CC BY
84
ОБРАЗОВАНИЕ И ПЕДАГОГИКА
УДК 622.6
Н.И. Михайленко, Э.Я. Живаго
Сибирский государственный индустриальный университет
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Принципами механики называются исходные положения, отражающие общие закономерности механических явлений, из которых как следствия можно получить все уравнения, определяющие движение механической системы (или условия ее равновесия). В ходе развития механики установлен ряд таких принципов, каждый из которых может быть положен в основу механики. Эти принципы подразделяют на невариационные и вариационные.
Невариационные принципы механики непосредственно устанавливают закономерности движения, совершаемого системой под действием приложенных к ней сил.
Вариационные принципы механики устанавливают свойства (признаки), позволяющие отличить истинное (то есть фактически происходящее под действием заданных сил) движение механической системы от тех или иных кинематически возможных ее движений (или же состояние равновесия системы от других возможных ее состояний).
По форме вариационные принципы механики разделяют на так называемые дифференциальные, в которых устанавливается, чем истинное движение системы отличается от движений кинематически возможных в каждый данный момент времени, и интегральные, в которых это различие устанавливается для перемещений, совершаемых системой за какой-нибудь конечный промежуток времени [1].
Дифференциальные вариационные принципы в рамках механики являются более общими и практически справедливыми для любых механических систем. К основным дифференциальным вариационным принципам механики (где рассматриваемой физической величиной является работа сил) относятся принцип возможных перемещений и принцип Д'Аламбера-Лагранжа.
Развитие вариационных принципов механики происходило на протяжении трех веков. Закон равновесия, выражаемый принципом возможных перемещений, впервые установлен Гвидо Убальди на рычаге и на движущихся
блоках (или полиспастах). Г. Галилей установил его для наклонных плоскостей и рассматривал этот закон как общее свойство равновесия простых машин. Дж. Валлис положил этот принцип в основу статики и из него вывел теорию равновесия машин. Р. Декарт свел всю статику к единому принципу. И. Бернулли первый понял большую общность принципа возможных перемещений и его полезность при решении задач статики. Ж. Лагранж стремился установить «простые» и «всеобщие» принципы механики; в работе «Аналитическая механика» он полностью отказался от геометрической трактовки в механике, теорию о равновесии и движении он свел к некоторым общим уравнениям.
В основу статики Лагранжем был положен принцип возможных перемещений, а в основу динамики - сочетание принципа возможных перемещений и принципа Д'Аламбера. При этом им были введены обобщенные координаты, а уравнения движения (уравнения Лагранжа) переписаны в новой форме [2].
Строгое доказательство принципа возможных перемещений, а также распространение его на односторонние (неудерживающие) связи было дано М.В. Остроградским [3].
Принцип возможных перемещений (виртуальных скоростей) выражает наиболее общие условия равновесия механических систем, стесненных идеальными связями. Согласно этому принципу механическая система находится в равновесии в некотором положении тогда и только тогда, когда сумма элементарных работ приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении, выводящем систему из рассматриваемого положения, равна нулю или меньше нуля:
X М? < 0. (1)
к=1
При изучении равновесия системы тел методами так называемой геометрической статики приходится рассматривать равновесие каж-
дого из тел в отдельности, заменяя наложенные связи соответствующими наперед неизвестными реакциями. Когда число тел в системе велико, этот путь становится весьма громоздким и связан с необходимостью решать большое число уравнений со многими неизвестными.
Отличительная особенность метода, вытекающего из принципа возможных перемещений, состоит в том, что при его применении эффект действия связей учитывается не путем введения неизвестных наперед реакций, а путем рассмотрения перемещений, которые можно сообщить точкам системы, если вывести систему из занимаемого ею положения. Эти перемещения называют в механике возможными перемещениями. Возможные (виртуальные) перемещения системы - элементарные (бесконечно малые) перемещения Ьгк точек системы, допускаемые в данный момент времени наложенными на систему связями. Если связи являются удерживающими (двусторонними), то возможные перемещения обратимы, и в условии (1) должен быть знак равенства. Если же связи неудерживающие (односторонние), то среди возможных перемещений имеются необратимые, и в условии (1) сумма элементарных работ больше или равна нулю.
