Применение теоретико-группового анализа для аттестации электродинамических сейсмоприемников ускорений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2005, том 15, № 1, c. 100-104

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 681.2.08

© М. Я. Марусина

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОГО АНАЛИЗА ДЛЯ АТТЕСТАЦИИ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СЕЙСМОПРИЕМНИКОВ УСКОРЕНИЙ

Рассмотрены вопросы метрологического обеспечения электродинамических сейсмоприемников ускорений на основе теории групп. Найдены группы симметрий уравнения движения чувствительного элемента сейс-моприемника: группа трансляций (переносов), группа неоднородных растяжений (изменение масштаба) и группа Галилея. Предложенный метод был разработан для определения параметров сейсмоприемников вертикальных ускорений СВУ-1 с помощью вибростенда, аттестованного в органах Госстандарта по государственным эталонам.

ВВЕДЕНИЕ

Датчики сейсмических колебаний — сейсмо-приемники преобразуют механические смещения частиц грунта в точке наблюдения под действием сейсмической волны в электрический сигнал. Основными характеристиками электродинамических сейсмоприемников являются собственная частота, степень затухания, коэффициент преобразования и коэффициент нелинейных искажений [1, 2].

В настоящее время в России и за рубежом серийно выпускаются сейсмоприемники скорости, преобразующие перемещение грунта в электрический сигнал, пропорциональный скоростям этих перемещений (степень затухания меньше единицы). Для определения их параметров существуют методики и оборудование (например, SMT-100, SMT-150 фирмы SENSOR) [3]. Однако развитие вычислительной техники для регистрации и обработки сейсмической информации выявило некоторые недостатки этих сейсмоприемников, ограничивающие использование всех возможностей современного телеметрического канала [3].

Ряд недостатков электродинамических сейсмо-приемников скорости устраняет электродинамический сейсмоприемник с выходным сигналом, пропорциональным ускорению перемещения его корпуса. В подобных электродинамических сейсмо-приемниках ускорения пропорциональность выходного сигнала второй производной входного перемещения достигается за счет высокой степени затухания, превышающей критическое значение. В сейсмоприемнике со степенью затухания в несколько единиц выходной сигнал становится пропорциональным ускорению перемещения корпуса в частотном диапазоне тем более широком, чем больше степень затухания [3].

МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СЕЙСМОПРИЕМНИКОВ

Требование повторяемости регистрации сигналов с необходимой точностью, а также единства получаемых результатов делает необходимым осуществление метрологического обеспечения сейсмического канала, без которого сегодня немыслимо дальнейшее развитие сейсморазведки [4]. Осуществление метрологического обеспечения сейсморазведочной аппаратуры до последнего времени в значительной степени сдерживалось тем, что сейсморазведочная аппаратура не относилась к средствам измерений, а считалась средством регистрации, не отмеченным государственным или отраслевым стандартом.

Концепция сейсмического канала как единой измерительной системы была изложена в работе [4]. Контроль качества получаемых результатов, обеспечивающий необходимую геологическую информативность сейсмических временных разрезов, достигается путем проведения периодических поверок и калибровок канала (или его звеньев) с помощью специального эталонного оборудования, в процессе которых подтверждаются значения основных технических параметров, определяющих погрешность проводимых измерений.

Поэтому в настоящее время для сейсморазве-дочной аппаратуры особенно актуальными стали вопросы создания поверочных схем и эталонов.

ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ

СЕЙСМОПРИЕМНИКОВ ВЕРТИКАЛЬНЫХ УСКОРЕНИЙ

Как было отмечено в [3], основная проблема разработки электродинамических сейсмоприем-ников ускорений состоит в том, чтобы создать

наибольшую степень затухания в преобразованном блоке с приемлемыми габаритными размерами и массой. Однако при большой степени затухания выходные сигналы сейсмоприемника настолько изменяются (переходная характеристика СВУ-1 является апериодической), что использование существующих методов их измерения (по затуханию сигналов свободного движения, по наблюдениям максимумов выходных сигналов и т.п.) становится невозможным [5, 6]. Кроме того, аппаратура, применяемая при испытаниях, зачастую нетранспортабельна из-за больших размеров и массы.

Предлагаемый метод определения параметров сейсмоприемников базируется на использовании комплекса для определения параметров сейсмо-приемников ускорений, который был аттестован в органах Госстандарта (ФГУП "ВНИИМ им. Д.И. Менделеева) по государственным эталонам. Основным элементом комплекса для испытаний сейсмоприемников является вибростенд, который представляет собой эталон первого разряда.

