ПРИМЕНЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВ БАЗИСНЫХ СПЛАЙНОВ В ЗАДАЧАХ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Применение спектральных свойств базисных сплайнов в задачах обработки

сигналов

Х.Н. Зайнидинов, А.Э. Мирзаев, С.П. Халилов ТУИТ, Ташкент, Узбекистан

Аннотация: В работе проанализированы сглаживающие и интерполяционные базисные сплайны, а также показаны возможности применения спектральных свойств базисных сплайнов для цифровой обработки сигналов. При этом учитывается тот факт, что базисные сплайны представляют собой финитные, кусочно-полиномиальные функции, определенные на компактных носителях.

Ключевые слова: обработка сигналов, непрерывность, сплайн, сглаживание, интерполяция, кусочно-полиномиальные фунукции

ВВЕДЕНИЕ

В 60-80-х годах XX века для решения задач аппроксимации непрерывных функций получили широкое распространение полиномиальные сплайны целой степени т [1, 9]. В данной статье проанализированы сглаживающие и интерполяционные базисные сплайны. Также показаны возможности применения спектральных свойств базисных сплайнов для цифровой обработки сигналов. При этом учитывается тот факт, что базисные сплайны представляют собой финитные, кусочно-полиномиальные функции,

определенные на компактных носителях.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Обозначим сплайн-функцию одной переменной х как <%п(х) (одномерный ^-сплайн). Такой сплайн строится на сетке узлов х1, расположенных на оси абсцисс (/ = 0,1, ..., п):

а=Хо < Х1 <... < хп_1 < хп = Ь (1)

и обладает следующими свойствами [1]:

1) Непрерывность на любом замкнутом отрезке [а, Ь] вместе со своими производными до некоторого порядка р.

2) Совпадение с полиномом такой же степени т на каждом внутреннем интервале [х1, х1+1] отрезка [а, Ь]:

^т ( Х ) = Рт1 ( Х ) = ао,1 + а1,1 ( Х _ Х1 )

+

+ а2 д ( х _ х1 )

+ ... + а„

1 (х _ х1 )т. (2)

Разность ё = т - р называется дефектом сплайна. Различают интерполяционные и сглаживающие сплайны. Построение интерполяционных сплайнов степени т > 2 связано с необходимостью решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), причем важную роль в алгоритмах вычисления коэффициентов играют краевые (граничные) условия.

В задачах воспроизведения

экспериментальных зависимостей по данным измерений результаты известны лишь приближенно. При большом объеме данных могут потребоваться сложные алгоритмы восстановления и значительные ресурсы времени [2, 5-7].

ПРЕДЛАГАЕМАЯ МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Для поставленной задачи важное место занимают сглаживающие сплайны. Они могут строиться в соответствии с различными критериями приближения, например, в результате минимизации функционалов вида [1,

9]:

2 С 2

J(S) = £ц (S(x)-/(x,)) + aj(S" (x)) dx,

i=0 a

(3)

или

и

J (a, S) = aj

— S (x) dxr

dx + X (S (x,)-/(x,))

(4)

где а1,а - положительные числа. В этих формулах сочетаются суммы квадратов отклонений сплайна от значений функции в узлах и степень его гладкости [1, 8, 9].

В теории аппроксимации сплайнами фундаментальный смысл приобретает понятие базиса как системы базисных функций. Если задана сетка узлов (1), то на отрезке [а, Ь] любой ^-сплайн степени т дефекта ё = 1 может быть представлен в виде суммы базисных сплайнов (В-сплайнов) с весовыми множителями-коэффициентами Ь1:

и+т+1

/(х) @ ^т (х) = 2 ЬгБт, (X), (5)

1=- т

где сплайны Вт1 представляют собой финитные, кусочно-полиномиальные функции, более того,

определенные на компактных носителях. Они должны удовлетворять следующим условиям: 1) Втд(х) = 0 при х£ (х1,Х1+т+1); Вт,1(х) > 0 при хе (х1,Х1+т+1);

2)

3)

xi+m+1

j Вт, (t)dt= j Bm, (t) dt = 1.

В-сплайны отличаются от нуля на интервалах длиной (т+1)й и являются линейно независимыми на [а, Ь]. Для аппроксимации функции Дх) последовательностью В-сплайнов необходимо ввести за пределами интервала [а, Ь] дополнительные узлы в количестве 2т (т узлов слева и такое же количество узлов справа).

