CC BY
22Применение вейвлетов Хаара в задачах цифровой обработки двумерных сигналов
Х.Н. Зайнидинов1, И. Юсупов1, Ш. У. Ураков 2
Ташкентский университет информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми 2Самаркандский Государственный медицинский институт
Аннотация. В статье рассматриваются вопросы применения систем локальных базисных функций, определенные на компактных носителях. Показывается их эффективность при решении проблем дискретизации финитных сигналов. Сигналы могут представлять собой не только функции времени, определенные на конечных интервалах, но и функции аргументов другой физической природы, например, расстояний вдоль поверхностей.
Ключевые слова: финитный спектр, финитная функция, энергия сигнала, аппроксимация, вейвлеты Хаара, быстрое вейвлет-преобразование
ВВЕДЕНИЕ
Под цифровой обработкой многомерных сигналов (ЦОМС) понимают обработку информации, представленной в виде многомерных массивов чисел, например, результатов измерений данных, непрерывно изменяющихся во времени и пространстве и поступающих от нескольких источников [1, 2, 5, 9, 12, 13]. Существенные отличия в обработке многомерных сигналов по сравнению с одномерными можно свести к следующим основным факторам:
1) При увеличении размерности данных резко возрастает объем числовой информации.
2) Усложняются математические методы обработки, вследствие чего, как правило, увеличиваются ошибки, ослабевает надежность результатов.
Традиционным и наиболее простым способом организации многомерных выборок является прямоугольная дискретизация, когда носителями информации на плоскости являются квадраты, прямоугольники, а в пространствах большей размерности - параллелепипеды, гиперкубы и т. д.
Как отмечается большинством специалистов при обработке одномерных сигналов - функций времени, принцип финитности спектра является очень эффективным [1, 3, 6, 7, 9, 10]. Его ограничения, обычно удовлетворяемые при обработке одномерных процессов, совсем по-другому работают в многомерных областях, где физические величины должны быть измерены в многомерном континууме «пространство-время». Кроме того, существуют области исследований, где время специально исключается из рассмотрения с целью получения достоверных решений
пространственных задач.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ВЕКТОРА КОЭФФИЦИЕНТОВ ХААРА
Значительный прогресс в использовании вейвлетов в различных приложениях связан, в
первую очередь, с наличием быстрых алгоритмов спектральных дискретных преобразований, класс которых значительно шире множества быстрых преобразований в базисе комплексных экспоненциальных функций [8, 9, 10]. Для решения проблемы организации минимальных выборок сигнала, обеспечивающих необходимую точность восстановления, следует провести исследование собственных спектров вейвлет-коэффициентов. Такие системы вейвлет-функций, как производные от функции Гаусса, вейвлеты Морле, вейвлеты Шеннона и др. теоретически определены на всей оси, но могут рассматриваться как локальные. Но основную роль в алгоритмах дискретных быстрых вейвлет-преобразований (БВП) играют ортонормированные вейвлет-базисы, заданные на компактных носителях.
Для применения энергетического критерия точности восстановления сигнала по вейвлет-коэффициентам необходимы два основных оператора: кратномасштабный анализ [5] и вычисление октавного спектра энергии [9]. Достоинством октавного спектра является то, что он, как и спектр Фурье, инвариантен по отношению к сдвигам во времени стационарных сигналов. Свойством кратномасштабного анализа обладают и некоторые вейвлеты, рассматриваемые на всей оси t е (-®, ®), например, вейвлеты Шеннона. [10].
Преобразуем непрерывный сигнал Ах) к дискретному виду - представим его как вектор-строку, содержащий п действительных чисел /, I = 0, 1 , ... , п-1. В алгоритмах быстрых вейвлет-преобразований фактически используются целочисленные итерации одного единственного оператора масштабирования Бо (о > 1), описывающего растяжение [8, 11]. Обычно используется масштаб о = 2, при котором материнский вейвлет удовлетворяет тождеству:
п—1
АУ) = X У—к). (1)
к=0
Для функций / □ Ь2(К) частная сумма с вейвлет-коэффициентами ск интерпретируется как разность между двумя приближениями /— с разрешениями и 2-1, и кратномасштабный анализ использует наборы сеток приближения. Приближение с разрешением 2-1 содержит всю
необходимую информацию для вычисления с более грубым разрешением 2^-1.
