CC BY
34УДК: 519.833.2 MSC2010: 91A10
СРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЙ ПО НЭШУ И БЕРЖУ В МОДЕЛИ
ДУОПОЛИИ БЕРТРАНА © В. И. Жуковский
Московский государственный университет им. В. М. Ломоносова факультет вычислительной математики и кибернетики Ленинские горы, МГУ, ВМК, 2-ой учебный корпус, Москва, ГСП-1, 119991, Российская Федерация
e-mail: [email protected]
© Т. В. Макаркина
Государственный гуманитарно-технологический университет факультет информатики ул. Зеденая, д.22, 1 учебный корпус, г.Орехово-Зуево, Московская область, 142600,
Российская Федерация e-mail: [email protected]
Compare Nash Equilibria and Berzh in a Model of Bertrand Duopoly.
Zhukovskiy V. I. and Makarkina T. V.
Abstract. In mathematical game theory, recent years are characterized by active studying of the concept of Berge equilibrium as antipode to widely used Nash equilibrium. Difference is in the fact that the concept of Nash equilibrium has "egoistic character" — every player tries to increase his payoff only. On the contrary, Berge equilibrium has altruistic character: its goal is to increase payoffs of all other players. The Golden rule of morality forms the basis of it: Do as you would be done by. Such approach obviously excludes "hard" measures of balancing of conflict — wars, conflicts, bloodshed. In the article offered to the reader we prove that the Berge equilibrium can be used in economics. So, let two firms producing the same product function on the market. The strategy of the firm (player) let be the price fixed by the firm for its product. Thus we consider that every firm declares its price pi = const > 0 (i = 1,2).
After that the situation (set price) is created — vector p = (pi,p2). The demand on the product of i-player (i e {1,2}), appeared on the market we offer as linear concerning declared prices, namely
Qi(p) = q - liPi + I2P2, Q2© = q - liP2 + I2P1.
Here q — the initial demand, the coefficient of elasticity li = const > 0 shows how much the demand on the offered product under raising of the price per unit is reduced. In turn, coefficient of elasticity l2 = const > 0 shows how much the demand under extention per unit of the price of substitute goods is increased. If we set the cost price of unit of the product by c > 0, so the profit of i-firm (called payoff function of i-player i e {1,2}) will be
fi (P) = [q - liPi + l2P2](Pi - c),
¡2 (p) = [q - h'P2 + l2Pl](P2 - c).
As a result the mathematical model of interaction among firms-sellers described above one can suppose as ordered triple
Г = ({1, 2}, {Рг = (c, в]}i=i,2 , {fi(P}i=1,2) .
We note the following peculiarities of the game Г:
first, it is supposed that maximal price в and the cost price c for both players are equal (it's naturally for the market of one product);
secondly, the coalition {1,2} is prohibited by the rules of the game (in particular the "non-cooperative character" of the game is appeared in that);
thirdly, the price pi > c (i = 1,2) for otherwise the i-player hardly may appear on the market.
For the game Г Berge and Nash equilibriums are formalized.
The relations among coefficients are found, under the realization of them the Berge equilibrium delivers the players more payoffs than the Nash equilibrium.
Keywords: Nash equilibrium, Berge equilibrium, mathematical game theory, mathematical model of Bertran duopoly.
Введение
Найдены ограничения на параметры математической модели дуополии Бертрана, при которых участники конфликта в ситуации равновесия по Бержу получают большие выигрыши, чем в ситуации равновесия по Нэшу.
1. Математическая модель
Приводится модель в виде бескоалиционной игры двух лиц, выявлены ее особенности.
В 1883 г. французский математик Жозеф Луи Франсуа Бертран (1822-1900) построил модель [1] ценовой конкуренции на олигопольном рынке, на котором фирмы конкурируют между собой, меняя цену продукции. Заметим, что такая модель не "блистала новизной"; математик Антуан Огюст Курно (1801-1877) в "Исследовании математических принципов теории богатства" в разделе 7 "О конкуренции производителей" [2] рассмотрел частный случай олигополии — дуополию (участвуют только два производителя). В ней уже математическая модель основывалась на том, что оба производителя выбирают объем поставляемой продукции, цена же варьируется в результате равновесия между спросом и предложением. Рыночная цена устанавливается на том же уровне, на котором покупателями будет предъявлен спрос на весь "выкинутый на рынок" товар. Однако Бертран основывался на более естественном
поведении продавца, именно на выборе им цены, а не количества "выброшенного" товара, как у Курно.