Для одной материальной точки возможное перемещение вводится как бесконечно малое воображаемое перемещение, допускаемое связями в данный момент времени; это векторная величина, совпадающая по направлению с возможной скоростью точки.
Рассматривая различные типы материальных систем, можно обнаружить, что элементарная работа реакций многих связей на возможном перемещении окажется равной нулю. Такие связи, сумма возможных работ реакций которых на любом возможном перемещении равна нулю, называются идеальными; к таким связям относятся, например, все связи без трения.
Связи, которые не изменяются со временем, называются стационарными.
У некоторых материальных систем встречаются и довольно сложные связи; связи, налагающие ограничения только на положения (координаты) точек системы, называются го-лономными (геометрическими, интегрируемыми), а налагающие ограничения еще и на скорости точек (производные от координат по времени), называются неголономными (кинематическими, неинтегрируемыми).
Если система несвободная, то не все возможные перемещения являются независимыми. Число независимых возможных перемещений системы называется числом ее степеней
свободы. Одну степень свободы имеет точка, перемещающаяся по прямой. Для определения числа степеней свободы системы с голоном-ными связями (ниже будут рассматриваться только такие системы) поступают следующим образом: сначала у системы исключают одну степень свободы (для этого закрепляют точку, движущуюся по заданной линии, или закрепляют вращающееся тело); если после этого подвижность системы будет полностью устранена, значит, у системы одна степень свободы. Если подвижность сохранится, то исключают еще одну степень свободы; и так далее до полного устранения подвижности системы (до полной остановки системы). Число таких исключений равно числу степеней свободы системы. Пользуясь этим методом, нетрудно установить, что число степеней свободы лебедки (пример 1) равно единице, а подъемного механизма (пример 2) равно двум.
Следует подчеркнуть, что для системы с одной степенью свободы возможные перемещения всех ее точек могут быть выражены через одно какое-либо независимое возможное перемещение; для системы с двумя (или более) степенями свободы возможные перемещения всех точек можно выразить соответственно через два (или более) независимых друг от друга возможных перемещения. При получении таких зависимостей следует учитывать, что соотношения между возможными перемещениями отдельных точек системы аналогичны соотношениям между скоростями соответствующих точек.
Возможным перемещением всего тела, вращающегося вокруг оси, является бесконечно малый угол поворота 5ф, а возможные перемещения точек пропорциональны расстояниям до оси вращения
ЬгА = ОА 5ф; ЬгБ = ОВ 5ф. (2)
В случае плоскопараллельного движения возможным перемещением является поворот на бесконечно малый угол 5ф вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей (МЦС) (на рисунке обозначен точкой Ру), а возможные перемещения точек пропорциональны расстояниям до МЦС
Ъга = АРу 5ф; Ъгв = ВРу 5ф, (3)
где АРу и ВРу - мгновенные радиусы вращения, причем 5га 1 АРу, ЫВ 1 ВРу.
7
. 8,в 1 8ф\^р Ж ^
Рис. 1. Кинематическая (а) и расчетная (б) схемы механизма
Кроме этого для определения зависимости между скоростями (перемещениями) точек можно воспользоваться теоремой о проекциях: проекции скоростей двух точек на линию, проходящую через эти точки, равны между собой
ПРлвУл = ПРлвУв или ПРлвЪгл = ПРлвЪгв • (4)
Работа сил, приложенных к материальной системе, на возможном перемещении называется возможной работой; это элементарная работа, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки.
Работа силы на возможном перемещении -скалярное произведение
5А = F-Ъг ; 5А = ¥Ътcos(FАЪг). (5)
Работа силы, приложенной к твердому телу, при повороте тела на угол Ъф определяется как произведение модуля момента этой силы
относительно точки поворота тела на угол Ъф поворота тела
5Л = ± т0 (р )5ф.
(6)
Работа пары сил определяется зависимостью
5Л = ±т5ф .
(7)
В формулах (6) и (7) ставится знак «плюс», если направление поворота тела совпадает с направлением, в котором сила (пара сил) стремится повернуть тело; если направления противоположны - знак «минус».
Рассмотрим применение принципа возможных перемещений к решению задач на равновесие подъемных механизмов с реальными связями.
