CC BY
19
УДК 62.50
DOI: 10.17586/0021-3454-2019-62-9-791-797
ФОРМИРОВАНИЕ КРИТЕРИАЛЬНЫХ МАТРИЦ МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМА ФАДДЕЕВА — ЛЕВЕРЬЕ
Н. А. Вундер, Н. А. Дударенко, В. Г. Мельников
Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: dudarenko@yandex.ru
Рассматривается проблема формирования критериальных матриц динамических систем типа „многомерный вход—многомерный выход", которые могут быть использованы для исследования свойств многомерной системы в неподвижном состоянии. Процедура формирования критериальных матриц рассматривается применительно к задаче оценивания склонности многомерных динамических систем к вырождению, являющемуся мерой их робастности. Конструирование критериальных матриц осуществляется на примере многомерной непрерывной динамической системы. Задача решается с использованием алгоритма Фаддеева — Леверье, дополненного теоремой Гамильтона — Кэли. Полученная вещественнозначная конструкция для формирования критериальных матриц отношения „вход—выход" многомерных динамических систем ориентирована на задачу априорного экспресс-контроля вырождения динамических систем типа „многомерный вход—многомерный выход" в статике.
Ключевые слова: алгоритм Фаддеева — Леверье, число обусловленности, вырождение, критериальная матрица, теорема Гамильтона — Кэли, функционал вырождения
Введение. Постановка задачи. Тенденция к усложнению динамических систем [1], помимо требований к их устойчивости, надежности и инвариантности [2, 3] к изменяющимся условиям, в силу многокомпонентности их функционального состава породила необходимость контроля такого системного свойства, как склонность к возможному вырождению [4], являющемуся мерой робастности многомерной системы [5, 6].
Многомерная динамическая система типа „многомерный вход — многомерный выход", аппаратно реализует оператор, который отображает пространство входов в пространство выходов. Для определенности этот оператор можно считать линейным или, по крайней мере, локально линейным. Предполагается также, что указанные выше пространства согласованы по размерности. В математической постановке линейный оператор считается вырожденным [7], если его ранг становится меньше размерности пространства реализаций. Развивая это положение, можно сказать, что процесс вырождения некоторой многомерной динамической системы есть процесс уменьшения ранга [8] реализуемого ею линейного оператора. Матрицу этого линейного оператора будем именовать критериальной матрицей [9].
Таким образом, задача оценивания степени вырождения многомерной динамической системы решается в два этапа. На первом этапе формируется критериальная матрица многомерной системы, на втором этапе оценивается степень вырождения системы посредством применения к критериальной матрице аппарата функционалов вырождения.
Исследование проблемы вырождения многомерных динамических систем может проводиться как в параметризованном, так и в не параметризованном временем виде. Проблема вырождения существенно зависит от типа входных заявок на их обслуживание многоканальными динамическими системами [4, 8, 9]. Настоящая статья посвящена проблеме формирования критериальных матриц многомерных динамических систем с использованием алгоритмов Фаддеева — Леверье [10] без учета характера организации входных заявок.
Базовые концепции контроля степени вырождения многомерных динамических систем. Рассмотрим многомерную динамическую систему, реализующую линейный оператор с матрицей N(*), отображающий пространство входов в пространство выходов, так что становится справедливой линейная алгебраическая задача вида
Л( w) = N (w, 0)х( w), (1)
где критериальная матрица N(w, 9) имеет размерность m х m для любых значений w , 0; Л(w), x(w) — m-мерные векторы; параметр „ w " — характеризует, с одной стороны, непрерывное время t, когда задача (1) параметризована непрерывным временем, а с другой — дискретное время k, выраженное в числе интервалов дискретности длительностью At, когда задача (1) параметризована дискретным временем; 0 — p -мерный параметр, изменяющий алгебраические свойства матрицы N и характеризующий частоту ш при гармоническом представлении внешнего воздействия.
Будем рассматривать линейную алгебраическую задачу как инструментальную модель
контроля степени вырождения на основе норм матрицы N и обратной к ней матрицы N"1 [11]. Для оценки степени вырождения сложной динамической системы воспользуемся такой матричной характеристикой, как число обусловленности.