Заметим, что покупатели обычно рассматривают продукцию одинакового назначения разных фирм как разные товары. Поэтому будем считать, что на рынок каждая фирма выходит со своим товаром, причем все эти товары взаимозаменяемы.
Итак, пусть на рынке функционируют две фирмы, производящие один и тот же товар. Стратегией фирмы (игрока) пусть будет цена, назначаемая фирмой за свой товар. Таким образом, считаем, что каждая фирма объявляет свою цену pi = const > 0 (i = 1, 2). После объявления цен всеми фирмами складывается ситуация (набор цен) — вектор p = (p1,p2). Спрос на товар i-го игрока (i Е {1, 2}), возникающий на рынке, предполагаем линейным относительно объявленных цен, именно
Qi(p) = q - hpi + I2P2, Q2(P) = q - I1P2 + I2P1.
Здесь q — начальный спрос, коэффициент эластичности l1 = const > 0 указывает насколько снижается спрос на предлагаемый товар при повышении цены на единицу. В свою очередь, коэффициент эластичности l2 = const > 0 показывает насколько увеличивается спрос при увеличении на единицу цены товара-заменителя. Если обозначить себестоимость единицы товара через c > 0, то прибыль i-ой фирмы (далее называемой функцией выигрыша игрока i Е {1, 2}) будет
f1(p) = [q - l1P1 + l2P2](P1 - c),
f2 (p) = [q - l1P2 + l2P1](P2 - c). (1)
В результате математическую модель описанного выше взаимодействия между фирмами-продавцами можно представить упорядоченной тройкой
Г = ({1, 2}, {Pi = (c, в ] }i=1,2 , {fi(P - (1) } i=1, 2 ) .
В этой бескоалиционной игре двух лиц в нормальной форме через {1, 2} обозначено множество порядковых номеров игроков; в = const > c — максимальная для игрока i цена, установленная рынком (и совестью продавцов!) порой независимо от желания игрока; стратегией игрока i является выбранная им цена pi = (c, в] в складывающейся на рынке "ценовой политике" — ситуации pp = (p1,p2). Качество функционирования игрока i оценивается его выигрышем fi(p) — значением функции выигрыша fi(p) в создавшейся ситуации р = (p1,p2) Е P = P1 х P2; полный вид fi(p) приведен выше в (1) (поэтому и использовано обозначение fi(pP) — (1)). Отметим следующие особенности игры Г:
во-первых, предполагается, что максимальная цена в и себестоимость c для обоих игроков одинаковы (что естественно для рынка одного товара);
во-вторых, правилами игры запрещена коалиция {1, 2} (в этом проявляется, в частности, "бескоалиционный характер" игры);
в-третьих, цена pi > c (i =1, 2), ибо в противном случае i-му игроку появляться на рынке вряд ли целесообразно.
2. Основные понятия
Формализуются равновесия по Бержу и Нэшу для дуополии Бертрана.
В 1849 г. двадцатиоднолетний американский математик и экономист Джон Форбс Нэш (1928-2015) — тогда аспирант Пристанского университета, а через 45 лет лауреат Нобелевской премии по экономике — предложил [3] понятие "равновесие", которое для игры Г примет вид:
Определение 1. Пару (p6,/(p6) = fe) e P х R2 назовем равновесием по Нэшу для игры Г, если
max fi(pe |Ы = fi(pe) (i =1, 2). (2)
PitPi
Здесь и далее используется общепринятое в теории бескоалиционных игр обозначение (p6 ||pi) = (pi,p2), (p6 ||p2) = (pi,p2), кроме того, применяется также вектор / = (/,/2) e R2.
