15) и (16).

Этап 3. Строим пару (UВ, JB[p0]) — сильно гарантированное равновесие по Бер-жу игры Г, используя формулы этапа 3 (из раздела 3), а также (15)-(17), а затем (11). □

Заключение

Методом динамического программирования для математической модели управляемой олигополии Бертрана найден явный вид сильно гарантированного равновесия по Бержу.

Исследования выполнены при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №14-00-90408 Укр_а и НАН Украины проект №03-01-14.

Описок литературы

1. Cournot, A.A. (1938) Recherches sur les principes mathematiques de la theorie de richesses. Paris.

2. Bertrand, J. (1883) Review of Walras's theorie mathématique de la richesses sociale and Cournot's recherches sur lew principes mathematique de la theorie des richesses. Journal des Savants. 68. p. 499 -- 508.

3. Жуковский, В.И., Шершеков, М.И. Многошаговая модель дуополии Бертрана при учете импорта / В.И. Жуковский,М.И. Шершеков // Спектральные и Эволюционные задачи. — Симферополь, 2013. — 23. — C. 85-90.

Zhukovskiy, V.I. & Shershekov, M.I. (2013) Multistep model of Bertrand duopoly by accounting import. Spectral and Evolution problems. 23. p. 85-90.

4. Жуковский, В.И., Кудрявцев, К.Н., Смирнова Л.В. Гарантированные решения конфликтов и их приложения / В.И. Жуковский,К.Н. Кудрявцев,Л.В. Смирнова. — Москва: КРАСАНД, 2013. — 268 c.

Zhukovskiy, V.I., Kudryavtsev, K.N. and Smirnova, L.V. (2013) Guaranteed solutions of conflicts and their applications. Moscow: KRASAND.

Статья поступила в редакцию 26.05.2015