Число обусловленности матрицы N, согласно определению [11], записывается в следующей форме:
А
C {N } = || N\\ • N_1 . (2)
Числа обусловленности в силу определения (2) подчинены следующим неравенствам:
1 < C{N} . (3)
Однако оценить, насколько число обусловленности близко к бесконечности, затруднительно. В связи с этим в рассмотрение введем величину, обратную числу обусловленности, называемую функционалом вырождения JD , который зададим соотношением
Jd {N} = C-1 {N} = amm {N} a"m;x {N}, (4)
где am^ и amax — минимальное и максимальное сингулярные числа критериальной матрицы N соответственно.
Соотношение (4) с учетом (3) позволяет записать для функционала вырождения следующие неравенства:
0 < Jd = С "1{N} < 1. (5)
Таким образом, процесс вырождения можно отслеживать по последовательному обнулению функционалов вырождения Jd ., контроль граничных значений которых в пределах
0 и 1 заметно проще контроля граничных значений чисел обусловленности в пределах 1 и да.
Формирование критериальной матрицы многомерной динамической системы с использованием алгоритма Фаддеева — Леверье. Рассмотрим многомерную непрерывную динамическую систему с четверкой матриц (G, F, C, H), имеющую векторно-матричное описание „вход—состояние—выход":
x(t) = Fx(t) + Gg (t), y(t) = Cx(t) + Hg (t), (6)
r>n
где x, g, y — векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответственно; x е R ,
g, y е Rm ; F , G , C, H — матрицы состояния системы, входа, выхода и отношения „вход— выход" непрерывного объекта управления соответственно, согласованные по размерности с
г>ихи ^ ^T nnxm тт r>mxm
размерностью векторов x, g и y , так что F е R , G, C е R , H е R .
Анализ вырождения сложных динамических систем (6) опирается на векторно-матричные модели типа „вход—выход". Для конструирования этой модели применим к (6) преобразование Лапласа, тогда при нулевых начальных условиях сложная динамическая система получит представление „вход—выход" вида
у( з) = Ф( 5) g (з), (7)
где у(з) и g(з) — лапласовы образы у^) и g(^); Ф(з) — т х т -передаточная матрица отношения „вход—выход", записываемая в силу (6) в форме
Ф(з) = С (з/ - Г )-10 + Н . (8)
Так как линейная модель (7) многомерной системы (6) параметризована комплексной переменной з, то возникают заметные трудности использования формулы (7), дополненной представлением (8) в решении задач вырождения. Чтобы исключить параметризацию переменной з, воспользуемся алгоритмом Фаддеева — Леверье [10] разложения резольвенты
(з/ - Г)-1, при этом основной результат изложим в виде системы утверждений.
Утверждение 1. Передаточная функция Ф(з) „вход—выход" системы (1) может быть представлена в виде
Ф ^) = БГГ Г зпн+зп-1 (аН+СОоО)+-2 (а2 Н + СQG)+...
... + з (ап-1Н + С0п -20) + (апН + С0п-1О)], (9)
где Qk - п х п -матрица, к = 0, п -1, вычисляемая с помощью алгоритма Фаддеева — Леверье.
Доказательство. В соответствии с алгоритмом Фаддеева — Леверье резольвента (з/ - Г)-1 может быть представлена без ее обращения в форме [10]
( - г )-1 = 1 Га ( - Г )] г = ^о + +^-1, (10)
V ; йе^з/ - Г) ^ зп + а1зп-1 +... + ап-1з + ап
где п х п -матрицы Qk, к = 0, п -1, и коэффициенты а{, / = 1, п, характеристического уравнения вычисляются с помощью рекуррентной процедуры алгоритма Фаддеева — Леверье:
Qо = /, а = -1Г(ГШ
Ql = FQо + а^, а2 =-tr(FQl)/2 (11)
= ^к-1 + ак1, ак+1 = ) / к С использованием матриц Qk, к = 0, п -1, для резольвенты (з/ - Г)-1 можно записать
^- Г )-1=ё) Qо+т5 Ql+.••+^ ^+тк) й-1. <12)
Если резольвенту в форме (12) подставить в выражение (8) для передаточной матрицы „вход—выход", получим
Ф(з) = С(з/-Г)-10 + Н = ип-^0 + зп-^0 +... + ^п-20 + СQn-0} + Н . (13)
Приведем правую часть выражения (13) к одному знаменателю = зп + а^-1 +... + ап+ ап , в результате чего функция Ф(з) примет следующий вид:
Ф(з) = 7^ ['пН + зп-1 (аН + СQоG) + зп-2 аН + СQx0) +...