Приведенное равновесие оказалось настолько привлекательным в экономике, социологии, военном деле и во многих других областях человеческой деятельности, что прямо-таки вызвало звездопад Нобелевских премий по экономике, кстати, не прекращающийся до сих пор. Однако и "на солнце бывают пятна" - с нашей точки зрения, требование (2) отвечает "эгоистическому характеру", ибо, согласно (2), каждый игрок стремится увеличить только свой собственный выигрыш, забывая об интересах остальных, и, в частности, забывая даже о золотом правиле нравственности: "поступай по отношению к другому так, как бы ты хотел, чтобы он поступил по отношению к тебе". Именно такой альтруистический подход проявляется в равновесии по Бержу.
Определение 2. Пару (p®, /(p®) = p®) e P х R2 назовем равновесием по Бержу для игры Г, если
max fi(pP||pf ) = fi(p®) (i =1, 2). (3)
PitPi
а ситуацию (p®) = (p®,p®), удовлетворяющую (3) — равновесной по Бержу.
Напомним об истории появления равновесия по Бержу. Понятие "равновесная по Бержу ситуация" возникло в России [4], [5], [6] в 1994 г. в диссертации Константина
Семеновича Вайсмана (тогда аспиранта Орехово-Зуевского педагогического института, скоропостижно скончавшегося, не дожившего и до 36 лет). Само понятие появилось в процессе изучения книги Клода Бержа [7] и "мозговой атаки" на достоинства и недостатки равновесной по Нэшу ситуации р6. Понятие "равновесие по Бержу" в самой книге [7] отсутствует, но оно само "напрашивается" (ибо (3) отличается от (2) только заменой р6 на рв и р^ на рв). Однако именно уже такая замена "снимает эгоистический характер" равновесия по Нэшу. Действительно, следуя своим стратегиям из равновесной по Бержу ситуации рв, игроки забывают о себе, о своих интересах и направляют свои усилия на увеличение выигрышей всех оставшихся игроков. Такой альтруистический подход свойственен родственным отношениям (конечно, в дружных и любящих семьях!), религиозным сообществам, элементы такого альтруизма присутствуют при благотворительности, в спонсорской поддержке. Заметим, что в силу (3), применение равновесных по Бержу ситуаций заведомо исключает вооруженные столкновения, кровопролития, войны. Эта ситуация также решает проблему Таккера в знаменитой игре "дилемма заключенных".
Судьба монографии [7], к сожалению, незавидна. Ёе публикация вызвала к жизни резкую рецензию известного специалиста в математической теории игр Мартина Шубика [8], в которой указывалось (как мы считаем совершенно справедливо), что в книге [7] "... никакого внимания не уделено приложению к экономике... " (но опять-таки, по нашему мнению, несправедливо) ". . . книга мало интересна экономистам. . . ". Как раз последние слова и вызвали к жизни статью [9], где проведено подробное исследование ситуаций равновесия по Бержу и по Нэшу, и также выявлены случаи, когда одна из них доставляет всем игрокам выигрыши большие, чем другая в известной модели конкурентной олигополии Курно [2]. Такой же задаче, но уже для модели дуополии Бертрана, посвящена и предлагаемая читателю статья. В ней выявлена возможность всех игроков, следуя равновесной по Бержу ситуации рв, достичь выигрышей больших, чем равновесные по Нэшу выигрыши. Причем это происходит в той общеизвестной экономической задаче — дуополии Бертрана, с которой практически начались большинство исследований математических вопросов ценовой конкуренции.
3. ЯВНЫЙ ВИД РАВНОВЕСИЙ ПО БЕРЖУ И НЭШУ
Итак, задана игра Г. В этом разделе найдем явный вид равновесий по Нэшу и по Бержу для игры Г, введенных определениями 1 и 2 соответственно.
Равновесие по Бержу. Применяя определение 2 к (1) и (3), получаем
Утверждение 3. Если коэффициенты эластичности Zi и l2 из (1) удовлетворяют условиям:
q
li > I2 > li --, li = const > 0 (i = 1, 2), (4)
c
то равновесие по Бержу игры Г имеет вид
(p®;f(p®)) = (в.в.) ■ (5)
где в = e+ffl72l)l} — максимальная цена товара, установившаяся на рынке.