В-сплайн любой степени т > 1 строится по рекуррентной формуле свертки [1]:

Вт+1 (x) = Вт (x)* В0(x) = j Вт (t)BQ (x - t)dt.

(6)

Если расстояния между соседними узлами сплайна одинаковы, т.е. x1+1-xj= h = const, то эта величина h представляет собой шаг аппроксимации (интерполяции) для

равномерной сетки. Приведем аналитические выражения для 5-сплайнов малых нечетных степеней (1-я и 3-я) в окрестностях начала координат x = 0 при равноотстоящих узлах с шагом h = 1:

- для 5-сплайна 1-й степени (носитель -

Г0,

Вз(x)=

(2 - x)

отрезок [-1, 1]):

В] (x) =

x -1,

1 - x, 0,

для

если x е [-1,0]; если x е [1 - x]; (7) если x g [-1,1]. 5-сплайна 3-й степени

(носитель - отрезок [-2, 2]):

если x > 2;

если [1 < x < 2;

1 + 3 (1 - x) + 3 (1 - x)2 - 3 (1 - x)2

(8)

, если [0 < x < 1];

Вэ(-x).

Графики последовательностей В-сплайнов двух данных степеней приведены на Рис. 1.

Матрица систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), необходимая для вычисления Ь-коэффициентов интерполяцион-

ного кубического сплайна, получается трехдиагональной с преобладающей главной диагональю. Она является неособенной и вычислительный процесс получения

коэффициентов устойчив. Система уравнений

2

2

a

и

a

x

3

6

6

может быть решена, например, методом прогонки [9]. Соответствующая матрица для получения коэффициентов сглаживающего сплайна - обычно пятидиагональная. Системы уравнений с такими матрицами также легко решаются методом прогонки. Наряду с такими вариантами в теории сплайнов разработаны так называемые «локальные» сглаживающие (усредняющие) алгоритмы, не требующие решения систем алгебраических уравнений высоких порядков, что ведет к сокращению

времени обработки исходных массивов данных [1, 7]. Необходимый объем вычислений мало зависит от числа узлов сетки и определяется практически лишь степенью сплайна. Он получается значительно меньшим, чем при интерполяции, а результаты характеризуются лишь незначительным снижением точности. Для кубических сплайнов сходимость процесса аппроксимации к достоверному результату в зависимости от шага оценивается как 0(А4).

Рис. 1. Графики последовательностей В-сплайнов двух степеней

Примерами локальных сглаживающих формул вычисления Ь-коэффициентов для внутренних точек отрезка (а, Ь) являются [1, 9]: Для сплайнов 3-й степени:

-усреднение по трем значениям функции

Ах):

Ь =1 (_А_1 + 8А _ А+1); 6

-усреднение по пяти значениям:

Ь = ^ (¿-2 _ 10 А-1 + 54 А _ 1 о А+1 + А+2). 36

(10)

Для сплайнов 5-й степени:

-усреднение по пяти значениям:

(9)

Ь =

1

240

(13А_2 _ 122А_! + 438А _ 122А+1 +А).

(11)

Такие формулы сохраняют свойства гладкости аппроксимирующих сплайнов и тот же порядок сходимости, что и интерполяционные приближения. Величины коэффициентов практически не зависят от значений функции, достаточно удаленных от текущего номера узла. Они имеют симметричный вид, но справедливы только для внутренних точек отрезка. Величины коэффициентов для граничных и соседних с ними отсчетов определяются посредством отдельных интерполяционных формул. Также может потребоваться введение дополнительных узлов за пределами отрезка. Например, формулы трех значений (9) для коэффициентов

кубических В-сплайнов могут быть дополнены выражениями для граничных точек:

Ь-! = 6А _ 4Ь _ Ьг+1;

г = 0,1; г = п _ 1, п.

(12)

[Ьм = 6А _ 4Ь _ Ьг+1;

Преобразования Фурье В-сплайнов любых степеней т дают своим результатом формулы следующего вида[1, 4, 6, 7]:

,т „ = Л ( ^ Г. «)

где А - амплитуда 5-сплайна. Графики модулей спектральной плотности 5-сплайнов первой и третьей степеней приведены на Рис. 2.