... + з{ап_хН + СQn-2G) + (апН + СQn-lG)]. . (14) ■
Для решения задачи априорного экспресс-контроля вырождения многомерных динамических систем, который осуществляется без учета характера организации входных заявок, т.е. в статике, необходимо знать вид передаточной матрицы Ф (s)| = Ф (0) .
Утверждение 2. Передаточная матрица Ф (s )| = Ф (0) многомерной непрерывной динамической системы (6) для исследования ее свойств в неподвижном состоянии может быть представлена как
Ф (0) = H - CF-1G . (15)
Доказательство. Рассмотрим возможность представления передаточной матрицы Ф (s) =0 = Ф (0) с использованием соотношения (14). Если в этом соотношении положить
s = 0, то передаточная матрица примет вид
Ф (0) = D0)(anH + C0n -G) = (H+C0n -1G). (16)
Выражение (16) содержит матрицу Qn-1, которая не является системной, она формируется с помощью алгоритма Фаддеева — Леверье. Для ее системного представления снова обратимся к алгоритму Фаддеева — Леверье, но уже не в рекуррентной форме, а в полной, тогда в соответствии с (11) получим
Q0 = I,
Q = FQ0 + «11 = F + ОуТ,
Q2 = FQ1 + «21 = F2 + ayF + «21,
Qn-1 = Fn-1 + axFn-2 + «2 Fn-3 +... + an-11.
(17)
Воспользуемся теперь положениями теоремы Гамильтона — Кэли [5], в соответствии с которой произвольная квадратная матрица обнуляет свой характеристический полином, что применительно к матрице Е может быть записано в форме
Еп + а1Еи_1 + а2 Еи"2 +... + ап_Е + ап I = 0. (18)
Преобразуем (18) к виду
Е {Еп_1 + а1Еп_2 + а2 Еп_3 +... + ап_11} + ап I = 0. (19)
Если воспользоваться последним выражением системы уравнений (17), то соотношение (19) получит представление FQn_l + апI = 0, откуда для Qn_l имеем
0п_1 =_апЕ _1. (20)
Подставив это соотношение в выражение (16) для передаточной матрицы „вход— выход", получим
Ф (0) = — (апИ + CQn_lG) = — (апИ _ апСЕ) = Н _ СЕ~10 . (21) ■
а а \ >
п п
Таким образом, априорный экспресс-контроль возможного вырождения многомерных динамических систем, который осуществляется без учета характера организации входных заявок, может быть произведен с помощью критериальной матрицы N вида
N = И _ СЕ_1G. (22)
Нетрудно видеть, что отношения „вход—выход", задаваемые критериальной матрицей (22), позволяют контролировать и корректировать возможное вырождение системы [12, 13]. Так, с помощью матрицы G можно сформировать необходимые межканальные связи по
сепаратным входам, с помощью матрицы С — решить аналогичную задачу в пространстве выходов, а с помощью матрицы F — обнаружить способность назначения системных параметров сепаратных каналов и организовать внутрисистемные межканальные связи. Дополнительным системным ресурсом является матрица Н .
В связи с тем, что полученная критериальная матрица N (22) не содержит информации о характере организации входного потока заявок, а содержит данные лишь о внутреннем „устройстве" многомерной динамической системы, область ее использования в решении проблемы контроля возможного вырождения многомерной динамической системы следует связывать с задачей априорной экспресс-оценки склонности сконструированной многомерной системы вида (6) к вырождению.
Тем самым реализуется принцип: прежде чем исследовать склонность системы к вырождению в динамике при обработке потоков входных заявок, необходимо проверить ее в статике на предмет соответствия ее „конструкции" требуемому значению функционала вырождения с запасом на динамику.
Процедуру контроля склонности сконструированной многомерной непрерывной динамической системы вида (6) к вырождению на основе критериальной матрицы, полученной с использованием алгоритма Фаддеева — Леверье, представим в виде алгоритма.
