CC BY
25
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАМИЛЬТОНА-КЭЛИ ПРИ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ МАТРИЦ
СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
1 2 Махинова О.А. , Музыченко А.Д.
Email: Mahinova664@scientifictext.ru
1Махинова Ольга Алексеевна - кандидат физико-математических наук, доцент,
кафедра математики; 2Музыченко Андрей Дмитриевич - курсант, 10 факультет авиационного радиоэлектронного оборудования, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина,
г. Воронеж
Аннотация: рассматривается возможность доказательства нильпотентности матриц специального вида с помощью теоремы Гамильтона-Кэли; демонстрируется метод доказательства матричного тождества с помощью введения дополнительного оператора и исследование его основных свойств, таких как линейной и правило Лейбница. В качестве вспомогательного инструмента доказательства матричных равенств используется метод математической индукции. В завершении приводится альтернативный метод решения задачи, основанной на свойствах следа матрицы.
Ключевые слова: нильпотентные матрицы, теорема Гамильтона-Кэли, след матрицы.
APPLICATION OF THE CAYLEY-HAMILTON THEOREM TO PROVE THE NILPOTENCY OF THE SPECIAL TYPE MATRICES Mahinova O.A.1, Muzychenko A.D.2
1Mahinova Olga Alekseevna - PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, DEPARTMENT OF MATHEMATICS; 1Muzychenko Andrej Dmitrievich - Cadet, 10 FACULTY OF AVIONICS EQUIPMENT, MILITARY EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER EDUCATION MILITARY EDUCATIONAL AND SCIENTIFIC CENTRE OF THE AIR FORCE N.E. ZHUKOVSKY AND Y.A. GAGARIN AIR FORCE ACADEMY, VORONEZH
Abstract: the article analyzes opportunity to prove the nilpotency of the special type matrices using the Cayley-Hamilton theorem; the method for proving matrix identity, which is based on additional operator and researching or its basic properties, such as linearity and Leibniz rule, is considered. The method of mathematical induction is used as an auxiliary proof instrument for matrix identity. Finally, an alternative method for solving the problem is given, this method is based on the properties of the matrix trace. Keywords: nilpotent matrix, Cayley-Hamilton theorem, matrix trace.
УДК 512.643
В рамках данной статьи рассмотрим возможность решения одной из классических задач линейной алгебры, связанной с доказательством матричного равенства на основе использования теоремы Гамильтона-Кэли.
Воспользуемся следующей постановкой задачи: пусть во множестве А/ (С), т.е. множестве всех квадратных матриц размерности П X П с комплекснозначными элементами, выбраны такие матрицы А и В, что
А2 В + ВА2 = 2 АВА. (1)
Требуется доказать, что найдется такое натуральное значение параметра к, удовлетворяющее условию
( АВ - ВА)к = 0. (2)
Для удобства последующих рассуждений введем в рассмотрение оператор АХ. Зафиксируем произвольным образом матрицу А Е А/ (С), тогда определим
оператор АХ для любой матрицы X Е Мп (С) с помощью равенства вида:
АХ = АХ-ХА. (3)
Таким образом, можем заменить доказательство условия (2) на доказательство нильпотентности [1, с. 116] матрицы АВ, т.е. достаточно установить существование
такого к Е N , что (А5) = О.
Убедимся, что заданный выше оператор А является линейным, для чего необходимо выполнить проверку двух следующих условий [2, с. 128]:
А(Х + 7) = А(Х) + А(7), Х,7ЕМи(С),
А(сс • Х^ = ОС • А(Х), где ОС Е С - произвольная константа,
Х,7еМи(С).
Проведем доказательство для линейной комбинации вида аХ + РУ, где Х, У еМи(С) и (X, Р Е С - константы. С учетом свойств квадратичных матриц и действий над ними, очевидно, что ОсХ + (5У также принадлежит множеству А/ (С). Тогда рассмотрим результат применение оператора А к матрице аХ + РУ:
А(аХ + РУ) = А (аХ + рУ) - (аХ + РУ) А = = а АХ + РАУ - аХА - РУА = (а АХ - аХА) + (рАУ - РУА) =
= а( АХ - ХА) + р( АУ - УА) = а (АХ) + Р(АУ),
что и завершает доказательство линейности оператора А .
Убедимся, что линейный оператор А также удовлетворяет тождеству Лейбница, являющемуся характерным свойством дифференциальных операторов. Действительно,
А( ХУ ) = А( ХУ)-(ХУ) А = АХУ - ХАУ + ХАУ - ХУА = = (АХ - ХА)У + Х(АУ - УА) = (АХ)У + Х(АУ).
Используя метод математической индукции легко показать, что полученную выше формулу можно обобщить на к множителей:
Д(Х •...• Хк) = Д(Х)X2 •...• Хк + ХДХ)•...• Хк +... + (4)
+ Х •...•Л . \(.V.).V. -...-Л +Х1,.,Хк_1А(Хк),
для V Хх,...,ХкеМя(С).
Проверка формулы (4) при к = 2 не требуется, поскольку совпадает с тождеством Лейбница, доказанным выше, если положить в нем х = х и Y = Х2.