Рассмотрим сейсмоприемник ускорений с пассивной коррекцией, установленный на вибрирующем с частотой / основании (без электрических обратных связей). Уравнение движения чувствительного элемента (ЧЭ) такого сейсмометра, имеет вид:

mx

+ hx + cx = mam2 sinmt, (1)

где m — масса ЧЭ; x — перемещение ЧЭ; x = dx

d t

и x =-

d2 x d t2

x ' + 2 в x' + m0 x = a m2 sin m t,

(2)

am

x =

y¡(m02 -m2)2 -4воУ

rsin(mt + ф),

(3)

где ф — фаза вынужденных колебаний:

2вю

Ф = arctg

22 m -m0

(4)

Свободная составляющая движения ЧЭ, зависящая от неопределенных начальных условий х0 и х0 затухает. Вынужденная составляющая стационарна, т. к. колебания с частотой ю = 2п / можно поддерживать постоянно, установив, например, прибор на вибростенд. Уравнение (3) представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сейсмоприемника, а уравнение (4) является его фазово-частотной характеристикой (ФЧХ).

ГРУППЫ СИММЕТРИЙ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА СЕЙСМОПРИЕМНИКА

Зависимость между сейсмоколебанием на входе сейсмоприемника, или вектором X, и электрическим сигналом на выходе сейсмоприемника, или вектором У, обозначим через вектор ф:

Y = ф(Х, т),

(5)

— скорость перемещения ЧЭ и его ус-

корение; к — коэффициент демпфирования ЧЭ, пропорциональный х ; с — коэффициент упругого сопротивления ЧЭ; а и ш — амплитуда перемещения и круговая частота гармонических колебаний корпуса прибора c частотой /

Уравнение (1) при любых параметрах сейсмо-приемника удобно рассматривать в виде:

где в — степень затухания сигнала, 2в = к/т; ю0 — круговая частота собственных колебаний прибора, ю0 = ^с/т .

Решение (2) известно, в том числе и при значительном демпфировании. Выражение для вынужденной составляющей движения ЧЭ можно записать в виде

где т(т1,т2,...,тт) — вектор-функция влияния, т. е. влияние систематических амплитудных, фазовых и частотных погрешностей измерений.

Оператор обращения приводит выходную величину У к входной величине X путем воздействия на У обратным (известным) отображением

ф-1(У). Прямое ф 0 и обратное ф-1 отображения производятся при заданных значениях т0(т01,т02,...,т0т), которые соответствуют нормируемым метрологическим характеристикам средств измерений. Например, на вход сейсмопри-емника можно подать сигнал с вибростенда, который был аттестован в органах Госстандарта по государственным эталонам (ФГУП "ВНИИМ им. Д.И. Менделеева) и является эталоном первого разряда. Тогда можно записать

X = Ф-1 [ф( X, т)],

(6)

где X — результат приведения выходного сигнала У к входному сигналу X с помощью обратного отображения ф-1 для номинального (известного) отображения ф0 (ф-1 — это функции, обратные ф , взятые при условии, что вектор функций влияния равен нулю т = 0 ).

Обозначим композицию векторов ф-1 о ф = g , тогда можно записать в векторной форме

102 М. Я. МАРУСИНА

X = g(X, т).

(7)

Выражение (7) и есть измерительные преобразования, т. к. состоят в отображении X на себя, а устройство, реализующее эти преобразования, — измерительный преобразователь.

Рассмотренная модель взаимно-однозначных измерительных преобразований g удовлетворяет аксиомам теории групп (это легко проверить). И следовательно, измерительные преобразования (7) образуют многомерную многопараметрическую непрерывную группу О точечных преобразований. Согласно [7], если рассмотренная модель измерения (2) есть инвариант группы (7), то измерения на уровне модели осуществляются без погрешностей (в смысле т = 0 ).

Таким образом, нужно решить задачу синтеза, которая заключается в том, что для заданного класса объектов требуется найти множество преобразований g, сохраняющих неизменными заданные функции. Т. е. задано свойство, уравнение (2), описывающее движение ЧЭ сейсмоприемника. Нужно построить группу симметрий уравнения (2), передающую это свойство без искажения, т.е. обеспечить равенство

I (

)=I ((

Хо , . . . X,

)

t = t + £(t, х)т, ~х = х + n(t, х)т.

U = £ (t, х)^+ n(t, х)^ + 2 д t д х

+ Z1 (t, х, х') + Z2 (t, х, х', х .

d х о х

условие инвариантности которой Uw = 0 при w = 0 .