Алгоритм.
Шаг 1. Задать (G, F, C, H) — представление многомерной непрерывной динамической системы (6).
Шаг 2. Сконструировать критериальную матрицу (22) многомерной динамической системы (6).
Шаг 3. Задать допустимое значение J'D функционала вырождения JD .
Шаг 4. Вычислить значение функционала вырождения Jd согласно соотношению (4).
Шаг 5. Проверить выполнение условия Jd ^ J'd .
Шаг 6. В случае нарушения условия п. 5 осуществить переход к шагу 1 в целях корректировки параметров матричных системных компонентов (модификация матрицы входа G в целях изменения связей между сепаратными входами, модификация матрицы состояния F путем изменения структуры ее собственных значений и собственных векторов с помощью процедуры обобщенного модального управления, а также введение необходимых межканальных перекрестных связей, матрицы отношения „вход—выход" H и т.д.); в случае выполнения условия — переход к шагу 7 алгоритма.
Шаг 7. Передача результата системному аналитику.
Заключение. Применение алгоритма Фаддеева — Леверье, дополненного теоремой Гамильтона — Кэли, позволяет с использованием свойств числа обусловленности и функционалов вырождения построить вещественнозначную конструкцию для критериальной матрицы отношения „вход—выход" многомерных динамических систем, ориентированных на задачу априорного экспресс-контроля их вырождения в неподвижном состоянии (статике).
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 17-01-00672, и финансовой поддержке Правительства Российской Федерации, грант 08-08.
список литературы
1. Dorf R. C., Bishop R. H. Modern Control Systems. Prentice Hall, 2010.
2. Акунов Т. А., Ушаков А. В. Синтез систем гарантированной модальной стабильности // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 4. С. 9—17.
3. Слита О. В., Ушаков А. В. Обеспечение инвариантности выхода непрерывной системы относительно экзогенных сигнальных и эндогенных параметрических возмущений: алгебраический подход // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 24—32.
4. Dudarenko N. A., Ushakov A. V. Matrix formalism of degeneration monitoring problem for complex continuous dynamical systems under finite-dimantional exogenous actions // J. of Automation and Information Sciences. 2011. Vol. 43, N 6. P. 30—39.
5. Никифоров В. О., Слита О. В., Ушаков А. В. Интеллектуальное управление в условиях неопределенности: Учеб. пособие. СПб: СПБГУ ИТМО, 2011. 231 с.
6. Scogestad S., Havre K. The use of RGA and conditional number as robustness mesures // European Symposium on Computer Aided Process Engineering-6. Part B. 1996. Vol. 20. P. S1005—S1010.
7. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. М.: Мир, 1999.
8. Dudarenko N. A., Ushakov A. V. Matrix formalism of the degeneration control problem of multichannel dynamical systems under vector stochastic exogenous impact of the colored noise type // J. of Automation and Information Sciences. 2013. Vol. 45, N 6. P. 36—47.
9. Dudarenko N. A., Polyakova M. V., Ushakov A. V. Control of degeneration of discrete multichannel systems with multiple discrete intervals // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2012. Vol. 48, N 5. P. 483—48.
10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.
11. Wilkinson J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford: Clarendon Press, 1965.
12. Moore B. C. Principal component analysis in linear systems: controlability, observability and model reduction // IEEE Transact. on Automatic Control. 1981. Vol. AC-26, N 1. P. 17—31.
13. Birk W., Dudarenko N. A. Reconfiguration of the air control system of a bark boiler // IEEE Transact. on Control Systems Technology. 2016. Vol. 24, N 2. P. 565—577.
Сведения об авторах
Нина Александровна Вундер — канд. техн. наук; Университет ИТМО, факультет систем управле-
ния и робототехники; инженер; E-mail: wunder.n@mail.ru Наталия Александровна Дударенко — канд. техн. наук, доцент; Университет ИТМО, факультет систем
управления и робототехники; E-mail: dudarenko@yandex.ru Виталий Геннадьевич Мельников — д-р техн. наук, доцент; Университет ИТМО, факультет систем
управления и робототехники; E-mail: vgmelnikov@corp.ifmo.ru
Поступила в редакцию 21.05.19 г.