Доказательство. Напомним, как себестоимость с, так и максимальную цену в для обоих игроков считаем совпадающей, что характерно для рынка одного товара. Тогда функции выигрыша обоих игроков, согласно (1), при pi = в (i = 1, 2) совпадают, именно с
fi[e] = [q + в(l2 - li)](e - с) = (l2 - li)(e - с)2 + [q + c(l2 - li)](e - c), (i = 1, 2). (6)
Так как
^[в]) '(в -Ф = 2(l2 - 1Жв - c)* + [q + c(l2 - li)] = 0,
¿(в - c)
d2fi
¿(в - c)2)
2(l2 - li) < 0,
то функция ^[в] строго вогнута при в > , достигает максимума max ^[в] = ^[в* ]
\0<в-с
при
п /о \ I q + c(l2 - , q + c(li - l2) в* = (в - )* += - 2(l2 -li) + c = 2(li -l2) > 0.
fllfi]
Рис. 1. График /i[в] при li > l2 > li - c
Функция /¿[в] пересекает ось в — с в двух точках: (в — с)1 = 0 и (в — с)2 = — = = ^> 0 (здесь учтено второе неравенство из (4)).
Рис. 2. Множество l = (lb^) Е {(l1,l2)|l1 > l2 > l1 - 1 Л li > 0(i = 1, 2)}
Поэтому график /г[в] имеет вид, представленный на рисунке 1. В результате получаем, что для любых
l = (h,h) Е (l1,l2)
¡1 > ¡2 > ¡1 - -
С
(см. рис. 2), лежащих внутри зашрихованной на рис. 2 "тупиковой" дорожки, и максимальной цене в* = 9+(е/Д-2г)2), выигрыши обоих игроков будут /¿[в*] = 1 (г = 1, 2). □
Равновесие по Нэшу.
Применяя определение 1 к (1) и (2), получаем
Утверждение 4. Равновесие по Нэшу игры Г имеет вид (р6, р(ре) = (¡1(р), ¡2(р)), где
p = (p1,p2), Р\
q + l1c и r i r)\ = pH (i =1, 2),
211 - ¡2
а компоненты вектора равновесных по Нэшу выигрышей
г ( -64 7 ( N \2 , (- + [12 - ¡1]^ 2
Ш ) = ¡1(р — с) = ¡1 ( ^ _ ^
(i = 1, 2).
(7)
(8)
Доказательство. Из (1) и 9 = — 2^ < 0, а также из следующей отсюда стро-
гой вогнутости /г(р) по рг получаем, что, например, тах /1(р1,р2) достигается на р\, если
дН{р1,ре2) |Р1=Р! = - — 2¡1P1 + ¡2ре2 + ¡1С = 0, (9)
аналогично
dp1
df2(p1,p2) dp2
\P2=P2
q + hp1 - 2hpe2 + l1c = 0.
0
В результате для построения равновесной по Нэшу ситуации p = (p1,p2), приходим к системе из двух линейных уравнений
-2l1p1 + l2p2 = -(q + l1c), l2p1 - 2l1p2 = -(q + l1c).
Решением ее будут
p1 = p2 = 2^ = pH ■ (10) Из (9) также получаем, с учетом обозначений из (7),
q - l1p1 + l2p2 = l1(p1 - c) и поэтому fi(p) = l1(pH - c)2. Отсюда и из (7) сразу следует справедливость (8). □
4. Использовдть равновесие по Бержу иногда выгоднее, чем применять равновесие по Нэшу
Найдены ограничения на параметры в модели дуополии Бертрана, при выполнении которых равновесные по Бержу выигрыши для обоих игроков оказываются больше, чем их выигрыши в ситуации равновесия по Нэшу. Из утверждений 1 и 2, получаем
Утверждение 5. Пусть в игре Г для коэффициентов эластичности li = const > 0 (i = 1, 2) выполнены ограничения
l1 >l2 >l1 -
c
Тогда в ситуации равновесия по Бержу pB оба игрока получают большие выигрыши, чем в ситуации равновесия по Нэшу, т. е.