В реальных условиях не существует ни абсолютно гладких, ни абсолютно твердых тел, так что работа реакций на любом возможном перемещении во всех возможных случаях отрицательна. В тех практических случаях, когда работа сил реакций связей ничтожно мала по
б
а
сравнению с работой других приложенных сил и ею можно пренебречь, то с точностью, достаточной для практики, эти связи можно отнести к категории идеальных связей. Когда же работа сил трения связей не мала и ею нельзя пренебречь, то эти силы условно относят к числу активных сил.
Система с одной степенью свободы
Рассмотрим пример (рис. 1). На барабан 3 лебедки намотан трос, огибающий полиспаст, состоящий из двух блоков 2 с крюковой подвеской, к которой подвешен груз 1. На валу двигателя 8 насажен тормозной шкив 6. Требуется определить, какое усилие Е следует приложить к тормозной колодке 7, чтобы удержать груз в равновесии при выключенном двигателя, если / - коэффициент трения скольжения колодки о шкив; г - радиус барабана; R - радиус тормозного шкива; г4 и г5 -числа зубцов колес 4 и 5 зубчатой передачи; Р - сила тяжести груза (рис. 1, а).
Сообщим телу 1 возможное перемещение Ъгг, направленное вертикально вниз. Возможным перемещением блоков 2 будет поворот на угол 5ф2 вокруг мгновенного центра вращения
(МЦВ), совпадающего с МЦС. Возможные перемещения тел 3 - 6 - повороты на соответствующие углы Ъф3 - Ъф6.
На систему действует активная сила тяжести груза (Р), приложенная в точке А. Связь между шкивом 6 и тормозной колодкой 7 -шероховатая поверхность, реакцию которой представим двумя составляющими: силой трения Етр и нормальной реакцией поверхности, равной усилию, передаваемому тормозной колодкой N = Е . Таким образом система, состоящая из тел 1 - 6, находится в равновесии под действием трех сил Р, Е и Етр (рис. 1, б).
С учетом того, что ЪА(Е) = 0 (Е 1 ЪгЕ), уравнение (1) примет вид
5фз =5ф4;
5ф5 = 5фб,
(9)
а линейные перемещения точек зацепления двух колес и точек, соединенных одной нитью, одинаковы:
Ъга = Ъго; Ъгв = Ъгв; Ъгв = ^Ъф4 = ^5. (10)
Связь между угловыми перемещениями тела и линейными перемещениями его точек определяется следующими равенствами:
5ф3 = ^° =или 5ф3 = ^° = 8гв-; (11)
ОРу DPy
8_О = 8в г 2г
8гЕ = 5ф5R .
(12)
Учтем, что числа зубьев колес передачи пропорциональны их радиусам:
Г —
(13)
Варьируя соотношения (9) - (13), окончательно получим выражение
Г2с
(14)
Подставим выражение (14) в уравнение (8) и преобразуем (вынесем 8гл за скобки)
(Р - РТр^)8гл = 0. гг.
Учтем, что Ртр = /Ы = /Р, и так как 8гл Ф 0, получим
(р - /р ——4—) = 0, гг.
Р8гА - Ртр8гЕ = °-
(8)
следовательно
Из возможных перемещений 8гО, 8гВ, 8гс, 8гЕ, 5^ , 5ф3, 5ф4, 8ф5, 5ф6 независимым от других может быть только одно (у механизма одна степень свободы). Примем 8гл за независимое возможное перемещение и выразим через него все остальные (2) - (4), учитывая, что угловые перемещения колес, закрепленных на одном валу, равны между собой
2/—4—
Система с двумя степенями свободы
Для системы с несколькими степенями свободы можно составить столько уравнений, выражающих принцип возможных перемещений, сколько у нее степеней свободы. В этом случае
решение разбивается на несколько последовательно выполняемых этапов. Для систем с двумя степенями свободы на первом этапе оставляют одну (первую) степень свободы, исключая вторую путем закрепления соответствующей точки или тела, и составляют первое уравнение - уравнение равновесия. На втором этапе у системы оставляют только вторую степень свободы, исключая первую, и составляют второе уравнение - уравнение принципа возможных перемещений. Совместное решение полученных уравнений позволяет найти искомые величины.
Рассмотрим пример (рис. 2). При условии равновесия нужно определить величины моментов М1 и М 2, приложенных к барабанам 1 и 2 подъемного механизма (рис. 2, а), если РА - сила тяжести груза А ; Р3 - сила тяжести подвиж-
ного блока 3; / - коэффициент трения между грузом л и наклонной плоскостью, образующей угол а с горизонтом; г1 и г2 - радиусы барабанов (трением в осях пренебрегаем).