На Рис. 1 приведен граф быстрого преобразования Хаара (БПХ) на п=23=8 отсчетов с добавлением операторов вычисления составляющих октавного спектра.
Рис. 1. Граф быстрого преобразования Хаара: ск - коэффициенты Хаара, Кв - квадраторы, Е8 - значения октавных составляющих спектральной энергии дискретного сигнала
Значения коэффициентов получены в результате применения специальной программы вейвлет-преобразования, написанной на языке программирования С#. На Рис. 2. приведена гистограмма половины значений коэффициентов быстрого преобразования Хаара (БПХ) исходного вектора {£}, содержащего п=2р=128 отсчетов. Говорят, что «сигнал имеет длину
128». Показатель степени р, означающий максимальное число итераций, носит название порядка дискретного преобразования.
Выражение для суммарной по всем октавам спектральной энергии вектора коэффициентов Хаара {ск}, представляет собой сумму квадратичного вида:
2p-4 -1 ■2 V 2
Ee= ((c02 + Ci2)+2-1 (c22 + c£)+2-2 £
Ck + 2
k=4
2p-3 -1
3 X
k=8
crk +...+2
2p -1
k=2p-1
(2)
Ее численное ее значение получается равным Eo=136.887.
Рис. 2. Значения вейвлет-коэффициентов Хаара
Выполним быстрое преобразование Хаара повторно для сетки отсчетов, в 2 раза более редкой, т.е. для четных значений предыдущего вектора сигнала (длина сигнала получается равной 64). В этом случае значение энергии равно Ее=136.375 .
ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ДВУМЕРНЫХ СИГНАЛОВ
Вейвлеты как класс математических функций были открыты геофизиками Морле и Гроссманом при изучении ими сейсмических
волн. Сейсморазведка является одним из направлений применения математических методов при решении геофизических задач поисков полезных ископаемых, к числу которых относятся гравиразведка, электроразведка, магниторазведка. Магниторазведка является самым эффективным методом с точки зрения высокой производительности при проведении измерений параметров физических полей над поверхностью Земли, так как может осуществляться аэрометодами (т.е. с помощью
самолетов и вертолетов) и охватывать
2
значительные площади в десятки и сотни км . Основу математических преобразований составляют методы решения систем уравнений в частных производных, записанных, например в виде
ШХУ^А = / (х,у,г,г), г = 1,2,...,N,
дхду ■/гУ ''' ' Ь ' ' ' '
(3)
где х, у, 2 — пространственные координаты четырехмерного континуума, а I — время. Методы поиска заключаются в обнаружении геофизических аномалий в сигналах. Для этого требуется исключить время из рассмотрения как фактор, мешающий постоянно действующим составляющим поля, и оставить в уравнениях только пространственные переменные. Например, из данных магнитных измерений должны быть исключены такие воздействия на показания магнитометров, как
- вековой ход магнитного поля (смещение полюсов);
- вариации магнитного поля во времени (колебания в течение суток);
- влияние высоты полета летательного аппарата над поверхностью,
- девиационная функциональная зависимость, вызванная влиянием магнитного поля самолета и др.
12
ю
Рис. 3. График поля значений магнитной индукции, измеренной методом аэромагниторазведки
На Рис. 3 приведена картина комплексного поля значений магнитной индукции, наведенной на одном из участков поверхности Земли и измеренной методом аэромагниторазведки. Единица измерений - микроТесла. Двумерный массив /(х, у) включает в себя 300 х 300 отсчетов с расстояниями в 1 км между соседними отсчетами.
Выделим на графике (Рис. 3.) участок квадратной формы размером 16 х 16 отсчетов, содержащий один локальный максимум функции, и применим к нему формулы оценки точности вычисления спектральной энергии
методом двумерных вейвлетов Хаара. Магнитометры могут измерять интенсивность поля с точностью до 6 десятичных знаков после точки. В Таблице 1. приведены результаты магниторазведки /(х, у). График этого участка поля приведен на Рис. 4.
График амплитудного спектра двумерной последовательности вейвлетов Хаара изображен на Рис. 5. Из графика очевидно, что эти две составляющие представляют собой основную часть высокочастотной энергии инфинитного спектра последовательности.
Таблица 1.