fi(pB) >fi(f) (i = 1, 2). (11)
Доказательство. В первую очередь отметим цепочку импликаций
[l1 > ¿2] ^ [2l 1 > l2] ^ [2l 1 - l2 > 0]
и тогда, согласно утверждению 2, существует равновесие по Нэшу (p,f (p)), определенное в (7) и (8). Напомним также две импликации [l1 > l2] ^ [l1 - l2 > 0] и [l2 > l1 - q/c] ^ [q + c(l2 - l1) > 0]. Согласно им в Г существует равновесие по Бержу, определенное в (5). Сравнивая (5) с (8), получим
f , Bч f , [q + c(l'2 - l1 )]2 l [q + c(l2 - iQ]2 [q + c(l-2 - ¡1)]2l| > 0 1
fi(p)-fi(p ' = 4(l1 - /2)--l1' (2l1 -/2)1 = 4(l1 - /2)(2l1 - fc)2 > 0 (i = 1'2).
Отсюда сразу приходим к справедливости (11). □
Замечание 1. Можно говорить о двояком применении утверждения 3: во-первых, к исследованию уже функционирующих конкурентных экономик, описываемых математической моделью дуополии по Бертрану, во-вторых, при аналитическом конструировании таких рынков. Первый способ.
Шаг 1. Для уже функционирующего конкурентного рынка идентифицировать численные значения 5 параметров:
/^,¿2 — коэффициенты эластичности, с — себестоимость, д — величина начального спроса, в — максимальная цена.
Шаг 2. С помощью найденных на предыдущем шаге двух чисел с и д построить в первой четверти плоскости {¿1,/2} рисунок 2. Шаг 3. Ответить на два вопроса:
a) "Принадлежит ли точка /* = (¿2, ¿2) внутренности заштрихованной на рисунке дорожке?"
b) "Совпадает ли максимальная цена в с —Д2) ?"
2(1 1 ¿2)
Шаг 4. При утвердительном ответе на оба вопроса игрокам лучше использовать свои стратегии из ситуации равновесия по Бержу = (рр) = (в, в) = — 2), — 2)) и получить при этом свои выиг-
рыши /г(рБ) = 1; 12))] (г = 1,2), которые оказываются больше выигрышей
/г(ре) = ¿1 ( 2+*-1; —2 ) (г = 1, 2) в ситуации равновесия по Нэшу ре = ^<, 1) • Второй способ возникает при проектировании конкурентных экономик. Шаг 1. По желательным числовым значениям себестоимости и начального спроса д построить в первой четверти плоскости {/1, /2} биссектрису /1 = /2 и параллельно перенести (сдвинуть) ее вправо на < (см. рисунок 3).
Шаг 2. С помощью экономических, государственных и прочих "рычагов" довести
о д+«(11—12)
максимальную цену в до величины 2^-12) .
Шаг 3. Тогда для всех / = (/1,/2), лежащих внутри "тупиковой дорожки" (образованной двумя полупрямыми /2 = ¿1, ¿2 = ¿1 — ^ при ^ > 0 (г = 1, 2) и оканчивающейся "тупиком" [0, <] на оси ¿1, заштрихованной на рисунке 2), игрокам будет выгоднее использовать свои стратегии в = —')2) из равновесной по Бержу ситуации = (в, в), ибо они обеспечат выигрыши —'2)] большие, чем ¿^—— (достигаемые в ситуации равновесия по Нэшу р® = ^ 2 + —, 2+—^).
Рис. 3. Множество l = (li, l2) G {(li, l2)|li > h >li - 1 Л li > 0(i = 1, 2)}.
Заключение
В работе получены следующие результаты: найдены коэффициенты в математической модели дуополии Бертрана, при которых равновесие по Бержу доставляет игрокам большие выигрыши, чем равновесие по Нэшу.
2
г i
о
о
Список ЛИТЕРАТУРЫ
1. BERTRAN, J. Book review of theorie mathematique de la richessesociale and recherch sur les principles mathematiques de la theorie des richesses // Journal de Savants. — 1883, V. 67. — C. 499-508.
2. COURNOT, A. A. Recherchersurles Principes Mathematiques de la Theorie des Rechesses. — Paris: L. Huchette, 1838. — 230 c.