Активными силами, действующими на систему, являются силы тяжести РА и Р3, а также пары сил с моментами М1 и М2. На систему наложена реальная связь - шероховатая поверхность, реакции которой N и Ртр .
Рассмотрим два случая.
Первый случай. Предположим, что при отсутствии трения груз А стремится двигаться вверх. При наличии трения сила трения будет направлена вниз вдоль наклонной плоскости (рис. 2, г).
Решение проведем в два этапа.
Этап 1. Закрепим барабан 2 и сообщим барабану 1 возможное перемещение 5ф1 (рис. 2, б), составим уравнение работ, используя формулы (5) и (7):
Mj59j - P35rO - Ртр8гА - PA sin a5rA = 0 .
Связь между перемещениями определим по формулам (2) - (4)
brO = brD = 5rC = rjSqjj; brA = brE = 2brO = 2г15ф1.
Рассмотрев равновесие груза, найдем, что
F, = fN = P cos a . (15)
Преобразуем выражение (вынесем 5ф1 за скобки)
(M1 - P3r - fPA cos a2rj - PA sin a2rx )5ф1 = 0 .
Так как 5ф1 Ф 0, то
(M1 - P3r - fPA cos a2rj - PA sin a2rj) = 0, откуда можно записать
Mj < P3r1 + PA 2rj (frosa + sin a). (16)
Этап 2. Закрепим барабан 1 и сообщим барабану 2 возможное перемещение 5ф2 (рис. 2, в, д), составим уравнение работ:
М2?>ф2 - - Pa sin a5rA = 0 .
Связь между перемещениями 5rA = 5rE = = 5>k = brL = г25ф2.
Преобразуем выражение (вынесем 5ф2 за скобки)
(М2 - - Pa sin ar )5ф2 = 0 .
Так как 5ф2 Ф 0, то с учетом равенства (15) получим
(М2 - fPA cos ar2 - PA sin arj) = 0,
Второй случай. Предположим, что при отсутствии трения груз А стремится двигаться вниз. При наличии трения сила трения будет направлена вверх вдоль наклонной плоскости (рис. 2, е). Элементарная работа силы трения будет в этом случае положительна, а зависимость между перемещениями точек останется прежней.
Этап 1. При закрепленном барабане 2 (рис.
2, б) уравнение работы будет иметь вид
М15ф1 - P35rO + FIp8rA - PA sin a5rA = 0; Mj > P3r + PA 2r1 (sin a - frosa).
(16*)
откуда
M 2 < PAr2 (f cos a + sin a).
(17)
Этап 2. При закрепленном барабане 1 (рис. 2, в, ж) уравнение работы будет иметь вид
M2^2 + - Pa sin a5^ = 0;
M 2 > PAr2(sin a - fros a). (17*)
Объединим формулы (16) и (16*), формулы (17) и (17 ). Получим, что при равновесии системы
P3r + PA 2r1 (sin a - fros a) < M1 <
< P3r + PA 2r1 (fix>s a + sin a);
PAr2 (sin a - fix>s a) < M2 < PAr2 (fCоs a + sin a).
Из полученных результатов видно, что момент М 2, приложенный к барабану 2, зависит только от силы тяжести груза А, а момент М1, приложенный к барабану 1, зависит не только от силы тяжести груза А, но и от силы тяжести подвижного блока 3.
Выводы. С применением принципа возможных перемещений можно решать любые задачи динамики механической системы. Решение задач динамики может быть осуществлено двумя методами, каждый из которых приводит к одинаковому результату.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Курс теоретической механики. Т. 1. / Под ред. К.С. Колесникова. - М.: изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 735 с.
2. Л а г р а н ж Ж.Л. Аналитическая механика. - М. - Л.: Техиздат, 1950. Т. 1. Статика. Динамика. - 594 с.; Т. 2. Динамика (продолжение). - 440 с.
3. О с т р о г р а д с к и й М.В. Лекции по аналитической механике. Собр. соч. Т. 1. Ч. 2. - М. - Л., 1946. - 285 с.
© 2013 г. Н.И. Михайленко, Э.Я. Живаго Поступила 31 октября 2012 г.