ритм Ли), допускаемого уравнением (2), которое запишем в разрешимом виде х'' = /(г, х, х'). Тогда

для

f = аю2 sinmt - 2 в х' -ю02 х

(13)

определяющее уравнение будет иметь вид:

(8)

при влияющих неконтролируемых параметрах т1, т2, ■■■,тт, относительно которых известны лишь границы (интервалы) их возможных изменений. Искомая группа симметрий действует в пространстве переменных (1, х):

(9)

Уравнение (2) должно быть инвариантно относительно дважды продолженной группы с оператором

(10)

Уравнение (2) в пространстве переменных (t, х, х', х'') определяет гиперплоскость

w = х'+ 2 в х' + ю0 х - аю2 sinmt = 0, (11)

(12)

Применим, согласно [8], алгоритм поиска координат инфинитезимального оператора (алго-

Пи + (2Пх - £tt )х' + (Пхх - 2^х )х'2 - £ хххх3 +

+ (пх - 2£t - 3х '£х) (а ю2 sin mt - 2 в х' -ю02 х) -- (п + (Пх -£)х -£хх'2)(-2в) --£(аю2 cosmt -ю) + цю0 = 0.

Левая часть этого уравнения является многочленом третьей степени относительно переменной х . Поэтому определяющее уравнение "расщепляется" на следующие четыре уравнения, получаемые приравниванием нулю коэффициентов при различных степенях х :

(х')3: £хх = 0, (х')2: Пхх - £ + 4в£х = 0, (х ) : 2Пх - £tt -

- 3£х (а ю2 sin mt -ю^ х) + (14)

+ (Пх -£ )2в = 0,

(х')0 : ntt + (Пх - 2£t )(аю2 sin rnt -ю02 х) +

+ nt 2в -£аю2 coscot + цю0 = 0.

Из первого уравнения интегрированием по х получаем:

£ = a(t)х + b(t) + c .

Предположим, что £ линейная функция t и х, тогда

£ = ах + bt + c

и £tx = 0, и £х = а . Третье и четвертое уравнения из (14), в соответствие с (11), можно записать:

(х') : 2Пх -£tt - 3£х (х'' + 2в х') +

+ (Пх )2в = 0,

(х')°: ntt + (Пх - 2£t )(х"+ 2в х') +

+ nt 2в - £аю2 cosю t + пю02 = 0. Из третьего уравнения получаем, что £х = 0, следовательно, £х = а = 0 . Поэтому из второго уравнения получим пхх = 0, и, проинтегрировав это уравнение по х, можно записать:

п = к(V) х + т^) +1; но п — линейная функция V и х, тогда

П = кх + mt +1.

Из четвертого уравнения следует, что Пх - 2^ = 0; из этого условия находим к = 2 Ь . Следовательно, общее выражение для инфините-зимального оператора и для пространства переменных (V, х) будет таким:

д д и = (Ьt + с) — + (2Ьх + mt +1) — = д V д х

где

= си 1 + 1и 2 + ти 3 + Ьи4

д д д

и1 =—, и 2 =—, и 3 = V—,

д V д х д х

дд

и 4 = V— + 2 х-,

д V д х

(15)

V = te

2т,

тельного преобразования — 14

V2

11 = х, 12 = V,

13 =■

два из которых образуют функционально независимый базис. Из этих инвариантов можно построить три инвариантные функции Ф1( 11,12), Ф 2(11,13), Ф 3(12,13). Следовательно, можно построить общий вид функций, инвариантных относительно групп измерительных преобразований для уравнения (2), т. е. можно построить функции с априорной симметрией.

Запишем базис операторов уравнения (2) для пространства переменных (V, х, х' , х '):

и1 =

д

д Г

и2 =

д, дх

и3 =

д, дх

и4 =

д

и 5 = V-

и 6 = V-

дх

и7 = V-

д д д д и 8 = V--+ 2 х--+ 2х-- + 2 х

д V д х

дх

дх

с, I, т, Ь — постоянные.

Первые два оператора определяют группу трансляций (переносов), третий — группу Галилея и четвертый — группу неоднородных растяжений (изменение масштабов).

Инфинитезимальные операторы (15) являются базисом операторов уравнения (2) для пространства переменных (V, х). Следовательно, уравнение движения ЧЭ сейсмоприемника (2) будет инвариантно по отношению к преобразованиям групп трансляций, растяжений и группы Галилея.

Запишем найденные группы и инварианты для рассмотренного уравнения движения ЧЭ сейсмо-приемника (2) для пространства переменных (V, х).