3. NASH, J. F. Equilibrium point in N-person games // Proc. Nat. Academ. Sci. USA. — 1950, V. 36. — C. 48-49.
4. Вайсман, К. С. Равновесие по Бержу / К. С. Вайсман. — Автореферат дис.... кандидата физико-математических наук: 01.01.09 / Санкт-Петербургский гос. ун-т. Факультет прикладной математики — процессов управления. — Санкт-Петербург, 1995. — 15 c.
VAISMAN, К. S. The Berge Equilibrium / The dissertation on competition of a scientific degree of candidate of physical and mathematical Sciences. — SPSU, 1995. — 16 c.
5. Вайсман, К. С. Равновесие по Бержу / К. С. Вайсман // Раздел 3.2 из книги Жуковского В. И. и Чикрия А. А. "Линейно-квадратичные дифферециальные игры". — Киев: Наукова думка, 1994. — C. 119-142.
VAISMAN, К. S. The Berge Equilibrium // Section 3.2 from the book of V. I. Zhukovsky and Zikria A. A. "Linear-quadratic differential games". — Kiev: Naukova Dumka, 1994. — C. 119-142.
6. ZHUKOVSKIY, V. I., SALUKVADZE, M. E. and VAISMAN, K. S. The Berge Equilibrium: Preprint. — Tbilisi: Institute of Control System, 1994. — 28 c.
7. Берж, С. Общая теория игр нескольких лиц / С. Берж. — М.: Физматгиз, 1961. — 126 c. BERGE, S. The General theory of games of n persons. — M.:Fizmatgiz, 1961. — 126 c.
8. SHUBIK, M., Review of C. Berge "General" theory of n-person games // Econometrica. — 1961, V. 29. — № 4. — C. 821.
9. Жуковский, В. И. Равновесие по Бержу в модели олигополии Курно / В. И. Жуковский, К. Н. Кудрявцев, А. С. Горбатов // Вестник Удмуртского университета. Серия Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2015. — Т. 25 .—№ 2. — C. 147-156.
ZHUKOVSKIY, V. I., KUDRYAVZEV, K. N., and GORBATOV A. S. The Berge Equilibrium in a model of the Cournot oligopoly // Bulletin of Udmurt University. Series: Mathematics, Mechanics, Computer science. — 2015, Т. 25. — №2. — C. 147-156.
10. COLMAN, A. M., KORNER, T. W., MUSY, O. and TAZDAIT, T. Mutualsupportin games: some propetues of Berge equilibria // Journal of Mathematical Psychology, Articlein Press. — 2011. — C. 1-10.
11. Мащенко, С. О. Концепция равновесия по Нэшу и ее развитие // Журнал обчисловальной та прикладноi математики / С. О. Мащенко. — 2012. — № 1. — C. 40-61.
MASHCHENKO, S. O. The Concept of Nash equilibria and its development // Journal of mathematics obcessively prikladno. — 2012, № 1. — C. 40-61.
12. ZHUKOVSKIY, V. I., TOPCHISHVILI, A. and SACHKOV S. N. Application of Probability measures of the Exist-ence Problem of Berge-Vaisman Guarantied Equilibrium // Model Assisted Statistics and Applica-tions. — 2014, V. 9. — №3. — C. 223-239.
13. ZHUKOVSKIY, V. I. and SACHKOV, S.N. Bilanciamen to Conflitti Friendly // Italian Science Review. — 2014, V. 18. — №9. — C. 169-179.
14. Жуковский, В. И. Об одном необычном, но доброжелательном способе уравновешивания конфликтов / В. И. Жуковский, С. Н. Сачков // Международный независимый институт Математики и Систем. "М и С". Ежемесячный научный журнал.. — 2014. — № 10. — C. 61-64. ZHUKOVSKIY, V. I. and SACHKOV, S. N. About the unusual, but friendly way eravno-vyshivaniya conflicts // International independent Institute of Mathematics and Systems. "M and S". Monthly scientific journal. — 2014, № 10. — C. 61-64.
15. ZHUKOVSKIY, V. I., SACHKOV, S. N. and GORBATOV, A. S. Mathemarical model of the "Golden rule" // Science, Technology and Life. Proc. Of the Internat. Scientific. Conf. Czech Republic, Karlovy Vary,. — 2014, 27-28 December. — C. 16-23.