Предположим, что формула (4) верна при к = 171, докажем, что при к = П1 + 1 доказываемое равенство останется истинным. Так как X ^,..., Xт G XIи (С), то Xt •... • Xт €Е XIи(С) . Обозначим Xt •... • Xт = Z и воспользуемся правилом Лейбница для оператора Д относительно произведения Z • Хт+1:
Д( Z • Хт+1 ) = (AZ) Хт+1 + Z (ДХт+1 ).
Поскольку формула (4) полагается выполненной при к = т, то
AZ = Д(Х)Х2 •...• Хк + ХДХ2)•...• Хк +... + X, •...• Хк„ДХк).
Следовательно,
Д( Z • Хт+1 ) = (Д( Х ) Х 2 • ... • Хт + ... + Х, • ... • Хт„,Д( Хт )) Х^ + ... + + Х • ... • Хт (ДХт+1 )
или
Д( Х1 • ... • Хт • Хт+1 )=Д( Х1 ) Х2 • ... • ХтХт+1 + Х1Д( Х2 )• ... • Х^ + ... +
+ Х • ... • ХтД(Хт+1 ).
Последнее равенство и означает завершение доказательства по методу математической индукции.
Далее преобразуем условие (1) к виду также содержащему введенный нами
оператор Д. Рассмотрим Д 2 B:
Д2 B = Д(ДВ) = Д( AB - BA) = A( AB - BA) - (AB - BA) A = = A2B - ABA - ABA + BA2 = A2B + BA2 - 2ABA = 0,
то есть
Д2 B = 0. (5)
На основе соотношений (4) и (5), а также учитывая линейность оператора Д, получим представление для Дк ( Bк ) :
( (
A¿(5¿) = A¿"1 А В^В
^ \к множителей у у
= Дк-1 (^ • B •... • B + B •... • B +... + B • B •... ) = = Дк-2 (Д(^ • B •... • B + B ^ •... • B +... + B • B •... ^)):
= Ak 2(a2в ■ в ■... • b + áb■ab ■... • b + b ■...■ AB■ab + b ■... • b-á2b) = =... = k !(AB)k.
Таким образом установлено, что
Ak(Bk) = k\(AB)k, V£eN. (6)
Следовательно, для доказательства нильпотентности матрицы ÁB достаточно показать, что
Ák (Bk ) = 0. (7) Обоснуем равенство (7). Во-первых, отметим, что из равенства (6) при выполнении условия А2В = 0 вытекает тожество A/l+' ^Вк ^ = 0. где ^ £ N . Последнее соотношение можно записать в более удобном виде:
А"(л7) = 0 для V£,yeN, j<k. (8)
Далее воспользуемся теоремой Гамильтона-Кэли: при подстановке матрицы в ее характеристический полином получается нулевая матрица. Следовательно, найдутся
такие константы Oí{), ОСх,..., ОСк ] €Е С, что
Bk = а0 E + a B +... + ak_ lBk~1,
где матрица E - единичная матрица размерности П X П .
Подставим полученное представление Вк в соотношение (7): Ák (а0 E + а, В +... + ак_ xBk^ ) = a0Ák (E) + axÁk (В) +... + ak_Á (Bk ). Так как
aüÁk (E) = aüÁk-1 (ÁE) = a0Ák4 (AE - EA) = a0Ák(A - A) = 0,
то учитывая условие (8), получим Ak (Вк) = 0, последнее доказывает утверждение о нильпотентности AB или ( AB - BA)k = 0 при некоторым
iteN.
Далее приведем альтернативный способ доказательства нильпотентности матрицы AB - В A с использованием свойств следа матрицы.
Обозначим рассматриваемую матрицу X = AB - BA. Покажем, что данная матрица коммутирует с матрицей A, т.е. A ■ X = X ■ A или
A ■ X - X ■ A = 0.
Действительно,
A ■ X - X ■ A = A ■( AB - BA)-( AB - BA)■ A = = ( A2В - ABA) - (ABA - BA2) = A2В + BA2 - 2ABA = 0.
Следовательно, для любого m > 0 имеем
Xm+1 = Xm ■ X = Xm ■ (AB - BA) = XmAB - XmBA = = Xm-1 (XA)В - XmBA = Xm-1 (AX)В - XmBA = Xm-2 (XA)XB - XmBA = = xm-2 (ax) xb - xmba = xm-2ax2в - xmba =... = axmb - xmba,
то есть
^m+1 л -\rm т-> vm -.
Xm+1 = AXmB - XmBA.
Рассмотрим след матрицы Xm+J и след матрицы AXmB - XmBA .Поскольку матрицы равны, то их следы должны быть равными:
tr (Xm+1) = tr (axmb - xmba) = tr ( a (xmb )) - tr ((xmb ) a) = 0, последнее преобразование обосновывается свойствами следа матрицы, поскольку tr (UV) = tr (VU) для любых квадратных матриц U и V .
Далее воспользуемся следующей теоремой [2, c.162]/: след прямоугольной матрицы Q равен сумме всех ее собственных значений и инвариантен относительно
любого ортонормированного преобразования. Поскольку tr ( Xm+1) является суммой m +1 степеней собственных значений матрицы X, а значения tr(X),... ,tr(X") определяются однозначно, следовательно все эти собственные значения должны быть нулевыми. То и обозначает нильпотентность матрицы X.
Список литературы /References
1. БеклемишевД.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2005. 304 с.
2. Канатников А.Н, Крищенко А.П. Линейная алгебра. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.