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

из

1.5

2.0

из

Рис. 2. Графики модулей спектральной плотности Б-сплайнов первой и третьей степеней

B-сплайны представляют собой

естественную систему базисных функций, с помощью которой могут быть со всей обоснованностью созданы необходимые длины дискретных выборок непрерывных сигналов. Во-первых, они располагают собственной сеткой внутренних узлов. Во-вторых, аналитические выражения их спектральных характеристик, представленные формулой (13), имеют много совпадений с выражением для общего члена sinc(x) кардинального ряда (1.1), которую использовали в теории связи В. А. Котельников и К. Шеннон при получении основной теоремы отсчетов. Отличия состоят в том, что для фиксации выборки выделяются нули юс=р/Ь частотной функции Ет(ю), а не нули кардинального ряда, а также в том, что степень ттрансцендентной функции может быть больше единицы. Теоретически функции

частотного аргумента в формуле (13) определены и не равны нулю на всей оси абсцисс, за исключением счетного множества точек.

Основное различие, не считая показателя степени т > 1, состоит в том, что непрерывной переменной может служить частота ю, а дискретные значения шагов h автоматически фиксироваться, как существенным принципом самой теорией сплайнов как финитных базисных элементов, т.е. расстановкой их узлов. И точно так же, как и Г(х,ю)=8тс(х,ю), функции Ет(ю) теоретически имеют бесконечное число нулей.

Воспользуемся вышеприведенной формулой (5) для спектральной энергии:

1 ¥

E = — I (Е (ю) )2 ёю,

(14)

а также применим равенство Парсеваля для непрерывных сигналов:

T Л ¥

E = [ А2(х)ёх = - [ F2 (ю) ёю. (15) * тт *

_Т Л 0

Используем также термин «энергия Ее на уровне е». Он означает величину интеграла энергии для

функций, интегрируемых с квадратом, отличающуюся на величину е от полной энергии сигнала.

Между различными видами спектральной энергии в частотной области существует приближенной соотношение[4, 6-8]:

- ¥ - ¥ E = -J(F2 (w))dw@-J(Fas (w))2dw = E^.

Р i pi

(17)

Спектры ¥(ю) и Рах(а>) вследствие финитности как сигнала, так и элементов базиса, инфинитны. Энергия конечной последовательности 5-сплайнов, заданных на компактных носителях, конечна. Эту энергию

как функцию частоты, можно разбить на две части - низкочастотную £^ю)и высокочастотную £м(ю), которая состоит из двух составляющих:

Р.

J (Fas (w))2 dw = f Р ]J (Fas (w))2 dw+[Р ]J (Fas (w))2 dw. (18)

Граничную частоту между низкочастотной и высокочастотной частью энергетического спектра, как и в предыдущей главе, можно обозначить ее юс. Далее следует

воспользоваться теоремой математического анализа, которая известна как теорема об интегральных неравенствах [3]:

Теорема. Если А и g интегрируемы и удовлетворяют неравенствуА(х)< на [а,Ь], то

и и

J f (x)dx < J g(x)dx.

(19)

Применим ее для оценки доли энергии высокочастотной части спектра Ещ(а)) по сравнению с полной энергией сигнала. Получим последовательность преобразований:

Ehf (w) = eE = (Р]J Kft J

sin (wh /2)

wh/2

где - К1 - коэффициент, зависящий от числа узлов сплайна, т.е. от длины дискретной выборки сигнала А(х).

Интеграл, расположенный в правой части

Из этого выражения следует вывод, что энергия высокочастотной части спектра последовательности 5-сплайнов,

аппроксимирующих сигнал, пропорциональна величине шага выборки с множителем, зависящим от степени сплайна.

ЛИТЕРАТУРА

[1] С.Ф.Свиньин. Базисные сигналы в теории отчётов. СПб.: Наука, 2003,-118с

[2] Сергиенко А. Цифровая обработка сигналов. -СПб.: Питер. - 604 с.

[3] Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара . - М.: Наука, 1969. -288 с.

J

dw< Kh К РР J dw,

(20)

(20), относится к числу табличных интегралов и легко вычисляется в квадратурах. В итоге получаем оценку для высокочастотной энергии:

eE < Kh2 if—Y 1 w I wh ]

dw =

2m+2 K

(2m + l)p2

h.