=
1.9168 0.1198 0.1199 0.1198 0.1204 0.1206 0.1205 0.1206
0.0063 - 0.0029 - 0.0018 - 0.0029 0.0021 0.0011 0.0017 0.0026
- 0.0028 - 0.0047 - 0.0042 - 0.0047 - 0.0030 - 0.0025 - 0.0020 - 0.0018
- 0.0018 0.0022 0.0025 0.0022 0.0031 0.0033 0.0035 0.0037
- 0.0002 - 0.0018 - 0.0019 - 0.0019 - 0.0018 - 0.0017 - 0.0015 - 0.0014
- 0.0002 - 0.0002 - 0.0002 - 0.0002 - 0.0001 - 0.0001 - 0.0001 - 0.0001
-0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0001 0.0001 0.0002
0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
Рис. 4. График выделенного участка магнитного поля квадратной формы
Рис. 5. График амплитудного спектра магнитного поля
Оценим точности выборок функции f(x, y), заданной на площади 16 x 16 км2. Значение энергии суммы квадратов 256 вейвлет-коэффи-циентов с учетом весов октав, получилось равным £Е=949.376.
Ошибка по отношению к полной энергия, которая была вычислена на уровне Е=955.403, составила s = 0.6% . Если взять отсчеты сигнала с выборкой, в 2 раза более редкой (только четные отсчеты по каждой из горизонтальных осей), то вычисленное значение спектральной энергии равно 943.976. Это соответствует ошибке s =1.2 %. Таким образом, движение к полной энергии при увеличении числа отсчетов по двоичной шкале очевидно.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложенный материал показывает, что при решении проблем теории отсчетов сигналов методы вейвлет-функций с компактным носителем могут дать определенные преимущества перед теорией, использующей принцип финитности спектров. Во главу угла положен принцип финитности носителей сигналов, который приводит к инфинитности спектров и требует детальных оценок точности вычислений энергетических характеристик.
Достоинством методов финитных базисных функций, в отличие от практики интерполяционных приближений, рассматриваемых при применениях теории функций с финитными спектрами, является возможность восстановления сигналов по различным критериям - как интерполяционным, так и критериям минимизации квадратических функционалов и другие.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Whittaker E. On the Functions which are represented by Expansions of the Interpolation Theory // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. V.35. pp.181-194. 1915.
[2] Котельников В. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Успехи физических наук. Т.176. 2006. № 7. с. 762-770 (Приложение).
[3] Джерри А. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и ограничения // ТИИЭР. 1977. Т.65. № 11. c.53-89.
[4] Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. Пер. с англ. М.: Мир, 2005. 672 с.
[5] Свиньин С.Ф. Базисные сплайны в теории отсчетов сигналов. СПб: Наука. 2003. 118 с.
[6] Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера. 2006. 272 с.
[7] Ахмед Н, Рао К. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь. 1980. 248 с.
[8] Modern Sampling Theory: Mathematics and Applications. Benedetto J., Ferreiro P. / Springer Science and Business Media LLC. 2012. 158p.
[9] Hakimjon Zayniddinov, Madhusudan Singh, Dhananjay Singh Polynomial Splines for Digital Signal and Systems. LAMBERT Academic publishing, Germany, 2016, 208 p.
[10] Dhananjay Singh, Madhusudan Singh, Hakimjon Zaynidinov. Signal Processing Applications Using Multidimensional Polynomial Splines, Springer Briefs in Applied Sciences and Technology Series, Springer, Singapore, (Indexed by El-Compendex, SCOPUS and Springerlink). ISBN -978-98113-2238-9, Series ISBN - 2191-530X, DOI: 10.1007/978-981-13-2239-6.
[11] Utkir Khamdamov, Hakimjon Zaynidinov. Parallel Algorithms for Bitmap Image Processing Based on Daubechies Wavelets. 2018 10th International Conference on Communication Software and Networks, July 6-9, 2018, Chengdu, China, p.537-541.
[12] Zhmud V.A., Dimitrov L.V., Ivoilov A. Yu. Precision Frequency Synthesizer. Automatics & Software Engireery. 2018. № 1 (23). P. 20-32. http://www.jurnal.nips.ru/sites/default/files/AaSI-1-2018-2.pdf.
[13] Жмудь В.А. Системы автоматического управления высшей точности. Автоматика и программная инженерия. 2016. № 3 (17). С. 128136.
Хакимжон Насиридинович
Зайнидинов - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Информационных
технологий Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми. E-mail: tet2001@rambler.ru 100200, Узбекистан, Ташкент, ул. Амира Темура, 108
Иброхимбек Юсупов - ассистент кафедры Информационных технологий Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми.