Ссылка для цитирования: Вундер Н. А., Дударенко Н. А., Мельников В. Г. Формирование критериальных матриц многомерных динамических систем с использованием алгоритма Фаддеева — Леверье // Изв. вузов. Приборостроение. 2019. Т. 62, № 9. С. 791—797.
FORMATION OF CRITERION MATRICES OF MULTI-DIMENSIONAL DYNAMICAL SYSTEMS USING THE FADDEEV — LEVERRIER ALGORITHM
N. A. Vunder, N. A. Dudarenko, V. G. Melnikov
ITMO University, 197101, St. Petersburg, Russia E-mail: dudarenko@yandex.ru
The problem of criterion matrices formation for the multidimensional dynamic systems is considered. The criterion matrices can be used for the properties analysis of a multidimensional system in a stationary state. The procedure of criterion matrices formation is considered in relation to the problem of estimating the tendency of multidimensional dynamic systems to degeneration, which is a measure of the robustness of a multidimensional system. The case of multidimensional continuous-time dynamic systems is considered as an example for criterion matrices construction. The problem is solved using the Faddeev — LeVer-rier algorithm, which is supplemented by the Cayley — Hamilton theorem. The obtained real-valued construction for the formation of criterion matrices of the input-output relationship of multidimensional dynamical systems is focused on the problem of a priori express control of the degeneracy of dynamical systems of the multidimensional input — multidimensional output type in static.
Keywords: Faddeev — LeVerrier algorithm, condition number, degeneration, criterion matrix,
Cayley — Hamilton theorem, degeneration factor
REFERENCES
1. Dorf R.C., Bishop R.H. Modern Control Systems, Prentice Hall, 2010.
2. Akunov T.A., Ushakov A.V. Journal of Computer and Systems Sciences International, 2003, no. 4, pp. 503-510. (in Russ.)
3. Slita O.V., Ushakov A.V. Journal of Computer and Systems Sciences International, 2008, no. 4, pp. 518-526. (in Russ.)
4. Dudarenko N.A., Ushakov A.V. Journal of Automation and Information Sciences, 2011, no. 6(43), pp. 30-39.
5. Nikiforov V.O., Slita O.V., Ushakov A.V. Intellektual'noye upravleniye v usloviyakh neopredelennosti (Intelligent Control under Uncertainty), St. Petersburg, 2011, 231 p. (in Russ.)
6. Scogestad S., Havre K. European symposium on computer aided process engineering-6. Part B, 1996, vol. 20, pp. S1005-S1010.
7. Golub G.H., Van Loan Ch.F. Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences, 1996, 728 p.
8. Dudarenko N.A., Ushakov A.V. Journal of Automation and Information Sciences, 2013, no. 6(45), pp. 36-47.
9. Dudarenko N.A., Polyakova M.V., Ushakov A.V. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, 2012, no. 5(48), pp. 483-488.
10. Gantmacher F.R. The Theory of Matrices, AMS Chelsea Publishing: Reprinted by American Mathematical Society, 2000, 660 p.
11. Wilkinson J.H. The algebraic eigenvalue problem, Oxford, Clarendon Press, 1965.
12. Moore B.C. IEEE Transactions on Automatic Control, 1981, no. 1(AC-26), pp. 17-31.
13. Birk W., Dudarenko N.A. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2016, no. 2(24), pp. 565-577.
Data on authors
Nina A. Vunder — PhD; ITMO University, Faculty of Control Systems and Robotics; Engineer;
E-mail: wunder.n@mail.ru
Natalia A. Dudarenko — PhD, Associate Professor; ITMO University, Faculty of Control Systems
and Robotics; Engineer; E-mail: dudarenko@yandex.ru
Vitaly G. Melnikov — Dr. Sci., Associate Professor; ITMO University, Faculty of Control Systems
and Robotics; E-mail: vgmelnikov@corp.ifmo.ru
For citation: Vunder N. A., Dudarenko N. A., Melnikov V. G. Formation of criterion matrices of multidimensional dynamical systems using the Faddeev — LeVerrier algorithm. Journal of Instrument Engineering.
2019. Vol. 62, N 9. P. 791—797 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2019-62-9-791-797