(21)

[4] Солонина А.И., Улахович Д.А., Яковлев Л.А. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов. - СПб.: БХВ - Петербург, 2001, -276 с.

[5] Сюзев В.В. Спектральный анализ в базисах функций Хаара // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 20011, №2, С. 48-67.

[6] Толстых Г.Д. Сверхбыстродействующее спектральное преобразование по функциям Хаара. //Известия ВУЗов. Радиоэлектроника. - 1979 - N7, С. 86-89.

[7] Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. -М.: Сов.радион, 1975. - 208 с.

[8] Zaynidinov H.N Nazirova E.Sh Zaynutdinova M.B, Methods of reconstructing signals based on

0

0

a

a

multivariate splineEuropean Journal of Computer Science and Information Technology Vol.3, No.2, pp.52-59, May 2015 Published by European Centre for Research Training and Development UK [9] Zaynidinov H.N Madhusudan Singh Dhananjay Singh Polynomial Splines for Digital Signal and Systems (Монография на англиском языке) LAMBERT Academic publishing, Germany, 2016.

Application of the Spectral Properties of Basic Splines in Signal Processing Problems

H.N. Zainidinov, A.E. Mirzaev, S.P. Khalilov

Tashkent University of Technologies, Tashkent, Usbekistan.

Information

Abstract: Smoothing and interpolation basis splines are analyzed in the paper, and the possibilities of using the spectral properties of basic splines for digital signal processing are shown. This takes into account the fact that the basic splines are finite, piecewise-polynomial functions defined on compact supports.

Key words: signal processing, continuity, spline, smoothing, interpolation, piecewise polynomial functions

REFERENCES

[1] S.F.Svin'in. Bazisnyye signaly v teorii otchotov. SPb.: Nauka, 2003. 118s.

[2] Sergiyenko A. Tsifrovaya obrabotka signalov. - CPb.: Piter. - 604 s.

[3] Sobol' I.M. Mnogomernyye kvadraturnyye formuly i funktsii Khaara . - M.: Nauka, 1969. - 288 s.

[4] Solonina A.I., Ulakhovich D.A., Yakovlev L.A. Algoritmy i protsessory tsifrovoy obrabotki signalov. - SPb.: BKHV - Peterburg, 2001, -276 s.

[5] Syuzev V.V. Spektral'nyy analiz v bazisakh funktsiy Khaara // Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. «Priborostroyeniye». 20011, №2, S. 48-67.

[6] Tolstykh G.D. Sverkhbystrodeystvuyushcheye spektral'noye preobrazovaniye po funktsiyam Khaara. //Izvestiya VUZov. Radioelektronika. - 1979 - N7, S. 86-89.

[7] Trakhtman A.M., Trakhtman V.A. Osnovy teorii diskretnykh signalov na konechnykh intervalakh. -M.: Sov.radion, 1975. - 208 s.

[8] Zaynidinov H.N Nazirova E.Sh Zaynutdinova M.B, Methods of reconstructing signals based on multivariate splineEuropean Journal of Computer Science and Information Technology Vol.3, No.2, pp.52-59, May 2015 Published by European Centre for Research Training and Development UK.

[9] Zaynidinov H.N Madhusudan Singh Dhananjay Singh Polynomial Splines for Digital Signal and Systems (Монография на англиском языке) LAMBERT Academic publishing, Germany, 2016.

Хакимжон Насридинович Зайнидинов - Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой

«Информационные технологии», Ташкентский университет информационных технологий (ТУИТ). Ташкент, Узбекистан

E-mail: tet2001@rambler.ru Hakimjon Nasridinovich

Zaynidinov

100206, г. Ташкент, массив Юнус-Абад-17, д 25, кв 75. Аваз Эгамбердиевич Мирзаев

- старший преподаватель кафедры «Информационные технологии», ТУИТ. Ташкент, Узбекистан

Avaz Egamberdiyevich

Mirzayev

100119, г Ташкент, ул. Уста ширин 71

Сирожиддин Панжиевич Халилов - Ассистент кафедры «Информационные технологии», ТУИТ. Ташкент, Узбекистан

E-mail: kh. suraj iddin@gmail.com

Sirojiddin Panjiyevich Xalilov

100209, г. Ташкент, массив Алмазар, ^ара-камиш 1/3, д 35, кв 25

Статья поступила в редакцию 20 ноября 2017 г.