E-mail: ibrohimbek.211 10@mail.ru
Шокир Улашович Ураков -
доктор философии (PhD) по техническим наукам. Старший преподаватель кафедры
информатики и информационных технологий. Заместитель декана факультета Самаркандского
Государственного медицинского института.
E-mail: shokiruraqov74@mail.ru
а» liÉ
Статья поступила 25.04.2019.
Application of Haar Wavelets in Problems of Digital Processing of Two-Dimensional
Signals
H.N. Zaynidinov1, I. Yusupov1, Sh.U. Urakov 2
1 Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorezmi 2Samarkand State Medical Institute
Abstract. The article discusses the use of systems of local basis functions defined on compact carriers. Their effectiveness in solving problems of discrete signals is shown. Signals can be not only functions of time defined at finite intervals, but also functions of arguments of a different physical nature, for example, distances along surfaces.
Keywords: finite spectrum, finite function, signal energy, approximation, Haar wavelets, fast wavelet transform
REFERENCES
[1] Whittaker E. On the Functions which are represented by Expansions of the Interpolation Theory // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. V.35. pp.181-194. 1915.
[2] [2] Kotel'nikov V. O propusknoy sposobnosti «efira» i provoloki v elektrosvyazi // Uspekhi fizicheskikh nauk. T.176. 2006. № 7. s. 762-770 (Prilozheniye).
[3] Dzherri A. Teorema otschetov Shennona, yeye razlichnyye obobshcheniya i ogranicheniya // TIIER. 1977. T.65. № 11. c.53-89.
[4] Malla S. Veyvlety v obrabotke signalov. Per. s angl. M.: Mir, 2005. 672 s.
[5] Svin'in S.F. Bazisnyye splayny v teorii otschetov signalov. SPb: Nauka. 2003. 118 s.
[6] Blatter K. Veyvlet-analiz. Osnovy teorii. M.: Tekhnosfera. 2006. 272 s.
[7] [Akhmed N, Rao K. Ortogonal'nyye preobrazovaniya pri obrabotke tsifrovykh signalov. M.: Svyaz'. 1980. 248 s.
[8] Modern Sampling Theory: Mathematics and Applications. Benedetto J., Ferreiro P. / Springer Science and Business Media LLC. 2012. 158p.
[9] Hakimjon Zayniddinov, Madhusudan Singh, Dhananjay Singh Polynomial Splines for Digital Signal and Systems. LAMBERT Academic publishing, Germany, 2016, 208 p.
[10] Dhananjay Singh, Madhusudan Singh, Hakimjon Zaynidinov. Signal Processing Applications Using Multidimensional Polynomial Splines, Springer Briefs in Applied Sciences and Technology Series, Springer, Singapore, (Indexed by EI-Compendex, SCOPUS and Springerlink). ISBN -978-98113-2238-9, Series ISBN - 2191-530X, DOI: 10.1007/978-981-13-2239-6.
[11] Utkir Khamdamov, Hakimjon Zaynidinov. Parallel Algorithms for Bitmap Image Processing Based on Daubechies Wavelets. 2018 10th International Conference on Communication Software and Networks, July 6-9, 2018, Chengdu, China, p.537-541.
[12] Zhmud V.A., Dimitrov L.V., Ivoilov A. Yu. Precision Frequency Synthesizer. Automatics & Software Engireery. 2018. № 1 (23). P. 20-32. http://www.jurnal.nips.ru/sites/default/files/AaSI-1-2018-2.pdf.
[13] Zhmud' V.A. Sistemy avtomaticheskogo upravleniya vysshey tochnosti. Avtomatika i programmnaya inzheneriya. 2016. № 3 (17). S. 128136.
Hakimjon Nasriddinovich
Zayniddinov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Information Technologies of the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorezmi.
E-mail: tet2001@rambler.ru 100200, Uzbekistan, Tashkent, st. Amir Temur, 108
Ibrohimbek Yusupov - Assistant of the Department of Information Technologies of Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorezmi. E-mail: ibrohimbek.211 10@mail.ru
Shokir Ulashovich Urakov - PhD in technical sciences. Senior Lecturer of the Department of Informatics and Information Technologies. Deputy Dean of the Faculty of the Samarkand State Medical Institute. E-mail: shokiruraqov74@mail.ru
The paper has been received 25.04.2019