Для группы трансляций измерительное преобразование имеет вид: трансляция по времени —

V = V + т1, ~ = х; трансляция по перемещению —

V = V, ~ = х + т2. Инварианты для этого измерительного преобразования: 11 = х, 12 = V.

Для группы Галилея измерительное преобразование для пространства переменных (V, х) имеет

вид: V = V, ~ = х + т2 V; инвариант для этого измерительного преобразования — 13 = V.

Для группы неоднородных растяжений

х = хе 2: инвариант для этого измери-

Таким образом, мы получили три возможных инварианта

Первые четыре оператора — операторы группы трансляций, пятый, шестой и седьмой — операторы группы Галилея, восьмой — оператор группы неоднородных растяжений.

В силу линейности уравнения (2) движения ЧЭ сейсмоприемника алгебра симметрий уравнения второго порядка будет иметь максимальную размерность г = 8 [9]. Отметим, что операторы группы вращений не входят в эту алгебру. Т. е. уравнение (2) не будет инвариантно по отношению к поворотам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, с помощью аттестованного вибростенда (эталона первого разряда) можно провести аттестацию сейсмоприемника вертикальных ускорений (эталона второго разряда), используя который можно проводить аттестацию сейсмоприемников в полевых условиях. Причем уравнение движения ЧЭ сейсмоприемника будет инвариантным по отношению к преобразованиям групп трансляций, растяжений и группы Галилея.

Предложенный метод был разработан для определения параметров электродинамических сейсмо-приемников вертикальных ускорений СВУ-1, производство которых освоено на ФГУ НПП "Геологоразведка". Область применения сейсмоприемни-ков СВУ-1: высокоразрешающая сейсморазведка, исследования нефтегазоносных структур, изучение рудных месторождений, решение задач инженерных изысканий. Этот новый электродинамический сейсмоприемник повышает разрешающую

2

х

д

х

д

д

д

х

х

х

104

М. Я. МАРУСИНА

способность сейсморазведки, имеет более высокую чувствительность по сравнению с применяемыми электродинамическими приемниками и широкую полосу пропускания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рыжов А. В. Новые принципы расчета и создания электродинамических сейсмоприемников с оптимальными параметрами. М.: ВНИИГео-физика, 1994. 54 с.

2. Стандарт Евро-Азиатского геофизического общества: СТО ЕАГО 016-01-94 "Геофизическая аппаратура и оборудование. Сейсмопри-емники электродинамические. Методы измерений основных параметров и характеристик". М.: 1994. 30 с.

3. Рыжов А. В. и др. Электродинамические сейс-моприемники ускорений // Разведка и охрана недр.2001.№ 9. С. 72-74.

4. Стакло А.В., Симаков В. С. Метрологическое обеспечение сейсморазведки. Эталон и поверочная схема // Геофизический вестник. 2001. № 2. С.21-24.

5. Степанов И. В. Метод определения параметров сейсмоприемников // Известия вузов. Приборостроение. 2002. Т. 45, № 4. С. 30-32.

6. Марусина М.Я., Тихановский А.Б., Ушаков О.Ю. Методы измерений основных параметров и характеристик электродинамических сейсмоприемников // Сборник трудов конференции "Оптика и образование 2002" / Под общ. редакцией проф. А.А. Шехонина. СПбГИТМО(ТУ), 2002. С. 95-97.

7. Иванов В.А. Элементы групповой теории измерений // Теоретична и приложна механика. София, 1990. Т. ХХ1, № 2. С. 10-19.

8. Иванов В.А., Марусина М.Я., Флегонтов А.В. Инвариантные аппроксимации и их применение в МР-томографии // Научное приборостроение. 2003. Т. 13, № 2. С. 22-26.

9. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Материал поступил в редакцию 30.12.2004.

APPLICATION OF GROUP-THEORETICAL ANALYSIS TO CERTIFICATION OF ELECTRODYNAMIC SEISMIC RECEIVERS OF ACCELERATIONS

M. Ya. Marusina

Saint-Petersburg State University of Information Technology, Mechanics and Optics

The paper presents a group-theoretical approach to the problems of metrological support for electrodynamic seismic receivers of accelerations. Symmetry groups in the equation of motion of the seismic receiver sensing element were found: translation (transfer) group, nonuniform extension (dimensional scaling) group, and the Galilei group. The proposed technique was developed to define parameters of the CBU-1 seismicreceiver of vertical accelerations using a vibrobench certified by the Gosstandard (National Standards Agency) authorities on state reference standards.